2025年新高考数学复习突破讲义：函数的性质-单调性、奇偶性、周期性（含解析）

专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性

【知识点梳理】

1、函数的单调性

（1）单调函数的定义

一般地，设函数“X）的定义域为/,区间

如果对于。内的任意两个自变量的值X],马当再时，都有/（王）＜/（/），那么就说“X）在区间。

上是增函数.

如果对于。内的任意两个自变量的值再，x2,当X]＜%时，都有/（X[）＜f（x2）,那么就说/（X）在区间。

上是减函数.

①属于定义域/内某个区间上；

②任意两个自变量X],超且王＜工2；

③都有〃占）＜f（X2）或/（%1）＞/（X2）；

④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.

（2）单调性与单调区间

①单调区间的定义：如果函数“X）在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数“X）在区间。上具有

单调性，。称为函数“X）的单调区间.

②函数的单调性是函数在某个区间上的性质.

（3）复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增

（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函

数.

2、函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数“X）的定义域内任意一个X,都有/（-x）=/（x）,

偶函数关于y轴对称

那么函数/（X）就叫做偶函数

如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有/（-%）=-/（%）,

奇函数关于原点对称

那么函数/（X）就叫做奇函数

判断/（-X）与的关系时，也可以使用如下结论：如果/5）-/（》）=0或止2=1（/@）#0）,则函

/（x）

数/'（X）为偶函数；如果/（-x）+/（x）=0或=-1（/（x）h0）,则函数/（元）为奇函数.

/（X）

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个X,-X

也在定义域内(即定义域关于原点对称).

3、函数的对称性

(1)若函数y=/(x+a)为偶函数，则函数y=/(x)关于x=a对称.

(2)若函数y=/(x+a)为奇函数，则函数y=/(x)关于点(a,0)对称.

(3)若“X)=/(2a-x),则函数/(x)关于x=a对称.

(4)若/(x)+/(2a-x)=26,则函数/(x)关于点(a,6)对称.

4、函数的周期性

(1)周期函数：

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有/(x+7)=/(x),

那么就称函数y=为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函数/(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做/(%)的最小正周期.

【方法技巧与总结】

1、单调性技巧

(1)证明函数单调性的步骤

①取值：设X],X?是/(X)定义域内一个区间上的任意两个量，且王<马；

②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；

③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

④得出结论.

(2)函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调

区间.

(3)记住几条常用的结论：

①若"X)是增函数，则-/(x)为减函数；若/(x)是减函数，则-/(x)为增函数；

②若和g(x)均为增(或减)函数，则在“X)和g(x)的公共定义域上〃x)+g(x)为增(或减)函

数；

③若〃x)>0且为增函数，则函数77?可为增函数，一匚为减函数；

“X)

④若〃x)>0且为减函数，则函数/而为减函数，一—为增函数.

2、奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数/(%)是偶函数o函数/(x)的图象关于y轴对称；

函数/(x)是奇函数o函数/(x)的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数y=/(x)在x=0处有意义，则有/(0)=0；

偶函数y=/(x)必满足/(x)=/(|x|).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称

的两个区间上单调性相同.

(5)若函数“X)的定义域关于原点对称，则函数“X)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形

式.记g(x)=1［/(x)+/(-x)］，h(x)=/(-x)］，则/(x)=g(x)+h(x).

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得

的函数，如/0)+80),/(尤)一8(尤),/(初28(乃,/(无)+8(尤).

对于运算函数有如下结论：奇士奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇x(+)奇=偶；奇x(十)偶=奇；偶X(4-)偶=偶.

(7)复合函数y=/［g(x)］的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

(8)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数或函数f(x)=m(^~~-).

②函数/(刈=±3'-/).

③函数/(X)=log”叶巴=log“(1+3-)或函数/(x)=log”三竺=log“(1一-—)

x—mx-mx+mx+m

④函数/(x)=log”(&+1+x)或函数/(x)=log,(&+1-x).

注意：关于①式，可以写成函数/(x)=m+3-(xw0)或函数/(x)=m-2L(meR).

a-1a+1

偶函数：①函数/(刈=±3'+/).

②函数/(x)=log,(*+l)-午.

③函数/(|x|)类型的一切函数.

④常数函数

3,周期性技巧

函数式满足关系(xeR)周期

f(x+T)=f(x)T

/(x+n=-/«2T

f(x+T)=-^--,f(x+T)=--^-

2T

/(x)/(x)

fgT)=f(x-T)IT

/(x+T)=-/(x-r)4T

\f{a+x)=f{a-x)

2(b-a)

[f(b+x)=f(b-x)

\f^a+x)=f{a-x)

2a

[〃X)为偶函数

/(a+x)=_/("x)

2(b-Q)

{f(b+x)=-f(b-x)

f(a+x)=-f(a-x)

2a

1/(x)为奇函数

/(a+x)=/(a-x)

4(6-a)

f(b+x)=-f(b-^

J/(a+x)=/(a-x)

4a

[/(x)为奇函数

f(a+x)=-f(a-x)

4a

1〃x)为偶函数

4、函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数>=/(%)有两条对称轴x=a,x=b(a〈b),则函数/(%)是周期函数，且T=2(6-q)；

(2)若函数『=/(%)的图象有两个对称中心(a,c),(仇c)(a〈6),则函数歹=/(x)是周期函数,且

T=2(6—a)；

(3)若函数》=/(%)有一条对称轴x=a和一个对称中心3,0)(〃<6),则函数y=/(x)是周期函数，且

T=4(b—Q).

5、对称性技巧

(1)若函数y=/(x)关于直线x=〃对称，贝！J/(q+x)=/(q-x).

(2)若函数y=/(%)关于点(a,b)对称,则/(q+x)+/(a-x)=2b.

(3)函数>=/(4+%)与^=/(4-％)关于3/轴对称，函数y=/(。+工)与^=-/(。-％)关于原点对称.

【典型例题】

例1.(2024•北京顺义•高三统考期末)已知/(%)在(0,+8)上单调递减，且%>0,则下列结论中一定成立的

是()

A./(x0+l)>/(x0)B./(x0+l)</(x0)

C./(x0-l)>/(x0)D.一

【答案】B

【解析】由%>0得，x0+l>x0,结合/(x)在(0,+<»)上单调递减，

则必有/(%+1)</(与)，显然B正确，A错误，

而当无。€(0,1)时毛-1<0,不在定义域内，故无法比较，C,D错误.

故选：B

例2.(2024・全国•高三专题练习)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

A.y=x+\B.y=x|x|

C.y=—x3D.y=-L-

X

【答案】B

【解析】对于A选项，函数y=x+l为非奇非偶函数，且该函数在R上为增函数，A不满足要求；

对于B选项，设/■(xhxM，该函数的定义域为R,

f(-x)=-x\-x\=-x\c\=-f)),函数y=x|x|为奇函数,

(2r>0

因为/(无)=(X'2-c，所以函数/(无)在(-8,0]、[0,+00)上都是增函数，

[-X<0

所以，函数/(X)在R上为增函数，B满足要求；

对于C选项，函数了=-尤3为奇函数，且该函数在R上为减函数，C不满足要求；

对于D选项，函数y=g为奇函数，且该函数在其定义域(-8,0)U(0,+8)上不单调，D不满足要求.

故选：B.

例3.(2024・四川南充・统考模拟预测)函数/00=加储-尤+1在(-*+co)上是减函数的一个充分不必要条件

是()

A.m<0B.m<0C.m£lD.m<\

【答案】A

【解析】/(x)=如？—x+1在(_oo,+oo)上是减函数，只需要yr(x)=3mx2-1<0ipRi,

若加=0,则/(x)=-1<0,成立；

若加<0,则/'(%)=3/-1是二次函数，由二次函数的性质可得，加<0时/口)<0恒成立.

若加〉0,故不成立.

所以，当加时，/z(x)<0,而加<0是加工0的充分不必要条件.

故选：A.

—X+2ax^x<1

例4.(2024•陕西商洛・统考一模)已知函数/(%)=「、；1是定义在R上的增函数，则。的取值范

[(3—〃)x+2,x>l

围是()

A.[1,3)B.[U]C.[2,3)D.(0,3)

【答案】B

-x2+2ax,x<1,.,,…一，，

【解析】因为/(%)=、、c，是定乂在R上的增函数,

(3-〃)x+2,x〉l

-->1

-2

所以3-Q>0,解得1<(2<2.

—1+2。K3—a+2

故选：B

例5.(2024•黑龙江齐齐哈尔・高三统考期末)设函数/(x)=x|x|-2x,则/(x)()

A.是偶函数，且在(1,+")上单调递增B.是奇函数，且在(-1,1)上单调递减

C.是偶函数，且在(-0-1)上单调递增D.是奇函数，且在(-叫-1)上单调递减

【答案】B

【解析】因为函数〃x)=x|x|-2x的定义域为R,J!L/(-x)=-x|x|+2x=-(x||x|-2x)=-/(^)，

所以/(尤)是奇函数,X/(x)=x|x|-2x=作出函数/(x)图象如下图:

-x-2x

由图知，函数/'(X)在和(1,+e)上单调递增，在上单调递减.

故选：B

例6.(2024•北京西城•高三北师大实验中学校考阶段练习)已知定义在R上的奇函数/(X)满足：/(X)在

(0,+。)单调递增,/(2)=0,/(-1)="3)=1,则不等式-1</(》)<0的解集为()

A.(-l,0)U(2,3)B.(-3,-2)U(O,l)

C.(-2,-l)U(2,3)D.(-3,-2)U(1,2)

【答案】D

【解析】由函数/(x)是定义R上的奇函数，可得〃-1)=-7'(1)=1,/(-3)=-/(3)=-1

即〃1)=7且/■(一3)=-1,

又由〃2)=0,可得〃-2)=-42)=0,

因为x>0时，〃尤）单调递增函数且为奇函数，则x<0时，函数〃x）也是单调递增函数，

所以不等式-1<〃尤）<0,即为/⑴<〃x）</（2）或/（一3）</（耳</（一2）,

RT1<x<2—3<x<—2,

所以不等式T</（力<0的解集为（-3,-2）U（1,2）,

故选：D.

例7.（2024•全国•高三期末）已知函数片-炉一2x+3在区间［〃,2］上的最大值为蓝，贝此等于（）

3111-3

A--B.yc.--D.5或一5

【答案】C

【解析】由函数八工）=一%2-2工+3=-（无+1）2+4,对称轴的方程为尤=一1,

当aV-1时，则尤=-1时，函数“X）取得最大值4,不满足题意；

当-1<°W2时，可函数f（x）在区间［d2］上单调递减，

所以当x=a时，函数/（尤）取得最大值，最大值为〃。）=一/-2。+3=?,

13

解得"-彳或"-彳（舍去）.

22

故选：C.

例8.（2024・重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数/'（无）=?+cos尤-111卜+7177）在区间

［-5,5］的最大值是最小值是加，则/（河+以）的值等于（）

7171

A.0B.10C.—D.一

42

【答案】C

【解析】4-gW=COSx-In（x+Vl+x2j,贝!］/（尤）=£+g（x）,

♦\Ax）和g（x）在［-5,5］上单调性相同,

设g（x）在［-5,5］上有最大值g（x）max,有最小值g（x）而.

g（-X）=COS尤.1!1卜¥+J1+X2）,

g（x）+g（-x）=cosx/njjjl+x?+x）（jl+x2-十）］=0，

.•名任）在［-5,5］上为奇函数，，g（无）max+g（尤）min=0，

M=g（x）max+-,m=g（x）min+-,：.M+m=-,

+%)=/⑺=1

故选：c.

fx3+2x2r>0

例9.(2024•黑龙江齐齐哈尔・统考一模)已知f(x)=<32';为奇函数，则。=()

[x+ax,x<Q

A.-2B.2C.1D.-1

【答案】A

【解析】当x<0时，-x>0,所以/(》)=一〃一月=一[(-4+2(-4]=/一2/,

通过对比系数得a=-2.

故选：A

例10.(2024•陕西西安・高三统考期末)已知/(无)=log3(x+GT?)+a(aeR)是奇函数，贝|/(。+5)=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【解析】由函数/(-x)=log3卜x+4^3)+a,

因为/(X)是奇函数,所以/(-x)+/(x)=。,

2

即logs(-尤+Jx+9)+a+log3(x+Jx2+9)+4=0,

整理得2a+2=0,解得。=-1,

所以〃“+5)=/(4)=log3(4+V^7?)-l=l.

故选：B.

例11.(2024•陕西西安・统考一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足〃x)=〃x+2),则以下说法簿送的是

()

A.〃0)=0

B./(尤)是周期函数，且2是其一个周期

C./(2025)=1

D./(3)=/(4)+/(5)

【答案】C

【解析】选项A,因为/⑴是定义在R上的奇函数，所以〃-0)=/(0)=-/XO),即/'(0)=0,所以选项A

正确，

选项B,由/(x)=〃x+2),知/'(x)是周期函数，且2是其一个周期，所以选项B正确，

选项C,因为/(2025)=/(l+2xl012)=/⑴，又/'(-1)=/(-1+2)=/■⑴，/(-I)=-/0).得至V⑴=0,

所以选项C错误，

选项D,/(3)=/(I)=0,/(4)+/(5)=/(0)+/(I)=C,所以选项D正确，

故选：C.

例12.(2024•宁夏石嘴山•高三石嘴山市第三中学校考开学考试)已知函数y=/(x)对任意实数x都有

/@+2)+/(尤)=2/(1),且/(1一X)+/@-1)=0,则/(2023)=()

A.-2B.-1C.1D.0

【答案】D

【解析】由/(I-x)+/(x—1)=0,

令/则无=1T,可得/(r)+f(T)=0,即/(7)=-〃/),

所以/(-x)=-/(x),可得函数/(X)为奇函数，所以〃0)=0,

又由/(x+2)+/(x)=2/(l),

令x=-l,可得2/⑴=/⑴+/(-1)=0,即/(1)=0,

可得/(x)=-〃x+2),则〃x+2)=-/(x+4),所以/(x)=/(x+4),

可得函数/(x)是周期为4的周期函数，

则/(2023)=/(4x506-1)=/(-I)=一/⑴=0.

故选：D.

例13.(2024・陕西咸阳・咸阳市实验中学校考一模)函数y=/(x)为偶函数，且图象关于直线x=5对称,

"5)=4,则/■(一1)=.

【答案】4

【解析】由于函数了=/(力图象关于直线x=1对称，/(5)=4,

故/(一2)=/(5)=4,又尸为偶函数,故/⑵=/(-2)=4,

则〃T)=〃1)=〃2)=4,

故答案为：4

【过关测试】

一、单选题

1.(2024•河南•高三专题练习)已知/(x)=x2,则“再>%2>。”是"/(再)>/(%2)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为函数/(x)=/在(0,+8)上单调递增，若占>X2>0,则〃占)>/12)显然成立；

若/(再)>/(》2),则/>¥，则/腐相，不能得出%>々>0,

故“占“2，。”是寸氏下/卜产的充分不必要条件.

故选：A.

2.（2024・广东•高三学业考试）若函数>=（左-l）x+6在（-8，+8）上是增函数，则（）.

A.k>\B.k<\

C.k<—1D.k>-1

【答案】A

【解析】因为了=（"1）尤+。在（—，+叫上是增函数，

贝！|左一1>0,即左>1.

故选：A

3.（2024•北京•高三北京市第三十五中学校考期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（

A.y=x+lB.y=-C.y=xcosxD.y=x\x\

x

【答案】D

【解析】A选项，y=x+l,是R上的增函数，但不是奇函数，故A错误；

B选项，y=工，是奇函数，但不是增函数，故B错误；

X

C选项，y=/（x）=xcosx,xeR,

v/（-x）=-xcos（-x）=-xcosX=-/（•••y=xcosx是奇函数，

又/（0）=0,/（兀）二兀cos兀=一兀，/⑼>/（兀），

所以y=xcosx不是增函数，故C错误；

（X2Y>0

D选项，y=x\x\=\'一,画出其图像，

[-x,x<0

可得y=x|x|既是奇函数又是增函数.

Vx2-2x—3

4.（2024•全国•高三专题练习）函数〃月=][一的单调增区间为（）

A.(-℃,-1]B.(f1]

C.[l,+℃)D.[3,+co)

【答案】A

/［\A/X2-2X-3

【解析】因为/，则/-2x-320,解得xV-1或尤23,

所以/'（x）的定义域为（f,T］U［3,+s）,

又开口向上，对称轴为x=l,>=〃在［0,+s）上单调递增，

所以y=正-2x-3在上单调递减，在［3,+8）上单调递增，

因为在R上单调递减，

z［\Vx2—2x—3

所以/（》）=；在（-叫-1］上单调递增，在［3,+8）上单调递减，

z-\VX2-2X-3

即/（x）=g1的单调增区间为（f-1］.

故选：A.

5.（2024・全国•高三专题练习）函数/（X）=（；『23T的单调递增区间是（）

A.（-oo,l）B.（-oo9-2）C.（4,+oo）D.（1,+8）

【答案】A

【解析】函数“外=（5/3-8的定义域为R,函数〃=/一2》-8在（-巩1）上单调递减，在（1,+⑹单调递增，

而函数y=在R上单调递减，因此函数/（X）在（-8,1）上单调递增，在（1,+8）单调递减，

所以函数“X）=（；）*2-8的单调递增区间是（_叱1）.

故选：A

6.（2024•陕西宝鸡•校联考模拟预测）若函数/（x）是定义在R上的偶函数，在（-8,0］上是减函数，且/（3）=0,

则使得1（无）<0的x的取值范围是（）

A.B.（3,+oo）

C.（-3,3）D.-3）U（3,+co）

【答案】C

【解析】因为函数/（x）是定义在R上的偶函数，在（-8,0］上是减函数，

则函数/（X）在［0,+8）上为增函数，

因为〃3)=。由为，<0可得〃附<〃3),则国<3,解得一3<x<3,

因此，满足了")<。的》的取值范围是(-3,3).

故选：C.

7.(2024•辽宁朝阳•高三校联考阶段练习)函数/(x)在(-叫位)上单调递减，且为奇函数.若/(1)=-2,则

满足-2V〃l-x)V2的x的取值范围是()

A.[0,2]B.[-2,0]C.[1,3]D.[-1,1]

【答案】A

【解析】由"x)为奇函数,得/(-1)=-/(1)=2,

所以不等式-2V〃l-x)W2等价于

又因为/⑺在(-叫+8)上单调递减，

所以121—xN—1,BP0<x<2,

故选：A

8.(2024•全国•模拟预测)若函数/(x)为偶函数，且当x20时，/(X)^X3+2X2+3.若-2a+l),

则实数。的取值范围为()

A.[-273,4]B.[-4,2]C.[-2,4]D.[-4,273]

【答案】C

【解析】因为当xNO时，f(x)=x3+2x2+3,则/''(0=3%2+4》=》(3》+4)20,

所以/(x)在[。,+8)上单调递增，

又“X)为偶函数，/(-9)>/(a2-2a+l),所以〃卜9|)+,

则,2-2q+l|w9,BP-9<a2-2a+1<9>解得-24a44.

故选：c.

9.(2024•江苏徐州•高三统考学业考试)已知函数/(x)为偶函数，且在(-8,0]上单调递增，/(-1)=0,则

不等式/(2x+l)<0的解集为()

A.(-℃,-1)B.(0,+(»)

C.(-1,0)D.(-oo,-l)u(0,+oo)

【答案】D

【解析】因为/(X)是偶函数，且"-1)=0,/(2x+l)<0,

所以“2尤+1)<〃1),

又“X)在(0,+e)上单调递减，

所以|2x+l|>l,即2尤+1>1或2尤+1<-1

解得x>0,或x<-l

故选：D

10.(2024•全国高三专题练习)已知函数人”为R上的减函数，则满足/(忖)</(1)的实数x的取值范围

是()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-l,o)u(o,l)D.

【答案】D

【解析】因为/'(X)为R上的减函数，且*

所以W>1,解得尤<-1或X>1,

故选：D.

11.(2024•江苏南通•高三江苏省如东高级中学校考期末)已知函数/(x)=Jx(x-a)在(0,1)内单调递增,则

实数。的取值范围是()

A.a>2B.a>0C.a<2D.a<0

【答案】D

【解析】依题意，Vxe(0,l),x(x-a)W0恒成立,即Vxe(0,l),aWx恒成立，则aVO,

函数J(x)=Jx(x-a)有意义,则x(x-a”0,解得或x20,

显然函数了=x(x-a)在[0,+功上单调递增，因此函数="(i)在[0,+刈上单调递增，

从而函数/(x)=R一幻在(°/)上单调递增，

所以实数。的取值范围是

故选：D

12.(2024•黑龙江哈尔滨・高三哈尔滨三中校考期末)已知/(x)为奇函数，g("为偶函数，且满足

/(x)+g(x)=e，+无，则g(x)=()

,ex-e~x「e*+e~xCe*-e-x-2x-e*-e~x+2x

A.-----B.-----C.----------D.----------

2222

【答案】B

【解析】由题意知，“X)为奇函数，g(x)为偶函数，

贝/(f)=一/0),g(f)=g(x),

,

fxi、J/(x)+g(x)=e*+x[f{x)+g{x)=e+x

17(-x)+g(-x)=eT-x[-/(x)+g(x)=eT-x

X.-x

解得g(x)=T^-

故选：B

13.(2024•内蒙古呼和浩特•高三统考期末)已知函数/(》)=—二，若〃2a-l)+/(a)<0,则实数。的

取值范围为()

【答案】C

【解析】因为/(x)=W;的定义域为R,且/(_月=工7=-/3,所以函数“X)为奇函数；

由随着x的增大，3工越来越大，3T越来越小，所以3，-3f越来越大，

所以函数/(x)在R上单调递增.

/(2«-1)+/⑷<0=>/(2a-l)<-/(a)=>/(2a-l)</(-a)=>2fl-l<-a=>a<^-.

故选：C

14.(2024•广东茂名•统考一模)函数y=/(x)和产/(x-2)均为R上的奇函数,若/⑴=2,则“2023)=

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】A

【解析】因为了=/(尤-2)为奇函数，所以y=〃x)关于(-2,0)对称,即〃-尤)+〃》-4)=0,

又了=〃x)关于原点对称，则〃-x)=-/(x),有/(x)=/(x-4)n/(x+4)=/(x),

所以了=〃x)的周期为4,故/(2023)=/(-1+2024)=/(-1)=-/⑴=-2.

故选：A

15.(2024•山西•高三统考阶段练习)已知函数以尤户工必通+时必力+尤”在区间卜畋㈣上的最

大值为V,最小值为N,则M+N=()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】A

【解析】设8(力=尤一2$加+111(7?~71+》)，

因为g(-&)=-x+2sinx+In(J无2+1-x)=-x+2sinx-In(Jx，+1+x)=-g(x),

所以函数g(x)为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，

因为函数/(X)的图象相当于函数g(x)的图象向下平移两个单位，

所以可得函数/(X)的图象关于点(0,-2)对称，

由对称性可知M+N=-4.

故选：A.

16.(2024・全国•模拟预测)己知函数/⑴的定义域为R,〃f)==-/(x)若/(，=!，则

)

C.屿16

D.

55

【答案】A

【解析】由/(1—X)=—/(%),用1+%代X,得/(—%)=—/(1+月),

又/(T)=/(%)，所以/(I+%)=—/('),得/(X+2)­)="(、),

故/(%)的周期为2,

11

5

故选:A.

17.(2024•全国•高三校联考阶段练习)己知函数/'(x)为R上的奇函数,/(x)=/(-x+2),且/⑴=一4,

贝IJ/(2023)+/(2024)=()

A.4B.-4C.0D.-2

【答案】A

【解析】由函数〃尤)为R上的奇函数，得/(f)=-/(x)且/(0)=0,

由/⑴=-4,得/(-1)=4,又/(x)=/(r+2),得/(一x)=/(x+2),

得/(x+2)=-/(x),故〃尤+4)=-/(x+2)=/(x),所以〃x)的一个周期为4,

则/(2023)+〃2024)=/(-1)+/(0)=4,A正确.

故选：A.

18.(202牛陕西西安・统考一模)已知/(尤)是区上的奇函数，且/(尤+2)=-/(同，当》目0,1］时，/3=%2+2%,

则/(2023)=()

A.3B.-3C.255D.-255

【答案】B

【解析】由题意可知:/(尤+2)=-/■(无)=/(r)=>/(x+4)=-/(x+2)=/(x),即4为l(x)的一个周期,

所以/(2023)=/(506x4-1)=/(-1)=-人［=7

故选：B

19.(2024・四川泸州•高三四川省泸县第一中学校考期末)已知定义在R上的函数/(力，满足

/(T)+/(X)=2,/(1-X)=/(1+X),若/出=|,则/(2)+/图=()

【答案】D

【解析】由/(-x)+/(x)=2,知函数/*)关于点(0,1)对称，

由尸(1-X)=H1+X),知函数/(X)关于直线x=l对称，

所以函数〃x)的周期为4x|l-0|=4.

乂尺)=|，所以"Ji一段J,/(I.小+升小一J/]；)3

=2,

所以/■畀小-1.4-Ik一

又/(0)=1,所以/⑵=/(1-(一1))=4+(-1))=/(0)1,

所以/(2)+/[£|=1+3=2

故选：D

20.(2024・四川成都・高三校联考阶段练习)已知函数/(无)的定义域为RJ(x+1)为偶函数，〃4-x)=/(x),

则()

A.函数/(无)为偶函数B.*3)=0

D./(2023)=0

【答案】A

【解析】已知函数/("的定义域为R,/'(X+1)为偶函数，则〃x+l)=/(-x+l),

函数图像关于直线X=1对称，有/(力=/(2一句,

又/(4-尤)=/(x),则/(1)=/(2-力,

令2-尤=/,有/(2+。=/⑺，所以函数周期为2.

/(x)=/(2-x)=/(-x),函数为偶函数，A选项正确；

,选项错误；

已知中没有可以求函数值的条件，BD选项错误；

故选：A

21.(2024・山东・高三山东省实验中学校考阶段练习)已知函数/(无)为I4上的奇函数，/(1+x)为偶函数,

则()

A./(-2-x)+/(x)=0B./(-x)=/(l+x)

C./(x+2)=/(x-2)D./(2023)=0

【答案】C

【解析】对于A中,函数/(1+X)为偶函数，则有〃1+无)=/(1-无)，可得〃2+x)=/(-x),

又由/(尤)为奇函数,贝!］/(一2—耳=-/(2+x)J(』)=-/1),

则有/(一2-尤)=-〃-x),所以x)=—/(x),即/(一2-x)=/p),所以A错误；

对于B中，函数〃l+x)为偶函数，则有/(l+x)=/(l-x),所以B不正确；

对于C中，由/(2+X)¥(T)=-/(X),则/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以f(x)是周期为4的周期函数，所以/(x+2)=/(x-2),所以C正确；

对于D中，由/⑴是周期为4的周期函数，可得〃2023)=/(T+506X4)=/(-1)=-/⑴，其中结果不一

定为0,所以D错误.

故选：C.

二、多选题

22.(2024•新疆乌鲁木齐高三乌市八中校考阶段练习)若函数y=f-办-3,xe［-3,2］的最小值为-8,贝壮

的值为()

14

A.-~—B.—2V5r

9

C.2Vr5D.-

【答案】BD

【解析】函数y=Y-⑪一3=(工一券：一3开口向上，对称轴为x=£,

2

若一3V5V2,即一6VaV4时了皿加=—3-(=-8，解得a=-2”或a=2石(舍去)，

若1>2,即a>4时，函数在卜3,2］上单调递减，所以了皿=22-2a-3=-8,解得。=|,

若彳<-3,即°<-6时，函数在卜3,2］上单调递增，所以稣^=(-3)2+3°-3=-8,解得°=一斗(舍去)，

综上可得a=-2后或a=g.

故选：BD

23.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(X)的定义域为R,对任意实数x,V满足：

/(x-v)=/(x)-/(y)+l.且/'(1)=0,当x>0时，/(x)<l.则下列选项正确的是()

A./(0)=1B.〃2)=-2

C.为奇函数D./(X)为R上的减函数

【答案】ACD

【解析】对于A,由题可知〃0)=/(0)-/(0)+1,故"0)=1,故A正确；

对于B,由题可知/(-1)=/(0)-〃1)+1=2,/(2)=/(1)-/(-1)+1=-1,故B错误；

对于C,/(07)=〃0)-〃勾+1=2-八@,故〃=一1],/(耳一1为奇函数，故C正确;

对于D,当玉>马时，/(x1)-/(x2)=/(x1-x2)-1<0,

>x2,Xj-x2>0,..-x2)-1<0

•・J(x)是R上的减函数，故D正确.

故选：ACD

24.(2024•山西朔州・高三怀仁市第一中学校校考期末)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，

/■(x+2)=-〃x),则下列说法正确的是()

A./(X)的最小正周期为4B./(x)的图象关于直线x=l对称

C./(尤)的图象关于点(2,0)对称D.7(无)在(-5,5)内至少有5个零点

【答案】BCD

【解析】对于A,因为/(x)是定义在R上的奇函数，且/(x+2)=-/(x),

所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

即J(x+4)=/(x),所以/(x)的周期为4,

但「(X)的最小正周期不一定为4,

3兀

如/(x)=sin,满足/(x)为奇函数,

且/(x+2)=sin3(%+2)=sin(型x+3兀3兀

=-sinx一f(x),

2

而"x)=sin,x]的最小正周期为g,故A错误;

对于B,因为/(力为奇函数,且/(尤+2)=-/(尤),

所以/(x+2)=/(-x),即/'(X)的图象关于直线x=l对称，故B正确;

对于C由/卜+4)=/(尤),及/(x)为奇函数可知〃x+4)+/(r)=0,

即/(X)的图象关于点(2,0)对称，故C正确；

对于D,因为/⑺是定义在R上的奇函数，所以"0)=0,

又〃尤+2)=-/(句,〃x+4)=/(x),所以42)=-/(0)=0,/(4)=/(0)=0,

故2)=-〃2)=0,/(-4)=-/(片0,

所以在(-5,5)内至少有一4,-2,0,2,4这5个零点，故D正确.

故选：BCD.

25.(2024・海南•校联考模拟预测)已知函数/(x)的定义域为R,且/(x+2)为奇函数，/(2x+l)为偶函数,

则()

A.函数〃尤)的图象关于点(2,1)对称B.函数“X)的图象关于直线尤=1对称

C./(1)+/(7)=0D./(1)+/(2)+/(3)+-+/(2024)=0

【答案】BCD

【解析】对于A中，由/(x+2)为奇函数得〃一尤+2)+/卜+2)=0,

因此/