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文档简介
绝密★启用前
2025年茂名市高三年级第一次综合测试
数学试卷
试卷共4页,19小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号
和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处,,.
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在
试卷上.
3.非选择题必须用黑色宇迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;
不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将答题卡交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合/={%]-2<彳<0},"={彳|一1<尤<3},则()
A.{x|-l〈x<0}B.{X|X>3}
C.{x|-2V尤<3}D.{x\x<-2]
3\x<l/、/、
2.已知函数=<〔bgG+8),x”则〃T)+〃1)=()
4710
A.—B.3C.-D.—
333
3.已知直线4:%+冲一5=。,直线4:如+y+3二o,若ij/L则实数机的值为()
A.1B.-1C.-1或1D.0
4.已知4=cos'+isin‘,z?=cos'+isin?■贝|J,Zi•Z2=()
3366
A.0B.iC.-i.DC.6----1—1.i
44
5.在一个箱子中放5个白球,3个红球,摇匀后采用不放回方式随机摸球3次,每次一个,
第3次摸到红球的概率是()
3357
A.-B.—C.—D.—
8162824
6.已知函数,("=五2—6x+5在区间(。,y)上单调递增,贝心的取值范围为()
A.(-<x),l]B.(-oo,3]C.[3,+oo)D.[5,+oo)
UUULLUUUL
7.在棱长为6的正方体A8C。-44GA中,AE=2EAl,曰=2斤,过点民石尸的平面
截该正方体所得截面的周长为()
A.49+30B.6旧+3忘
C.4拒+8应D.6屈+8及
8.向量a与石在单位向量Z上的投影向量均为先,且卜-方|=5,当苕与5的夹角最大时,
a-b=()
911
A.8B.5C.—D.—
44
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有
多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0
分.
9.在一次数学竞赛中,将100名参赛者的成绩按区间[50,60),[60,70),…,[90,100]分
成5组,得到如下频率分布直方图,同一组中的数据用该组区间的中点值代表,
根据图中信息,下列结论正确的是()
A.a=0.015
B.该100名学生成绩的众数约为75
试卷第2页,共4页
C.该100名学生中成绩在[70,90)的人数为48
D.该100名学生成绩的第85百分位数约为82.5
10.下列命题正确的是()
A.若a>b,则a,〉。?
B.若a<6<0,则加<"</
C.右a>b>0,—>----,贝!J根<0
aa+m
D.若2<〃+/?<3,-1<a-h<2,贝Ij3v3a+Z?v8
z^X+l
11.已知函数〃X)=二,则()
A.当a>0时,是增函数
B.当a<0时,的值域为(2,+s)
C.当。=1时,曲线y=〃x)关于点(。,1)对称
D.当a=4时,VxeR,/(Ax+l)+/(2-尤2)<2,则一2«<2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知sin4-cos4=,贝Usina=.
223
13.已知A(T,0),B(-l,0),若直线/:3x+4y+a=0上有且只有一点P满足闸=2|冏,
则。=.
14.已知数列{《}各项都为正整数,%=3,%=2,若VAeN*,(%j-生仆2)包.「6*)=1,
则q+%+,•,+%的最小值为.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步
骤.
15.已知a,b,c分别为VABC三个内角A,3,C的对边,且2反osC=acosC+ccosA.
⑴求C;
(2)若,=内,且VABC的面积为36,求。也
16.已知函数〃x)=lnx--+1.
⑴当。=1时,求函数“X)在x=l处的切线方程;
(2)若函数的最大值为0,求实数。的值.
17.如图,VA3C中,AC,3cAe=3C=2,Z),E分别为AB,AC的中点,将VADE沿
着DE翻折到某个位置得到4PDE.
(1)线段尸8上是否存在点使得DM〃平面PCE,并说明理由;
⑵当尸2=卡时,求平面P3D与平面尸CD所成角的余弦值.
22
18.在平面直角坐标系My中,椭圆石言+/=1但>/,>0)的长轴长为4,离心率
为争直线/交E于两点.
⑴求E的方程;
(2)若直线/过E的右焦点,当△OAB面积最大时,求|相|;
⑶若直线/不过原点,M为线段A8的中点,直线。〃与E交于尸,。两点,已知
尸,0,AB四点共圆,证明:|明<26.
19.已知数列{%},但}满足:{%}为等比数列,也=5,且
+…+岫=4%+2_3("eN*).
⑴求。“也;
(b1
⑵求集合〃=卜炉-b+-x+』=0,〃eN*,“V2N,NeN*'中所有元素的和;
naa
I,Jn
(3)若集合S中存在秋根22)个不同元素《&,•・・,心,使得KK•…k.eS,则称S为优
类集合.试判断{无^=2闻,〃€z}是否为加类集合.若是,求出所有加的值;若不是,
说明理由.
试卷第4页,共4页
1.A
【分析】在数轴上标出集合M和集合N,即可求得McN
【详解】
-2-103x
如图,根据数轴可求得McN={x|-14x<0}.
故选:A
2.C
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
x
【详解】因为小/、)=,3,x(<xl+8),m,所以〃/1)、=1呜9=2,zx=,1
17
所以〃T+〃l)=2+§=].
故选:C
3.C
【分析】根据两直线平行时系数的关系求解即可.
1x1=/
【详解】根据两直线平行,可知21zC,解得加=±1.
[3加工1x(—5)
故选:C
4.B
【分析】根据复数乘法运算法则运算即可.
【详解】Sz,=cos—+isin—=—+i,z2=cos—+isin—=^-+—i,
1332226622
f1百1.1V31.3.A?.
所以Z/Z2=—+----1-------+—1+—1+——i=i.
22
八2274444
故选:B
5.A
【分析】第3次摸到红球,则分三种情况讨论:前3次只有第3次摸到红球,前3次有两次
摸到红球、其中第3次一定摸到红球,前3次摸到3次红球,利用排列数公式及古典概型的
概率计算可得.
答案第1页,共15页
【详解】记第3次摸到红球为事件A,则P(A)=A/A-=|
A;8
故选:A.
6.D
【分析】求出函数的定义域,再根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】由f_6%+520,可得xWl或%25,
即函数“X)的定义域为(F/1U[5,+8),
又因为f=Y-6x+5在[5,+⑹上单调递增,在(-«/]上单调递减,
》=〃在[0,+网上单调递增,
由复合函数的单调性可知/(x)=Jf-6x+5在区间[5,+⑹上单调递增,
a>5.
故选:D.
7.B
【分析】取2cl的中点N,24的中点连接MN、NF、ME,则五边形为过
点民E,户的截面,再计算截面周长即可.
【详解】如图取RG的中点N,RA的中点连接MV、NF、ME,
则五边形B项丽为过点瓦瓦户的截面,取CP的中点J,靠近2的三等分点%,连接
卬、CK、EK,
则NF//DJ,又CJUD\K且CJ=D、K,所以四边形为平行四边形,
所以CK//卬,则NF//CK,
又EKMBC宣EK=BC,所以EKCB为平行四边形,所以EB//CK,则NF//BE,
所以N,尸,8,E四点共面;
取8月、AA靠近B、A的三等分点G、H,连接GG、GH、DXH,
同理可证B/〃CQ,D\HIIC\G,DXHHEM,所以BF//EM,
所以民四点共面;
所以NU,E,“五点共面;
答案第2页,共15页
又NF=ME=4^^=岳,BE=BF=』U+&=2岳,==3。
所以截面周长为6a+3后.
故选:B
8.D
【分析】建立适当的平面直角坐标系,用坐标表示出a、b,利用余弦定理确定。©,卷],
利用△AOC面积得到〃3=由此推断。最大时,tan。最大,£/取最小值,利用坐
tan。
标运算得到:a.g=m2-5m+9,由二次函数性质求最值即可.
设工为龙轴正半轴上的单位向量,
令30=℃=(3,0),a=0A=(3,m),b=OB=(3,m—5),
(seR)如图所示,设日与B的夹角为0,若。«0,兀),
|a|2+|fo|2-25
在△AOC中,由余弦定理有:则cosZJ,1—,
2同似
M|a|2+|^|2-25=9+m2+9+(m-5)2-25=2fm-|'|+y>0,
答案第3页,共15页
所以cos6>0,所以
因为ABLOC,所以邑A℃=JAB|X|OC|=:X5X3=?,
有根据正弦定理有:S^AOC=^\a\]b[sin0,即:同柩,也夕=:,
整理有:同•同=」^,所以无石=同同cos6=1^,
当日与日的夹角最大时,tan。最大,取最小值,
2
因为商=9+m(m-5)=m-5m+9=?
当且仅当"7=2时,取等号,所以当苕与5的夹角最大时,a-b=^.
24
故选:D
【点睛】关键点点睛:
本题关键在于建立适当的平面直角坐标系,把向量的数量积用坐标表示,结合二次函数性质
求值.
9.AB
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之后为1得到方程求出。的值,再根据频
率分布直方图一一判断即可.
【详解】依题意可得(a+QO3+O.O35+a+O.OO5)xlO=l,解得。=0.015,故A正确;
该100名学生成绩的众数约为四等=75,故B正确;
该100名学生中成绩在[70,90)的人数为(0.035+0.015)x10x100=50人,故C错误;
因为(0.015+0.03+0.035)x10=0.8<0.85,(0.015+0.03+0.035+0.015)x10=0,95>0.85,
所以第85百分位数位于[80,90),设其为x,则0.8+(X-80)x0.015=0.85,解得%=83,
故D错误.
故选:AB
10.BCD
【分析】举出反例即可判断A,由不等式的性质代入计算即可判断BD,由作差法即可判断
C.
【详解】对于A,取。=1,6=-2,满足0>b,但是"<廿,故A错误;
答案第4页,共15页
对于B,因为。<6<0,不等式两边同时乘以负数。,不等式方向改变,所以a?>ab,
不等式两边同时乘以负数6,不等式方向改变,所以仍>廿,
所以。2<必<,故B正确;
,十一、,bb+mb(a+m\-a(b+m\bm-amm(b-a)
对于C,因为a>>>0,------------=----------/-------x-------=-/-------7=~/-------
aa+ma^a+m)aya+m)aya+m)
hb+min(b—(1],、
又因为一>-----,所以-7-------(>0,而即人一avO,m(<7+m)<0,
aa+ma[a+m)
所以根vO,故C正确;
对于D,设3a+人=%(.+/?)+y(a—人),即3a+Z?=(x+y)a+(x-y)Z?,
则彳工y—],解得%=2,y=l,所以3a+/?=2(a+Z?)+(a—Z?),
又2<a+Z?<3,贝!J4<2(a+Z?)<6,且一Iva—Z?v2,
所以3<2(a+b)+(a-b)<8,所以3V3Q+Z?V8,故D正确;
故选:BCD
11.ACD
【分析】根据复合函数的单调性判断A,利用特殊值判断B,计算/")+/(-力=2即可判
断C,根据函数的对称性与单调性转化为VXER,2-3—丘,再结合二次不等式的性质
计算可得D.
【详解】对于A:因为〃力=今二=2+—幺定义域为R,
2+Q2+Q
当a>0时y=2工+。在定义域R上单调递增,且y=2*+a>a>0,又>=---在(0,+℃)上单
尤
调递增,
所以/(x)在定义域R上单调递增,故A正确;
对于B:当a=-2时〃。)=-2,但是-2任(2,+«),故B错误;
QX+1
对于C:当Q=1时,/(%)=----,
v72%+1
QX+1Q—X+1QX+1Q
则〃X)+“T)=3I+57rqi+AI=2,所以曲线y=〃x)关于点(0,1)对称,
故c正确;
答案第5页,共15页
QX+1<yx—lQX+1
对于D:当a=4时,==,^的图象是由y='图象向右平移2个单位得
v72'+42A2+1,2A+1
到,
所以/(x)的对称中心为(2,1),且在定义域R上单调递增,
所以VxeR,f(Ax+l)+y(2—x2)<2,TjH|VxeR,2—y(4—Ax—l)+/(2—A:2)<2,
即VxeR"(2-尤2)<〃4一去一1),从而得到VxwR,2-/<3-履,
即--履+1>0恒成立,所以A=/-4<0,解得一2«<2,故D正确.
故选:ACD
【点睛】关键点点睛:D选项的关键是推导出/(x)的对称中心为(2,1),且在定义域R上单
调递增,从而将不等式转化为--丘+1>0恒成立.
12.2
3
【分析】将条件两边平方,再利用同角三角函数的平方关系和二倍角公式化简,得
1?
1一sina=—,解得sina=—.
33
【详解】由5皿q-85q=-且,两边平方得,
223
(,aaYic.aaI
sin-----cos-=I-2sin-cos一二l1-sina=一,
I22)223
2
所以sina=—.
3
2
故答案为:—
13.±10
【分析】设P(x,y),根据|*=2|尸用求出点p的轨迹方程,再根据直线与圆相切,求出参
数的值.
【详解】设P(x,〉),由照|=2附则"旷+9=2j(x+l/+y2,
整理得/+产=4,所以点P在以0(0,0)为圆心,2为半径的圆上,
因为直线/:3尤+4y+a=0上有且只有一点P满足|网=2|P3|,
即直线/:3x+4y+“=0与/+r=4有且只有一个交点,
答案第6页,共15页
所以d=©=2,解得。=±10.
V32+42
故答案为:士10
14.21
【分析】利用已知等式得到每一项减前一项与每一项减后一项同时为1或-1可求;
【详解】因为数列{风}各项都为正整数,且人2)(41-生尢)=1,
故/J-颊-2=^a3k-\~a3k=1或生心1-颊-2=-1,。31-颊=T,
故a3k-l=a3k-2+1,颊T=须+1或«3A-I=-L/J=%T,
所以颊-2+a3k-l+a3k=3a3"1-2或a3k-2++a3k=^a3k-l+2,
当左e{2,3}时,因为{为}各项都为正整数,
所以颊-2+。3"1+」的最小值为4,此时必k-2=L。3左一1=2,a3k—1,
当左=1时,因为〃1=3,故%=4,%=3或。2=2,4=3,
故卬+的+/最小值为8;
当人=4时,因为%2=2,故《0=2,%]=1或a]。=2,%]=3,
故%)+%]+%2最小值为5;
所以4+%+…+%2的最小值为8+4x2+5=21.
故答案为:21.
71
5⑴孑
[a=4[(2=3
⑵73或八,
【分析】(1)利用正弦定理将边化角,再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得;
(2)利用余弦定理及面积公式得到方程组,解得即可.
【详解】(1)因为2ZzcosC=acosC+ccosA,
由正弦定理可得2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sin,
又Be(0,3,所以sin3>0,所以cosC=5,因为Cw(0,7T),所以C=§;
答案第7页,共15页
(2)因为cnjil,C=w且VABC的面积为,
所以。-2"cosC=c2且可至c=gabsinC=34,
+Z?2—cib=13a=4a=3
即…,解得人3或
Z7=4
16.(l)x+y-l=O
【分析】(1)求出函数的导函数,利用导数的几何意义求出切线方程;
(2)求出函数的导函数,分两种情况讨论,说明函数的单调性,从而求出函
数的最大值,从而求出参数。的值.
【详解】(1)当。=1时/(6=班-彳2+1,则41)=0,f(X)=L_2X,
X
所以/”)=T,所以切线方程为丁=-(》-1),即x+y-l=O;
(2)函数/(x)=hr-苏+i的定义域为(0,+司,且(何=1-26=匕肛
XX
当aWO时,r(x)>0恒成立,所以函数八%)在(0,+功上单调递增,则无最大值,故舍去;
当〃>0时,令1一2©2=0,解得玉1
所以当尤90,小1力时,r(x)>0,即/(同在上单调递增,
2。
+8]上单调递减,
当时,r(x)<o,即〃x)在
2a
所以〃尤)在.处取得极大值,即最大值,即/
所以/+1=0,
即一gln(2a)_;+1=0,即ln(2a)=l,所以“=|
17.⑴存在,且"为尸3中点,证明见解析
⑵;
【分析】(1)根据题意,取BC中点G,连接。G,GM,由面面平行的判定定理可得平面
答案第8页,共15页
DWG//平面PCE,即可证明线面平行;
(2)根据题意,由线面垂直的判定定理可得尸石,平面3CED,然后以E为原点建立空间直
角坐标系,结合空间向量的坐标运算以及二面角的公式代入计算,即可得到结果.
【详解】(1)
存在,且M为尸B中点,证明如下:
取2C中点G,连接。G,GM,
因为为AB,尸氏2C中点,所以MG//PC,DG//CE,
又AfGa平面PCE,PCu平面尸CE,DGu平面PCE,CEu平面尸CE,
所以MG〃平面PCE,DG//平面PCE,
y,MGQDG=G,MG,DGu平面£)MG,
所以平面DMG//平面PCE,
因为。Mu平面OMG,所以DM〃平面PCE.
(2)
连接BE,则8E=7?77=逐,又PE=1,PB=娓,
ffivxPB2=PE2+EB2-即PEJ_EB,
又因为PE_LOE,BEcDE=E,8£,。£<=平面友比;,
所以PE_L平面BCED,又CEu平面3CED,所以PE_LCE,
所以PE,EC,EO两两垂直,
以E为原点,而,或,丽分别为龙J*轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系,
则D(l,0,0),P(0,0,l),B(2,l,0),C(0,l,0),
答案第9页,共15页
所以丽=(-1,0,1),丽=(1,1,0),而=(O,-1,1),①=(1,TO),
设平面DP3的一个法向量为汨=
则」一,不妨令斗=1,则乂=一1,句=1,所以4=
nl-DB=xl+yl=O
设平面PCD的一个法向量为“=(x2,y2,z2),
则上一,不妨令X?=l,则%=1?=1,所以%=(1,U),
%CD=x2-y2=0
设平面DPB与平面PCD所成角大小为。,则
cose="倒㈤卜丁x6=3,
所以,平面尸瓦>与平面PCD所成角的余弦值为;.
x2*4y2
18.⑴上+二二1
42
Q)2
(3)证明见解析
【分析】(1)列出〃,c的方程,代入计算,即可得到椭圆标准方程;
(2)根据题意,设直线/的方程为x="+立,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理列出式
子,再由弦长公式以及三角形的面积公式代入计算,结合基本不等式即可得到结果;
(3)根据题意,设直线/的方程为x=(机力0),联立直线与椭圆方程,结合韦达定理
代入计算,即可得到M的坐标,再由四点共圆可得|八例卜|加同="仍口加。|,代入计算,即可
证明.
2a=4
【详解】(1)依题意可得C解得a=2,c=①,
e=—=——
、a2
22
所以〃=/一,2=2,故椭圆的方程为土+二=1.
42
(2)由⑴可知尸(夜,0),由题可设直线/的方程为》=。+及,4(%21),3(>2/2),
x=ty+y/2
联立*,消去X可得(『+2)丁+2⑦—2=0,
---1---=1
答案第10页,共15页
则A=8r+8(r+2)>0恒成立,
mil,-2A/2?-2
贝%%=~P+2,%%=7+2,
%+%)2-4%%=日'8r
所以SAAOB二3。
(M
_V28/+8(/+2)=2后\&=2近〃+i
2
2r+2产+lf+2(?+l)+l
]
=272一<2A/2J—=>/2
2+2
t2++2*
)Z2+l
当且仅当f=。时等号成立,所以直线/垂直于x轴时,VA03的面积取最大值,
此时,|AB|=^-=3=2.
11a2
若直线/的斜率为0,尸,。为上下顶点,且尸QSAS,
若P,Q,A,8四点共圆,贝1]|。尸|=|。4]不成立,
所以由题可设直线/的方程为x=9+m(mw。),4(和%),3(如为),尸(不,%),”(如%),
x=ty+m
则。(一天,一%),联立<fy2,可得(产+2)/+2机(y+机2_4=0,
142
当A=4加2产_4(产+2)(m2_4)>0,
口"2八,"八"-2mtm2-4
即/一2厂一4<0时,%+为=777,3%=7?77,
LI乙l'I乙
所以中点“的坐标为[言,所以自”=-1,
k1/I乙LI乙J乙
故直线OM:y=-gx,
由P,Q,A,B四点共圆,贝I]4HMs|=,
答案第11页,共15页
由网•1网=力阴2=如"心+力_4%为卜2(1+巧的片
44、/L-J(产+2)
y=--X
联立,2,可得尤2=白,即后=垦,
Xy1r+2r+2
——+—=1
142
所以眼玲眼@=1+51片—石|=(4+/)2;:4一,,
k力y+2)
所以2(1+/)=4+/,可得r=2,
所以病<4+2〃=8,
又直线/不过原点,所以相片0,所以苏«0,8),
即阿<2技
riog2(62v-i)+i~|
⑵6N2+N+22N-x412
33
(3)答案见解析
【分析】(1)利用已知条件求出4、。2,结合数列{%}为等比数列即可求%,结合已知条
件利用赋值作差求出2=3,得到数列为等差数列,即可求出b,;
(2)根据已知条件,确定集合M中元素的情况,分成集合A、集合8两种情况,分析判断
除去两集合中的重复元素,分组求和减去重复元素的和即可求解;
(3)按照机类集合的定义,分m=3i、m=3i-l、3i+l三种情况分别判断即可.
【详解】(1)根据题意可得:a/4=4q+4-3,因为q=g,代入上式解得々=2,
又因为4&+的a=4出+&-3,因为4=(,伪=2,%=5,解得々=;,
因为{%}为等比数列,所以{g}的公比为4=蓑=;,
答案第12页,共15页
所以“MW句=目,
所以*+强+白+…+与=:+6“-3(«eN*),
即:4+2伪+…2"-厩=(〃-3)2"+4(neN,),
2
当“N2时,bl+2b2+...T-bn_l=(2T-3)2”T+4,
两式相减得:2»也=(〃-3)2"-(%-3)2"T(WN2),
化简得:2=2(〃—3)-(口「3)(“22),整理得:2一%=3(力22),
所以{4}是公差为3的等差数列,所以d=4+5-1"=3〃-1.
b
x+—=O,neN\n<2N,N£,
an
i)
x-----=0,«eN",n<2N,NeN">
an)
记集合M=卜卜一2)卜一?=0,〃eN*,〃W2N,NeN*>的全体元素的和为S,
集合A=<…,」一],
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