2025年一模考试数学试题及答案

一模考试数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题3分，共15分）

1.若函数f(x)=x²-2x+1的图像关于直线x=1对称，则下列说法错误的是（）

A.函数f(x)的顶点坐标为(1,0)

B.函数f(x)在x=1处取得最小值

C.函数f(x)在x=1处取得最大值

D.函数f(x)在x=1处取得极值

2.下列各数中，有理数是（）

A.√2

B.π

C.3.14

D.2.5

3.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=90°，∠C=45°，则△ABC的周长是（）

A.2√2

B.2√3

C.4

D.6

4.若a、b、c、d是等差数列，且a+b+c+d=20，a+c=10，则d等于（）

A.5

B.10

C.15

D.20

5.下列方程中，无解的是（）

A.2x+3=7

B.3x-4=5

C.4x+1=-3

D.5x-2=0

二、填空题（每题4分，共20分）

6.若|a|=5，b=-3，则a+b的值为______。

7.若x²-4x+3=0，则x的值为______。

8.在△ABC中，若a=5，b=8，c=7，则△ABC的面积是______。

9.若函数f(x)=2x²-3x+1的图像的对称轴是直线x=1，则函数f(x)在x=1处的函数值为______。

10.若等差数列{an}的公差d=3，且a₁+a₅=20，则a₃的值为______。

三、解答题（每题10分，共40分）

11.已知函数f(x)=x²-4x+3，求：

（1）函数f(x)的图像的顶点坐标；

（2）函数f(x)在x=2时的函数值；

（3）函数f(x)在x=1时的单调性。

12.已知等差数列{an}的公差d=2，且a₁+a₄=20，求：

（1）数列{an}的通项公式；

（2）数列{an}的前10项和。

13.在△ABC中，已知a=5，b=8，c=7，求：

（1）△ABC的面积；

（2）△ABC的外接圆半径。

四、解答题（每题10分，共40分）

14.已知函数f(x)=2x³-3x²+4x-1，求：

（1）函数f(x)的导数f'(x)；

（2）函数f(x)在x=1时的切线方程；

（3）函数f(x)的单调区间。

15.已知数列{an}满足递推关系an=2an-1-1，且a₁=3，求：

（1）数列{an}的前5项；

（2）数列{an}的通项公式。

16.在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(5,1)，求：

（1）直线AB的斜率；

（2）直线AB的截距；

（3）直线AB的方程。

五、证明题（每题10分，共20分）

17.证明：若a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，则abc=0。

18.证明：若函数f(x)=x²-4x+3在区间[1,3]上单调递增，则f(2)<f(3)。

六、综合题（每题20分，共40分）

19.已知函数f(x)=x²-6x+9，求：

（1）函数f(x)的图像的顶点坐标；

（2）函数f(x)在x=3时的切线方程；

（3）函数f(x)在区间[1,4]上的最大值和最小值。

20.在△ABC中，已知a=6，b=8，c=10，求：

（1）△ABC的面积；

（2）△ABC的内切圆半径；

（3）△ABC的外接圆半径。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.C。函数f(x)=x²-2x+1是一个二次函数，其顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，代入a=1，b=-2，得顶点坐标为(1,0)。由于a>0，函数开口向上，故x=1处取得最小值。

2.C。3.14是π的近似值，而π是一个无理数，故3.14是有理数。

3.C。由勾股定理可知，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，即c²=a²+b²，代入a=5，b=8，得c=√(5²+8²)=√89。因此，△ABC的周长为5+8+√89。

4.A。由等差数列的性质知，a₁+aₙ=2a₂+(n-2)d，代入a₁=10，d=3，得10+aₙ=2a₂+3(n-2)。由于a₁+aₙ=20，得2a₂+3(n-2)=20，解得n=6。因此，a₃=a₁+2d=10+2×3=16。

5.C。方程4x+1=-3无解，因为左边为奇数，右边为偶数，不可能相等。

二、填空题答案及解析：

6.-8。由|a|=5知a=±5，b=-3，故a+b=±5-3=±2。

7.1,3。将x²-4x+3=0因式分解得(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3。

8.14。由海伦公式知，△ABC的面积S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2=11，代入a=5，b=8，c=7，得S=√[11×6×3×4]=14。

9.2。由于函数f(x)=2x²-3x+1的图像的对称轴是直线x=1，故函数在x=1处取得最小值，即f(1)=2×1²-3×1+1=0。

10.7。由等差数列的性质知，aₙ=a₁+(n-1)d，代入a₁=10，d=3，得a₃=10+2×3=16。

三、解答题答案及解析：

11.（1）顶点坐标为(1,0)；

（2）函数值f(2)=2×2²-3×2+1=1；

（3）在x=1处取得最小值。

12.（1）通项公式为an=3+(n-1)×2；

（2）前10项和为S₁₀=10/2[2×3+(10-1)×2]=110。

13.（1）面积S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2=13，代入a=5，b=8，c=7，得S=√[13×8×6×5]=24√65；

（2）内切圆半径r=(a+b+c-S)/2s=(6+8+10-24√65)/(2×13)；

（3）外接圆半径R=(abc)/(4S)=(6×8×10)/(4×24√65)。

四、解答题答案及解析：

14.（1）f'(x)=6x²-6x+4；

（2）切线方程为y-2=4(x-1)；

（3）单调递增区间为(-∞,+∞)。

15.（1）前5项为3,5,9,17,33；

（2）通项公式为an=2^n-1。

五、证明题答案及解析：

17.证明：若a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，则abc=0。

证明过程如下：

由等差数列的性质知，a+b=2c，代入a+b+c=0得2c+c=0，解得c=0。因此，abc=a×b×c=0×b×c=0。

18.证明：若函数f(x)=x²-4x+3在区间[1,3]上单调递增，则f(2)<f(3)。

证明过程如下：

由于f(x)=x²-4x+3在区间[1,3]上单调递增，故f'(x)=2x-4>0，解得x>2。因此，f(2)<f(3)。

六、综合题答案及解析：

19.（1）顶点坐标为(1,4)；

（2）切线方程为y-4=-6(x-3)；

（3）最大值为f(2)=1，最小值为f(3)=2。

20.（1）面积S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a