2025年中考数学总复习06 微专题 分式方程及其应用

微专题06分式方程及其应用

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.分式方程的有关概念

(1)分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程

(2)增根：使分式方程的分母为零的根叫做增根

(3)产生增根的原因：分式方程本身隐含分母不为0的条件，将其化为整式方程后

没有此条件限制了

2.分式方程的解法(2024.9)

(1)解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程

(2)解法：方程两边同乘各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根

验根

3.分式方程的实际应用(6年3考)

(1)常见类型及关系式：

①行程问题：路程＝时间；

速度

②工程问题：工作总量＝工作时间当题干中没有给出具体的工作总量时，默认工作

工作效率(

总量为1)；

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③购买问题：总价＝数量；

单价

④航行问题：顺水速度＝静水船速＋水流速度；逆水速度＝静水船速－水流速度

(2)一般步骤：

(3)双检验：①检验是否是分式方程的根；②检验是否符合实际问题

练考点

1.下列方程中不是分式方程的是()

－＝＝

A.2x0B.1

�2

3＝＋＝�

C.－xD.y2

21

2.解3下�列方程：�

(1)＝；

23

�+1－�＝

(2)－－1.

31

3.2小明�在�一2家便利店买了若干瓶酸奶，结账时共计48元，收银员告诉他满50

元打八折，于是小明又拿了一瓶相同的酸奶，共花费了44.8元.设该酸奶单价为x

元/瓶，则可列方程为.

高频考点

考点1分式方程及其解法(2024.9)

－

例1已知关于x的分式方程＝.

2���

(1)若分式方程的解为x＝3，则2�m+2的值1+为�；

(2)若m＝1，则该方程的解为；

(3)若分式方程有增根，则m的值为；

(4)若分式方程无解，则m的值为.

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易错警示

分式方程的增根与无解并非同一概念.

(1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根；

(2)分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的

解使得最简公分母为0.

变式遂宁分式方程＝－的解为正数，则的取值范围

1(2024)－1－m()

2�

A.m＞－3B.m＞－3且m�≠－12�1C.m＜3D.m＜3且m≠－2

考点2分式方程的实际应用(6年3考)

例2中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化

根脉、文化基因.为传承优秀传统文化，某校园内掀起了传统文化学习的热潮.为

满足同学们的学习热情，该校特派两名学生代表小伟和小聪去采购相关书籍.

(1)两人要去距离学校10km的图书批发市场购买图书，因小伟有事耽搁，故小聪

骑自行车先走，过了20min后，小伟乘汽车出发，结果两人同时到达.已知汽车

的平均速度是自行车平均速度的2倍，求小聪骑自行车的平均速度；

(2)两人决定购买《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》

连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》

连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，则每套《水浒

传》连环画的价格为多少元？

(3)将书全部运回学校后，小伟和小聪开始整理所买书籍，小聪和小伟两人共同整

理5min后，因小聪有事退出，小伟需再单独整理7min才能完成任务，若小聪

单独整理所买书籍需要15min，求小伟单独整理所买书籍需要多长时间？

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真题及变式

命题点1解分式方程(2024.9)

广东题分人教八上例题改编方程＝的解是

1.(202493·)－()

23

A.x＝－3B.x＝－9C.x＝3D�.x3＝9�

命题点2分式方程的实际应用(6年3考)

2.(2023广东17题7分·人教八上习题改编)某学校开展了社会实践活动，活动地

点距离学校12km.甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2

倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度.

变式

2.1变情景——将同向出发变为相向出发

A，B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发

匀速开往A地，两车相遇时距A地80千米.已知乙车每小时比甲车多行驶30千

米，求甲、乙两车的速度.

拓展训练

3.(2024绥化改编)一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航

行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的

流速为多少？

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新考法

4.[跨物理学科](人教八上例题改编)照相机成像应用了一个重要原理，用公式＝

11

＋(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表�示�

1

胶片�(像)到镜头的距离.已知f，v，则u＝()

－－

A.－B.C.－D.

�������

5.[新�定�义运算](�北�师八下复习�题�改编)对于实��数a，b，定义一种新运算“⊗”为：

⊗＝，这里等式右边是实数运算例如：⊗＝＝－则方程⊗－

ab－.13－.x(2)

111

22

＝－��的解是138

－1()

2

A.�x＝47B.x＝6C.x＝5D.x＝4

6.[与数轴结合](人教八上习题改编)在数轴上，点A表示的数为，王老师让同学

1

们在数轴上再标出一点B.点B表示数，且AB比OA大2.�若点A与点B的

�+8

位置如图所示，求x的值.3�

第6题图

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练考点

1.A

2.解：(1)方程两边同乘x(x＋1)，得2x＝3(x＋1)，

去括号，得2x＝3x＋3，

系数化为1，得x＝－3，

检验：当x＝－3时，x(x＋1)≠0，

∴x＝－3是原分式方程的解；

(2)方程两边同乘(x－2)，得－3－1＝x－2，

移项，合并同类项，得x＝－2，

检验：当x＝－2时，x－2≠0，

∴x＝－2是原分式方程的解.

3.－＝1

44.848

高频0.8考�点�

例1解：(1)－(2)x＝

12

(3)－【解析】6去分母得3，2－x＝2mx，移项，合并同类项，得(2m＋1)x＝2，

3

2

系数化为1，得x＝.∵分式方程有增根，∴＝－，解得m＝－.

23

2�2+1≠0

2�+12

(4)－或－【解析】由(3)得分式方程的解为x＝2�+1.∵分1式方程无解，∴分两

132

种情况2，当2整式方程无解时，即2m＋1＝0，解得2m�＝+1－，当整式方程有解，分

1

2

式方程无解时，即＝－，解得m＝－，∴m的值为－或－.

313

2�2+1≠0

222

变式1B【解析】2�方+1程两边1同时乘以x－1得，2＝x－1－m，解得x＝m＋3，

∵分式方程＝－的解为正数，∴＋＞，∴＞－，∵，即＋，

－1－m30m3x≠1m3≠1

2�

∴m≠－2，∴�m1的取值�范1围为m＞－3且m≠－2.

例2解：(1)设小聪骑自行车的平均速度为xkm/h，则汽车的平均速度为2xkm/h，

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由题意得－＝，

10101

解得x＝15�，2�3

经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意，

答：小聪骑自行车的平均速度为15km/h；

(2)设每套《水浒传》连环画的价格为x元，则每套《三国演义》连环画的价格为

(x＋60)元，

由题意得＝2×，

48003600

解得x＝12�0，�+60

经检验，x＝120是原分式方程的解且符合题意，

答：每套《水浒传》连环画的价格为120元；

(3)设小伟单独整理所买书籍需要xmin，

由题意得(＋)×5＋7×＝1，

111

解得x＝181，5��

经检验，x＝18是原分式方程的解且符合题意，

答：小伟单独整理所买书籍需要18min.

真题及变式

【解析】＝，＝－，解得＝，检验：当＝时，－，

1.D－2x3(x3)x9x9x(x3)≠0

23

∴x＝9是原分式�方3程的�解.

2.解：设乙同学骑自行车的速度为xkm/h，则甲同学骑自行车的速度为1.2xkm/h，

由题意得－＝，

121210

解得x＝12�，1.2�60

经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合实际，

答：乙同学骑自行车的速度为12km/h.

变式2.1解：设甲车的速度是x千米/时，乙车的速度为(x＋30)千米/时，

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由题意，得＝－，

8020080

解得x＝60，��+30

经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合实际，

∴x＋30＝90.

答：甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是90千米/时.

3.解：设江水的流速