2025年苏科版九年级数学寒假专练：二次函数的图象与性质（原卷版）

专题07二次函数的图象与性质

嫌内容早知道

G第一层巩固提升练（7大题型）

目录

题型一二次函数的概念辨析......................................................................1

题型二根据二次函数的解析式判断其性质.........................................................2

题型三二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质.......................................................2

题型四二次函数的平移变换问题.................................................................3

题型五根据二次函数的对称性求字母的取值范围..................................................4

题型六根据二次函数的性质求最值...............................................................5

题型七二次函数的图象与各项系数符合问题.......................................................6

今第二层能力提升练

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题型一二次函数的概念辨析

☆技巧积累与运用

二次函数的定义

（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax?+bx+c（a、b、c是常数，aWO）的函数，叫做二次函数.其

中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.y—ax2+bx+c（a、b、

c是常数，a=0）也叫做二次函数的一般形式.

判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然

后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件.

（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变

量的取值范围还需使实际问题有意义.

例题：（24-25九年级下•全国•阶段练习）下列函数是关于％的二次函数的是（）

,21

A.y=x+2x+3B.y=—

x

巩固训练

1.（2025九年级下,全国•专题练习）若函数y=（%-3）—-+2+加x+i是关于x的二次函数，则加的值是

A.0B.3C.0或3D.1或2

2.（24-25九年级上•广东阳江•期中）若函数y=（加-3）M-7+2m-i3是二次函数，则加=,

题型二根据二次函数的解析式判断其性质

☆技巧积累与运用

1.二次函数y=a（x-机1+左（。/0）的图象的顶点坐标是（m,k）,对称轴是直线x=机.图象的

开口方向：当。〉0时，开口向上;当。<0时，抛物线开口向下.

2.二次函数y=+bx+c（QW0）的图象是一条抛物线,它de对称轴是直线为=--，顶点坐标

2a

是_—二丁D当。〉0时，抛物线开口向上,顶点是抛物线上的最低点;

12a4aJ

例题：（24-25九年级上♦浙江金华•阶段练习）已知二次函数了=-3口-4）2-5,下列说法正确的是（）

A.对称轴为直线x=-4B.顶点坐标为（4,5）

C.与y轴的交点是（0,-5）D.函数的最大值是-5

巩固训练

1.（24-25九年级上,湖北咸宁•阶段练习）已知抛物线产-5（%+1）2+/?经过4（-24,M）、8（24,%）两点，则

必与力的大小关系是（）

A.B.c.yi<y2D.不能确定

2.（24-25九年级上•福建厦门•阶段练习）抛物线."=-/+3的顶点坐标是.

题型三二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

☆技巧积累与运用

2

2

二次函数y=ax2+bx+c（aW0）的顶点坐标是（-上二,―殳-），对称轴直线x=-二次函数y=ax+bx+c

2a4a2a

（aWO）的图象具有如下性质：

①当a>0时，抛物线尸ax2+bx+c（aWO）的开口向上，xV-'时，y随x的增大而减小；x>一旦时，

2a2a

2

y随X的增大而增大；x=--L时，y取得最小值细£土，即顶点是抛物线的最低点.

2a4a

②当aVO时，抛物线y=ax?+bx+c（aWO）的开口向下，xV--L时，y随x的增大而增大；x>-_?-时，

2a2a

2

y随X的增大而减小；X=--L时，y取得最大值细£士，即顶点是抛物线的最高点.

2a4a

例题：（24-25九年级上•陕西渭南•期中）抛物线>=-/+6》+8的对称轴是（）

A.直线x=3B.直线x=-3C.直线x=2D.直线x=4

巩固训练

1.（24-25九年级上•河北衡水•阶段练习）抛物线y=a/+6x+c的顶点为（1,2）,抛物线与了轴的交点位于x

轴下方，以下结论不正确的是（）

A.a<0B.c<0C.a+b+c=1D.b1-4ac=0

2.（24-25九年级上,山东荷泽•阶段练习）已知抛物线了=4f+乐+，（a>0）的对称轴为直线尤=1,且经

过点（2,%）,试比较乂和%的大小：必%.（填"（"或"="）

题型四二次函数的平移变换问题

☆技巧积累与运用

二次函数的平移

（1）平移步骤：

①将抛物线解析式转化成顶点式》="》-犷+人确定其顶点坐标（队力）；

②保持抛物线>的形状不变，将其顶点平移到他，刀处，具体平移方法如下:

y^a(x-h}2■->ya(x-h)2^k

向上（后>0）［或下（kvO）】平移因个单位

（2）平移规律

在原有函数的基础上“〃值正右移，负左移；左值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加

下减”.

例题：（24-25九年级上•浙江绍兴•期中）抛物线了=炉向左平移5个单位，再向下平移3个单位后，所

得的抛物线表达式是（）

A.=（x-5）2-3B.y=(x-5)2+3

C.y=（x+5）2-3D.y=(x-5)~+3

巩固训练

1.（24-25九年级上•全国•期末）抛物线了=-X2+以-2经过平移后得到抛物线歹=-/-4X，其平移方法

是（）

A.向右平移3个单位,再向上平移2个单位

B.向右平移4个单位,再向下平移3个单位

C.向左平移3个单位,再向上平移2个单位

D.向左平移4个单位,再向上平移2个单位

2.（24-25九年级上•山东潍坊•阶段练习）二次函数y=--2x-4的图象先向左平移2个单位长度，再向上

平移4个单位长度，所得图象的解析式的一般式为

题型五根据二次函数的对称性求字母的取值范围

☆技巧积累与运用

2

二次函数y=ax2+bx+c（a=0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-旦，4ac-b-）.

2a4a

①抛物线是关于对称轴X=-反成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系

2a

式.顶点是抛物线的最高点或最低点.

②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值.

③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（xi，0）,（x2,0）,则其对称轴为x=

x[+x2

-2-,

例题：（24-25九年级上•江苏南通•期中）若二次函数y=（x-m）2-1在x<l时，y随x的增大而减小，

则m的取值范围是（）

A.m>\B.加C.m>1D.m<\

巩固训练

1.（23-24九年级上•浙江•期末）点川在抛物线>=°尤2+&+4（。>0）上，设抛物线的对称轴为

直线x=f,若机<〃<4,贝h的取值范围是（）

13

A.-<t<2B.2<t<3C.-<?<2D.l<t<2

22

2.（24-25九年级上•上海•阶段练习）已知y=（左+1）/+8斤，当x>0时，函数值V随着自变量x的增大而

减小，那么人的取值范围是.

题型六根据二次函数的性质求最值

☆技巧积累与运用

二次函数的最值

（1）当a>0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因

2

为图象有最低点，所以函数有最小值，当X=一旦时，y=%£二

2a4a

（2）当aVO时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因

2

为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=一旦时，y=4号b

2a4a

（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶

点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，

从而获得最值.

例题：（24-25九年级上•江苏扬州•阶段练习）二次函数y=（x-1）?+2的最小值是（）

A.2B.1C.-1D.-2

巩固训练

1.（24-25九年级上•浙江绍兴•期中）己知二次函数y=/+6x+c,当x>0时，函数有最小值-1,当xVO

时，函数有最小值-2,则6c的值为（）

A.1B.1或一1C.2或-2D.-2

2.（24-25九年级上•江苏苏州•期中）如图，尸是抛物线y=f2+尤+3在第一象限上的点，过点P分别向x

轴和y轴引垂线，垂足分别为4B,则四边形。/尸3周长的最大值为.

题型七二次函数的图象与各项系数符合问题

☆技巧积累与运用

二次函数歹=a/+bx+c(awO)的系数与图象的关系

(1)。的符号由抛物线y=ax2+bx+c的开口方向决定：开口向上u>。〉0,

开口向上oa〉0；

(2)6的符号由抛物线y=a/+云+。的对称轴的位置及。的符号共同决定：对称轴在y轴左侧

=同号，对称轴在y轴右侧=a,6异号；

(3)c的符号由抛物线y=a/+bx+c与y轴的交点的位置决定：与y轴正半轴相交=c〉0,与y

轴正半轴相交=c<0

例题：(24-25九年级上•辽宁沈阳•阶段练习)一次函数〉=acx+b与二次函数y=a/+bx+c在同一平面

直角坐标系中的图象可能是()

巩固训练

1.(24-25九年级上•山东济宁,阶段练习)如图是二次函数了="2+区+c的图象，其对称轴为直线x=-2,

且过点(0,1).有以下四个结论：①abc<0；②a-b+c>l；③12a+c<0；@4a-2b>m2a+mb(加是

任意实数).其中正确的结论有()

2.（24-25九年级上•上海•阶段练习）如图，抛物线>=◎?+云+。（°,6,c为常数）关于直线x=1对

称.下列四个结论中，

①次>0；②2a+6=0；③3a+c>0；®am2+bm>a+b,正确的有（填序号）.

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一、单选题

1.（24-25九年级上•广东珠海•阶段练习）已知点/（国,%），B（x2,y2）,。（无3，%）在抛物线了=—+2》-3

上.当王<一3,-1<x2<0,0<%<1时，乂，%，打三者之间的大小关系是（）

A.必<%<%B.力</<必C.D.

2.（24-25九年级上,贵州毕节,阶段练习）若二次函数>=&+6x+c的x与夕的部分对应值如下表，则当x=-l

时，y的值为（）

X-7-6-5-4-3-2

D.-13

3.（24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习）下列选项是对二次函数y=2（x-3）2+l的描述，其中正确的是

A.图象的开口向下B.图象的对称轴为直线x=-3

C.函数的最小值为1D.当x<3时，y随x的增大而增大

（24-25九年级上•天津武清•阶段练习）下列函数是二次函数的是（

A.y=2x+ly=ax2+bx+c（a,b,c是常数）

C.y——x+2y——x—2

2

5.（24-25九年级上•湖北武汉•阶段练习）如图，抛物线>的对称轴为直线尤=1,与x

轴的一个交点坐标为（T,0）.下列结论：①。<0；②a-6+c=0；③2。+6=0；④渥+bx+c<"++〃

的解集为x<g.其中结论正确的个数是（）

7o

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

6.（24-25九年级上•江苏无锡•阶段练习）将二次函数了=2r+1的图象向左平移3个单位，得到的抛物线

的表达式为.

7.（24-25九年级上,陕西西安•阶段练习）将抛物线>-8x绕原点旋转180°,则旋转后的抛物线表达式

为.

8.（2025九年级下•贵州广西•专题练习）若了=（仅+2）/匕是二次函数，则加的值是.

9.（内蒙古鄂尔多斯市三校联考2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷）已知-1,%），

2（也%）,。（2,%）三点都在二次函数尸-（1丫+3的图象上，那么乂，力，力的大小关系是

（用小于号连接）.

10.（24-25九年级上•浙江金华•阶段练习）竖直向上发射的小球的高度〃（