2025年中考数学二轮复习：二次函数的面积问题 压轴练习题（含答案）

2025年中考数学二轮复习：二次函数的面积问题压轴练习题

一'选择题

1.已知点M是抛物线y=/一2znx+巾？+小一1(m为常数)的顶点，直线y=久+3与坐标轴分别交

于4B两点，则AABM的面积为()

A.6A/2B.6C.4D.3A/2

2.如图，抛物线Li：y=a2+b久+c(aHO)与x轴只有一个公共点4(2,0),与y轴交于点B(0,4),虚线为

其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线L，则图中两个阴影部分的面积和为()

3.已知等腰直角△ABC的斜边=4e，正方形OEFG的边长为遮，把△和正方形。EFG如图放

置，点B与点E重合，边与EF在同一条直线上，将AZBC沿ZB方向以每秒四个单位的速度匀速平行移

动，当点4与点E重合时停止移动.在移动过程中，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积S与移动时间

t(s)的函数图象大致是()

4.如图，已知A(1,1),B(3,9)是抛物线y=/上的两点，在y轴上有一动点P,当△PAB的周长

最小时，则此时△PAB的面积为

5.如图，在平面直角坐标系中，已知点4(8,0),点B(0,6),点C为线段4B中点，点O为线段OA上一动

点，将线段CD绕点C顺时针旋转90。得到线段CE,连接OE,则△OED面积的最大值为.

6.已知抛物线y=/+力久一3(b是常数)经过点4(2,-3).

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点A关于抛物线的对称轴的对称点为才，求抛物线顶点P与点A、才所围成的三角形的面积.

7.如图，二次函数y=/+b久+c的图象与x轴交于4(—1,0),B(3,0)两点，顶点为D.

(1)求此二次函数的解析式.

(2)求的面积.

8.如图，已知抛物线y=a/+b%+c与x轴的一个交点为2(3,。)，与y轴的交点为3(0,3),其顶点为

(1)求抛物线的解析式;

(2)判断△ABC的形状;

(3)已知点M为线段ZB上方抛物线上的一个动点，请写出AABM面积关系式，并求出当A/BM面积

最大时点M的坐标.

9.已知二次函数、=久2+"+«£170)的图象与久轴的交于4、B(l,0)两点，与y轴交于点C(0,—3).

(1)求二次函数的表达式及/点坐标；

(2)O是二次函数图象上位于第三象限内的点，求△4CD面积的最大值及此时点。的坐标;

(3)M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N.使以“、N、B、。为顶点的

四边形是平行四边形？若有，请求出点N的坐标.

10.如图，抛物线y=以％-1)(久—3)与x轴交于A,B两点，与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D.

（1）写出C,D两点的坐标（用含a的式子表示）；

（2）设SABCD：SMBD=卜，求k的值；

（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式.

11.如图，抛物线y=a/+b£+c（a。0）与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.AC^V10,OB=

（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P,使APCB的面积最大，求出点P的坐标；

（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q,使点P,B,M,Q为顶

点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

12.已知抛物线y=a/+故+c（a力0）经过点M（-2给和NQ-■!）两点，且抛物线与x轴交于A、B

两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.

备用图

（1）若点M是抛物线、=a/+b久+c的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标；

（2）在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形4PCN面积的最大值及此时点P

的坐标;

(3)若B(m,O),且求a的取值范围.

13.在四边形ABCD中，AD=BC=1,AB=CD=2,BD=而.点E为线段BD上一动点(不与点B,

D重合)，连结AE,过E作CE的垂线交边AB于点F.

(1)求证：四边形ABCD是矩形.

(2)设DE=x,求△AEF的面积S关于x的函数表达式.

(3)在点E运动过程，当△AEF的某一个内角等于NBDC时，求所有满足条件的AF的长.

14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-l,0),B(3,0),与y轴交于点

C,作直线BC,点P是抛物线在第四象限上一个动点(点P不与点B,C重合)，连结PB,PC,以PB,PC为边

作口CPBD,点P的横坐标为m.

(1)求抛物线对应的函数表达式；

(2)当口CPBD有两个顶点在x轴上时，则点P的坐标为；

(3)当口CPBD是菱形时，求m的值.

(4)当m为何值时，口CPBD的面积有最大值？

15.“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离.现在我们定义一种新的距离：已知P

(a,b),Q(c,d)是平面直角坐标系内的两点，我们将|a-c|+|b-d|称作P,Q间的“L型距离”，记作L

(P,Q),即L(P,Q)=|a-c|+|b-d|.已知二次函数yi的图像经过平面直角坐标系内的A,B,C三点，

其中A,B两点的坐标为A(-1,0),B(0,3),点C在直线x=2上运动，且满足L(B,C)<BC.

(2)求抛物线yi的表达式；

(3)已知y2=2tx+l是该坐标系内的一个一次函数.

①若D,E是y2=2tx+l图像上的两个动点，且DE=5,求ACDE面积的最大值;

②当t<x<t+3时，若函数y=yi+y2的最大值与最小值之和为8,求实数t的值.

(补充两点间距离公式：平面直角坐标中两点A(xi.yi),B(X2,y2),则

AB=J(久]—肛)2+(y]一丫2])

答案解析部分

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】6

5.【答案】普

6.【答案】(1)解：：抛物线y=X2+b久—3(b是常数)经过点4(2,—3)

-3=2^+2/?—3,

解得：b=-2,

二抛物线的表达式为y=%2-2%-3；

故答案为：y-x2-2x-3.

(2)解：抛物线y=%2—2%—3=(%—I)2—4,

••・抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标P(l,-4),

♦.•点A关于抛物线的对称轴的对称点为4(2,-3)

.,.AA'=2,AAA'P的高为1,如图所示：

>

X

1

*t,LAA'P=]X2xl=l,

・•・点P与点A、/所围成的三角形的面积为1,

故答案为：1.

7.【答案】(1)解：•・,二次函数y=/+.+c的图象与％轴交于力(一1,0),B(3,0)两点,

.・.y=(%+1)(%—3)=%2—2%—3,

・•・二次函数的解析式为y=x2-2x-3.

故答案为：y=%2-2%-3；

(2)解：vy=%2—2%—3=(%—l)2—4,

.••点O的坐标为(1,-4),

•••点。到4B的距离为4,

•••X(-l,0),B(3,0),

・•・AB—4,

1

SAABD=]X4X4=8.

故答案为：8.

8.【答案】(1)解：：抛物线y=。/+5%+。与*轴的一个交点为2(3,0),对称轴为直线久=1.

...与x轴的另外一个交点为(-1,0)

可设y=a(久+1)(%—3).

:与y轴的交点为B(0,3),

；.3=(-3)a,

解得：a=-L

二抛物线的解析式为y=-(％+1)(%-3)=—X2+2%+3.

(2)解：Vy=—久2+2%+3,

当x=l时，y=-l+2+3=4,

顶点C(l,4),

*(3,0),8(0,3),

'-AB=3®AC=J(3—1产+(0—4(=2V5.BC=&，

'：BC2+AB2=2+18=20,AC2=20

-,-BC2+AB2=AC2,

：.AABC=90°,

...△ABC是直角三角形.

(3)解：•；过点A(3,0),B(0,3),

线段AB所在直线的解析式为：y=-x+3,(0<x<3).

将直线AB向上平移a个单位，使经过点M,则y=-x+3+a,

记平移后的直线为MD,点D为平移后的直线与x轴的交点，故D(3+a,0),

过点A作AELMD于点E,如图：

.OB_AE

••诋=而

VOA=OB=3,AB=y/OA2+OB2=3A/2,AD=a

.3_AE

"372一~a'

.•.AE=当

2曲=；xZBx4E=；x3或x学=当，

联立y=—%+3+。和y=—x2+2%+3得%2-3%+a=0,

△=b2-4ac=9—4a>0

,,9

・・。〈不

._3a.39_27

••c^ABM=~2—2x4="g-'

即当a=5时，A/BM面积的最大值为年.

QO

此时/—3%+彳=o,%=-.

4Z

故点M坐标(I，竽).

9.【答案】(1)解：把B(l,0),C(0,—3)代入y=/+bx+c得,

Cl+b+c=0

Ic=—3，

解得｛,1I，

I.二次函数的表达式为y=x2+2x-3,

当y=0时，/+2%-3=o,

解得％1=Lx2=-3

...4(—3,0)；

(2)解：连接CD,

II

-6-5-4-

序C

-5-

—6-

设直线4。的表达式为y=上比+九，把4(一3,0)、C(0,—3)代入得,

CO=-3k+n

(—3=n'

解得卜=一[,

(71=—3

工直线ZC的表达式为y=—x—3,

过点。作％轴的垂线，交4c于点G,

则S4/CD=S△力国+S^CDG=qDG•OA=]DGx3=/G,

・•・当。G取最大值时，△ACD的面积最大，

^D(m,m2+2m—3),则G(m,一6—3),

・・•点。位于第三象限，

3<m<0,DG=-m—3—(m2+2m—3)=—m2—3m,

,•S.CD—|(-m2_3m)=~|(m+1)+等

・••当m=—掾时，△力CD的面积最大，最大值为尊，

Zo

此时，点。的坐标为(弓-均

(3)解：:BQ。)，

：.0B=1,

由y=/+2%—3得，抛物线的对称轴为直线久=-1,

•••以M、N、B、。为顶点的四边形是平行四边形，

①当0B为平行四边形的边时，MN=0B=1,

设点N的横坐标为3

,:MN||%轴，

AIt-(-1)1=1，

解得t=0或t=-2,

•.•点N在抛物线上，

.•.点N的坐标为(一2,-3)或(0,-3)；

②当。B为平行四边形的对角线时，

则与£=2+1,

解得t=2,

.♦.点N的坐标为(2,5)；

综上，点%的坐标为(一2,-3)或(0,—3)或(2,5).

10.【答案】(1)解：令x=0,y=3a,，C(0,3a).

"."y=a[x—1)(%—3)=a(x—2)2—a,

£)(2,—CL)；

(2)解：令y=0,有矶%—1)(%—3)=0,

解得：x=l或x=3,

・••力(1,0),8(3,0),

：.AB=3-1=2,

♦・SAABD=2x2xa=a.

设直线CD交x轴于点E,如图所示，

设直线CD解析式为y=tx+b,

把C、D的坐标代入可得

(b=3a

12t+b=­a

二・直线CD解析式为y=-2ax+3a,

令y=0可解得：x=I，

ABE=3-|=|,

.13

•'S^BCD=S^BEC+SRBED=2x2x(3a+a)=3a,

:♦SZBCD：SAABD—(3a):a=3,

k=3；

(3)解：VZBCD<ZBCO<90°,

△BCD为直角三角形时，只能有NCBD=90。或NCDB=90。两种情况.

VB(3,0),C(0,3a),D(2,—a),：.BC2=32+(3a)2=9+9a2,CD2=22+(-a-3a)2=4+16a2,

BD2=(3—2)2+a2=l+a2.

①当NCBD=90。时，则有Be?+BD2=CD2,

2

即9+9。2+1+。2=4+16a,

解得：a=-1(舍去)或a=l,

此时抛物线解析式为y=X2-4X+3；

②当/CDB=90。时，贝I有CD?+BD2=BC2,

即4+16a2+1+a2=9+9a2,

解得：a=_孝(舍去)或2=孝，

此时抛物线解析式为y=孝久2—2&X+学；

综上可知：当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=%2—4无+3或、=孝久2_271%+孚.

11.【答案】(1)解：'：OB=OC=30A,AC=V10.AC2=OA2+OC2,

**•(V10)2=OA2+(304)2,

：.OA=1(负值舍去)，

：.OB=OC=3OX=3,

.,.71(1,0),B(—3,0),C(0,3),

设抛物线解析式为y=a(久+3)(久—1),将C(0,3)代入，得:-3a=3,

解得：a=—1,

...抛物线解析式为y=-(%+3)(久-1)=-x2-2%+3；

故答案为：y=-x2-2x+3.

(2)解：过点P作PK||y轴交于点K,如图1所示：

图1

设直线BC解析式为y=/cc+n,将B(—3,0),C(0,3)代入,

得(—3k+=0

''I71=3

解得：卜

1九二3

・,・直线3c解析式为y=x+3,

设P(t,一「2—2t+3),则K(t,t+3),

PK=—严—2t+3—(t+3)=一/—33

S&PBC=SAPBK+S&PCK

11

^PK-(t+3)+^PK-(0-t)

乙乙

3

=^PK

=^(―t2—3t),

t+l)+系

3

一1<°'

.•.当t=—|时，APCB的面积最大，此时点P的坐标为竽)；

故答案为:OS

(3)解：存在.分两种情况：点Q在左轴上方或点Q在无轴下方.①当点Q在无轴上方时，如图所示:

；.P与Q纵坐标相等，

-/—2%+3=

4

解得：%1=-%2=—4（舍去）,

，Q1（T'竽）’

②当点Q在％轴下方时，如图所示:

:.PQ、BM的中点坐标相同,即它们的中点的纵坐标为0,

与Q纵坐标互为相反数,

2QQ_15

:.-x-2%+3=—

解得：勺=一个，肛=乎，

・“卜孚，-苧）或Q3（731-2

2

综上所述，Q点的坐标为（T，竽）或（-V31+2

2

故答案为:

12.【答案】（1）解：•点M是抛物线、=。£2+.+。的顶点,

，可设抛物线解析式为y=a(x+2尸+小

\,抛物线过点可卜,一分，

7Q

••—2=a(2+2)2+—

解得：a=­B,

・，・抛物线的解析式为y=—}(%+27+3—2%+擀，

当y=0时，一#-2%+尚=0,

解得％=-5或1,

・・・4(-5,0),8(1,0),

当％=0时，y=趣，

(2)解:设p(t,—?2—2t+3设直线4：的解析式为y=kx+|，

把2(-5,0)代入得：0=-5fc+|，

解得k=寺,

直线AC的解析式为y=Jx+|,

过P点作PG||y轴交4c于点G,如图所示：

-'-PG=_尹2_21+|_/一拼=_/2_/，

-_1/1,25八^匚_5a,5、2125

fpc4c=2卜尹一＞户5=-4《+引+正，

当t=—|时，APAC的面积有最大值要，此时P(—|,笄),

设直线CN的解析式为y=k'x+|.

••一—2k，+擀，

解得k'=—3，

二直线CN的解析式为y=-3久+|，

二直线CN与x轴的交点为(|,0),

，SAACN=猥+5)X&+|)=竽，

...四边形APCN面积的最大值为婆+苧=鎏；

16z16

(3)解：将M(-2,?)和NQ-3两点代入丫=a%2++c,

(,9

4a—2b+c=2

,,),7'

4a+2b+c=­Q-

fb=—2

解得1，

(c=2_A4a

.1

•«y—CLX7—2x+2—4a,

当171=1时，CL—2+义—4a=0,解得：a=-

当m=3时，9a-6+：-4a=0,解得。=条，

13.【答案】(1)\<AD=BC,AB=CD,

二四边形ABCD是平行四边形，

VAD=1,AB=2,BD=V5.

AAD2+AB2=BD2,

Z.ZDAB=90°,

四边形ABCD是矩形；

(2)过点E作EJ,AB于点J,交CD于点

DKC

：四边形ABCD是矩形,

I.NDAJ=NADK=NAJK=90。，

・•・四边形ADKJ是矩形，

・・・AJ=DK,AD=JK,AD〃JK〃BC,

.DE_EK_DK

.x_EK_DK

••西=T=h，

・・・EK=浮，DK=2Vfx,

・・・EJ=JK=EK=l_2^x,

VEF±EC,

JNEJF=NFEC=NEKC=90。，

・・.NJEF+NCEK=90。，NCEK+NECK=90。,

・・・NJEF=NECK,

.*.△EJF^ACKE,

­旦一上

"CK~EK9

•1-&_JF

'-等'争‘

；.AF=AJ+JF=竽x+奈=誓x,

.•.S=/AF.EJ」x延xx(1_裳)=-A23V5(0<X<V5);

Z2105ZUX+20X

(3)当NEAF=NCDB时，VAB^CD,，NCDB=NABD,

・・・NEAB=NEBA,

・・・EA=EB,

VZDAE+ZEAB=90°,NADE+NABE=90。，

・・・NDAE=NADE,

・・・AE=DE,

・・・DE=EB=2^,

2

・・x：

2

.,.AF=^X—=--

1024

当/AEF=NBDC=/ABE时，

：NEAF=NEAB,

；.△EAF^ABAE,

；.AE2=AF・AB,

(1_丛)2+(纱x)2=亚I(2,

5510

解得x=婴1,

._3VsV5±l_15±3A/5

"A=F而X-^2~=—20-'

综上所述，AF的长为梳或至黑1

420

14.【答案】(1)解：•.,抛物线y=X?+bx+c与x轴交于点A(-l,0),B(3,0),

抛物线的解析式为y=(x+l)(x-3),

即y=x2—2x—3；

(2)(2,-3)

(3)解：•••抛物线的解析式为y=x2-2x-3,点P的横坐标为m.

二P(m,in?—2m—3),

「口CPBD是菱形，

PB=PC,

.1■m2+(m2-2m-3+3)2=(3-m)2+(m2-2m-3)2,

整理得m2—m—3=0,解得m=1士严，

•・•点P是抛物线在第四象限上一个动点，

・•・m>0,

m的值为1+尸;

(4)解：过P作PE〃y轴交直线BC于点E,如图，

把B、C坐标代入得:

0=3k+b

-3=b

解得：｛b「13.

・•・y=x-3,

设P(m,m?—2m—3),则E(m,m—3),

・•・PE=—m2+3m,

17

•••SAPBC=2x3(-mN+3m)，

327

,,1S平行四边形CPBD=2S&PBC=-3m2+9m=-3(m-^)2+彳,

・•・当m=|时，四边形CPBD的面积有最大值.

15.【答案】(1)解：由题意得:

•••4(-1,0),5(0,3),

・•・L(AB)=|-1-0|+|0-3|=1+3=4;

(2),•,点C在直线％=2上运动,

.•・设点C(2,m),且B(0,3)

由平面上两点间距离，利用勾股定理得:

22

BC=(2—0)+(3—m)2=4+(3_m)2

•••L(B,C)=|0-2|+|3-m|=2+|3-m|

L2(B,C)=(2+|3—m|)2=22+4|3-m|+(3-m)2

•••0<L(B,C)<BC

L2(B,C)<BC2

即22+4|3—m|+(3—zu)?<4+(3—m)2

・,・4|3-m\<0,

又•・,|3—20