《向量组线性相关及其应用研究》5200字（论文）

向量组线性相关及其应用研究目录TOC\o"1-2"\h\u摘要 1引言 21.预备知识 32.向量组线性相关的性质 43.向量组线性相关的判定方法 84.向量组线性相关的应用 104.1向量组线性相关在代数中的应用 114.2向量组线性相关在求线性空间的基的应用 124.3向量组线性相关在判断平面几何中直线的位置关系的应用 124.4向量组线性相关在生产中一些问题的应用 134.5向量组线性相关在求数列极限问题中的应用 144.6向量组线性相关在求代数式的取值范围问题中的应用 154.7向量组线性相关在解决一些二元不定方程问题的应用 154.8向量组线性相关在化学中电荷守恒问题中的应用 16结束语 17参考文献 18摘要：本文首先详细给出了向量组线性相关的一些相关定义；其次阐述了向量组线性相关的性质和判定方法.比如：替换定理，单个向量、单个非零向量的线性关系，利用齐次线性方程组的解来判断线性相关；最后阐述了向量组线性相关在代数中、在求线性空间的基中、在判断平面几何中直线的位置关系、在企业生产中、在求数列极限问题中、在求代数式的取值范围问题中、在解决一些二元不定方程问题以及在化学中电荷守恒问题中这些方面的应用.关键词：线性相关；向量组；矩阵；行列式；齐次线性方程组引言向量组的线性相关理论是高等代数中的重要基石.它与线性变换、二次型矩阵、线性方程组的线性求解、行列式以及人类社会生活实践等领域有着密不可分的联系.向量组线性相关在可以对代数学，几何类问题中起到简化作用，尤其是对中学数学问题的解答，会更加的简单通俗，起到简化解题、事半功倍的效果.很多学者已经对向量组的线性相关的性质和应用做了研究.文献[1]阐述了线性相关的定义；文献[2]介绍了向量组的极大线性无关组的定义和性质；文献[4]阐述了向量组线性相关的一些性质及其判定它的一些方法；文献[9]介绍了向量组的线性相关和矩阵秩的关系及在齐次线性方程组中的应用；文献[12]研究了线性相关思想在中学数学问题解法中的应用.本文在上述相关文献的研究基础上，进一步讨论并总结了向量间和组之间线性相关的基本定义、性质和几种判定它方法，并重点给出了向量间和组间的线性相关在代数中、在判断平面几何中直线的位置关系、在企业生产中、在求数列极限问题中、在求代数式的取值问题中、在解决一些二元不定方程问题以及在化学中电荷守恒问题中这些方面的应用.1.预备知识定义1.1互换两个方程的位置；用一个非零的数乘某一方程；把一个方程乘以一个常数加到另一个方程.称为线性方程组的初等变换.定义1.2设是一个向量组，如果有，使，称向量为的一个线性组合.定义1.3若有一向量组()且有常数不全为，使，则称线性相关.定义1.4若向量组()满足数域中有一组常数使当且仅当时成立，则称线性无关.定义1.5如果向量组的一个部分组线性无关，从中任意添一个向量，所得的部分向量组都线性相关，则称该部分组为极大线性无关组.定义1.6设两向量组与.每一个都可以由线性表示；每个都可以由线性表示；那么就说与等价.定义1.7克拉默（Cramer）法则如果线性方程组的系数矩阵当.则有唯一解.并且解可以通过表出.其中则.2.向量组线性相关的性质性质2.1设与是两个向量组.如果向量组可以由线性表出；.那么向量组必线性相关.证明由条件可知有要想证明线性相关，只需找到一组常数且不全为零，使.由此，我们可以作线性组合若能找到数不全为使的系数全为零，即可证线性相关.由条件可知，由齐次线性方程组中方程每个未知数的实际求解已知个数通常大于方程实际已知求解的个数，知该方程组有非零解，故线性相关.性质2.2当中的某一个向量由其余向量线性表示，则向量组线性相关.证明设线性相关，存在使得成立.则至少存在一个系数，不妨设.可得.即可有线性表示.可有.所以线性相关.性质2.3替换定理设向量组线性无关，并且每一个都可以由向量组线性表示.那么，并且必要时可以使用替换，得到的向量组与等价.性质2.4在齐次线性方程组中，若，那么它必有非零解.性质2.5任意个维向量必线性相关.证明每个维向量都可以被维单位向量线性表出，又由性质2.1可知必线性相关.性质2.6向量组中每一个向量都可以由表示.证明任取一个，即得证.性质2.7若向量可以由线性表示，而对每一个都能由线性表示，则也能由线性表出.证明由和得，即得证.性质2.8如果向量组的部分向量线性相关，那么整个向量组线性相关.证明若中有个线性相关，不妨设是前个线性相关.存在个不全为0的常数，使得.取.所以存在一组不全为零的常数使，即线性相关.性质2.9若向量组线性无关，而线性相关.那么也可以由线性表示.证明由题意可知存在一组不全为零的常数序列使，当时，则上式变为.这时至少有一个不为零，但这与线性无关矛盾，所以，由移项可得性质2.10若与线性无关且等价，则.证明设向量组与符合性质2.10的条件，由性质2.3可知，即.性质2.11如果向量组含有一个向量，则该向量的组线性相关.性质2.12线性相关分量线性相关.证明必要性由线性相关，即存在常数使通过转换得.即分量对应成比例.充分性已知条件分量对应成比例，将其转化为数学公式关系为，进一步转化为.从而向量线性相关.3.向量组线性相关的判定方法3.1定义法由定义2.12可判断.例1判断向量组，，线性相关性？解由题可看出，故线性相关.3.2利用齐次线性方程组的解来判断已知以为系数建立起齐次线性方程组.若该方程组存在非零解，则线性相关，若只有零解，则该方程组线性无关.例2设向量组线性无关，其中，，.判断的线性相关性.解由条件知线性无关，由定义2.3可知存在一组全为零的常数，使，现设存在一组常数使.即.可得，，.即.由克拉默法则知，则，因此一定有解.又该方程组是齐次线性方程组，即，由定义2.7知.由定义2.3可知线性无关.3.3利用矩阵的秩来判断将向量组写成矩阵，把其中每个向量写成矩阵的列，若矩阵的秩与向量的个数相同，则线性无关.例3现有向量组判断该其线性相关性.解做以为列向量的矩阵且对做初等变换可得把化成阶梯形矩阵，等于向量的个数，所以线性无关.3.4行列式值法若是由个维向量形成的向量组，且构成的矩阵是阶矩阵.则当，线性相关；当，线性无关.例4判断向量组的线性相关性.解做以为列形成的行列式如下由，所以线性相关.例5若向量线性相关，则取何值.解做以为列向量的行列式如下即.所以当时，线性相关.3.5利用反证法很多题目根据所给条件直接证明往往会非常困难，用反正法入手往往会很容易得出与定理、定义等完全相悖的结果，从而说明原结论成立.例7向量组中任一向量不能由线性表示，证明：线性无关.证明利用反证法.设线性相关，即存在常数，使得可知，否则有.也即是可由线性表出，这与题设矛盾，所以，从而，同理可得出，这与不全为零矛盾，所以线性无关.4.向量组线性相关的应用4.1向量组线性相关在代数中的应用判断一个向量组是否线性相关，根据定义2.3知，需要设一组任意常数，使，若存在不全为零满足，那么线性相关，若只有当时才会成立，则线性无关.例8设线性无关，可由线性表示，不能由线性表出，证明：（是任意常数且不为零）的线性相关性.证明用反证法.设线性相关，根据定义2.3可知必定存在一组含有不为零的常数序列使因可由线性表示，因此存在常数不全为使，将代入得转换后.又由于不能由线性表出，因此线性无关.故即.故线性无关.4.2向量组线性相关在求线性空间的基的应用运用线性相关判定线性空间中一组向量是否线性相关，并以此求出线性空间中的极大线性无关组，继而可以求出或证明该向量组是否为线性空间中的一组基.例9设，满足：.证明：存在的一个向量使得是的一个基.证明由条件可知，设有个任意常数，使，做线性变换得.又得.同理对做变换可得，由定义2.3知线性无关，是的一个基.向量组线性相关在判断平面几何中直线的位置关系的应用线性相关可以用来判定平面几何中不同直线之间的关系.若平面上不同直线的系数组成的行列式值为零也即直线系数组成的向量组线性相关，则检验不同的直线相较于同一点.例10平面上三条不同的直线，，，试求：如果三条直线交于一点，则满足的条件.解若三条直线交于一点，那么点是的一个不为零的解.三条直线的系数组成的行列式为因即.因此满足的条件是.4.4向量组线性相关在生产中一些问题的应用线性相关的可以更方便解决生活中的一些问题，比如企业共产生产生活中的问题，可将企业生产产品所需元件比例写成向量形式，并将其写成矩阵形式，化成阶梯形矩阵，通过阶梯形矩阵的特征从而可得到想要的结果.例11某工厂制造四种产品，其元件有五种分为元件一、元件二、元件三、元件四、元件五.四种产品所需要的五种元件比例分别为、、、.问：能否生产出新产品？解令，，，.将其看成五维列向量，形成矩阵.其秩为2，，，，因此可以生产新产品三号、四号、五号.4.5向量组线性相关在求数列极限问题的应用数学中一些线性相关的问题若是采用一般初等解题方法，计算会很复杂，若利用线性相关的思想来处理，反而使问题更加的浅显易懂，更容易解决，比如数列极限问题，题目给出的条件与要求的式子呈线性相关.例12若，，求.一般错误解法即解出.这种解法是错误的，因为虽然极限，存在但，不一定存在，所以这种解法不可取.正确的解法运用线性相关的思想解此题.观察本题的条件和问题，我们可以发现是线性相关的，即，故4.6向量组线性相关在求代数式的取值范围问题中的应用一般情况下代数式不等式之间的计算不像等式之间的计算那么简单直白，为了简便解题，可以找出不等式直接的线性关系从而可以直接准确的计算出结果.例13设并且满足，，求的取值范围.解将带入可得.将带入得.将带入可得.由于依赖于，所以线性相关.所以存在常数使，可转换为，即，解方程可得.，.，因此.4.7向量组线性相关在解决一些二元不定方程问题的应用对于一些二元不定方程问题根据题目所给的条件所列出的方程组少于所设未知数，因此按照一般方程组解法所得出的解不唯一，从而得不出题目所需要的结果.可以运用所列方程组和所求问题列出的方程式之间的线性关系，从而得出所需要的结果.例14现有三种商品、、.如果你只需购买商品3件、商品7件、商品1件，共215元，若购买商品4件、商品10件、商品4件，共需420元.现购买、、商品各一件需要多少钱？解可设购买商品、、各一件分别需要元.可列方程组求.此时运用中学一般方法很难求解，而且满足条件的解不唯一.运用线性相关的思想，可看出与、线性相关，设，所以，得.将代入故购买、、商品各一件需要105元.4.8向量组线性相关在化学中电荷守恒问题中的应用计算电荷守恒是中学化学中的一个重难点问题，有一些电荷守恒的题目用一般计算方法的列方程组得出的结果不唯一、不准确，从而得不出想要的结果.不妨另辟蹊径，利用线性相关来分析所列方程与要求方程的关系，从而能精确得出所需要的结果.例15已知镍和氧化镍混和物一共有15克，现加入稀硫酸150，发生的化学反应结果是放出1.68升，此时镍和氧化镍消耗殆尽，现又向溶液中滴入溶液，其中颜色没有发生变化，为了中和过量的，且完全转化成，一共连续消耗了3的溶液200ml，原溶液中酸的物质的量的浓度是多少?

解最终反应后在溶液中只含和(和忽略不计)，过化学反应最终成沉淀，变成或被中和，来自、由硫酸提供，根据溶液中阴、阳离子所带的负、正电荷数相同.列出等式，可得.结束语本文由相关定义出发，从线性相关的定义、极大线性无关组、等价等方面总结了向量组线性相关的13条性质，并给出了其中一些性质的应用，由线性相关在代数学中、求线性空间的基、判断平面几何中直线的位置关系、企业生产中、数列极限问题、代数式的取值范围问题、解决一些二元不定方程问题、化学中电荷守恒问题中的应用.通过本文，我们可以对线性相关有一个更进一步的了解，并且可以看出，如果我们多去注意这些性质及应用，会给我们带来方便，对于一些题目使用线性相关的思想会更加的简单易懂.当然，本文只是总结出了线性相关的部分简单性质及应用，其还有很多特殊的性质及应用等着我们去发现.

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