2025年高考数学二轮复习专练：幂函数与指、对数函数【九大题型】

专题2.5塞函数与指、对数函数【九大题型】

【新高考专用】

1、易函数与指、对数函数

幕函数、指数函数与对数函数是高中三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是

高考常考的热点内容.从近几年的高考情况来看，对嘉函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数

的性质为依托，结合指、对数的运算性质，运用募函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包

括比较指对塞的大小、解不等式等题型.在复习过程中要掌握相关知识，能对常见的指数型函数、对数型函

数进行灵活处理.

►知识梳理

【知识点1塞函数及其解题策略】

1.易函数的解析式

幕函数的形式是了=K(aGR),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.

2.暴函数的图象与性质

在区间(0,1)上，幕函数中指数越大，函数图象越靠近无轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+8)上，幕函

数中指数越大，函数图象越远离无轴.

3.比较塞值的大小

在比较基值的大小时，必须结合幕值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各

个幕函数的图象和性质是解题的关键.

【知识点2指数、对数运算的解题策略】

1.指数塞运算的一般原则

(1)指数幕的运算首先将根式、分数指数幕统一为分数指数幕，以便利用法则计算，还应注意：①必须

同底数暴相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

2.对数运算的常用技巧

(1)在对数运算中，先利用哥的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数暴的形式，使塞的底数最简，

然后用对数运算法则化简合并.

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数

的积、商、幕再运算.

(3)指对互化：d="06=皿"(心0,且任1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应

注意互化.

【知识点3指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】

1.指数函数的常见问题及解题思路

(1)比较指数式的大小

比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幕，再利用单调性比较大小；

②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小.

(2)指数方程(不等式)的求解思路

指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.

(3)指数型函数的解题策略

涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、

单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

2.对数函数的常见问题及解题思路

(1)对数函数图象的识别及应用

①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、

最低点等)排除不符合要求的选项.

②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

(2)对数(型)函数的值域和单调性问题的解题策略

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问

题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即

它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.

►举一反三

【题型1指数然与对数式的化简、求值】

【例1】(2024.青海・模拟预测)若a=log35,5b=6,则ab-log32=()

A.1B.-1C.2D.-2

【变式1-1](2024・河南•三模)若Q20,bCR,则化简21暇3+(6)2+快的结果是()

A.3+Q+/?B.3+a+|b|

C.2+a+bD.2+a+|b|

【变式1-2](2024•陕西西安・模拟预测)设〃，b,c都是正数，且4a=6匕=9。那么().

.1,11^,1,11—1,12—1,12

A.一+—=-B.-+-=-C.-+-=-D.-+-=-

abcbcaabcacb

【变式1-3](2024•辽宁丹东•一模)若2a=3,3匕=5,5c=4,贝ijlog4abe=()

A.-2B.—C.—D.1

22

【题型2指对事函数的定义与解析式】

【例2】(24-25高一上•全国•课前预习)下列函数是对数函数的是()

A.y=loga(5+%)(a>0且aHl)B.y=log(6

C,y=log3(—x)D.y=logxV3(%>。且%H1)

【变式2-1](24-25高一上•全国•课后作业)若指数函数f(%)的图象过点(4,81),则/(%)的解析式为()

A./(x)=x3B./(%)=3%

c./(x)=D./(x)=如

【变式2-2](2024・广东广州•模拟预测)若嘉函数f(x)=(m2-m-l)x2m-3^0,+8)上单调递增，则实

数m的值为()

A.2B.1C.-1D.-2

【变式2-3](2024高二下•安徽•学业考试)若函数y=(a?—5a+7)a，+4-2a是指数函数，则有()

A.a=2B.a=3

C.a=2或a=3D.a>2,且aH3

【题型3指对幕函数的定义域与值域问题】

【例3】(2024・四川成都・二模)已知函数f(x)=2谒-*+1的值域为"若(1,+8)=M,则实数a的取值范

围是()

A-（一8,3]B,[o,i]C.（—8,—1]UR+8）D.L+8）

【变式3-1]（2024•内蒙古锡林郭勒盟.模拟预测）己知函数f（x）=lg（l-尤），则下列结论错误的是（）

A./（%）的定义域为（-8,1）B./（X）的值域为R

C./（-I）+/（-4）=1D.y=/（/）的单调递增区间为（0,1）

【变式3-2]（24-25高一上•安徽马鞍山•期中）已知事函数y=f（x）的图象过点（4彳），下列说法中正确的是

A./（久）是奇函数B.f（x）的定义域是[0,+8）

C.C%）的值域是[0,+8）D./（久）在定义域上单调递减

'ax-a,x<a的值域

【变式3-3]（2024.湖北武汉.模拟预测）已知a>0且a丰1,若函数/（%）=

JogaQ+a)+l,x>aH"且以

为R,贝b的取值范围是（）

A.但B•[川C.(1,2]D.[2,+oo)

【题型4指对幕函数的图象问题】

1

[例4]（2024.湖北.模拟预测）函数f（%）=e%-以-In/的图象大致为（）

【变式4-1]（2024•全国•模拟预测）已知函数/（%）=（|%|-日）ln/,则/（%）的图象大致为（）

【变式4-2]（2024•四川南充•二模）已知函数f（x）的图象如图所示，则〃久）的解析式可能是（）

【变式4-3]（2024•陕西•模拟预测）已知函数/O）的部分图象如图所示，则/（%）的解析式可能为（）

A./（%）=e%-e-xB.f（x）=1-品C.f（x）=Xyf\x\D.f（x）=（：）

CrJ.Illl人iJLJ

【题型5指对幕函数的单调性问题】

【例5】（2024.辽宁.一模）若函数/（久）=3-2/+以在区间（1,4）内单调递减，贝布的取值范围是（）

A.（-OO,4]B.[4,16]C.（16,+00）D.[16,+8）

【变式5-1]（2024•山西晋中•三模）下列函数中既是奇函数，又在（0,+8）上单调递减的是（）

A./（%）=2因B./（%）=x3

C小-九、1D「./〃■（无）、=3fnln（xr,x）>,x0<,。

【变式5-2]（2024.江苏无锡•模拟预测）在下列函数中，是奇函数且在（0,+8）上是增函数的是（）

112

A.y=X2B.y=X3C.y=X3D.y=%-1

2

【变式5-3]（2024.海南.模拟预测）已知a>0且a。1,若函数/（%）=a%与g（%）=log2（%+4ax+7）在

[-1,+8）上的单调性相同，则a的取值范围是（）

A.(0,|1B.［鸿C.(1,2)D.(1,+oo)

【题型6指对幕数比较大小】

【例6】（2024•宁夏吴忠・一模）已知。=0.23,4=302,c=logo.23,则（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>b>a

040

【变式6-1](2024・四川眉山•一模)若Q=log39i,，b=log050.2,c=4,则()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

【变式6-2］（2024・贵州遵义・模拟预测）=log20242026,6=log2o232026,2024c=2025.则()

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>c>aD.b>a>c

【变式6-3］（2024.陕西铜川.模拟预测）设a=2‘，b=log23,c=V3,则()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>c>b

【题型7解不等式问题】

【例7】（2024•全国•模拟预测）已知函数/（久）=3"2—32T,则满足/（幻+/（8—3支）>0的光的取值范围

是（）

A.(―oo,4)B.(—8,2)C.(2,+8)D.(-2,2)

【变式7-1］（2024•广东肇庆•一模）已知定义在R上的函数。（久）=eX-eT+f（x）,其中g（x）是奇函数且在

R上单调递减，f（logy）<f（2）的解集为（）

A.(一8，)B.

D.(4,4-00)

2~x%<0

【变式7-2］（2024•吉林长春•模拟预测）设函数/（%）=log1；,％,0，若>2,贝心的取值范围是（）

3

A.(0,(B.(-8,一

C.F.D.(-4)

【变式7-3］（2024.黑龙江牡丹江.一模）已知g（x）=//（久）是定义在R上的奇函数，且/（%）在区间（-8,0］上

单调递减，若关于实数m的不等式/'（log2n1）+/（logosm）22/（3）恒成立，则机的取值范围是（）

A.B.[8,4-00)C.(0,1]u[8,+oo)D.(0.]U[8,+8)

Jo

【题型8反函数】

【例81（23-24高一上•湖南株洲•阶段练习）已知函数f（x）=log。％与g（x）=ax（a>0,aH1）互为反函数.若

f(x)=Inx的反函数为g(x),则g(2)=()

A.In2B.2eC.e2D.2

【变式8-1](23-24高一上•辽宁大连•期末)已知函数/(%)在定义域[1,3]上满足f(x)/(y)=/Q+y),/(I)=

2,函数f(x)的反函数为/T(X),则g(x)=/(久)+/T(X)的最小值为()

A.2B.4C.5D.8

【变式8-2](23-24高二下•浙江宁波・期末)己知函数/(*)=a\a>0,且aK1)的图象过点(2,4),g(x)是/⑺

的反函数，则函数g(芸)()

A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数

C.既是偶函数又是减函数D.既是偶函数又是增函数

AX_A-X

【变式8-31(23-24高一下•安徽•阶段练习)已知函数/'(X)=的反函数为y=广】(久)，那么g(x)=

广(一2)+2在[-2,6]上的最大值与最小值之和为()

A.4B.2C.1D.0

【题型9指数函数与对数函数的综合应用】

【例9】(23-24高一下•广东汕头•期中)已知函数〃久)=翌为奇函数.

2x+a

(1)求实数a的值；

(2)判断函数f(x)的单调性(不用证明)；

(3)设函数g(x)=log??logz^+a，若对任意的久ie[2,8],总存在4e(0,1],使得。(/)=/'(久2)成立，求

24

实数机的取值范围.

【变式9-1](24-25高一上•黑龙江大庆•期中)已知函数/⑺=log90+l)+依OCR)是偶函数,其中k为

实数.

(1)求k的值；

(2)若函数。(久)=9f⑺-3x-2m-3x+l(0<x<2),是否存在实数使得g(x)的最小值为0?若存在，

求出实数小的值；若不存在，请说明理由.

【变式9-2](24-25高三上•上海•期中)已知函数/(久)=log3[k-9x-(k-2)-3x+k+J

⑴当k=0时，解不等式/(%)>0；

(2)若函数/(%)的最大值是-1,求k的值.

【变式9-3](24-25高一上•浙江杭州•期中)已知非常数函数/。)=log工是是定义域为(-2,2)的奇函数.

(1)求实数a,6的值;

(2)判断并证明函数/(久)的单调性；

Xx+2

(3)已知g(K)-m-4-2+3,且VK】e(1,2),3%26[-1,1],-g(<x2)>求zn的取值范围.

1.(2023・北京・高考真题)下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A./(x)=-InxB./(x)=表

C./(x)=_(D./(x)=3吐1|

2.(2023•全国•高考真题)已知函数=e-(xT)、记a=f(曰)，b=f(f)，c=f(}),贝U()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

3.(2023•全国•高考真题)已知/(%)=念是偶函数，则。=()

A.-2B.-1C.1D.2

4.(2023・天津・高考真题)设a=l.Ol05^=1.0106,c=46%则见hc的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

5.（2023•全国•高考真题）设函数f（x）=2x（"a）在区间（0,1）上单调递减，贝la的取值范围是（）

A.（—co,-2]B.[—2,0）

C.（0,刀D.[2,+8）

6.（2024・北京・高考真题）已知（的,月），（和/2）是函数丫=2、的图象上两个不同的点，则（）

A.10g2审（詈B.1咤2华>詈

c.10g2<x1+x2D.log2>x1+x2

7.（2024.北京.高考真题）生物丰富度指数d=2是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流中

InN

的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数]越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数s没有

变化，生物个体总数由M变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则（）

A.3Nz=2NiB.2N2=3NI

C.帖=N：D.媚=N/

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8.（2024.天津.高考真题）设a=4.272,=4.2-,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

9.（2024・天津•高考真题）己知a,6GR,则=*，是，3a=3"，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.（2024・全国•高考真题）设函数〃久）=