2025年上海高考数学二轮复习热点题型专练：函数（九大题型）（解析版）

热点题型•解答题攻略

专题02函数(九大题型)

*>----------题型归纳•定方向------------«

题型01证明函数的单调性、奇偶性...............................................................1

题型02函数的值域、最值问题...................................................................4

题型03函数中的解不等式、比较大小问题........................................................8

题型04恒成立问题............................................................................12

题型05有解问题..............................................................................22

题型06零点、实数根等问题....................................................................23

题型07函数与数列............................................................................28

题型08函数的其他应用........................................................................29

题型09函数的实际应用........................................................................31

*>----------题型探析•明规律-----------*

【解题规律•提分快招】

i「确兔而霹赢桂的血神万基

(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法.

2、判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件

(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.

(2)判断次x)与八一x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式

优T)+4一X)=0(奇函数)或加)一/(—X)=0(偶函数))是否成立.

3、利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量.

4、求解与指数、对数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问

题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

5、求解函数零点个数的基本方法

(1)直接法：令f(x)=0,方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；

(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；

(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.

面函-oF定明函薮的单画画「寄福医

【典例1-1】.(2024•上海•三模)已知〃目=差(，函数y=/(x)是定义在(-2,2)上的奇函数，且

⑴求“X)的解析式；

⑵判断y=/(x)的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.

【答案】(1)/(X)=U7(-2<X<2)

(2)/(x)在区间(-2,2)上为严格增函数，证明见解析

【分析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得/(。)=0,求出6的值，结合函数的解析式求出。的值，计算

可得答案；

(2)根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案.

【解析】(1)根据题意，/(x)=产是定义在(-2,2)上的奇函数，

4-x

则有/(0)===0,解得6=0,

4

又由/(1)=三=；，解得。=1，

所以/(刈=/】，"X)定义域为(-2,2),

4-x

且/0=百$=曰=-/3,所以仆)=占(-2。<2)；

(2)“X)在区间(-2,2)上为严格增函数.

证明如下：设任意一2<%<迎<2,则/(再)-/®)=±二1,

由一2<玉</<2,得一4<xxx2<4,

即4+玉％2>°，再一工2<°，(4一％；)(4—只)>0,

所以/(占)一即/(芭)</(々)，

故“X)在区间(-2,2)上为严格增函数.

【变式1-D.(23-24高三上•上海杨浦•期中)已知。为实数，设/3=/+卜_小

(1)若a=l,求函数y=/(x),xwR的最小值；

⑵判断函数>="x),xwR的奇偶性，并说明理由.

【答案】⑴】3

4

⑵当。=0时/(x)为偶函数，当a♦0时/(X)为非奇非偶函数.

【分析】(1)首先得到了(x)的解析式，将其写成分段函数，再分段利用函数的单调性分别求出函数的最小

值，即可得解；

(2)分别判断了=》2、夕=归-。|的奇偶性，即可得解.

【解析】(1)当"1时/(*)=，+忖-1|=］：+":

当X21时/3=尤2+》-1,函数在［1,+向上单调递增，则〃尤)血n=〃l)=l,

当x<l时/(x)=--x+l,函数在1一8,；上单调递减，在H上单调递增,

所以/(Hmm=/］；)=:,

综上可得/(xL=/&］=；.

(2)因为“力=/+k-同定义域为R,

又>=/为偶函数，了=国为偶函数，

所以当a=0时/(力=尤2+忖为偶函数，

当aw0时y=忖一。|关于x=a对称，止匕时y=以一《为非奇非偶函数，

所以/(x)=—+|x-4为非奇非偶函数，

综上可得：当a=0时为偶函数，当aW0时为非奇非偶函数.

【变式1-2】.(2022•上海浦东新•一模)已知函数/(x)=x?+办+1,a&R.

⑴判断函数〃x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数g(x)=£12(x>0),写出函数g(x)的单调递增区间并用定义证明.

X

【答案】(1)答案见解析

(2)［l,+°o),证明见解析

【分析】(1)分。=0、QW0两种情况，利用函数奇偶性的定义判断出结果;

(2)求得g(x)=x+」+a,可以确定g(x)的单调递增区间为［1,+s),之后利用函数单调性证明即可.

【解析】(1)当a=0时，/(x)=x2+1,

定义域为R，任选xeA,都有"-x)=x2+l=/(x),

所以。=0时函数〃x)为偶函数；

当"0,/(-1)=2-a,/(I)=2+a

则/(T)小)J(-1)T⑴；

。片0时函数/(x)既非奇函数又非偶函数；

(2)函数g(x)的单调递增区间为［1,+s).

证明：g(x)="'=xH----1-a,

xx

任取再,尤2且％<%2，

g(西)-g(x2)=X]+工+a—(％+'+。)=(再一X2)(1一一—)=(西一尤2X*"1),

石x2XxX2XxX2

由于项<%2，则石一々<0；

由于斗,々£[1，+“)，则1〉0;

所以(再一%)(垩二)<0,即/(再)</(无2).

x{x2

函数g(x)的单调递增区间为[1,+8).

【变式1-31.(2021•上海徐汇・二模)已知函数/(x)=k+4-VTZF.

(1)若"=&,求函数/(X)的零点；

(2)针对实数a的不同取值，讨论函数/(x)的奇偶性.

【答案】(1)x=-字；(2)当。=0时，函数/(x)为偶函数，当今0时，函数/(x)为非奇非偶函数.

【分析】(1)根据解析式，求得定义域，当“=拒时，令卜+行卜VI千=0,解得x=-*G[-l,1],

所以零点为x=-Y2.

2

(2)若/(x)为奇函数，则必有[(-1)tf(l)=0,代入求得°不存在，若函数/(x)为偶函数，由了

(-1)=/(1),解得。=0,经检验符合题意，即可得答案.

【解析】⑴根据题意，函数〃尤)=|元+4-萌二)，则有17之0,解可得-1•1,

即函数/(x)的定义域为[-1,1],

由.=^/^，W+V21—y/l—x2=0,

化简得2x。+20X+1=0,即(V^x+1)=0,则x=-1,1],

所以，函数7•(》)的零点为云=-也；

2

(2)函数/(x)的定义域为[-1,1],若函数f(x)为奇函数，则必有/(-1)+/(1)=0;

[a=1

代入得|。+1|+|。-1|=0于是]无解,所以函数/(x)不能为奇函数，

[a=-1

若函数f(%)为偶函数，由/(-I)=/(1)得l+a|=|l+a|解得。=0；

又当a=0时，/(x)=|x|-71-x2,

则f(-x)=\-x\-Vl-x2=\x\-Vl-x2=/(x)；

对任意x£[-l,1]都成立，

综上，当。=0时，函数/(%)为偶函数，当好0时，函数/(x)为非奇非偶函数.

题型02函数的值域、最值问题

【典例2-1］.(22-23高三上•上海杨浦•阶段练习)已知函数人%)是定义在区间句上的奇函数,

当时，/(x)=4x-x2.

⑴求x<-l时/(%)的解析式；

(2)求函数g(x)=一9的值域.

【答案】⑴"x)=4x+/；

(2)(-00,12].

【分析】(1)利用奇函数性质求f。)的解析式;

9

4—x,xN1

(2)由(1)得g(x)=<:,应用基本不等式、函数单调性求g(x)在对应区间上的值域，即可

4+x—,x<-1

X

得答案.

【解析】(1)令x«—1,贝U—x21,故/(—x)=—4x—(—x)2=—4x—x2,而/(—x)=一/(%),

所以/(一%)-一/⑴--4、-x2,则/(x)=4x+x2.

4X-X2-99

=4-x——,x>l

Xx

(2)由(1)知：g(x)=，

4x+x2-99

=4+x—,x<-1

x

99

当xNl,g(x)=4-x——<4-2jx«-=-2,当且仅当x=3时等号成立，此时g(x)w(-oo,-2］；

XX

9

当。4-1,g(x)=4+x——单调递增，则g(x)£(—8,12］；

综上，函数值域为(-8,12］.

【变式2-1】.(21-22高三上•上海黄浦•阶段练习)已知二次函数/(x)=4_4x+c的值域为［0,+8).

(1)若此函数在［1,2)上是单调减函数，求实数°的取值范围；

(2)求〃x)在［1,+s)上的最小值g(a),并求g(a)的值域.

'4"c

/qClH----4,〃〉2「\

【答案】(1)(0,1］；(2)g(a)=<a,g(6Z)e［0,+co).

0,0<tz<2

24

【分析】(1)结合二次函数的值域可得开口向上，且在对称轴、=一处取得最小值0,进而求出。=之且

aa

2

a>0,然后根据单调性得出一22,进而可以求出结果；

a

22

(2)根据对称轴的位置分别讨论一<1和4N1,进而求出g(Q),然后结合分段函数的单调性即可求出值

aa

域.

2

【解析】(1)由题意可知数尤+c开口向上，且在对称轴x=一处取得最小值0,

244

所以〃>0,-4x—+c=----be=0,即0=一

因此/(X)="2-4X+：,因为函数在［1,2)上是单调减函数,

7

所以422,所以aWl,故实数。的取值范围为(0』；

(2)若］<1，即。>2,所以/(x)="2-4x+,在［1,+8)上单调递增，所以/a)mM=/(l)=4+§；

若即0<。42,所以〃司="2-4x+±在上单调递减，在(2,+s］上单调递增，所以

uH-----4,u>2

a

0,0<ti<2

因为函数8(。)=。+&-4在(2,+8)上单调递增，且g(2)=2+。-4=0,因此g(。)的值域为［0,+“).

a2

【变式2-2】.(24-25高三上•上海金山•期末)已知常数。>1,函数y=/(x)的表达式为

/(x)=logfl(x+2)-loga(2-x)

⑴证明：函数y=/(x)是奇函数；

⑵若函数y=/(x)在区间［05上的最大值为2,求实数a的值.

【答案】(1)证明见解析

⑵a=V3

【分析】(1)求出定义域，利用奇函数的定义判断可得答案；

(2)判断出函数了=/卜)在区间［0,1］上的单调性，根据单调性求出最值可得答案.

fx+2>0

【解析】(1)由cc得-2<X<2,

12-x>0

所以函数y=〃x)的定义域为(-2,2),关于原点对称,

y(f)=log“(-x+2)-log0(2+x)=-/(x),

所以函数>=/(x)是奇函数；

丫+2

(2)/(x)=log(x+2)-log(2-x)=log。--

aaX

x-2+4,4

令u=--------二—1-------

x-2x—2

4

则〃=-1——在［0,1］上单调递增,

x—2

又＞=1。8/(。＞1)为增函数,

所以〃x)=log“(x+2)-log„(2-x)在［0,1］上单调递增,

其最大值为/⑴=1。&3=2,

解得a=V3.

【变式2-3］.(21-22高三上•上海徐汇・开学考试)已知函数/(x)=x2+ax+3-a,aeR.

⑴求。的取值范围，使＞=在闭区间［-1,3］上是单调函数；

⑵当04x42时，函数了=/(x)的最小值是关于a的函数机⑷.求加(°)的最大值及其相应的a值.

【答案】或

(2)当a=-2时，加伍)有最大值4

【分析】(1)利用二次函数的图象性质结合单调性求解；

a+7M<-4

11

(2)分类讨论二次函数在给定区间的最大值，再分段讨论皿。)=_〃+3,_4<〃<0的最大值即可求角军.

3-a,a>0

【解析】(1)函数=无+3-。图象的对称轴为x=

因为小)在闭区间曰，刃上是单调函数，所以-台-1或-台3.

故。《-6或QN2.

(2)当Q20时，m(a)=f(0)=3-a；

当一4Ka<0时，m(a)=f(~~)--a+3；

当a<—4时，加(a)=/(2)=a+7.

a+7,a<-4

1

所以机(a)=<tz7-a+3,-4<a<0,

3-a,a>0

当a20时，加(a)=3—a«3；

当一4WQ<0时，m(a)=--a1-a+3,

4

对称轴为〃o=-2,所以m(a)=m(-2)=4,

当。＜一4时，加（〃）=4+7V3.

所以当Q=-2时，加5）有最大值4.

题型03函数中的解不等式、比较大小问题

【典例3-1】•（24-25高三上•上海•阶段练习）设函数/（x）=lz",且〃司+/［m=-1（"0）.

1+XIX）

⑴求。的值；

（2）判断函数"X）的奇偶性和单调性（不用说明理由），并据此求解关于x的不等式/（月+/］二］+1＜0

【答案】（1）2；

（2）偶函数，在［0,+”）上单调递减，在（一双0］上单调递增，解集为

【分析】⑴根据+/［£］=-1化简求解即可；

（2）根据奇偶性定义和单调性定义即可判断奇偶性和单调性，结合单调性和奇偶性将函数符号去掉，转化

为一元二次不等式求解可得.

【解析】（1）由题知,

因为/（x）+4J=-l,所以1-ax2x2-a

-----1-----=-----------=]—〃=—]

x2+lx2+lx2+l

解得a=2.

i_23

（2）由（1）知，/（x）=—22x=—-2,定义域为R,

1+x2x2+l

33

又/（-x）=（_疗+1-2=/n-2=〃x）,所以/（X）为偶函数.

Vx1?x2G[0,+CO）,且再<12,

3（X2一再）（%2+西）

（」+1）（君+1）

因为0«项<%2，所以％2-再>0，-2+尤1>0，<；+1>0，%；+1>0，

所以/（再）一/（尤2）＞°，即/（玉）＞/（马），

所以"X）在［0,+e）上单调递减，

又因为一（X）为偶函数，所以“X）在（-*0］上单调递增,

因为〃力+/1］=-1,所以一

所以+4]+l<Oo〃x)-〃2X-1)<0=〃X)</(2XT)(X4],

因为/(x)为偶函数，且在[0,+8)上单调递减，

所以国>|2x-l|,即3X2-4X+1<0,解得:<X<1,

又xwg,所以不等式解集为

4

【典例3-2】•(24-25高三上•上海•阶段练习)已知函数/'(x)=x——+a.

x

(1)证明函数V=/(X)在(-00,0)上严格增；

⑵若函数丁=/(x)在定义域上为奇函数，求不等式〃无)>0的解集.

【答案】(1)证明见解析

(2)(-2,0)U(2,+a>)

【分析】(1)利用函数的单调性定义证明即得；

(2)根据函数的奇偶性求出。值，再求出方程/(x)=0的解，分别利用函数在(-叫0)和(0,+对上的单调性

即可求得不等式的解集.

4

【解析】(1)因/(x)=x--+a,任取国,迎e(-s,0),且王<々，

X

44

由/(X1)-/(X2)=X1-----+”(工2------+。)

再x2

,、4(x-x)/、/14、

=(再一工2)+-------2-=(占-%2)。+----),

xxx2xxx2

4

因再<%2<0,则再一工2<0，1+--->°，故/(项)一/(%2)<。，

西、2

即，®)</(%).

故函数y=/(x)在(-叫0)上严格增；

(2)因为函数〃X)在定义域｛x|x*0｝上为奇函数，则=

44

月f以一XH---U=—XH----Q.

XX

所以2〃=0,即Q=0,

4

所以/(x)=x——，

X

由/(x)>0得：x-->o,即(x-2)(x+2)>0,

%X

(%>or%<o

所以[(X-2)(x+2)>0或'[(x-2)(x+2)<0'

解得x>2或-2Vx<0,

所以不等式/(力>0的解集为(-2,0)U(2,+s).

【变式3-1】.(21-22高三上•上海浦东新•阶段练习)设函数”x)=|2x-7|+办+1(。为实数).

(1)若。=-1,解不等式/(x)Z0；

(2)若当一二>0时，关于x的不等式/(x)21成立，求。的取值范围.

1-X

Q

【答案】(1)或X26}(2)“2—5

【分析】(1)分2x-7>0,2x-7W0打开绝对值，解不等式即可；

(2)由一^>0可得0<%<1,再由可得|2X—7|+QX20,结合0<X<1,即为7+(Q—2)X20,

1-x

分4N2,。<2讨论，即得解

【解析】(1)由于。=-1,不等式

可得|2x-7|2x-1,即

j2x-7>0j2x-7<0

[2x>x-V^\J-2x>x-\

Q

解不等式得：四工4|或苫26}

V

(2)由--->0<=>x(l—x)>0,解得0<x<l

1-x

由/(x)21,可得|2X—7|+QX»0

当0<X<1时，该不等式即为7-2X+QX20,Bp7+(a-2)x>0

当Q22时，符合题设条件；

77

当。<2时，x<-，由题意得二>1

2—。2—a

解得2>a>-5

综上，实数。的取值范围是。2-5

11

-------0n<xW44

【变式3-2】.(20-21高三上•上海奉贤・期中)已知/'(x)=ax'-

Inx-1,x>4

(1)若函数“X)在|,e2的最大值为2,求〃的值；

(2)若°求不等式〃x)<l的解集.

【答案】(1)a=g;(2)(o，g)u(4,e2)

【解析】（1）由函数y=lnx-l在（4,e?]上是增函数且后腿=1，故根据题意得函数丁=：-：,；<xV4的最

114

大值为2,再根据函数单调性即可得——7=2,解得

a49

51八.[0<x<4[[

/、----，0<x44nInx—1<1

（2）根据题意得f（x）=2x'，进而分之_4或两种情况求解即可得答案.

tax-1,x>4[27<X>

【解析】解：（1）因为函数V=lnx-1在（44]上是增函数，

所以5=lne?-1=1，

因为函数〃x）在1,e2的最大值为2,

所以函数>=2<xV4的最大值为2,

ax2

由于函数歹是增函数，

ax2

114

所以一-：=2,解得：。=不

a49

2（\--------,0<x4

（2）当。=不时，/r（%）=<2x,

「[inx-1,x>4

0<x<4,

Inx-1<12

所以《51]或（.，解得0<x<;或4<x</.

-------<1[%>43

、2x

故若°=|,求不等式/（X）<1的解集为（。，号U（4,/）

【点睛】本题考查分段函数与对数函数的性质，考查分类讨论思想与运算求解能力，是中档题.本题第一问

解题的关键在于注意到函数V=lnx-1在（4炉]上是增函数且1*=1,进而将问题转化为函数

y=的最大值为2求解，第二问的解题核心是分类讨论.

ax2

【变式3-3].（23-24高三上•上海长宁・期中）已知函数〃力=|嚏/，其中常数。>0且awl.

（1）判断上述函数在区间（0』上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论；

⑵若然0,利用上述函数在区间（0』上的单调性，讨论/⑺和/（鼻）的大小关系，并述理由.

【答案】（1）函数在区间（0』上的单调递减，证明见解析；

（2）当,=1时，/⑺=了]产+j,当，>°且时，]产+J

【分析】（1）利用定义法结合对数函数单调性即可得到其单调性;

（2）利用（1）中的结论即可得到大小关系.

【解析】（1）/（x）=|bg/|在区间（0』上单调递减,

证明：当0＜。＜1时，任取0＜再＜%41，

则/（占）-H）=|logM-|logN|=log。%-loge=loga%,

X2

因为0＜再＜龙2«1，贝|0＜上＜1，所以log“土＞0,

即/（玉）-/（尤2）＞0，即/（占）＞/（X2）,所以此时/（X）=|log°x|在区间（0,1］上单调递减,

当。＞1时，任取。

/（再）一/（》2）=|log“xjTlogaX?|=-log/］+logax2=log”强

x\

因为0＜再＜工241,则？＞1,所以log-＞0,

即/㈤-/（3）＞。即/（不）＞〃尤2），所以此时/（x）=|log°x|在区间（o,1］上单调递减,

综上所述，/（X）=|log国在区间（0,1］上单调递减，

（2）当X＞1时，0＜”1时，函数/（x）=T0gaX在（1,+00）上单调递增,

当时,函数/（x）=logi在（L+s）上单调递增,

由（1）/（X）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，

当』时,3"

2

当0＜/＜1时，/+1€（1,2）,—e（l,2）,

〃。二|1吗4=Tog/=log«；'

“1时，。〈岛＜L。〈小，/（»/「，且卜岛

所以小）T%《岛｝

综上，当;1时，2］，

当f>0且rwl时，/(/)>/Ml

题型04恒成立问题

【典例4-1］.(2022•上海徐汇・三模)已知。为实数，函数/(“小卜-4-。，xeR.

⑴当a=2时，求函数“X)的单调递增区间；

⑵若对任意xe(O,l),/(x)<0恒成立，求。的取值范围.

【答案】⑴(一85和［2,+s)

⑵H

【分析】(1)当。=2时，化简函数〃x)的解析式，利用二次函数的基本性质可得出函数〃x)的增区间；

(2)由已知可得推导出a>0,可得出利用参变量分离法可求得实数。的取值

XXX

范围.

【解析】(1)解：当a=2时，/(x)=x|x-2|-2=-2之：

［-x+2x-2,x<2

当xW2时，f(x)=(x-l)2-3,此时函数〃x)的单调递增区间为［2,+s)；

当x<2时，f(x)=-(x-l)2-l,此时函数〃x)的单调递增区间为

综上所述，当a=2时，函数“X)的增区间为(-甩1］和［2,+8).

(2)解：当xe(O,l)时,由/(x)<0可得x|x-a|<a,即卜_4《巴,所以，a>0,

.x2

Q>---

所以，-巴<a-x<L整理得,X：；对任意的xe(O,l)恒成立，

XX1

因为xe(O,l),贝收-工=七1<0,所以，不等式对任意的xe(O,l)恒成立，

xxVx)

2

只需考虑不等式a>」对任意的xe(0,1)恒成立，

X+1

当xe(O,l)时，JL(X+1-1)2--2，

==X+I+J

x+1x+1x+1

令f=x+le(l,2),g⑺=/+；-2,

由双勾函数的单调性可知，函数g«)=t+；-2在(1,2)上单调递增，

当fe(l,2)时，g(/)=/+；_2e]o,g],因此，fl>1.

A-4

【典例4-2】•（24-25高三上•上海•阶段练习）已知函数〃尤）="*（6>0,6/1）是定义在R上的奇函

数.

⑴求了（外的解析式；

（2）存在xe[2,3],使得厂/（幻22工-2成立，求实数f的取值范围.

【答案】⑴/（X）=，（xe尺）；

1+1

⑵P日io刁）.

【分析】（1）根据奇函数性质/（。）=。求得6=2,再验证是否满足题设，即可得解析式;

2

（2）令加=2"-1£[3,7],问题化为£2加——+1能成立求参数范围.

A-I-7A0-4h-?

【解析】(1)由题设/(0)J勿J=W=0,故6=2,

b+2b°b+2

°x+l_r\X

所以/(')二篇if2-1

2、+1

2-「11—2、2'—1

又/(-%)==-f（x）,满足题设,

2111+2"2X+1

所以/a）=*ir且x£R；

（2）由题设在xe[2,3]上能成立，

2工+1

令加=2,-le[3,7],则-1,即//（_―1）（加+2）="一2+1,

m+2mm

又>工+1在加e[3,7]上递增，贝|J%11n=4-"|=当，

m33

所以f€[?，+°°）.

【变式4-1】.（24-25高三上•上海杨浦•期中）已知函数〃无）=纥《为奇函数.

l+ex

⑴求。的值并直接写出/（x）的单调性（无需说明理由）；

（2）若存在实数"使得了（『-2。+/（2/一左）>0成立，求实数上的取值范围.

【答案】（1）。=1,单调递减

⑵

【分析】（1）根据奇函数的含义可求得。的值，根据函数单调性的定义法可求得单调性;

(2)根据单调性以及奇函数性质可得/左-2产)，从而得到不等式，求解即可.

【解析】(1)因为函数〃x)="2为奇函数，定义域为R,则/(。)=0,

l+e%

〃一e°

所以/(o)=^1r=0,即a=l,

此时〃刈=二，满足/(r)=匕匚=£U=-/(x),即/(x)为奇函数，

1+e1+e-1+e

x

i-e7

f(x}=------=-l+--------，定义域为R,对Vxi./sR，且再<%，

7l+exl+ex

2?2(产-9)

贝I/(xi)-/(x2)=------------------=7__\7\，

V17Vz,l+ex'1+e^(l+e,(l+e,

因为王<%，所以e*-e』>0,1+ex,>0,l+e%>0,

所以/(占)-/(々)>0,即函数/(x)在R上单调递减；

(2)由八产一2/)+/(2/f)>0,则/(产-2f)>―/(2/叫,

又因为〃力为奇函数，所以/(〃-2/)>-/(2/一力=/小一2/),

又因为函数在R上单调递减，

所以尸一2f<万一2/,因为存在实数t,使得3/一2/-左<0，

所以A=4+12左>0,解得左>一?，

所以左的取值范围为1-1，+少］.

【变式4-2】.(23-24高三上•上海浦东新•期末)已知函数y=/(x),其中〃x)=W々keR).

⑴是否存在实数上，使函数>=/(》)是奇函数？若存在，请写出证明.

⑵当左=1时，若关于x的不等式/(x"a恒成立，求实数”的取值范围.

【答案】(1)4=-1,证明见解析

⑵(-00』

【分析】(D“X)是奇函数，利用〃0)=0解出左并检验即可.

(2)利用基本不等式求/(x)的最小值解决恒成立问题.

【解析】(1)函数〃x)=史史定义域为R,若“X)是奇函数，则"0)=1+左=0,解得左=一1,

2

此时〃X)=U=2*-2T，/(-幻=2一'-2'=-(2'-2一')=一〃刈，符合题意，

故左=T.

4v+11

(2)当左=1时，f^=--=T+-,

由2，>0,则2、+工22,6」=2,当且仅当2'=],即x=0时等号成立，

2,VYT

所以〃x)22,又不等式恒成立，得。<2,

则实数。的取值范围为(-s,2].

【变式4-3】.(24-25高三上•上海•阶段练习)已知函数〃x)=/-加工+加，g(x)=^12_2,meR

x+1

⑴求〃X)的单调区间和值域；

⑵若对于任意不«0』，总存在%e[O,l],使得/(x°)=g(xj成立，求加的取值范围.

2

【答案】(1)递减区间为(-8,：],递增区间为(9,+8)；值域为阿一4,+00)

224

(2)[0J]

【分析】(1)根据题意，利用二次函数的图象与性质，即可求解；

(2)化简函数g(x)=(x+l)+$-4,利用换元法和单调性，求得g(x)的值域为[0,1],根据题意，转化为

作"=/(%)}[[0,1],结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.

【解析】(1)解：由函数/(x)=/一加工+加，其图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为x=£,

所以函数/(x)在上单调递减，在弓,+8)上单调递增，

2

当时，函数/(X)取最小值，最小值为〃/)=机一.，

2

所以函数/(x)的值域为由一(,+00).

&刀小跖/\/+3(x+1)2—2(x+1)+4,.4

(2)解：由函数g(x)=------2=^——-——-——-----2=(x+l)+------4,

x+1x+1X+1

当xw[o1]时，令％=x+l,可得％=%-1且％£口,2],

4

则g⑺=/+7-4在”[1,2]为单调递减函数，

所以g(omn=g(2)=o,g(f)111ax=g(l)=l,所以函数g(x)的值域为[0,1],

对于任意x°e[0,l],总存在玉使得/(xo)=g(xj成立，

可得函数〃x)的值域为函数g(x)的值域的子集，即3了=/(x)}c[0,1],

由/(力=尤2-加x+机，可得〃0)="?,/'⑴=1,

当?<0时，即m<0时，显然不成立；

2

当时，即机>1,根据抛物线的对称性，可得/(0)>/(1),显然不成立；

0<^<1

所以要使得3尸/(%)}a[OH,则、22，解得0«加“1，

m-->0

[4

所以实数加的取值范围为[05.

【变式4-4】.(23-24高三上•上海•期中)已知函数/(x)=log「->(xT)(«>0,。*1).

(1)若加=-1时，判断函数/(X)在(2,+8)上的单调性，并说明理由.

(2)若对于定义域内一切x,〃l+x)+〃l-x)=0恒成立，求实数加的值.

【答案】(1)当。>1时，/(X)在(2,+8)上单调递减

当ae(O,l)时，/(X)在(2,+8)上单调递增

(2)m=-1

【分析】(1)按单调性的定义即可证明.

(2)按题意列方程即可求解.

【解析】(1)7〃=一1时/(%)=噢(1工？，记g(x)=T，任取马>%>2

x—2x-2

„)二段淄

故g(xj>g(x2)，g(x)在(2,+00)上单调递减

当0>1时，〃X)在(2,+8)上单调递减

当"(0,1)时,/(x)在(2,+动上单调递增

(2)由〃1+工)+〃1一力=。恒成立可得1。&匕等+1。=叶等=0

x—1—x—1

化简得加2%2=%2,解得加=±1

0—y0-Y

加=1时，/(x)=10gfl-而一J=-l<0,无意义

x-2x-2

加二一1符合题意

故加=-1.

【变式4-51.(2021•上海黄浦三模)已知函数为实常数).

(1)讨论函数/(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)当〃x)为奇函数时，对任意xe[l,6],不等式"x"/恒成立，求实数”的最大值.

【答案】(1)函数〃x)是奇函数，理由见解析；(2)1.

【分析】(1)若函数"X)为奇函数，由奇函数的定义可求得。的值；又当aw；时/(-且

函数〃x)是非奇非偶函数；

(2)对任意xe[l,6],不等式/恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数夕⑺，利用换元法和对

勾函数的单调性求出最值，代入得出实数式的最大值.

333

【解析】解：(1)当。=彳时/(x)+/(-x)=2a-;^r^-:^^=2a-3=0,

即=故此时函数〃x)是奇函数；

因当时，/(l)=«-l,/(-l)=a-2,故

止1)—(1),且"-l)f1)

于是此时函数/(x)既不是偶函数，也不是奇函数；

(2)因〃x)是奇函数，故由(1)知a=；,从而〃耳=；一力；

由不等式/'(x"E，得，

v72X22X+1

令2*+1=te[3,65](因xe[1,6]),故aW—(f—1)—------=-pH"一—

2t2\t)2

由于函数夕⑺=|"+3-|在[3,65]单调递增，所以可焉=〃3)=1；

因此，当不等式/'(x"/在xe[l,6]上恒成立时，仁=1.

【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

(1)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

【变式4-6].(22-23高三下•上海•阶段练习)已知力(x)=W+|x-a|,其中aeR.

⑴判断函数y=4(x)的奇偶性，并说明理由；

⑵当a=4时，对任意非零实数c,不等式力