2025年广东茂名高三一模数学试卷（答案详解）

绝密★启用前

2025年茂名市高三年级第一次综合测试

数学试卷

试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号

和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处，，.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答

案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在

试卷上.

3.非选择题必须用黑色宇迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；

不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合/={%]-2<彳<0},"={彳|一1<尤<3},则()

A.{x|-l〈x<0}B.{X|X>3}

C.{x|-2V尤<3}D.{x\x<-2]

3\x<l/、/、

2.已知函数=<〔bgG+8),x”则〃T)+〃1)=()

4710

A.—B.3C.-D.—

333

3.已知直线4：%+冲一5=。，直线4：如+y+3二o,若ij/L则实数机的值为()

A.1B.-1C.-1或1D.0

4.已知4=cos'+isin‘，z?=cos'+isin?■贝|J,Zi•Z2=()

3366

A.0B.iC.-i.DC.6----1—1.i

44

5.在一个箱子中放5个白球，3个红球，摇匀后采用不放回方式随机摸球3次，每次一个，

第3次摸到红球的概率是（）

3357

A.-B.—C.—D.—

8162824

6.已知函数，（"=五2—6x+5在区间（。,y）上单调递增,贝心的取值范围为（）

A.（-<x）,l]B.（-oo,3]C.[3,+oo）D.[5,+oo）

UUULLUUUL

7.在棱长为6的正方体A8C。-44GA中，AE=2EAl,曰=2斤,过点民石尸的平面

截该正方体所得截面的周长为（）

A.49+30B.6旧+3忘

C.4拒+8应D.6屈+8及

8.向量a与石在单位向量Z上的投影向量均为先,且卜-方|=5,当苕与5的夹角最大时，

a-b=（）

911

A.8B.5C.—D.—

44

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.

9.在一次数学竞赛中，将100名参赛者的成绩按区间[50,60）,[60,70）,…,[90,100]分

成5组，得到如下频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表,

根据图中信息，下列结论正确的是（）

A.a=0.015

B.该100名学生成绩的众数约为75

试卷第2页，共4页

C.该100名学生中成绩在［70,90）的人数为48

D.该100名学生成绩的第85百分位数约为82.5

10.下列命题正确的是（）

A.若a>b,则a，〉。?

B.若a<6<0,则加<"</

C.右a>b>0,—>----,贝!J根<0

aa+m

D.若2<〃+/?<3,-1<a-h<2,贝Ij3v3a+Z?v8

z^X+l

11.已知函数〃X）=二，则（）

A.当a>0时,是增函数

B.当a<0时，的值域为（2,+s）

C.当。=1时，曲线y=〃x）关于点（。,1）对称

D.当a=4时，VxeR,/（Ax+l）+/（2-尤2）<2,则一2«<2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知sin4-cos4=,贝Usina=.

223

13.已知A（T,0）,B（-l,0）,若直线/：3x+4y+a=0上有且只有一点P满足闸=2|冏,

则。=.

14.已知数列｛《｝各项都为正整数，%=3,%=2,若VAeN*,（%j-生仆2）包.「6*）=1，

则q+%+,•,+%的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤.

15.已知a,b,c分别为VABC三个内角A,3,C的对边，且2反osC=acosC+ccosA.

⑴求C；

（2）若,=内，且VABC的面积为36，求。也

16.已知函数〃x)=lnx--+1.

⑴当。=1时，求函数“X)在x=l处的切线方程；

(2)若函数的最大值为0,求实数。的值.

17.如图，VA3C中，AC,3cAe=3C=2,Z),E分别为AB,AC的中点，将VADE沿

着DE翻折到某个位置得到4PDE.

(1)线段尸8上是否存在点使得DM〃平面PCE,并说明理由；

⑵当尸2=卡时，求平面P3D与平面尸CD所成角的余弦值.

22

18.在平面直角坐标系My中，椭圆石言+/=1但＞/,＞0)的长轴长为4,离心率

为争直线/交E于两点.

⑴求E的方程；

(2)若直线/过E的右焦点，当△OAB面积最大时，求|相|；

⑶若直线/不过原点，M为线段A8的中点，直线。〃与E交于尸，。两点，已知

尸,0,AB四点共圆,证明：|明＜26.

19.已知数列｛%｝,但｝满足：｛%｝为等比数列，也=5,且

+…+岫=4%+2_3("eN*).

⑴求。“也；

(b1

⑵求集合〃=卜炉-b+-x+』=0,〃eN*,“V2N,NeN*'中所有元素的和；

naa

I,Jn

(3)若集合S中存在秋根22)个不同元素《&，•・・，心,使得KK•…k.eS,则称S为优

类集合.试判断｛无^=2闻,〃€z｝是否为加类集合.若是，求出所有加的值；若不是，

说明理由.

试卷第4页，共4页

1.A

【分析】在数轴上标出集合M和集合N,即可求得McN

【详解】

-2-103x

如图，根据数轴可求得McN={x|-14x<0}.

故选：A

2.C

【分析】根据分段函数解析式计算可得.

x

【详解】因为小/、)=，3,x(<xl+8),m,所以〃/1)、=1呜9=2,zx=,1

17

所以〃T+〃l)=2+§=].

故选：C

3.C

【分析】根据两直线平行时系数的关系求解即可.

1x1=/

【详解】根据两直线平行，可知21zC，解得加=±1.

[3加工1x(—5)

故选：C

4.B

【分析】根据复数乘法运算法则运算即可.

【详解】Sz,=cos—+isin—=—+i,z2=cos—+isin—=^-+—i,

1332226622

f1百1.1V31.3.A?.

所以Z/Z2=—+----1-------+—1+—1+——i=i.

22

八2274444

故选：B

5.A

【分析】第3次摸到红球，则分三种情况讨论：前3次只有第3次摸到红球，前3次有两次

摸到红球、其中第3次一定摸到红球，前3次摸到3次红球，利用排列数公式及古典概型的

概率计算可得.

答案第1页，共15页

【详解】记第3次摸到红球为事件A,则P(A)=A­/A-=|

A；8

故选：A.

6.D

【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.

【详解】由f_6%+520,可得xWl或％25,

即函数“X)的定义域为(F/1U［5,+8),

又因为f=Y-6x+5在［5,+⑹上单调递增，在(-«/］上单调递减，

》=〃在［0,+网上单调递增，

由复合函数的单调性可知/(x)=Jf-6x+5在区间［5,+⑹上单调递增，

a>5.

故选：D.

7.B

【分析】取2cl的中点N,24的中点连接MN、NF、ME,则五边形为过

点民E,户的截面，再计算截面周长即可.

【详解】如图取RG的中点N,RA的中点连接MV、NF、ME,

则五边形B项丽为过点瓦瓦户的截面，取CP的中点J,靠近2的三等分点%,连接

卬、CK、EK,

则NF//DJ,又CJUD\K且CJ=D、K,所以四边形为平行四边形，

所以CK//卬,则NF//CK,

又EKMBC宣EK=BC,所以EKCB为平行四边形，所以EB//CK,则NF//BE,

所以N,尸,8,E四点共面；

取8月、AA靠近B、A的三等分点G、H,连接GG、GH、DXH,

同理可证B/〃CQ,D\HIIC\G,DXHHEM,所以BF//EM,

所以民四点共面；

所以NU,E,“五点共面；

答案第2页，共15页

又NF=ME=4^^=岳，BE=BF=』U+&=2岳,==3。

所以截面周长为6a+3后.

故选：B

8.D

【分析】建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示出a、b,利用余弦定理确定。©，卷］,

利用△AOC面积得到〃3=由此推断。最大时，tan。最大，£/取最小值，利用坐

tan。

标运算得到：a.g=m2-5m+9，由二次函数性质求最值即可.

设工为龙轴正半轴上的单位向量，

令30=℃=（3,0）,a=0A=（3,m）,b=OB=（3,m—5）,

（seR）如图所示，设日与B的夹角为0,若。«0,兀），

|a|2+|fo|2-25

在△AOC中，由余弦定理有：则cosZJ,1—,

2同似

M|a|2+|^|2-25=9+m2+9+（m-5）2-25=2fm-|'|+y>0,

答案第3页，共15页

所以cos6>0,所以

因为ABLOC,所以邑A℃=JAB|X|OC|=：X5X3=?,

有根据正弦定理有：S^AOC=^\a\]b[sin0,即:同柩,也夕=：,

整理有：同•同=」^,所以无石=同同cos6=1^,

当日与日的夹角最大时，tan。最大，取最小值，

2

因为商=9+m(m-5)=m-5m+9=?

当且仅当"7=2时，取等号，所以当苕与5的夹角最大时，a-b=^.

24

故选：D

【点睛】关键点点睛：

本题关键在于建立适当的平面直角坐标系，把向量的数量积用坐标表示，结合二次函数性质

求值.

9.AB

【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之后为1得到方程求出。的值，再根据频

率分布直方图一一判断即可.

【详解】依题意可得(a+QO3+O.O35+a+O.OO5)xlO=l,解得。=0.015,故A正确；

该100名学生成绩的众数约为四等=75,故B正确；

该100名学生中成绩在[70,90)的人数为(0.035+0.015)x10x100=50人，故C错误；

因为(0.015+0.03+0.035)x10=0.8<0.85,(0.015+0.03+0.035+0.015)x10=0,95>0.85,

所以第85百分位数位于[80,90),设其为x,则0.8+(X-80)x0.015=0.85,解得％=83，

故D错误.

故选：AB

10.BCD

【分析】举出反例即可判断A,由不等式的性质代入计算即可判断BD,由作差法即可判断

C.

【详解】对于A,取。=1,6=-2,满足0>b,但是"<廿，故A错误；

答案第4页，共15页

对于B,因为。<6<0,不等式两边同时乘以负数。，不等式方向改变，所以a?>ab，

不等式两边同时乘以负数6,不等式方向改变，所以仍>廿，

所以。2<必<,故B正确；

，十一、，bb+mb(a+m\-a(b+m\bm-amm(b-a)

对于C,因为a>>>0,------------=----------/-------x-------=-/-------7=~/-------

aa+ma^a+m)aya+m)aya+m)

hb+min(b—(1],、

又因为一>-----，所以-7-------(>0,而即人一avO,m(<7+m)<0,

aa+ma[a+m)

所以根vO,故C正确；

对于D,设3a+人=%(.+/?)+y(a—人),即3a+Z?=(x+y)a+(x-y)Z?,

则彳工y—]，解得％=2,y=l,所以3a+/?=2(a+Z?)+(a—Z?),

又2<a+Z?<3,贝！J4<2(a+Z?)<6,且一Iva—Z?v2,

所以3<2(a+b)+(a-b)<8,所以3V3Q+Z?V8,故D正确；

故选：BCD

11.ACD

【分析】根据复合函数的单调性判断A,利用特殊值判断B,计算/")+/(-力=2即可判

断C,根据函数的对称性与单调性转化为VXER,2-3—丘，再结合二次不等式的性质

计算可得D.

【详解】对于A：因为〃力=今二=2+—幺定义域为R,

2+Q2+Q

当a>0时y=2工+。在定义域R上单调递增，且y=2*+a>a>0,又>=---在(0,+℃)上单

尤

调递增，

所以/(x)在定义域R上单调递增，故A正确；

对于B：当a=-2时〃。)=-2,但是-2任(2,+«),故B错误；

QX+1

对于C:当Q=1时，/(%)=----，

v72%+1

QX+1Q—X+1QX+1Q

则〃X)+“T)=3I+57rqi+AI=2,所以曲线y=〃x)关于点(0,1)对称，

故c正确；

答案第5页，共15页

QX+1<yx—lQX+1

对于D：当a=4时，==，^的图象是由y='图象向右平移2个单位得

v72'+42A2+1，2A+1

到，

所以/（x）的对称中心为（2,1）,且在定义域R上单调递增，

所以VxeR,f（Ax+l）+y（2—x2）<2,TjH|VxeR,2—y（4—Ax—l）+/（2—A：2）<2,

即VxeR"（2-尤2）<〃4一去一1）,从而得到VxwR,2-/<3-履，

即--履+1>0恒成立，所以A=/-4<0,解得一2«<2,故D正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：D选项的关键是推导出/（x）的对称中心为（2,1）,且在定义域R上单

调递增，从而将不等式转化为--丘+1>0恒成立.

12.2

3

【分析】将条件两边平方，再利用同角三角函数的平方关系和二倍角公式化简，得

1?

1一sina=—,解得sina=—.

33

【详解】由5皿q-85q=-且，两边平方得，

223

（,aaYic.aaI

sin-----cos-=I-2sin-cos一二l1-sina=一,

I22）223

2

所以sina=—.

3

2

故答案为：—

13.±10

【分析】设P（x,y）,根据|*=2|尸用求出点p的轨迹方程，再根据直线与圆相切，求出参

数的值.

【详解】设P（x,〉），由照|=2附则"旷+9=2j（x+l/+y2,

整理得/+产=4,所以点P在以0（0,0）为圆心，2为半径的圆上，

因为直线/：3尤+4y+a=0上有且只有一点P满足|网=2|P3|,

即直线/:3x+4y+“=0与/+r=4有且只有一个交点，

答案第6页，共15页

所以d=©=2,解得。=±10.

V32+42

故答案为：士10

14.21

【分析】利用已知等式得到每一项减前一项与每一项减后一项同时为1或-1可求；

【详解】因为数列｛风｝各项都为正整数，且人2)(41-生尢)=1,

故/J-颊-2=^a3k-\~a3k=1或生心1-颊-2=-1，。31-颊=T，

故a3k-l=a3k-2+1，颊T=须+1或«3A-I=-L/J=%T，

所以颊-2+a3k-l+a3k=3a3"1-2或a3k-2++a3k=^a3k-l+2，

当左e｛2,3｝时，因为｛为｝各项都为正整数，

所以颊-2+。3"1+」的最小值为4,此时必k-2=L。3左一1=2,a3k—1，

当左=1时，因为〃1=3,故%=4,%=3或。2=2,4=3,

故卬+的+/最小值为8；

当人=4时，因为％2=2,故《0=2,%]=1或a]。=2,%]=3,

故％)+%]+%2最小值为5；

所以4+%+…+%2的最小值为8+4x2+5=21.

故答案为：21.

71

5⑴孑

[a=4[(2=3

⑵73或八,

【分析】(1)利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得;

(2)利用余弦定理及面积公式得到方程组，解得即可.

【详解】(1)因为2ZzcosC=acosC+ccosA,

由正弦定理可得2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sin,

又Be(0,3,所以sin3>0,所以cosC=5，因为Cw(0,7T),所以C=§；

答案第7页，共15页

(2)因为cnjil,C=w且VABC的面积为,

所以。-2"cosC=c2且可至c=gabsinC=34，

+Z?2—cib=13a=4a=3

即…,解得人3或

Z7=4

16.(l)x+y-l=O

【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程;

（2）求出函数的导函数，分两种情况讨论，说明函数的单调性，从而求出函

数的最大值，从而求出参数。的值.

【详解】(1)当。=1时/(6=班-彳2+1,则41)=0,f(X)=L_2X,

X

所以/”）=T，所以切线方程为丁=-（》-1），即x+y-l=O；

（2）函数/（x）=hr-苏+i的定义域为（0,+司，且（何=1-26=匕肛

XX

当aWO时，r（x）＞0恒成立，所以函数八％）在（0,+功上单调递增，则无最大值，故舍去;

当〃＞0时，令1一2©2=0，解得玉1

所以当尤90,小1力时，r（x）＞0,即/（同在上单调递增,

2。

+8］上单调递减,

当时，r（x）＜o,即〃x）在

2a

所以〃尤）在.处取得极大值，即最大值，即/

所以/+1=0,

即一gln（2a）_；+1=0,即ln(2a)=l,所以“=|

17.⑴存在,且"为尸3中点，证明见解析

⑵;

【分析】（1）根据题意，取BC中点G,连接。G,GM,由面面平行的判定定理可得平面

答案第8页，共15页

DWG//平面PCE,即可证明线面平行；

（2）根据题意，由线面垂直的判定定理可得尸石，平面3CED,然后以E为原点建立空间直

角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角的公式代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）

存在，且M为尸B中点，证明如下：

取2C中点G,连接。G,GM,

因为为AB,尸氏2C中点，所以MG//PC,DG//CE,

又AfGa平面PCE,PCu平面尸CE,DGu平面PCE,CEu平面尸CE,

所以MG〃平面PCE,DG//平面PCE,

y,MGQDG=G,MG,DGu平面£）MG,

所以平面DMG//平面PCE,

因为。Mu平面OMG,所以DM〃平面PCE.

（2）

连接BE,则8E=7?77=逐，又PE=1,PB=娓,

ffivxPB2=PE2+EB2-即PEJ_EB,

又因为PE_LOE,BEcDE=E,8£,。£<=平面友比；，

所以PE_L平面BCED,又CEu平面3CED,所以PE_LCE,

所以PE,EC,EO两两垂直，

以E为原点，而，或，丽分别为龙J*轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系,

则D（l,0,0）,P（0,0,l）,B（2,l,0）,C（0,l,0）,

答案第9页，共15页

所以丽=(-1,0,1),丽=(1,1,0),而=(O,-1,1),①=(1,TO),

设平面DP3的一个法向量为汨=

则」一，不妨令斗=1,则乂=一1,句=1,所以4=

nl-DB=xl+yl=O

设平面PCD的一个法向量为“=(x2，y2,z2),

则上一，不妨令X?=l，则％=1?=1,所以%=(1,U)，

%CD=x2-y2=0

设平面DPB与平面PCD所成角大小为。，则

cose="倒㈤卜丁x6=3，

所以，平面尸瓦>与平面PCD所成角的余弦值为;.

x2*4y2

18.⑴上+二二1

42

Q)2

(3)证明见解析

【分析】(1)列出〃，c的方程，代入计算，即可得到椭圆标准方程；

(2)根据题意，设直线/的方程为x="+立，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理列出式

子，再由弦长公式以及三角形的面积公式代入计算，结合基本不等式即可得到结果；

(3)根据题意，设直线/的方程为x=(机力0),联立直线与椭圆方程，结合韦达定理

代入计算，即可得到M的坐标，再由四点共圆可得|八例卜|加同="仍口加。|,代入计算，即可

证明.

2a=4

【详解】(1)依题意可得C解得a=2,c=①，

e=—=——

、a2

22

所以〃=/一,2=2,故椭圆的方程为土+二=1.

42

(2)由⑴可知尸(夜,0),由题可设直线/的方程为》=。+及，4(%21),3(>2/2)，

x=ty+y/2

联立*,消去X可得(『+2)丁+2⑦—2=0,

---1---=1

答案第10页，共15页

则A=8r+8（r+2）＞0恒成立,

mil,-2A/2?-2

贝%%=~P+2,%%=7+2，

%+%）2-4%%=日'8r

所以SAAOB二3。

（M

_V28/+8（/+2）=2后\&=2近〃+i

2

2r+2产+lf+2（?+l）+l

]

=272一<2A/2J—=>/2

2+2

t2++2*

）Z2+l

当且仅当f=。时等号成立，所以直线/垂直于x轴时，VA03的面积取最大值,

此时，|AB|=^-=3=2.

11a2

若直线/的斜率为0,尸,。为上下顶点，且尸QSAS,

若P,Q,A,8四点共圆，贝1]|。尸|=|。4]不成立,

所以由题可设直线/的方程为x=9+m（mw。），4（和%），3（如为），尸（不，%），”（如%），

x=ty+m

则。（一天,一%），联立＜fy2,可得（产+2）/+2机（y+机2_4=0,

142

当A=4加2产_4（产+2）（m2_4）＞0,

口"2八,"八"-2mtm2-4

即/一2厂一4＜0时，%+为=777，3%=7?77，

LI乙l'I乙

所以中点“的坐标为[言,所以自”=-1，

k1/I乙LI乙J乙

故直线OM:y=-gx,

由P,Q,A,B四点共圆，贝I]4HMs|=,

答案第11页，共15页

由网•1网=力阴2=如"心+力_4%为卜2（1+巧的片

44、/L-J（产+2）

y=--X

联立，2,可得尤2=白，即后=垦，

Xy1r+2r+2

——+—=1

142

所以眼玲眼@=1+51片—石|=（4+/）2；：4一,,

k力y+2）

所以2（1+/）=4+/，可得r=2,

所以病＜4+2〃=8,

又直线/不过原点，所以相片0,所以苏«0,8）,

即阿＜2技

riog2（62v-i）+i~|

⑵6N2+N+22N-x412

33

（3）答案见解析

【分析】（1）利用已知条件求出4、。2,结合数列｛%｝为等比数列即可求%,结合已知条

件利用赋值作差求出2=3,得到数列为等差数列，即可求出b,；

（2）根据已知条件，确定集合M中元素的情况，分成集合A、集合8两种情况，分析判断

除去两集合中的重复元素，分组求和减去重复元素的和即可求解；

（3）按照机类集合的定义，分m=3i、m=3i-l、3i+l三种情况分别判断即可.

【详解】（1）根据题意可得：a/4=4q+4-3,因为q=g,代入上式解得々=2,

又因为4&+的a=4出+&-3,因为4=（,伪=2,%=5,解得々=；,

因为｛%｝为等比数列，所以｛g｝的公比为4=蓑=；,

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所以“MW句=目，

所以*+强+白+…+与=:+6“-3(«eN*),

即：4+2伪+…2"-厩=(〃-3)2"+4(neN,),

2

当“N2时，bl+2b2+...T-bn_l=(2T-3)2”T+4,

两式相减得:2»也=(〃-3)2"-(%-3)2"T(WN2),

化简得：2=2(〃—3)-(口「3)(“22),整理得:2一%=3(力22),

所以｛4｝是公差为3的等差数列，所以d=4+5-1"=3〃-1.

b

x+—=O,neN\n<2N,N£，

an

i)

x-----=0,«eN",n<2N,NeN">

an)

记集合M=卜卜一2)卜一?=0,〃eN*,〃W2N,NeN*>的全体元素的和为S,

集合A=<…,」一］,