高考总复习课程-高考数学尖子生拔高课程（文）课后练习第1112讲立体几何解题规律（上下）

第11讲立体几何解题规律（上）题一：四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是 （）A． B． C． D．题二：如图左，若D、E、F分别是三棱锥SABC的侧棱SA、SB、SC上的点，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平面DEF截三棱锥SABC所得的上下两部分的体积之比为（）A、4：31B、6：23C、4：23D、2：25题三：如图,在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°AC=2,BC=,SB=.(1)证明:SC⊥BC;(2)求三棱锥B—SAC的体积VB—SAC.题四：如图,四面体中,是的中点,和都是等边三角形,.(1)求异面直线与直线所成的角(2)求点到平面的距离.题五：三棱锥OABC中，侧棱OA,OB,OC两两互相垂直，求证底面是锐角三角形题六：过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．(1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的_____点．(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的____心．(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的_____心．第12讲立体几何解题规律（下）题一：如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC.已知求(1）异面直线PD与EC的距离；（2）二面角E—PC—D的大小.题二：如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥底面ABCD.（1）求证：平面PAB⊥平面PAD（2）求二面角A—PD—B的大小；（3）设AB=1，求点D到平面PBC的距离.题三：如题图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：（Ⅰ）直线到平面的距离；（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．题四ACBDP：如图，在三棱锥中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．ACBDP题五：如图，直三棱柱中，AB=1，，∠ABC=60.(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）求二面角A——B的大小。题六：如图,在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA1＝，AD⊥DC，AC⊥BD,垂足为E.（I）求证：BD⊥A1C；（=2\*ROMANII）求二面角A1－BD－C1的大小；（=3\*ROMANIII）求异面直线AD与BC1所成角的大小．

第11讲立体几何解题规律（上）题一：选C．详解：连接AF、AG并延长与BC、CD相交于M、N，推出四面体EFGH与四面体ABCD是相似的，可求出它们的相似比，面积比是相似比的平方．如图，连接AF、AG并延长与BC、CD相交于M、N，

由于F、G分别是三角形的重心，

所以M、N分别是BC、CD的中点，

且AF：AM=AG：AN=2：3，

所以FG：MN=2：3，

又MN：BD=1：2，所以FG：BD=1：3，

即两个四面体的相似比是1：3，

所以两个四面体的表面积的比是1：9；

故选C．题二：选C详解：特殊化处理，不妨设三棱锥SABC是棱长为3的正三棱锥，K是FC的中点，分别表示上下两部分的体积则，，选C题三：详解：(1)证明:∵∠SAB=∠SAC=90°∴SA⊥AB.SA⊥AC.又AB∩AC=A∴SA⊥平面ABC.由∠ACB=90°,即BC⊥AC.由三垂线定理得SC⊥BC.(2)由(1)知,SA⊥平面ABC.∴VBSAC=VSABC=S△ABCSA=题四：；．详解：（I）连结，和为等边三角形，为的中点，为的中点，，，又，，在中，，，即，∴平面，∴BC，∴异面直线AO与直线BC所成的角为．（Ⅱ）显然B到到平面的距离是点到平面的距离的两倍，设点到平面的距离为，，，在中，，，点到平面的距离为．∴点B到平面的距离为．题五：证明：侧棱OA,OB,OC两两互相垂直AB²=OA²+OB²AC²=OA²+OC²BC²=OB²+OC²由余弦定理cos∠ABC=∴∠ABC为锐角同理可得∠BAC,∠ACB为锐角∴△ABC是锐角三角形题六：中，外，垂心.证明：①连接OA、OB、OC∵PA＝PB＝PC且PO为公共边∴Rt△AOP≌Rt△BOP≌Rt△COP∴OA＝OB＝OC∴O为△ABC的外心(1)、(2)两问的答案即证出②连接AO、CO并延长交BC、AB于D、E两点∵PA⊥PC，PB⊥PC∴PC⊥面PAB∴PC⊥AB∵PO⊥α∴PO⊥AB，PO∩PC＝P∴AB⊥CO同理BC⊥AO∴O为高的交点∴O为△ABC的垂心第12讲立体几何解题规律（下）题一：距离为1；详解：（1）因PD⊥底面ABCD，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线.设DE=x，因△DAE∽△CED，故（负根舍去）.从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1.（2）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH.因PD⊥底面，故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD.因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EH⊥PC.因此∠EHG为二面角的平面角.在面PDC中，PD=，CD=2，GC=因△PDC∽△GHC，故，又故在即二面角E—PC—D的大小为题二：余弦值为；详解：（1）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.在△AOE中，AO=1，OE=∴即AC与PB所成角的余弦值为.（2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.连PF，则在Rt△ADF中设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC.∴N点到AB的距离，N点到AP的距离题三：；.详解：（Ⅰ）平面,AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因，∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离。在中，由平面，得AD，从而在中，。即直线到平面的距离为。（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，为二面角的平面角，记为.在中,,由得,,从而在中,,故.所以二面角的平面角的正切值为.题四：；．详解：（Ⅰ）取中点，连结．，．，ACBEP．，平面．ACBEP平面，．（Ⅱ），，．又，．又，即，且，平面．取中点．连结．，．是在平面内的射影，．是二面角的平面角．在中，，，，．ACBDPH二面角ACBDPH（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，平面平面．过作，垂足为．平面平面，平面．的长即为点到平面的距离．由（Ⅰ）知，又，且，平面．平面，．在中，，，．．点到平面的距离为．题五：详解:（Ⅰ）因为三棱柱为直三棱柱所以在中由正弦定理得所以即，所以又因为所以（Ⅱ）如图所示，作交于，连，由三垂线定理可得所以为所求角，在中，，在中，，所以题六：90°；．详解:（1）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，∵AA1⊥底面ABCD．∴AC是A1C在平面ABCD上的射影．∵BD⊥AC．∴BD⊥A（2）连结A1E，C1E，A1C1．与（=1\*ROMANI）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，∴∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角．∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1=∠ADC＝90°，又A1D1=AD＝2，D1C1=DC＝2，AA1=且AC⊥BD，∴A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴A1E＝2，C1E＝2，在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2，∴∠A1EC1