2025年沪科版七年级数学寒假预习：平方根、立方根

第01讲平方根、立方根

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模块一思维导图串知识1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会

模块二基础知识全梳理（吃透教材）用根号表示数的平方根、算术平方根和立方根；

模块三核心考点举一反三2.会求一个数的平方根、算术平方根、立方根；

模块四小试牛刀过关测

3模块一思维导图串知识

G模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点1平方根

1.算术平方根

（1）一般地、如果一个正数X的平方等于即V=a,那么这个正数X叫做a的算术平方根.规定。的舞

术平方根是0.

（2）a的算术平方根记为正，读作“根号a”,。叫做被开方数.

注意：（1）只有非负数才存在算术平方根，负数没有算术平方根.

（2）算术平方根是它本身的数只有0和1.

（3）算术平方根是非负数，即20（。＞0）o

2.算术平方根的规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.

1

3.无限不循环小数

无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分是不循环的小数.许多正有理数的算术平方根是无限不循环

小数(例如：后，百，君等).

注意:、石的结果有两种情况：当。是完全平方数时，而是一个有理数；当。不是一个完全平方数时，

是一个无限不循环小数.

4.平方根的定义

一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做。的平方根或二次方根.即如果V=a，那么x叫做。的平

方根.如2和-2是4的平方根，简记为±2是4的平方根.

5.平方根的表示方法

正数a的算术平方根可以用后表示；正数a的负的平方根，可以用符号表示，故正数a的平方根可

以用符号“士右”表示，读作“正、负根号

6.平方根的性质

(1)正数有两个平方根，它们互为相反数.

(2)负数没有平方根.

(3)0的平方根是0.

7.开平方

(1)定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中数a叫做被开方数.

(2)平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系.

8.平方根的求法

(1)被开方数是完全平方数，可以通过开平方运算求平方根，81的平方根是±9.

(2)被开方数不是完全平方数，可用计算器求正数的算术平方根，所得的值是近似值.

注意：(1)在求平方根的运算中，被开方数会经常以/和G的形式出现，应先将/和6计算后，再求其

平方根，如22的平方根是±2.

(2)在进行带分数的开平方运算时，应先将带分数化为假分数，再开方.

9.Viz,—Vtz的意义

(1)、石(a>0)表示非负数，即行20,、石表示a的算术平方根.

(2)-JZ(aNO)表示a的算术平方根的相反数，也表示a的负的平方根.

(3)土，;(aNO)表示。的平方根.当a>0时，±«'表示两个数，且这两个数互为相反数.

知识点2立方根

1.立方根的概念与性质

(1)立方根的定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.即如果丁=。，则

x叫做a的立方根.

2

2.表示方法：一个数。的立方根，用符号监表示，读作“三次根号a”,其中。是被开方数，3是根指数.

3.性质

(1)正数的立方根是正数.

(2)负数的立方根是负数.

(3)0的立方根是0.

4.开立方:求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，

开立方与立方也互为逆运算.开立方所得的结果就是立方根，根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可

以求出一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根.

注意：(1)开立方时，被开方数可以是正数、负数或零.

(2)立方根等于它本身的数是0+1.

(3)(Va)=y[a^=a.

(4)当求一个带分数的立方根时，先将它化为假分数，然后再求它的立方根.

5.立方根与平方根的区别与联系

(1)联系

①都与相应的乘方互为逆运算.开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算.

②在研究被开方数和方根的关系时，小数点的移动规律类似.

③0的立方根与平方根都是0.

(2)区别

①表示方法不同，用符号表示平方根时，根指数2可省略，如土右;用符号表示立方根时，根指数3不可省

略，a的立方根必须写为疵1

②只有非负数才有平方根，任何数都有立方根.

③正数有两个平方根，但只有一个立方根.

④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.

6.平方根与立方根的估算

要估算“短”的近似值，第一步先确定估算数的整数范围，如23<10<33,所以2<V10<3;第二步以较小整数为

基础，开始逐步加0.1(或以较大整数为基础，开始逐步减0.1),并求其立方确定被估算数的十分位，…，如此

继续下去，可按要求估算“五''的近似值，即用“夹逼法”.

利用“夹逼法”也可确定一个数的平方根的取值范围。

6模块三核心考点举一反三------------------------------

考点01：求一个数的算术平方根

]例题L若/^=7,则X的算术平方根是.

3

工的算术平方根为（）

【变式1-1］

169

2

AD.

-Hc土。169

【变式1-2】已知°=屈，贝心的算术平方根是.

【变式1-3】J语的算术平方根是，体的算术平方根是

考点02：估计算术平方根的范围

(29例题2.（23-24七年级下•湖北孝感期中）已知J201734.91,J201.7例4.10,则,20.17x

【变式2-1】估算后+1值是在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

【变式2-2］（2024•江苏扬州•一模）估计18的算术平方根介于（)

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【变式2-3］（23-24七年级下•湖北•期中）已知名4.16,那么下列结论正确的是（）

A.VO.173»0.416B.AA?73-0.416

C.#73«41.6D.V1730«416

考点03：求一个数的平方根

3.（22-23七年级下•贵州遵义・期中）已知a的平方根为±3,而的算术平方根为2.

(1)求a,b的值;

⑵求ga+6的平方根.

【变式3-1］若+-9|=0,则号的平方根是（）

A

-1B-D-

25

【变式3-2】的的平方根是

【变式3-3］（23-24七年级下•辽宁铁岭•期中）已知|3x-2y-l|+j5x+7y-12=0,求6x+3y的平方根.

考点04：求代数式的平方根

4.一个正数6的平方根是2a-l与-a+2,

（1）求。和6的值.

（2）求5a+6平方根.

【变式4-1］（23-24七年级下•山东滨州•期末）若尤，y为实数，且2（x-3f与43y-12互为相反数,贝ijY+y?

4

的平方根为.

【变式4-2］（22-23七年级下•陕西安康•期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a-3和5-a.

（1）求。和x的值.

⑵求x+12a的平方根.

【变式4-3］已知a+3与3a-15是一个正数的平方根，求。的值和这个正数.

考点05：已知一个数的平方根求这个数

例题5.如果2。-3和。-3是正数A的平方根，则4为（）

A.1或9B.1或一3C.1D.-3

【变式5-1］若一个数的平方根为3a和4-2°,则这个数是.

【变式5-2］一个正数x的两个不同的平方根是2a-5和。-7,则a的值为.

【变式5-3］（23-24七年级下.广东东莞•期中）已知一个正数尤的两个平方根分别是2a-3和7-3〃，求。和

尤的值.

考点06：利用平方根解方程

例题6.求下列各式中x的值.

（1）X2-25=0；

⑵（尤-叶=64.

【变式6-1］（23-24七年级下.贵州安顺•期中）满足方程4尤2-81=0中的x的值为.

【变式6-2］解方程：2+（2x-2）?=3

【变式6-3］（23-24七年级下.福建龙岩•期中）己知（x-3）2-25=0,求未知数尤的值・

考点07：平方根的应用

、例题7.如图，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27.

（1）求出这个魔方的棱长.

（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD,求出阴影部分的面积及其边长.

【变式7-1］（23-24七年级下•山西吕梁・期中）如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形ABCD内种植

玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，

则边长需要延长（）

5

A.3米B.3.5米C.4米D.4.5米

【变式7-2］母亲节，是一个感恩母亲的节日.哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲.小旭自制

了一张面积为lOOcn?的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为200cm②的长方形信封，其长宽之比为5:4.小

旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断.

【变式7-3］（23-24七年级下•吉林延边•期中）如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的

正方形.若空白部分面积之和为3.5,求a的值.

考点08：平方根、立方根的概念理解

Ell例题8.有下列说法：①麻的平方根是±4；

②-巫表示6的算术平方根的相反数；

③-64的立方根是T；④-3是（-3）2的平方根.

其中，正确的说法有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式8-1】判断下列说法正确的是（）.

A.-1的平方根是-1；B.±4是64的立方根；

11

C.-E是-U的立方根；D.（-4）29的平方根是T.

【变式8-2］（23-24七年级下•内蒙古赤峰•期末）一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是

【变式8-3］绝对值是它本身的数是,平方和平方根都是它本身的数是,倒数是它本身

的数是，相反数是它本身的数是.

考点0%求一个数的立方根

M列题9.求下列各式中无的值：

(2)8x3-125=0；

6

⑶（x-2）3=8.

【变式9-1】斤斤的立方根是•

【变式9-2】J语的平方根是____，三算术平方根是_____,-8的立方根是_____

16

【变式9-3］若f_衣=在方，贝也=

【答案】拉或-近

考点10：已知一个数的立方根求这个数

,例题10.（23-24七年级下•云南曲靖•期中）已知4.+5。的立方根是3,3a+26-6的算术平方根是4.

（1）求的值;

⑵求3〃-6的平方根.

【变式10-1】已知x的两个平方根分别是2°+3和1-3°口的立方根是a,x+y的值为.

【变式10-2】知一个正数的平方根是3a-14和。+2,6+11的立方根为一3.

（1）求a,b的值；

⑵求1-（。+与的平方根.

【变式10-3］（23-24七年级下•贵州安顺・期中）若-2既是。+1的一个平方根，又是%-2的立方根，求a+3

的立方根.

考点11：算术平方根与立方根的综合应用

11.若A==啊a+36是°+3A的算术平方根,3=2〃十近二/为J/的立方根，求A+B的立

方根；

【变式11-1］（23-24七年级下•山东德州•期末）若4a+l的算术平方根是5,则«+2的立方根是.

【变式11-2］（23-24七年级下•河北保定•期末）一个正数机的平方根是2x-4和尤-14,求正数机的立方根.

【变式11-3］（23-24七年级下•北京•期中）已知x+8的算术平方根是3,（4x+3»=-8,求x+V的立方根.

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

一、单选题

1.（23-24七年级下.云南曲靖•期中）一个正方形的面积是25,则这个正方形的边长是（）

A.5B.±5C.否D.±75

2.（23-24七年级下•广东东莞•期中）在下列各式中正确的是（）

A.1（_2'=-2B.±79=3C.716=8D.五=2

3.（23-24七年级下•河北保定•期末）化简屿-后产+4的结果是（）

A.4B.6C.-2D.0

7

二、填空题

4.（23-24七年级下•云南红河・期末）已知（a-l>+Jb-8+（c+1），=0,则He的立方根是.

5.（23-24七年级下.安徽安庆.期末）已知++病与=。，则必的值是.

6.（22-23七年级下•福建厦门•期末）某款储物箱A的底面是面积为2m2的正方形，在一间长5m,宽4m的

长方形仓库中堆放这款储物箱A,要求储物箱从墙角开始，依次整齐正向摆放，则一层最多能放下个

储物箱A.

7.（22-23七年级下•安徽池州•期末）若炳丽=0.7160,#3.670=1.542,寺-0.003670=.

三、解答题

8.（23-24七年级下•安徽阜阳•期中）求x的值：

（l）9x2=16

（2）8（3x-2）3=-64

9.（23-24七年级下•安徽滁州•期中）已知3x-2的平方根是±4,求9x+10的立方根.

10.（23-24七年级下•安徽合肥•期中）已知x的两个平方根分别是a+3与2a-15,且%-1的立方根是-3.

⑴求a,b的值；

⑵求4-6-1的算术平方根.

8

第01讲平方根、立方根

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3模块一思维导图串知识

・力1«文

如■一量义

女方承方.

◎模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点1平方根

1.算术平方根

（1）一般地、如果一个正数X的平方等于。，即d=a,那么这个正数X叫做。的算术平方根.规定。的舞

术平方根是0.

（2）a的算术平方根记为行，读作“根号。a叫做被开方数.

注意：（1）只有非负数才存在算术平方根，负数没有算术平方根.

（2）算术平方根是它本身的数只有。和1.

（3）算术平方根是非负数，即620（。＞0）。

2.算术平方根的规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.

9

3.无限不循环小数

无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分是不循环的小数.许多正有理数的算术平方根是无限不循环

小数(例如：41,百，君等).

注意：、石的结果有两种情况：当。是完全平方数时，、份是一个有理数；当。不是一个完全平方数时，夜

是一个无限不循环小数.

4.平方根的定义

一般地，如果一个数的平方等于",那么这个数叫做。的平方根或二次方根.即如果V=也那么x叫做。的平

方根.如2和-2是4的平方根，简记为±2是4的平方根.

5.平方根的表示方法

正数a的算术平方根可以用笈表示；正数。的负的平方根，可以用符号“-JZ”表示，故正数。的平方根可

以用符号“士JZ”表示，读作“正、负根号a”.

6.平方根的性质

(1)正数有两个平方根，它们互为相反数.

(2)负数没有平方根.

(3)0的平方根是0.

7.开平方

(1)定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中数a叫做被开方数.

(2)平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系.

8.平方根的求法

(1)被开方数是完全平方数，可以通过开平方运算求平方根，81的平方根是±9.

(2)被开方数不是完全平方数，可用计算器求正数的算术平方根，所得的值是近似值.

注意：(1)在求平方根的运算中，被开方数会经常以/和、石的形式出现，应先将/和、份计算后，再求其

平方根，如2?的平方根是±2.

(2)在进行带分数的开平方运算时，应先将带分数化为假分数，再开方.

9.,—J~a.,±-y/ci的意义

(1)—(a>0)表示非负数，即620,、石表示a的算术平方根.

(2)-JZ(aNO)表示。的算术平方根的相反数，也表示。的负的平方根.

(3)土■(aNO)表示。的平方根.当a>0时，±7^表示两个数，且这两个数互为相反数.

知识点2立方根

1.立方根的概念与性质

(1)立方根的定义：如果一个数的立方等于那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.即如果V=a,则

x叫做。的立方根.

10

2.表示方法：一个数a的立方根，用符号痣表示，读作“三次根号a”,其中a是被开方数，3是根指数.

3.性质

(1)正数的立方根是正数.

(2)负数的立方根是负数.

(3)0的立方根是0.

4.开立方:求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，

开立方与立方也互为逆运算.开立方所得的结果就是立方根，根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可

以求出一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根.

注意：(1)开立方时，被开方数可以是正数、负数或零.

(2)立方根等于它本身的数是0+1.

(3)(后)==a.

(4)当求一个带分数的立方根时，先将它化为假分数，然后再求它的立方根.

5.立方根与平方根的区别与联系

(1)联系

①都与相应的乘方互为逆运算.开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算.

②在研究被开方数和方根的关系时，小数点的移动规律类似.

③0的立方根与平方根都是0.

(2)区别

①表示方法不同，用符号表示平方根时，根指数2可省略，如土瓜;用符号表示立方根时，根指数3不可省

略，。的立方根必须写为指.

②只有非负数才有平方根，任何数都有立方根.

③正数有两个平方根，但只有一个立方根.

④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.

6.平方根与立方根的估算

要估算“布，，的近似值，第一步先确定估算数的整数范围，如23<10<33,所以2V加<3;第二步以较小整数为

基础，开始逐步加0.1(或以较大整数为基础，开始逐步减0.1),并求其立方确定被估算数的十分位，…，如此

继续下去，可按要求估算"〃''的近似值，即用“夹逼法”.

利用“夹逼法”也可确定一个数的平方根的取值范围。

6模块三核心考点举一反三------------------------------

考点01：求一个数的算术平方根

题1.若/台=7,则x的算术平方根是.

【答案】V53

11

【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，求一个数的平方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的

平方.由开平方和平方是互逆运算，用平方的方法求这个数的平方根，由G7=7,利用算术平方根的定

义可以得x-4=49,求出x的值，即可得出x的算术平方根.

【解析】解：Jx-4=7,

x-4=49,

.,.x=53,

・•・x的算术平方根是庖，

故答案为：A/53.

【变式1-1］上的算术平方根为（）

【答案】A

【分析】此题主要考查了算术平方根的定义：如果一个数的平方等于。，那么这个数就叫做。的平方根，其

中非负的平方根叫做这个数的算术平方根.根据算术平方根的定义解答即可.

【解析】解：盍1的算术平方根是为1，

故选：A.

【变式1-2］已知“=疝，则。的算术平方根是.

【答案】3

【分析】本题考查的是算术平方根的含义，先求解〃=廊=9,再利用算术平方根的含义可得答案.

【解析】解：a==9,

。的算术平方根是3,

故答案为：3

【变式1-31J记的算术平方根是,每的算术平方根是.

【答案】2百

【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数以6若满足/=，，那么。就叫做b的平

方根，若a为非负数，那么a就叫做6的算术平方根，据此求解即可.

【解析】解：Ji不=4,而4的算术平方根是2,

••.J记的算术平方根是2,

:后=5,而5的算术平方根是逐，

.••质的算术平方根是百，

故答案为：2；卡.

考点02：估计算术平方根的范围

12

、1例题2.（23-24七年级下•湖北孝感•期中）已知后17名44.91,0201.7a14.10,贝!J,20.17〜.

【答案】4.491

【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数每向左（向右）移动两位，则开方的结果的向

左（向右）移动一位进行求解即可.

【解析】解：VV2017»44.91,

/.V20.17«4.491,

故答案为：4.491.

【变式2-1】估算后+1值是在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

【答案】D

【分析】本题主要考查二次根式的估算，先估算出J证的取值范围，再得出后+1的取值范围即可.

【解析】解：:25<26<36,

/.5<病<6，

/.6<726+1<7,

0^+1值是在6和7之间,

故选：D

【变式2-2］（2024•江苏扬州•一模）估计18的算术平方根介于（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【答案】D

【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用了算术平方根与被开方数的关系.

根据算术平方根越大被开方数越大，可得答案.

【解析】解：由16<18<25,MA/16<-718<V25,

即4<展<5,

故选：D.

【变式2-3］（23-24七年级下.湖北.期中）己知与亡4.16,那么下列结论正确的是（）

A.VO.173«0.416B.71?73»0.416

C.7173«41.6D.J1730-416

【答案】A

【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数的小数点每向右（左）移动两位，其算术平方

根的小数点每向右（左）移动一位进行求解即可.

【解析】解：VV173«4.16,

/.VO.173a0.416,V1730~41.6

13

>/l?73«0,416,J历241.6这两个式子都不成立，

故选：A.

考点03：求一个数的平方根

例题3.（22-23七年级下•贵州遵义・期中）己知。的平方根为±3,仍的算术平方根为2.

（1）求的值；

⑵求ga+b的平方根.

4

【答案】⑴〃=9,b=-

⑵土正

3

【分析】此题主要考查了算术平方根以及平方根；

（1）直接利用平方根的定义以及算术平方根的定义分析得出答案；

（2）直接利用平方根的定义分析得出答案.

【解析】（1）的平方根为±3,

:・a=9,

・・・〃b的算术平方根为2

ab=4,

4

(2)**a=9,b=一,

9

.1,1n413

9999

；・^a+b的平方根为土患=土浮.

【变式3-1】若^^+也-9|=0,则，的平方根是()

339°。±：

A.一B.±-C.—

224

【答案】B

【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的平方根，根据非负数的性质得到a-4=0,3-9=0,

则a=4,b=9,再根据若两个实数“、b满足"=人那么。就叫做b的平方根进行求解即可.

【解析】解：VV^4+|^-9|=0,V^4>0,|Z2-9|>0,

Ja-4=性-9]=0,

14

.•.a-4=0,Z?—9=0,

a=4,b=9,

・L-l

••一~~f

a4

.•.b2的平方根为±3=,

a2

故选：B.

【变式3-2]三的平方根是

【答案】±|

【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键.

【解析】解：I25I的平方根是±15,

故答案为：土〒

【变式3-3](23-24七年级下•辽宁铁岭•期中)已知|3x—21一1|+，5%+7丁-12=0,求6%+3y的平方根.

【答案】±3

【分析】此题考查绝对值和算术平方根的非负性，根据非负性得到方程组是解题的关键.根据绝对值和算

3%—2》一1二0

术平方根的非负性得到方程组,r-八，解方程组后即可得到答案•

5%+7y—12=。

\3x-2y-]\>0

【解析】W：,**|3x—2y—1|+yj5x+ly—12=0,,

，5%+7y-12>0

.px-2y-l=0

••15x+7y-12=0'

八,[X=l

解得：，

"I1

6x+3y=6xl+3xl=9,

**•6%+3y的平方木艮为±3.

考点04：求代数式的平方根

例题4.一个正数6的平方根是2a-l与-a+2,

(1)求。和6的值.

⑵求5a+Z?平方根.

【答案】⑴。=—1,b=9

⑵攵

15

【分析】本题主要考查平方根：

(1)根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出。的值，再根据平方根求出b的值；

(2)将(1)中结果代入5a+b,再计算平方根即可.

【解析】(1)解：•••正数6的平方根是2°-1与-a+2,

**•—a+2+2a—1=0,

a=-1.

/.—a+2=1)+2=3,2a—1=2x(-1)-1=—3,

V9的个平方根是±3,

：.b=9,

(2)解：b=9,

5。+6=5x(-1)+9=4,

±J5a+b=±\/4=±2,

即5。+b平方根是±2.

【变式4-1](23-24七年级下•山东滨州•期末)若x,y为实数，且2(x-3)?与J3y-12互为相反数,贝

的平方根为.

【答案】±5

【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义.直接利用非负数的性质得出x,y的值，进而利

用平方根的定义得出答案.

【解析】解：：2(x-3)2与行至互为相反数，

20-3)2+j3y-12=0,

/.x—3=0,3y-12=0,

解得：x=3,y=4,

贝ljx2+y2=32+42=25,

故V+y2的平方根为：±5.

故答案为：±5.

【变式4-2](22-23七年级下•陕西安康•期中)一个正数尤的两个不同的平方根分别是2a-3和5-0.

⑴求。和x的值.

⑵求x+12a的平方根.

【答案】(1)。=-2,x=49

⑵±5

【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键.

(1)根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案；

(2)由(1)中。=-2,x=49,代入x+12a,利用平方根定义求解即可得到答案.

16

【解析】（1）解：•••一个正数X的两个不同的平方根分别是24-3和5-°,

（2a-3）+（5-a）=0,解得a=-2,

/.x=（2a-3）2=49；

（2）解：将x=49,a=-2代入x+12。中,

得x+12a=49-12x2=25,

,/25的平方根为±5,

x+12a的平方根为±5.

【变式4-3］已知a+3与3a-15是一个正数的平方根，求a的值和这个正数.

【答案】。的值为9,这个正数是144或。的值为3,这个正数是36

【分析】根据平方根的定义进行计算即可.

【解析】解：当如果a+3与3a-15相等时，那么a+3=3a—15,

解得a-9,

止匕时a+3=3a-15=12,

则12x12=144,

所以这个正数为144；

当如果a+3与3G—15互为相反数时，那么a+3+3。—15=0

解得a=3,

止匕时a+3=3+3=6,3a-15=3x3-15=-6,

则（±6）2=36,

所以这个正数为36,

答：。的值为9,这个正数是144或a的值为3,这个正数是36.

考点05：已知一个数的平方根求这个数

例题5.如果2a-3和a-3是正数A的平方根，则4为（）

A.1或9B.1或-3C.1D.-3

【答案】A

【分析】此题主要考查了平方根.首先根据正数有两个平方根，它们可能互为相反数或相等，则列方程求

解即可.

【解析】解：当两数互为相反数时，2a-3+。-3=0,

解得：〃=2,

2。—3=1,a—3=—1,

则这个正数为1;

当两数相等时，2a—3=a—3,

••a=0,

17

这个正数是9.

故这个正数为1或9,

故选：A.

【变式5-1］若一个数的平方根为3a和4-2°,则这个数是.

【答案】144

【分析】本题考查了平方根的概念，根据平方根的概念分得①3a和4-2.互为相反数，据此即可列出方

程求得。的值，熟练掌握平方根的概念是解题的关键.

【解析】解：；一个数的平方根为初和4-2a,

...3a和4-2a互为相反数，

即3。+4—2。=0,解得a=T,

则这个数是［3x(-4)1=144；

故答案为：144.

【变式5-2】一个正数x的两个不同的平方根是2a-5和。-7,则a的值为.

【答案】4

【分析】本题考查了平方根的概念，根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数列出式子，计算即可得

出答案.

【解析】解：依题意，得：(2a-5)+(a—7)=0,

解得a—4,

故答案为：4.

【变式5-3］(23-24七年级下.广东东莞.期中)已知一个正数x的两个平方根分别是2a-3和7-3a,求。和

尤的值.

【答案】。的值为4,x的值为25

【分析】本题考查平方根，根据一个正数的2个平方根互为相反数，得到2a-3+7-3a=0,求出。的值，

进而求出x的值即可.

【解析】解：依题意得2a—3+7—3a=0,

解得a=4,

当。=4,2a—3=2x4—3=5,

/.x=52=25

故。的值为4,x的值为25.

考点06：利用平方根解方程

6.求下列各式中x的值.

⑴f-25=0;

18

⑵（x-1）2=64.

【答案】（l）x=±5；

（2）x=9或x=-7.

【分析】本题考查了平方根的定义，正确理解平方根的定义是解题的关键.

（1）利用平方根的定义解方程即可；

（2）利用平方根的定义解方程即可；

【解析】（1）移项，得尤2=25,

开平方，得％=±5；

（2）开平方，得x—1=±8,

解得：x=9或x=-7.

【变式6-1］（23-24七年级下•贵州安顺•期中）满足方程4/-81=0中的x的值为

9

【答案】

2

【分析】本题考查了平方根的性质，根据平方根的性质求解即可.

【解析】解：4/-81=0

4/=81

81

9

故答案为：士彳.

2

【变式6-2］解方程：2+（2X-2）2=3

31

【答案八=半X2=-

【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，整理方程，利用平方根的定义求解即可.

【解析】解：2+（2x-2）、3

（2A：-2）2=1

2x—2=±1

31

22'

【变式6-3］（23-24七年级下.福建龙岩•期中）己知（X-3）2-25=0,求未知数x的值•

【答案】x=8或x=-2

【分析】本题主要考查了根据求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开方

解方程即可.

19

【解析】解：：（x-3）2—25=0,

/.(%-3)2=25,

•■x—3=5x—3=-5,

解得x=8或x=—2.

考点07：平方根的应用

、例题7.如图，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27.

（1）求出这个魔方的棱长.

（2）图中阴影部分是一个正方形求出阴影部分的面积及其边长.

【答案】⑴3.

⑵正方形的面积是5,边长为百.

【分析】本题考查了立方根和平方根的意义，熟练掌握立方根和平方根的意义是解答本题的关键.

（1）直接根据立方根的意义求解即可；

（2）先求出阴影部分的面积，再根据平方根的意义求解即可.

【解析】（1）设魔方的棱长为无，根据题意，得k3=27,

解得片历=3.

故魔方的棱长为3.

（2）•.•魔方的棱长为3,

阴影面积为：32--x2xlx4=5,

2

设正方形的边长为》则/=5,

解得y=君，y=-小（舍去），

故正方形的面积是5,边长为旧.

【变式7-1］（23-24七年级下•山西吕梁・期中）如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形9CD内种植

玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，

则边长需要延长（）

20

A.3米B.3.5米C.4米D.4.5米

【答案】C

【分析】本题考查了平方根的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键.设需要延长边长x米，

则扩大后的正方形黄瓜地的边长为（5+x）米，根据扩大后的正方形黄瓜地的种植面积是现在的3.24倍，即

可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【解析】解：设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为（5+x）米，

依题意得：（5+尤）2=52x3.24,

即（5+无y=81

5+九=±9

解得：々=4,X2=-14（不符合题意，舍去），

二需要延长边长4米.

故选：C

【变式7-2］母亲节，是一个感恩母亲的节日.哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲.小旭自制

了一张面积为lOOcn?的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为200cm2的长方形信封，其长宽之比为5:4.小

旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断.

【答案】能，理由见解析

【分析】本题主要考查了平方根的应用.先求出正方形的边长为何=10cm,然后设长方形的信封的长为

5xcm,宽为4xcm,根据题意可得20/=200,从而确定长方形的长宽即可得出结果.

【解析】解：能，理由如下：

•••正方形贺卡的面积为lOOcn?,

正方形的边长为y/lOO=10cm,

设长方形的信封的长为5xcm,宽为4xcm,依题得：

5xx4x=200,

即20/=200,

/•%2=10,

或—如（舍去），

4x=4V10cm>10cm,

・・・能将这张贺卡不折叠地放入此信封中.

21

【变式7-3］（23-24七年级下•吉林延边•期中）如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的

正方形.若空白部分面积之和为3.5,求a的值.

【答案】|3

【分析】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系.

根据大小正方形的面积之差的2倍等于重叠部分面积，由此列式可解.

【解析】解：：空白部分面积之和为3.5,

S空白=（S大正方形一S小正方形）x2=2x（22-a，=3.5

4

3

贝储=土5

'：a>0

：.a=-

2

考点08：平方根、立方根的概念理解

例题8.有下列说法：①而的平方根是±4；

②-卡表示6的算术平方根的相反数；

③-64的立方根是T；④-3是（-3『的平方根.

其中，正确的说法有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查了平方根、立方根的相关概念，掌握相关结论即可.

【解析】解：①厢=4,4的平方根是±2,故①错误；

②-布表示6的算术平方根的相反数，故②正确；

③-64的立方根是T,故③正确；

④（-3）-=9,-3是9的平方根，故④正确；

故选：C

【变式8-1】判断下列说法正确的是（）.

22

A.-1的平方根是-1；B.±4是64的立方根;

I1

c.V是-9的立方根；D.9的平方根是4

【答案】C

【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义逐项判定即可.

【解析】解：A.-1是负数，没有平方根，故原说法错误，不符合题意；

B.4是64的立方根，故原说法错误，不符合题意；

11

C.是-最的立方根，故原说法正确，符合题意;

D.（-4）2=16的平方根是±4,故原说法错误，不符合题意;

故选：C.

【变式8-2］（23-24七年级下•内蒙古赤峰•期末）一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是

【答案】0

【分析】此题主要考查了平方根和立方根的定义和性质，任意一个数都有立方根，正数的立方根是正数，

负数的立方根是负数，0的立方根是0.根据平方根和立方根的性质解答即可.

【解析】解：的平方根是它本身0,0的立方根是它本身0，

...一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是0.

故答案为：0.

【变式8-3］绝对值是它本身的数是,平方和平方根都是它本身的数是,倒数是它本身

的数是,相反数是它本身的数是.

【答案】正数和00±10

【分析】本题考查了绝对值，倒数，相反数和平方根的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答.

【解析】解：绝对值是它本身的数是正数和0,平方和平方根都是它本身的数是0,倒数是它本身的数是±1,

相反数是它本身的数是0.

故答案为：正数和0,0,±1,0.

考点09：求一个数的立方根

例题9.求下列各式中x的值:

(l)x3=-64；

(2)8x3-125=0;

(3)(x-2)3=8.

【答案】（l）x=T⑵尤=?3）x=4

【分析】本题考查的是解方程，灵活运用立方根解方程是关键.

（1）利用立方根解方程即可；

23

(2)整理后，利用立方根解方程即可；

(3)利用立方根解方程即可.

【解析】(1)解：炉=_64,

方程可化为丁=(7丫，

.•.x=T；

(2)解:8x3-125=0,

175

方程可化为炉=9,

O

5

X——;

2

(3)解：(尤一2)3=8,

方程可化为(X-2)3=23,

\x-2=2,

x—4.

【变式9-1】口姬的立方根是-

【答案】2

【分析】本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根，平方根是解题的关键；先求出庖的

值，再求出其立方根即可.

【解析】解：,J(-8>=>/64=8，

7(-8)2的立方根是2,

故答案为：2.

【变