2025年高考数学二轮复习专练：利用导数研究不等式恒（能）成立问题【六大题型】（原卷版）

重难点05利用导数研究不等式恒（能）成立问题【六大题型】

【新高考专用】

题型1直接法解决不等式恒（能）成立问题

题型2分离参数法求参数范围

题型3分类讨论法求参数范围

题型4构造函数法解决不等式恒（能）成立

问题

题型5与不等式恒（能）成立有关的证明问

题

题型6双变量的恒（能）成立问题

►命题规律

从近几年的高考情况来看，恒（能）成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，其中不等式的恒（能）

成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作

为压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解.

►知识梳理

【知识点1不等式恒（能）成立问题的解题策略】

1.不等式恒（能）成立问题的求解方法

解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：

⑴分离参数法解决恒（能）成立问题

①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等

式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题.

②恒成立Q今a2［（x）

。/（无）恒成立。/（x）ms

aN/(x)能成立a(x)min

aWf(x)能成立。&/(x)max.

(2)分类讨论法解决恒(能)成立问题

分类讨论法解决恒(能)成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进

行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一

段内的函数值不满足题意即可.

【知识点2双变量的恒(能)成立问题的解题策略】

1.双变量的恒(能)成立问题的求解方法

“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价

变换有：

对于某一区间I,

G/,/(%!)>g(x2)/(x)min>g(x)max.

(2)vX]GA,3x2G72,/(xJ>g(x2)/(x)min>g(x)min.

,/(X1)>g(x)f{x}max>g(x).

(3)3XIGZ1,VX2G/22max

►举一反三

【题型1直接法解决不等式恒(能)成立问题】

【例1】(2024•辽宁•一模)已知函数f(%)=e2%-e-2%-若无之0时，恒有/(%)Z0,则a的取值范围

是()

A.(—8,2]B.(—8,4]C.[2,+8)D.[4,+8)

【变式1-1](2024•河南・三模)若关于X的不等式e%+久+21n工之+Em恒成立，则实数zn的最大值为

X

()

12o

A.-B.e-C.1D.e2

24

【变式1-2](2024•四川内江•一模)已知函数/(%)=a(%+a)-ln(%+1),aER.

⑴讨论函数f(%)的单调性；

(2)若/(%)>1恒成立，求实数a的取值范围.

【变式1-3](2024・河南•模拟预测)已知函数/(%)=ex—2elnx+ax+lna(a>0).

(1)若a=l,证明：/(%)>|%；

(2)若/(%)>2e+1恒成立，求实数a的取值范围.

【题型2分离参数法求参数范围】

【例2】(2024・陕西・二模)Vxe[1,2],有Inx+丧—120恒成立，则实数a的取值范围为()

A.[e,+oo)B.[1,+oo)C.[|,+oo^D.[2e,+oo)

【变式2-1](2024•陕西铜川•模拟预测)已知函数f(x)=亍-ln(x-1)一Ina+1,若/■(久)20对任意的久e

(1,+8)恒成立，贝b的取值范围是()

A.(0,Ve]B.(0,e]C.(0,el]D.(0,e2]

【变式2-2](2024.贵州六盘水•模拟预测)己知函数/(x)=ex-ax+l(a6R).

(1)求函数/(久)的单调区间；

(2)若V久20力。)2/+2,求实数a的取值范围.

【变式2-3](2024・湖北•模拟预测)已知函数/(久)=^(a片0),其中e为自然对数的底数.

(1)讨论/(无)的单调区间；

(2)当a=3时，不等式xf(久)+Inx+1Wm久在区间(0,+8)上恒成立时，求m的取值范围.

【题型3分类讨论法求参数范围】

【例3】(2024・湖南•一模)若不等式eXT—m久一2n-320对VxeR恒成立，其中小40,则二的取值范

m

围为()

【变式3-1](2024•陕西西安.一模)若关于x的不等式e*-2+尤22a/一%.]nx在(0,+8)上恒成立，则实

数。的取值范围为()

A.(-co,B.(一8月C.D.(-oo,1]

【变式3-2](2024•四川德阳•模拟预测)已知函数f(x)=lnx+*

(1)若曲线y=/(*)在点处的切线为尤+y+b=0,求实数b的值；

2

(2)已知函数g(x)=f(x)+/n，且对于任意%€(0,+8),g(久)>0,求实数a的取值范围.

【变式3-3](2024・陕西铜川.三模)已知函数/'(x)=xe*—ax—cosx+1.

(1)当a=2时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若Vxe[0,+8),f(x)>0,求实数a的取值范围.

【题型4构造函数法解决不等式恒(能)成立问题】

【例4】(2024•辽宁沈阳•模拟预测)函数f(x)=emx+(m—l)x-lnx(mGR).若对任意%>0,都有/(久)>0,

则实数机的取值范围为()

A.日,+8)B.,,+8)c.[j,+oo)D.[e,+00)

【变式4-1](2024•河南•模拟预测)已知4>0,对任意的x>1,不等式e?"—(ine五)Inx>0恒成立，则

实数4的取值范围为()

A.苏+8)B•底，+8)

C.[2e,+00)D.[e,+8)

【变式4-2](2024•辽宁・模拟预测)已知函数f(%)=(a%—l)e%+i+3(aH0).

⑴求/(%)的极值；

(2)设。=1,若关于％的不等式/(%)工(b-l)e*+i-久在区间[一1,+8)内有解，求b的取值范围.

【变式4-3](2024•四川雅安・三模)已知函数f(%)=(a—l)x—2sinx.

(1)若函数/(%)有极值，求实数a的取值范围；

(2)若关于％的不等式/(%)+%(1+cosx)<0在％e[。身上恒成立，求实数a的取值范围.

【题型5与不等式恒(能)成立有关的证明问题】

[例5](2024.陕西安康.模拟预测)已知函数/(%)=aex(aH0),g(%)=%2,“(%)为仪%)的导函数.

(1)证明：当。=1时，V%E(0,+8),/(%)>“(%)；

(2)若f(%)与g(%)有两条公切线，求〃的取值范围.

【变式5-1](2024.安徽.模拟预测)已知函数/(%)="丁十。(口eR).

(1)若对V%G(0,+8),/(%)<恒成立，求实数a的取值范围；

(2)证明：对任意正整数九，不等式eeJ2k>让卫恒成立.

乙」仁12

【变式5-2](2024・江苏扬州•模拟预测)已知函数/(%)=21nx—ax2+l(a6R).

(1)讨论函数/(X)的单调性；

(2)若存在正数久，使f(x)NO成立，求a的取值范围；

(3)若0〈久1<犯，证明：对任意a6(0,+8),存在唯一的实数久°6Oi，冷)，使得尸(%。)=，但)-八七)成立.

%2一%1

【变式5-3](2024.广东佛山.模拟预测)已知/(%)=ex+cosx+ax(aER).

(1)若a>-l,证明:/(%)在(0,+8)上单调递增；

(2)若—1<aV——f

271

①证明：存在唯一的实数而6[-2n,0],对V%G[-2(明]/(%)之/(&)成立;

②记①中/(%o)=证明：当％ER时，/(%)>m.

【题型6双变量的恒(能)成立问题】

【例6】(2024•陕西商洛•模拟预测)已知函数/(%)=2%ln%-a/,若对任意的％。％2c(。,+8),当％]>&

时，都有2%i+f(%2)>2%2+/(%i)，则实数。的取值范围为()

A.七，+8)B.[1,+8)C.b+8)D.[2,+8)

ax

【变式6-1](2024・重庆•模拟预测)已知函数/(%)=¥，g(%)=axe~,若存在/G(0,1),x2E(-8,0)使

得/(%i)=或%2)，则实数a的取值范围为()

A.(-00,-2)B.(-2,-1)C.(-1,+8)D.(0,+oo)

【变式6-2](23-24高二下•湖南郴州•期末)已知/(%)=aln%+—2%(aER且aH0),g(%)=cos%+

xsinx.

⑴求g(%)在[-兀,7]上的最小值；

(2)如果对任意的%1E[-①兀],存在%2EF，C]，使得△@-a〈gCq)成立，求实数〃的取值范围.

Le」％2

【变式6-3](2024.四川泸州.一模)已知函数/(%)=ax+1—的图像在％=1处的切线与直线X—y=0

平行.

⑴求函数/(%)的单调区间；

(2)若E(。，+8),且％1>%2时，((%1)-f(%2)>m(后一旦)，求实数机的取值范围.

►课后提升练(19题

一、单选题

1.(2024・四川达州・二模)当久20时，不等式e*—a%之(%—恒成立，则a取值范围是()

A.(—8,1]B.(一8,2]

C.(-8,e]D.(—8,3]

2.(2024・吉林•模拟预测)若关于x不等式ln(ax)<%+6恒成立，则当三<a<e时，e"1-Ina的最小值为

e

()

A.—FlB.e—1C.1D.e

e

3.(2024.四川宜宾.二模)已知不等式axe%+%>1—In%有解，则实数a的取值范围为()

A.(-，+8)B.(—(,+8)C.(-oo,A)D.(-00,1)

4.(2024・陕西安康•模拟预测)若存在XE(0,+8),使得不等式十％4+%之eax?+1口2%成立，则实数。的取

值范围为()

5.(2024・陕西商洛.三模)已知2>0,对任意的%>1,不等式e2菽-萼20恒成立，贝力的取值范围为()

2A

A.[2e,+oo)B.昌，+8)C.[e,+8)D.[?+8)

6.(2024.全国.模拟预测)已知函数/(、)=ex+1一aln(ax)+a(a>0),若关于x的不等式f(%)>0恒成立,

则实数〃的取值范围是()

A.(0,+oo)B.(0,e)C.(0,e2)D.(l,e)

22

7.(2024.四川乐山.二模)若存在%。e[-1,2],使不等式与+(e-l)lna>^+ex0-2成立，则a的取值

范围是()

8.(2024•全国•模拟预测)已知函数”x)=1*7pX，若不等式/(x)〉色恒成立，则实数a的

((X—2)e”———,x<0x

取值范围为()

A.(-co,3)B.(6e,+8)

C.(6e-2,3)D.(-oo,6e-2)

二、多选题

9.(2024.河南信阳.一模)若关于尤的不等式e*-2+%22ax2一xinx在(0,+8)上恒成立，则实数a的值

可以是()

A.-B.-C.—D.2

e23

10.(2024・新疆•一模)设/(%)=(1+x)lnx,^(x)=(a-1)%,若f(x)<g(%)在久E[1,2]上恒成立,则实数

a的值可以是()(附:ln2x0,69)

A..-3-l-n2-B.32+31n2

22

11.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=%+In(%—2),g(%)=xlnx.若/Qq)=2+31nt,^(x2)=/,

则下列结论中正确的是()

A.VxE(2,+8),/(%)<g(%)B.xr—2=ln%2

c.m久oe(2,+8),/■(久o)>g(xO)D.(%!%2-2x2)lnt>-—

三、填空题

12.(2024.四川成都.模拟预测)若不等式2久3—a/+120对任意比6[0,+8)恒成立，则实数a