2025届河北省邢台市高三上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市2025届高三上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，又，所以.故选：D.2.某校有男生人，女生人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取人进行调查，则男生被抽取的人数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设男生被抽取的人数是，由已知可得，解得，.故选：C.3.某工厂有一个正四棱台形的储物料斗，该储物料斗的上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米，则该储物料斗的体积是（）（不考虑储物料斗斗壁的厚度）A.立方米 B.28立方米C.立方米 D.84立方米【答案】B【解析】该储物料斗正四棱台，且上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米，所认立方米.所以该储物料斗的体积是立方米.故选：B.4.“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以“”不能推出“”，“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：A.5.向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大，故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求.故选：C.6.在中，，点在线段上，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，由余弦定理可得，又，，，所以，又，所以，在由正弦定理可得，故又，，，所以.故选：D.7.设分别是直线和圆上的动点，则的最小值是（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】圆方程可化为：，故圆心，半径，∴圆心到直线的距离，∴的最小值为.故选：B.8.已知函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，由对恒成立，所以的定义域为，又，所以函数为奇函数，由复合函数的单调性可得在上为单调递增函数，由，可得，所以，即，所以，所以，解得或，所以不等式的解集是.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A. B.C. D.在复平面内对应的点位于第一象限【答案】BD【解析】因为，所以，所以，，，在复平面内对应的点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第一象限.故选：BD.10.纯音是指单一频率的声音，纯音的数学模型是函数．我们在日常生活中听到的声音几乎都是复合音，而复合音是由多个频率不同的纯音组成的．已知某声音的数学模型是函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的单调递增区间是D.的值域是【答案】ACD【解析】对于A，因为，又的最小正周期是，所以的最小正周期为，故A正确；对于B，，所以的图象不关于直线对称，故B错误；对于C，由，求导得，令，即，所以，所以，解得（舍去）或，所以，所以的单调递增区间是，故C正确；对于D，令，即，所以，所以，解得，所以，可得的单调递减区间是，结合C选项，又函数的周期为，所以当时，，当时，，所以的值域是，故D正确.故选：ACD.11.如图，在长方体中，，，、分别是棱、的中点，点在棱上，则下列说法正确的是（）A.存在点，使得B.点到平面的距离是C.存在点，使得平面D.过作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是【答案】ABD【解析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设点，其中，对于A选项，，，若，则，解得，合乎题意，所以，存在点，使得，A对；对于B选项，设平面的一个法向量为，，则，取，则，，所以，点到平面的距离为，B对；对于C选项，若平面，则，即，无解，C错；对于D选项，该长方体外接球球心为，，，所以球心到直线的距离为，当截面圆圆心在直线上时，球心到截面的距离最大，此时，截面圆的半径取最小值，且，因此，截面面积的最小值为，D对.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12已知向量，若，则______．【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，所以.故答案为：.13.某校开设了门体育类课程和门科技类课程，学生从这门课中最多选修门，且至少选修门体育类课程，则不同的选课方案有______种．（用数字作答）【答案】【解析】学生从这门课中最多选修门且至少选修门课程的选法有，学生从这门课中最多选修门至少选门，且所选课程都为科技类课程的选法选法有，所以满足条件的选法有（种）.故答案为：.14.已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一点，直线与圆切于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率是______．【答案】【解析】因为，所以，所以，因为直线与圆切于点，所以，，又，所以，所以，，，设双曲线的右焦点为，则，又，故，由余弦定理可得，，所以，所以，又，，，，所以，所以，所以，所以则双曲线的离心率.另解：作，垂足为，由，，于是为的中位线，结合已知分析，，，由勾股定理，即，整理得，其余同上.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）若在上单调递增，求的取值范围．解：（1）设曲线在点处的切线的斜率，直线的斜率为，因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，即，又的导函数，所以，所以，所以，（2）由若在上单调递增，可得在上恒成立，由（1）可得在上恒成立，所以在上恒成立，所以，其中，又当时，，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以的取值范围为.16.旅游是人们为了休闲、商务或其他目的离开自己的常住地，前往其他地方进行的活动．甲、乙、丙三人计划去西安旅游，经过商议他们计划各自从秦始皇兵马俑、华清宫、大唐不夜城、华山、黄河壶口瀑布这五个景点中随机选择两个景点游玩．（1）求甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的概率；（2）记他们选择去大唐不夜城游玩的人数为，求的分布列与期望．解：（1）甲、乙、丙分别从五个景点中随机选择两个景点游玩的所有选法有种选法，其中甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的选法有种选法，所以甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的概率；（2）甲选择去大唐不夜城游玩的的概率为，同理可得乙选择去大唐不夜城游玩的的概率为，丙选择去大唐不夜城游玩的的概率为，由已知的可能取值有，，，，且，所以，，，，所以的分布列为所以的期望.17.如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是梯形，．（1）证明：平面平面．（2）若，求平面与平面夹角的正弦值．（1）证明：取中点，连接，因为是等边三角形，又，所以，，又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：若，由（1）可得，所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，设平面与平面所成的角为，，所以，所以平面与平面夹角的正弦值为．18.已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，且．（1）求抛物线的方程．（2）直线与抛物线交于两点，轴上是否存在定点，使得直线经过点，且为定值？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的准线方程为，又是抛物线上的一点，且，所以，，所以，所以，所以，解得．所以抛物线的方程为．（2）假设轴上存在定点，使得直线经过点，且定值，显然直线的斜率不为，设直线的方程为，联立，消去，可得，所以，，，所以，当时，为定值，此时定点坐标为，的定值为.19.若数列的首项，对任意的，都有（为常数，且），则称为有界变差数列，其中为数列的相邻两项差值的上界．已知数列是有界变差数列，的前项和为．（1）当时，证明：．（2）当中各项都取最大值时，对任意的恒成立，求的最大值；（3）当中各项都取最大值时，，数列的前项和为，若对任意的，都有，求的取值范围．（1）证明：当时，，则.当时，，满足，故，当且仅当时，等号成立.（2）解：因为，所以，当时，满足上式，所以.所以不等式可化为，所以，.因为，所以，所以，而，当且仅当时，等号成立.因为对任意的恒成立，所以，因为，所以.（3）解：由(2)可得，则，设，则，所以，所以，因为对任意的，都有，所以，即.当为奇数时，，即，所以，所以为递减数列，则；当为偶数时，，所以，因为，所以为递增数列，则.综上，的取值范围为.河北省邢台市2025届高三上学期1月期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，又，所以.故选：D.2.某校有男生人，女生人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取人进行调查，则男生被抽取的人数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设男生被抽取的人数是，由已知可得，解得，.故选：C.3.某工厂有一个正四棱台形的储物料斗，该储物料斗的上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米，则该储物料斗的体积是（）（不考虑储物料斗斗壁的厚度）A.立方米 B.28立方米C.立方米 D.84立方米【答案】B【解析】该储物料斗正四棱台，且上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米，所认立方米.所以该储物料斗的体积是立方米.故选：B.4.“”是“”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以“”不能推出“”，“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：A.5.向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大，故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求.故选：C.6.在中，，点在线段上，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，由余弦定理可得，又，，，所以，又，所以，在由正弦定理可得，故又，，，所以.故选：D.7.设分别是直线和圆上的动点，则的最小值是（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】B【解析】圆方程可化为：，故圆心，半径，∴圆心到直线的距离，∴的最小值为.故选：B.8.已知函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，由对恒成立，所以的定义域为，又，所以函数为奇函数，由复合函数的单调性可得在上为单调递增函数，由，可得，所以，即，所以，所以，解得或，所以不等式的解集是.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A. B.C. D.在复平面内对应的点位于第一象限【答案】BD【解析】因为，所以，所以，，，在复平面内对应的点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第一象限.故选：BD.10.纯音是指单一频率的声音，纯音的数学模型是函数．我们在日常生活中听到的声音几乎都是复合音，而复合音是由多个频率不同的纯音组成的．已知某声音的数学模型是函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的单调递增区间是D.的值域是【答案】ACD【解析】对于A，因为，又的最小正周期是，所以的最小正周期为，故A正确；对于B，，所以的图象不关于直线对称，故B错误；对于C，由，求导得，令，即，所以，所以，解得（舍去）或，所以，所以的单调递增区间是，故C正确；对于D，令，即，所以，所以，解得，所以，可得的单调递减区间是，结合C选项，又函数的周期为，所以当时，，当时，，所以的值域是，故D正确.故选：ACD.11.如图，在长方体中，，，、分别是棱、的中点，点在棱上，则下列说法正确的是（）A.存在点，使得B.点到平面的距离是C.存在点，使得平面D.过作该长方体外接球的截面，所得截面面积的最小值是【答案】ABD【解析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设点，其中，对于A选项，，，若，则，解得，合乎题意，所以，存在点，使得，A对；对于B选项，设平面的一个法向量为，，则，取，则，，所以，点到平面的距离为，B对；对于C选项，若平面，则，即，无解，C错；对于D选项，该长方体外接球球心为，，，所以球心到直线的距离为，当截面圆圆心在直线上时，球心到截面的距离最大，此时，截面圆的半径取最小值，且，因此，截面面积的最小值为，D对.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12已知向量，若，则______．【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，所以.故答案为：.13.某校开设了门体育类课程和门科技类课程，学生从这门课中最多选修门，且至少选修门体育类课程，则不同的选课方案有______种．（用数字作答）【答案】【解析】学生从这门课中最多选修门且至少选修门课程的选法有，学生从这门课中最多选修门至少选门，且所选课程都为科技类课程的选法选法有，所以满足条件的选法有（种）.故答案为：.14.已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一点，直线与圆切于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率是______．【答案】【解析】因为，所以，所以，因为直线与圆切于点，所以，，又，所以，所以，，，设双曲线的右焦点为，则，又，故，由余弦定理可得，，所以，所以，又，，，，所以，所以，所以，所以则双曲线的离心率.另解：作，垂足为，由，，于是为的中位线，结合已知分析，，，由勾股定理，即，整理得，其余同上.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）若在上单调递增，求的取值范围．解：（1）设曲线在点处的切线的斜率，直线的斜率为，因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，即，又的导函数，所以，所以，所以，（2）由若在上单调递增，可得在上恒成立，由（1）可得在上恒成立，所以在上恒成立，所以，其中，又当时，，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以的取值范围为.16.旅游是人们为了休闲、商务或其他目的离开自己的常住地，前往其他地方进行的活动．甲、乙、丙三人计划去西安旅游，经过商议他们计划各自从秦始皇兵马俑、华清宫、大唐不夜城、华山、黄河壶口瀑布这五个景点中随机选择两个景点游玩．（1）求甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的概率；（2）记他们选择去大唐不夜城游玩的人数为，求的分布列与期望．解：（1）甲、乙、丙分别从五个景点中随机选择两个景点游玩的所有选法有种选法，其中甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的选法有种选法，所以甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的概率；（2）甲选择去大唐不夜城游玩的的概率为，同理可得乙选择去大唐不夜城游玩的的概率为，丙选择去大唐不夜城游玩的的概率为，由已知的可能取值有，，，，且，所以，，，，所以的分布列为所以的期望.17.如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是梯形，．（1）证明：平面平面．（2）若，求平面与平面夹角的正弦值．（1）证明：取中点，连接，因为是等边三角形，又，所以，，又，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以，又