专题三 变量与函数-2025届中考一轮数学突破热点训练营（含解析）

专题三变量与函数——2025届中考数学突破热点训练营

1.由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH7时溶液呈碱性，当pH7时

溶液呈酸性.若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的

pH与所加水的体积V之间对应关系的是()

A.B.

C.D.

2.如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图.示意图中曲线AGMD可近似看作一条抛物线，四边

形ABCD为矩形且支架AB，CD，GH，MN均垂直于地面BC.已知BC6米，AB2米，

以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（规定一

个单位长度代表1米），若点M的坐标为1,3，则抛物线的表达式为()

125125

A.yx2B.yx2

8888

11061106

C.yx2D.yx2

35353535

3.在物理活动课上，某小组探究电压一定时，电流I与电阻R之间的函数关系，通过实验得到

如下表所示的数据：

I/A31.510.750.6…

R/Ω3691215…

根据表中数据，下列描述正确的是()

9

A.在一定范围内，I随R的增大而增大B.I与R之间的函数关系式为I

R

C.当R2时，I5AD.当R4.5时，I2A

4.如图，在某次跑步练习中，甲、乙两人同时起跑，从同一起点跑向同一终点，其路程sm

与时间ts之间的函数图像分别为折线OABC和线段OD，下列说法中，正确的是()

A.乙比甲先到终点B.乙的速度随时间增加而增大

C.全程甲的速度始终比乙的速度快D.进行到29.4s时，两人出发后第一次相遇

5.一颗跳跳糖从A10,0开始按图中箭头所示方向作连续运动，第一次跳动至A21,1，第二次

跳动至A31,0，第三次跳动至A41,1，第四次跳动至A52,2，第五次跳动至

，，依照此规律跳动下去，跳跳糖第次跳动至的坐标是

A62,1…77A78()

A.8,5B.8,5C.7,5D.7,5

6.如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地

面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下

方，则茶几到灯柱的距离AE()

A.3.2B.0.32C.2.5D.1.6

7.伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动

地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值.“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛

的运用比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是杠杆原理已知阻力和阻力臂

.“”.F1(N)

的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂（单位：）需满足

L1(m)F2150NL2m()

A.0L24B.L24C.L24D.L24

8.如图，平面直角坐标系中，线段AB的两端点坐标为A5,12，B3,4，某同学设计了一

个动画：在函数ymxnm0,y0中，分别输入m和n的值，便得到射线CD，其中

Cc,0；当c1时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当有光点P弹出，并击中线

段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，则此时整数m的个数为()

个

A.5B.6C.8D.9

9.我们把1，1，2，3，5，8，13，21这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以

这列数为半径作90圆弧P1P2，P2P3，⋯P3P4，，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，

⋯

，，，得到螺旋折线（如图），已知点，，，则该折线

P2P3P3P4P10,1P21,0P30,1

上的点P7的坐⋯标为()

A.2,8B.2,9C.3,8D.3,9

10.东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东

东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家.东东和爸爸在整个运动过程中离家的

路程（米），（米）与运动时间（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的

y1y2x

是()

A.两人前行过程中的速度为180米/分B.m的值是15，n的值是2700

C.爸爸返回时的速度为90米/分D.运动18分钟或31分钟时，两人相距810米

11.如图，某物理兴趣小组在研究光的镜面反射时，为了更加直观的显示光的反射规律，于是

把光的入射与反射路径画在了平面直角坐标系中，一束光线从点A1,4出发，经x轴上的点

B3,0反射，沿射线BC方向反射出去，则反射光线BC所在的直线的函数表达式是()

A.y2x6B.y2x6C.y2x6D.y6x2

12.为了让甲、乙两名运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩，需要研究他们从起跳

至落在雪坡过程中的运动状态，如图，以起跳点O为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐

标系.我们研究发现甲运动员跳跃时，空中飞行的高度y（米）与水平距离x（米）具有二次

函数关系，记点A为该二次函数图象与x轴的交点，点B为该运动员的落地点，BCx轴于

点C.测得相关数据如下：OA12米，OC18米，抛物线最高点到x轴距离为4米.若乙运动

13

员跳跃时高度y（米）与水平距离x（米）满足yx2x，则他们跳跃时起跳点与落地

82

点的水平距离()

A.甲>乙B.甲<乙C.甲=乙D.无法确定

13.定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”.

已知二次函数yx24xm的图象上有两个“等值点”，则m的取值范围为_____.

14.中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律.

十二律的音高由低到高排列依次是：黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、中吕、蕤宾、林钟、

夷则、南吕、无射、应钟.律管越长，音高越低，古人采用“隔八相生法”、“三分损益法”确定

每根律管长度：黄钟律管长九寸，减去三分之一，得到隔八音的林钟律管长六寸；林钟律管

长减去三分之一，得到隔八音的清太簇律管长四寸，将长度翻倍，得到降八度对应的太簇律

管长八寸，其余以此类推，可以得出每根律管长.这也对应了五音“宫生微、微生商、商生

羽、羽生角”的相生关系.律管频率与律管长成反比关系，若黄钟律管频率为256Hz，则姑洗

律管频率为______Hz.

15.如图，某校师生要在空地上修建一个矩形劳动教育基地ABCD，该基地一边靠墙（墙长a

米），另三边用总长40米的栅栏围成.

（1）当a25时，劳动教育基地的最大面积为_______m2；

（2）当劳动教育基地的最大面积为150平方米时，a的值为_______.

16.有若干张如图①所示的拼图卡，用3张这样的拼图卡按图②的方式无缝隙拼接在一起，拼

成的图案总长为10cm；如图③，用8张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为

25cm；若用x张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为ycm，则y与x之间

的函数关系式为_________（x为正整数）.

17.如图①，在正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿ABBC的路径运

动，到点C停止.过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度ycm与

点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示，当点P运动3．5秒时，PQ的长是______cm.

18.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于nn0的点叫做这个函数图象的“n阶方点”.

1112

例如，点,是函数yx图象的“阶方点”；点2,1是函数y图象的“2阶方点”.

332x

11

（1）在①2,；②1,1；③1,1三点中，是反比例函数y图象的“1阶方点”的有

2x

_________（填序号）；

（2）若y关于x的一次函数yax3a1图象的“2阶方点”有且只有一个，则

a_________；

2

（3）若y关于x的二次函数yxn2n1图象的“n阶方点”一定存在，则n的取值范围

为_________.

19.为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：

mg/kg）与浸泡时长（单位：h）的关系，该小组选取甲，乙两类服装样品，将样品分成多

份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量，所得数据如下：

衣物类别P含量

甲类乙类

浸泡时长

08079

23732

43125

62921

82818

102717

122716

（）设浸泡时长为，甲，乙类衣物中的含量分别为，，在平面角坐标系中，描

1xPy1y2xOy

出表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；

.x,y1x,y2y1y2

（2）结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为5h时，甲、乙两类衣物

中P的含量的差约为______mg/kg（精确到0.1）；

（3）根据衣物中P的含量（单位：mg/kg）将衣物分为A级（含量20）、B级（20含量

75）和C类（75含量300）.若浸泡时长不超过12h，则经过浸泡处理后可能达到A级

标准的衣物为____（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A级标准至少需要浸泡_____h（精

确到0.1）.

20.阳高县是山西省的“杏果之乡”，杏树种植历史悠久，当地的阳高大接杏畅销全国.某水果商

店购进阳高大接杏的鲜果和果脯进行销售.鲜果以5元/千克的成本价购进，并以7元/千克的

价格出售.果脯以30元/千克的成本价购进，并以36元/千克的价格出售.请结合题意解答下列

问题.

（1）该水果商店购进阳高大接杏的鲜果和果脯共100千克，花费2000元，则购进鲜果和果

脯各多少千克?

（2）该水果商店两天售完所有阳高大接杏的鲜果和果脯后，决定再购进共200千克的鲜果和

果脯(所购进果脯不高于40千克)，则当该水果商店购进多少千克大接杏鲜果时，才能使利润

w最大?最大利润是多少?

21.春回大地，万物复苏，又是一年花季到.某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m

的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其

余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉.活动区一边与育苗区等宽，另一边长是

10m.A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元.

（1）设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是

_____m2，花卉B的种植面积是______m2，花卉C的种植面积是_______m2.

（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？

（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最

大值.

22.科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据.无

人机上升到距离地面20m处开始计时，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一

个小钢球（忽略空气阻力）.记无人机和小钢球距离地面的高度分别为y1，y2（单位：m），

科研人员收集了y1，y2随时间x（单位：s）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，

如图所示.

（）根据，随的变化规律，从①；②2；③

1y1y2xymxn(m0)yaxbx(a0)

k

y(k0)中，选择适当的函数模型，分别求出y，y满足的函数关系式；

x12

（2）当0x5时，小钢球和无人机的高度差最大是_____m.

答案以及解析

1.答案：B

解析：NaOH溶液呈碱性，则pH7，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，

pH的值则接近7，

故选：B.

2.答案：A

解析：BC6米，AB2米，

OC3米，CDAB2米，

D3,2

设抛物线解析式为yax2c

将D3,2，M1,3代入得

9ac2

，

ac3

1

a

8

解得，

25

c

8

125

yx2.

88

故选：A.

3.答案：B

解析：根据表格数据：331.56190.75120.615…

9

I与R之间的函数关系式为I，在一定范围内，I随R的增大而减小，故A选项错误，

R

不符合题意；B选项正确，符合题意；

当R2时，I4.5，故C选项不正确，不符合题意；

当当R4.5时，I2A，故D选项不正确，不符合题意；

故选：B.

4.答案：D

解析：由题意和图像可知，甲比乙先到终点，故A不符合要求；

乙匀速运动，故B不符合要求；

当0t15，33t145时，甲的速度比乙的速度快，故C不符合要求；

设直线AB的函数解析式为sktb，

50

k

15kb1009

将A15,100，B33,200代入得，解得，

33kb20050

b

3

5050

st，

93

5050

将s180代入得180t，解得t29.4，

93

故D符合要求；

故选：D.

5.答案：A

解析：由图可知：A41,1,A92,2,A163,3

22

第n列的端点处的点为A2，当n1为偶数时：A2n,n，当n1为奇数时：

n1n1

A2n,n，

n1

A647,7，A818,8，

A788,83，即：A788,5

故选：A.

6.答案：A

解析：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

方法一：ABDE1.5m，

点B与点D关于对称轴对称，

AE21.63.2m；

方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为1.6,2.5，

2

设抛物线的解析式为yax1.62.5，

2

将点B0,1.5代入得，01.6a2.51.5

25

解得a，

64

252

抛物线的解析式为yx1.62.5，

64

252

当y1.5时，x1.62.51.5，

64

解得x0（舍）或x3.2，

所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米，

故选：A.

7.答案：D

解析：阻力和阻力臂的函数关系式为k，

F1(N)L1(m)F1

L1

点(0.5,1200)在该函数图象上，

k

1200，

0.5

解得k600，

阻力和阻力臂的函数关系式为600，

F1(N)L1(m)F1

L1

F1L1600，

F1L1F2L2600，

当时，，

F2150L24

小明想使动力不超过，则动力臂（单位：）需满足，

F2150NL2mL24

故选：D.

8.答案：B

解析：设直线AB的解析式为ykxbk0，

5kb12

把A5,12，B3,4代入，得，

3kb4

k1

解得，

b7

直线AB的解析式为yx7；

由题意直线ymxn经过点1,0，

mn0；

由题意，可设线段AB上的整数点为t,t7，则tmnt7，

mn0，

t1mt7，

t76

m1，

t1t1

t为整数，m也是整数，

t11或t12或t13或t16，即t2或0或3或1或4或2或7或5，

5t3，

t2或0或3或1或2或5，

t2，m5；t0，m7；t3，m2；t1，m4；t2，m3；t5，

m2；

综上所述，m的值为5或7或2或4或3或2.

故选：B.

9.答案：B

解析：观察发现：

P10,1先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到P21,0；

P21,0先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到P30,1；

P30,1先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到P42,1；

P42,1先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到P51,4；

P51,4先向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到P66,1；

P66,1先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到P72,9；

故选：B.

10.答案：D

解析：360020180米/分，

两人同行过程中的速度为180米/分，故A选项不符合题意；

东东在爸爸返回5分钟后返回即第20分钟返回

m20515，

n180152700，故B选项不符合题意；

爸爸返回的速度2700(4515)90/分，故C选项不符合题意；

当运动18分钟时，爸爸离家的距离270090(1815)2430米，东东离家的距离

180183240米，

运动18分钟时两人相距32402430810米；

返程过程中东东452025分钟走了3600米，

东东返程速度360025144米/分，

运动31分钟时东东离家的距离3600144(3120)2016米，爸爸离家的距离

270090(3115)1260米，

运动31分钟两人相距756米，故D选项符合题意；

故选D.

11.答案：A

解析：设直线AB与y轴的交点为E，直线BC与y轴的交点为F，

设直线AB的解析式为ykxb，

A1,4，B3,0，

kb4

，

3kb0

k2

解得，

b6

y2x6，

当x0时，y6，

直线AB与y轴的交点E的坐标为0,6

根据光的反射规律知：E和F关于x轴对称，

F0,6，

设直线BC的解析式为ymxn，

n6

，

3mn0

m2

解得，

n6

y2x6，

故选：A.

12.答案：A

解析：由题意，设该二次函数的解析式为yax2bxa0，

∵OA12，抛物线最高点到x轴距离为4米，

122a12b=0

∴b2，

4

4a

1

a

9

解得，

4

b

3

14

∴该二次函数的解析式为yx2xx0，

93

∵OC18米，

14

∴当x18时，y1821812，

93

∴B18，12；

13

对于函数yx2x，

82

13

当y12时，12x2x，

82

解得，x6233或x6233（舍去），

∴乙起跳点与落地点的水平距离6233米，

∵186233122331441320，

∴甲起跳点与落地点的水平距离大于乙起跳点与落地点的水平距离.

故选：A.

25

13.答案：m

4

解析：由题意可得，横、纵坐标相等的点在函数yx的图象上，

∴二次函数与yx有两个交点，即xx24xm有两个不相等的根，

∴x25xm0，

2

∴b24ac541m254m0，

25

解得，m，

4

25

故答案为：m.

4

14.答案：324

解析：∵太簇律管的长度是八寸，

216

∴南吕律管的长度是：8（寸）.

33

16232

∴清姑洗律管的长度是：（寸）.

339

3264

∴姑洗律管的长度是：2（寸）.

99

设律管频率为y，律管长为x，

∵律管频率与律管长成反比关系，

k

∴可设yk0.

x

∵黄钟律管频率为256Hz，律管长为9寸，

∴k25682304.

2304

∴y.

x

64

当x时，y324.

9

故答案为：324.

15.答案：200；30或10

解析：（1）当a25时，另三边总长40米，

1

设BCx，则ABDC20x，劳动教育基地的面积为y，

2

1

根据题意得：yx(20x)，

2

112

yx220xx20200(0x25)；

22

当x20时，y有最大值，y最大值200m2.

1

（2）当y最大值150m2时，即x220x150，

2

x240x3000，

解得：x130，x210，

xa，

a30或10.

故答案为：200；30或10.

16.答案：y3x1

解析：设每一个拼图卡长度为mcm，重合部分长度为ncm，则

3m2n10m4

，解得，

8m7n25n1

若用x张这样的拼图卡按同样的方式拼接，拼成的图案总长为ycm，则y与x之间的函

数关系式为ymxnx14xx13x1，

故答案为：y3x1.

17.答案：2

解析：∵正方形ABCD，

∴△ABD是等腰直角三角形，

由题意知，当P运动到B时，PQ最长，PQBD，

由图象可知，当x2时，PQ42，

∴AB4，

当x3.5时，PC823.51，

∵PQ∥BD，

∴△PCQ是等腰直角三角形，CQPC1，

由勾股定理得，PQCQ2PC22cm，

故答案为：2.

18.答案：（1）②③

（2）3或1

1

（3）n1

4

1

解析：（1）点2,到x轴的距离为2，大于1，

2

11

2,不是反比例函数y图象的“1阶方点”，

2x

1

点1,1和点1,1都在反比例函数y的图象上，且到两坐标轴的距离都为1，

x

1

1,1和1,1是反比例函数y图象的“1阶方点”，

x

故答案为：②③；

（2）如图作正方形，四个顶点坐标分别为2,2，2,2，2,2，2,2，

当a0时，若y关于x的一次函数yax3a1图象的“2阶方点”有且只有一个，

则yax3a1过点2,2或2,2，

1

把2,2代入yax3a1得：22a3a1，解得：a（舍去）；

5

把2,2代入yax3a1得：22a3a1，解得：a3；

当a0时，若y关于x的一次函数yax3a1图象的“2阶方点”有且只有一个，

则yax3a1过点2,2或2,2，

把2,2代入yax3a1得：22a3a1，解得：a1；

3

把2,2代入yax3a1得：22a3a1，解得：a（舍去）；

5

综上，a的值为3或1；

故答案为：3或1；

2

（3）二次函数yxn2n1的顶点坐标为n，2n1，

2

二次函数yxn2n1的顶点在直线y2x1上移动，

2

y关于x的二次函数yxn2n1图象的“n阶方点”一定存在，

2

二次函数yxn2n1的图象与以顶点坐标为n,n，n,n，n,n，n,n的

正方形有交点，

2

如图，当yxn2n1过点n,n时，

22

将n,n代入yxn2n1得：nnn2n1，

解得：n1，

2

当yxn2n1过点n,n时，

22

将n,n代入yxn2n1得：nnn2n1，

1

解得：n或n1（舍去），

4

2

由图可知，若y关于x的二次函数yxn2n1图象的“n阶方点”一定存在，n的取值

1

范围为：n1，

4

1

故答案为：n1.

4

19.答案：（1）见解析

（2）6.5

（3）乙；7.5

解析：（1）如图所示，即为所求

（2）由函数图象可知当浸泡时长为5h时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为6.5mg/kg，

故答案为：6.5；

（3）由表格中的数据结合函数图象可知，当浸泡时长不超过12h时，甲含P的最低量大于

20，乙的最低含量可以小于20，

经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙，

观察函数图象可知，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡7.5h，

故答案为：乙；7.5.

20.答案：（1）购进鲜果40千克，果脯60千克

（2）当该水果商店购进160千克大接杏鲜果时，才能使利润w最大，最大利润是560元.

解析：（1）设购进鲜果x千克，果脯y千克，

5x30y2000

xy100

x40

解得

y60

答：购进鲜果40千克，果脯60千克；

（2）设购进鲜果m千克，则购进果脯200m千克，

则w75m3630200m4m1200

200m0

由题意可得，

200m40

解得160m200，

4<0，

当m160时，w