2025年数学九年级上册北师大版期末重难点检测卷（含解析）

期末重难点真题检测卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版

选择题（共10小题）

1.（2023秋•双辽市期末）已知2a=3。（ab¥0）,则下列比例式成立的是（）

A=3Ra_bc&=2J-）b—3

2b32b3a2

2.（2023秋•静安区期末）下列选项中的两个图形一定相似的是（）

A.两个平行四边形B.两个圆

C.两个菱形D,两个等腰三角形

3.（2023秋•宁都县期末）已知△ABCs且周长之比为2：3,则面积比为（）

A.2：3B.4：9C.9：4D.16：81

4.（2023秋•贵阳期末）2023年12月16日，贵阳市轨道交通三号线正式运营.某校共有1000个学

生，随机调查了100个学生，其中有16个学生在三号线开通首日乘坐了地铁三号线.在该校随机

问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是（）

A.0.016B.0.1C.0.116D.0.16

5.（2022秋•锦江区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABC。是菱形，其中点B的坐

标是（6,2）,点。的坐标是（0,2）,点A在x轴上，则点C的坐标是（）

A.(3,2)B.(3,3)C.(3,4)D.(2,4)

6.（2023秋•确山县期末）若x=2是关于x的一元二次方程/+如-2=0的一个根,则m的值为（）

A.1B.3C.-1D.-3

7.（2023秋•太康县期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关Si、S2、S3中的两个，能让灯泡心

发光的概率是（）

A.AB.Ac.ZD.A

2334

8.（2023秋•息县期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑,

某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平

均降价率是居可列方程正确的是()

A.18.63(1+x)2=23B.23(1-%)2=18.63

C.18.63(1-x)2=23D.23(1-2%)=18.63

9.(2023春•槐荫区期末)如图，点A是反比例函数y=上在第二象限内图象上一点，点8是反比

X

例函数在第一象限内图象上一点，直线与y轴交于点C,且AC=BC,连接04、OB,则

10.(2023秋•城阳区期末)如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点。的位似图形，则

A.小鱼与大鱼的周长之比是1：2

B.小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是1：2

C.大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的2倍

D.若小鱼上一点的坐标是（a,b）,则大鱼上的对应点的坐标是L2a,-2b）

二.填空题（共8小题）

11.（2023秋•河东区期末）已知一元二次方程a？-2x+3=0有两个实数根，则a的取值范围

是.

12.（2024春•坪山区期末）某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产

品的合格率进行检测，如表是检测过程中的一组统计数据：

抽取的产品数W5001000150020002500300035004000

合格的产品数加476967143119262395288333673836

合格的产品频率巨0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959

n

估计这批产品合格的产品的概率为

13.（2022秋•深圳期末）如图，在矩形ABC。中，AC、8。交于点。，于点E,若

14.（2024春•邓州市期末）己知反比例函数y上1的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，

x

则k的取值范围是.

15.（2023秋•龙泉驿区期末）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行,

点尸（3ma）是正方形与反比例函数图象的一个交点.已知图中阴影部分的面积等于18,则这个

反比例函数的表达式为_______________________

16.（2024春•宿城区期末）饮水机中原有水的温度为20℃,通电开机后，饮水机自动开始加热（此

过程中，水温与开机时间尤分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水

温开始下降（此过程中，水温与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至20℃时，饮

水机又自动开始加热，……如此循环下去（如图所示）.那么开机后56分钟时，水的温度

是℃.

y(℃)

ol8tX（分）

17.（2024春•宁阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB中，点8（-9,-3）,以原

点。为位似中心，相似比为」，在位似中心同侧把△A80缩小，则点B的对应点夕的坐标

3

18.（2023秋•辽阳期末）同学们在物理课上做“小孔成像”实验.如图，蜡烛与带“小孔”的纸板

之间的距离为10c相，当蜡烛火焰的高度A2是它在光屏上所成的像高度的一半时，带“小孔”

的纸板距离光屏cm.

a

c

s

d

b

)

三.解答题（共7小题）

19.（2023秋•冠县期末）解下列方程:

(1)(2x+l)2=(尤-3)2；

(2)(%-2)(%-3)=12.

20.(2023秋•门头沟区期末)在中，NACB=90°,点。在A2上，且他望

ACAB

(1)求证：△ACDs^ABC；

(2)若AO=3,BD=2,求CD的长.

B

AD

21.（2023秋•黄埔区期末）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷,

现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式.

（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是;

（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一

种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）.

22.（2023秋•冠县期末）如图，点尸是反比例函数y支（x<0）的图象上的一点，过点P作用，

x

x轴于点A,连接。尸，ZVI。尸的面积为6.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若04=4,点B是反比例函数y1二（x<0）上的点，当SAOAB=12时，直接写出点B的坐

23.（2023秋•乐山期末）如图，在△ABC中，AO是上的高，且8c=3,AD=2,矩形EEG”

的顶点RG在边BC上,顶点E、X分别在边A3、AC±.

（1）设（0<x<2）,矩形EFGH的周长为y,求y关于x的函数解析式；（2）当EFGH

为正方形时，求正方形EPG8的面积.

24.（2024春•朝阳区期末）如图，在四边形ABC。中，AB//CD,AD//BC,AC平分/D4B,连接

BD交AC于点、O,过点C作CELA8交延长线于点E.

（1）求证：四边形ABC。为菱形；

（2）若。4=4,02=3,求CE的长.

DC

/Xo\/

ABE

25.(2021秋•金川区校级期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数尸氏+5和尸-2x的图象

相交于点A,反比例函数y=K的图象经过点A.

x

(1)求反比例函数的表达式；

(2)设一次函数y=L+5的图象与反比例函数y=区的图象的另一个交点为2,连接08,求4

2x

ABO的面积；

期末重难点真题检测卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2023秋•双辽市期末）已知2〃=3。（HW0）,则下列比例式成立的是（）

Aa_3B@=ba_2F）b_3

2b32b3a2

【解答】解：A、由更=3得油=6,故本选项错误；

2b

B、由包=上得2a=36,故本选项正确；

32

C、由更=2得3a=26,故本选项错误；

b3

D、由上=旦得3a=26,故本选项错误.

a2

故选：B.

2.（2023秋•静安区期末）下列选项中的两个图形一定相似的是（）

A.两个平行四边形B.两个圆

C.两个菱形D.两个等腰三角形

【解答】解：A.任意两个平行四边形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；

2.任意两个圆一定相似，本选项符合题意；

C.任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；

D任意两个三角形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；

故选:B.

3.（2023秋•宁都县期末）已知△ABCs△£>£■/,且周长之比为2：3,则面积比为（）

A.2：3B.4：9C.9：4D.16：81

【解答】解：,••△ABCsADEF,它们的周长之比为2：3,

三角形的相似比是2：3,

它们的面积之比是4：9,

故选：B.

4.（2023秋•贵阳期末）2023年12月16日，贵阳市轨道交通三号线正式运营.某校共有1000个学

生，随机调查了100个学生，其中有16个学生在三号线开通首日乘坐了地铁三号线.在该校随机

问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是（）

A.0.016B.0.1C.0.116D.0.16

【解答】解：乘坐三号线地铁的频率为16+100=0.16,

:.乘坐三号线地铁的概率大约是0.16.

故选：D.

5.（2022秋•锦江区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABC。是菱形，其中点8的坐

标是（6,2）,点。的坐标是（0,2）,点A在无轴上，则点C的坐标是（)

A.(3,2)B.(3,3)C.(3,4)D.(2,4)

【解答】解：连接AC,8。相交于点E,

.四边形是菱形，

：.AE=CE,BE=DE,AC±BD,

丁点A在x轴上，点2的坐标为（6,2）,点。的坐标为（0,2）,

：.BD=6,AE=2,

；.DE=%D=3,AC=2AE=4,

2

...点C的坐标为：(3,4).

6.（2023秋•确山县期末）若x=2是关于尤的一元二次方程-2=0的一个根，则机的值为（)

A.1B.3C.-1D.-3

【解答】解：将x=2代入方程-2=0

得：4+2机-2=0,解得：m=-1.

故选：C.

7.（2023秋•太康县期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关Si、S2、S3中的两个，能让灯泡心

发光的概率是（

r/s2-0-

-----------

A.AB.Ac.2D.A

2334

【解答】解：画树状图得：

•••共有6种等可能的结果，能让灯泡Li发光的有2种情况,

，能让灯泡Li发光的概率为2=」.

63

故选：B.

8.（2023秋•息县期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑,

某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平

均降价率是无，可列方程正确的是（）

C.18.63（1-%）2=23D.23（1-2x）=18.63

【解答】解:根据题意得：23（1-x）2=18.63.

故选：B.

9.（2023春•槐荫区期末）如图，点A是反比例函数y=上在第二象限内图象上一点，点8是反比

X

例函数y=A在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C,且AC=BC,连接。4、OB,则

X

AAOB的面积是（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

【解答】解：分别过A、8两点作AOLv轴，BEA.x^,垂足为。、E,

*：AC=CB,

；・OD=OE,

设A（-〃，2）,则3（〃，廷），

aa

故SAAOB=S梯形AOEB-SAAOD-SABOE=—（―+—）X2a-_laX二-Lx邑=3.

2aa2a2a

解法二：过A,8两点作y轴的垂线，由AC=8C求两个三角形全等，再求面积,

故选：C.

10.（2023秋•城阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点。的位似图形，则

A.小鱼与大鱼的周长之比是1：2

B.小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是1：2

C.大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的2倍

D.若小鱼上一点的坐标是（a,b）,则大鱼上的对应点的坐标是（-2a,-2b）

【解答】解：A.大鱼与小鱼的相似比是1：2,所以A选项不符合题意；

艮小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是1：2,所以3选项不符合题意；

C.大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的4倍，所以C选项符合题意；

D.若小鱼上一点的坐标是（a,b）,则在大鱼上的对应点的坐标是（-2a,-2b）,所以。选

项不符合题意.

故选：C.

二.填空题（共8小题）

11.（2023秋•河东区期末）已知一元二次方程以2-缄+3=0有两个实数根，则a的取值范围是」

【解答】解：:.关于尤的一元二次方程"2-2X+3=0有两个实数根,

22

A=b-4ac=（-2）-4XflX3=4-12a20,

解得：a^l,

3

:方程ax2-2x+3=0是一元二次方程，

・W0,

：.a的取值范围是且aWO.

3

故答案为：aW」且aWO.

3

12.（2024春•坪山区期末）某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产

品的合格率进行检测，如表是检测过程中的一组统计数据：

抽取的产品数〃5001000150020002500300035004000

合格的产品数比476967143119262395288333673836

合格的产品频率必0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959

n

估计这批产品合格的产品的概率为0.96.

【解答】解：由图表可知合格的产品频率旦都在0.95左右浮动，所以可估计这批产品合格的产品

n

的概率为0.96,

故答案为：0.96.

13.（2022秋•深圳期末）如图，在矩形ABCQ中，AC,5D交于点。，于点E,若

=110°,则NCZ）E=35".

【解答】解：・・•四边形A3CD是矩形，

AZADC=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：.OC=OD,

：・NODC=NOCD,

VZAOD=110°,

AZDOE=70°,ZODC=ZOCD=1（180°-70°）=55°,

2

u：DELAC,

：.ZODE=90°-ZDOE=20°,

：.ZCDE=ZODC-ZODE=55°-20°=35°；

故答案为：35.

14.（2024春•邓州市期末）已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，

X

则上的取值范围是k>l.

【解答】解：..•在每个象限内，y随着X的增大而减小，

：.k-1>0,BPk>l,

故答案为：4>1.

15.（2023秋•龙泉驿区期末）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行,

点尸（3a,a）是正方形与反比例函数图象的一个交点.已知图中阴影部分的面积等于18,则这个

反比例函数的表达式为_丫生_.

【解答】解：如图，•.,正方形428的中心在原点。，且AO〃x轴,

四边形AE。尸为正方形，

;点P（3a,a）,

工点A的坐标为（3〃，3〃），

•..正方形AE。尸的面积=阴影部分的面积=18,

.*.3a*3a=18,

解得a=&或。=-'Q（舍去），

：.P（3V2，A/2）,

:.k=3近乂｛1=6.

.•.这个反比例函数的解析式为：y=2,

X

故答案为：>=2.

16.（2024春•宿城区期末）饮水机中原有水的温度为20℃,通电开机后，饮水机自动开始加热（此

过程中，水温与开机时间x分满足一次函数关系）,当加热到100℃时自动停止加热，随后水

温开始下降（此过程中，水温与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至20℃时，饮

水机又自动开始加热，……如此循环下去（如图所示）.那么开机后56分钟时，水的温度是

【解答】解：当时，设水温y与开机时间x的函数关系为：y=kx+b,

依据题意，得g=20,

l8k+b=100

解得：（k=10,

lb=20

故此函数解析式为：y=10x+20；

在水温下降过程中，设水温y与开机时间％的函数关系式为：y』，

x

依据题意，得：100=^,

8

解得：机=800,

••80•0y=，

X

当y=20时，20型

X

解得：/=x=40,

V56-40=16>8,

・,・当兀=16时，S00_

7=16”

故答案为：50.

17.（2024春•宁阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB中，点5（-9,-3）,以原

点。为位似中心，相似比为」，在位似中心同侧把△ABO缩小，则点8的对应点夕的坐标是（-

3

3

3）,

则点8的对应点2的坐标为（-9义」，-3x1）,即点8,的坐标为（-3,-1）,

33

故答案为：（-3,-1）.

18.（2023秋•辽阳期末）同学们在物理课上做“小孔成像”实验.如图，蜡烛与带“小孔”的纸板

之间的距离为10cm当蜡烛火焰的高度A8是它在光屏上所成的像AB高度的一半时，带“小孔”

的纸板距离光屏20cm.

A

<

S

O湎二二

I)B

【解答】解：设带“小孔”的纸板距离光屏是X,

根据题意可得：辿」，

X2

解得：x=20,

经检验尤=20是原方程的解，

则带“小孔”的纸板距离光屏是20cm

故答案为：20.

三.解答题(共7小题)

19.(2023秋•冠县期末)解下列方程：

(1)(2x+l)2=(%-3)2；

(2)(%-2)(尤-3)=12.

【解答】解：(1)(2x+l)2=(x-3)2,

⑵+1)2-(x-3)2=0,

(92x+1+x-3)(2x+l-x+3)=0,

(3x-2)(x+4)=0,

3x-2=0或x+4=0,

...v上，XI--4；

13

(2)(x-2)(x-3)=12,

•~5x-6=0,

/.(x-6)(x+1)=0,

.*.x-6=0或x+l=0,

••XI=6rXI==~1.

20.(2023秋•门头沟区期末)在RtZkABC中，NACB=90°,点。在AB上，且也富

ACAB

(1)求证：△ACDS^ABC；

(2)若A£>=3,BD=2,求C£>的长.

【解答】(1)证明：：坦=/，

ACAB

AACD^AABC；

(2)解：VAACD^AABC,

ZACD=ZB,

VZACB=90°,

ZA+ZB=90°,

AZA+ZACD=90°,

：.ZAZ)C=90°,

ZADC^ZBDC,

'：ZACD=ZB,

：.△ACDsACBD,

•AD=CD

"CD而，

-2_CD

••----f

CD3

：.CD=^.

21.（2023秋•黄埔区期末）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷,

现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式.

（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是1;

一4一

（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一

种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）.

【解答】解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为」，

4

故答案为工；

4

（2）树状图如图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有

3种，故尸（两人恰好选择同一种支付方式）为工.

3

支付宝银行卡

小奇的支付方式微信/\\

微信支付宝银行卡微信支付宝银行卡微信支付望仃卞

22.（2023秋•冠县期末）如图，点P是反比例函数y上（x<0）的图象上的一点，过点P作附，

x

X轴于点A,连接OP,△AOP的面积为6.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若04=4,点5是反比例函数（乂<0）上的点，当时，直接写出点5的坐

标.

【解答】解：（1）由于P为反比例函数y=K的图象上一点，

X

.*.SAAOP=A|^|=6,

2

又丁函数位于第二象限，

:・k=-12,

・・・反比例函数的解析式为>=-卫；

x

（2）设点3（〃，-巡），

a

V0A=4,S/\OAB=12,

・・.JLX4X卜乌=12,

2a

.'.a—±2,

•..点8在第二象限，

...点3（-2,6）.

23.（2023秋•乐山期末）如图，在△ABC中，AD是8C上的高，且8C=3,AD=2,矩形EPGH

的顶点RG在边BC上，顶点E、X分别在边A3、AC上.

（1）设EF=x（0<x<2）,矩形EFGH的周长为y,求y关于x的函数解析式；（2）当EFGH

为正方形时，求正方形EFGH的面积.

【解答】解：（1）设AD与EH的交点为

:四边形EFG8是矩形,

：.EH//BC,

AAEH^A