甘肃省武威市古浪县2025届高三下学期高考诊断性测试数学试题（原卷版+解析版）

2025年高考诊断性测试数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．3．使用答题纸时，必须使用0，5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知等比数列的前项和为，则（）A. B. C.5 D.153.已知，则（）A. B. C. D.24.已知复数，其中，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在中，，则（）A. B. C. D.6.已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（）A0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.47.已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切直线交轴于点，则的值为（）A.1 B.2 C.4 D.88.已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，若，则正整数的最小值为（）A.17 B.19 C.21 D.23二、选择题：本题共3小题．每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.在区间上的取值范围为D.的图象可由的图象向右平移个单位长度得到10.如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，下列说法正确的有（）A.若，则B.直线与底面所成角的正弦值为C.若点在底面内射影为的中心，则D.若三棱锥的体积为2，则三棱柱的体积为611.在平面直角坐标系中，已知动点到点与到轴的距离之积为常数，设点的轨迹在轴右侧的部分为曲线，下列说法正确的有（）A.曲线关于直线对称B.若，则曲线与直线有三个公共点C.当时，曲线上的点到点距离的最小值为D.无论为何值，曲线均为一条连续曲线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在哈尔滨成功举行.4名大学生到冰球、速滑以及体育中心三个场馆做志愿者，每名大学生只去1个场馆，每个场馆至少安排1人，则所有不同的安排种数为__________.（用数字作答）13.设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为__________.14.已知正数满足，则最小值为__________：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数在处有极大值.（1）求实数的值；（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.16.如图，点在以为直径的半圆的圆周上，，且平面，（1）求证：；（2）当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？17.为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立.（1）设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求；（2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列；（3）假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额.18.已知椭圆的焦距为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，为上两个动点，且，作，垂足为.（i）线段的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；（ii）设点轨迹为，过点作的切线交于点（异于），求面积的最小值.19.设是一个项数为的数列，其中每一项均为集合中的元素.定义数列如下：若，则，其中，当时，，当时，，且.（1）若数列，求数列；（2）若存在，对任意，均有数列与为同一数列，则称为数列组的一个周期.（i）若，求数列组的最小正周期；（ii）若数列组存在周期，求的所有可能取值.

2025年高考诊断性测试数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．3．使用答题纸时，必须使用0，5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由一元二次不等式的解法及交集的运算得解.【详解】由，，则，故选：A2.已知等比数列的前项和为，则（）A. B. C.5 D.15【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的性质及求和公式得解.【详解】由等比数列性质可知，，又，解得或，当时，，所以，故，当时，，所以，故，综上，，故选：D3.已知，则（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.【详解】.故选：C4.已知复数，其中，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】应用复数模的求法及得或，再由充分、必要性定义即可得答案.【详解】由，则，可得或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B5.在中，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先得出向量线性关系，结合向量数量积公式计算求解模长即可.【详解】在中，，所以，则.故选：C.6.已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】A【解析】【分析】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线，估计的对应值，最后由残差的定义求解.【详解】由题设，则，增加数据后，，，且回归直线为，所以，则，所以，有，故残差的绝对值为.故选：A7.已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切的直线交轴于点，则的值为（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】不妨令，应用导数的几何意义求切点为的直线斜率，再由点在切线上、抛物线上求m，列方程求p即可.【详解】不妨令，由，则，所以，切点为的直线斜率为，则切线为，故，又，即（负值舍），则.故选：C8.已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，若，则正整数的最小值为（）A.17 B.19 C.21 D.23【答案】B【解析】【分析】根据已知得到是周期为8的偶函数，再利用周期性、偶函数性质有，进而得到，是周期为4的函数且一个周期内函数值依次为，即可得答案.【详解】由，则，所以，即是周期为8的函数，由为奇函数，则，则，所以，即是偶函数，由，则，结合周期性，对于，依次为，所以是周期为4的函数，则，，，，，，综上，易知时，，时，.所以正整数的最小值为19.故选：B【点睛】关键点点睛：首先确定是周期为8的偶函数，再求相关函数值，进而得到，是周期为4的函数且一个周期内函数值依次为是关键.二、选择题：本题共3小题．每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.在区间上的取值范围为D.的图象可由的图象向右平移个单位长度得到【答案】ABD【解析】【分析】应用二倍角正余弦公式化简函数式，再应用正弦型函数性质判断A、B、C；根据图象平移写出解析式即可判断D.【详解】由，所以最小正周期为，A对；，即的图象关于直线对称，B对；由上，故，C错；向右平移个单位长度，，D对.故选：ABD10.如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，下列说法正确的有（）A.若，则B.直线与底面所成角的正弦值为C.若点在底面内的射影为的中心，则D.若三棱锥的体积为2，则三棱柱的体积为6【答案】ACD【解析】【分析】由题意确定一组基底，对于A，由基底表示向量，根据垂直垂直向量的数量积，建立方程，可得其正误；对于B，由题意作图，根据几何性质明确垂足的位置，进而可得线面角，利用向量的夹角公式，可得其正误；对于C，由B所得三角函数值，根据等边三角形的几何性质，可得其正误；对于D，根据等积变换，结合三棱锥的体积公式以及其与同底等高的三棱柱的体积关系，可得其正误.【详解】设，，，由题意可得，，，对于A，由图可得，，由，则，即，化简可得，解得，故A正确；对于B，由题意取的中点，连接，过作平面，垂足为，连接，如下图：由题意可知，则，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以，则，可得，所以为直线与平面的夹角，由A可得，，在等边中，易知，则，所以直线与平面所成角的正弦值为，故B错误；对于C，由题意取的中点，连接，过作平面，垂足为，如下图：易知点在平面上的射影为点，即点为等边的中心，易知，因为平面，平面，所以，由B可知，在中，，故C正确；对于D，由题意作图如下：设点到平面的距离为，的面积为，则三棱锥的体积，平行四边形中，易知的面积，则三棱锥的体积，由图可知三棱柱的体积，故D正确.故选：ACD.11.在平面直角坐标系中，已知动点到点与到轴的距离之积为常数，设点的轨迹在轴右侧的部分为曲线，下列说法正确的有（）A.曲线关于直线对称B.若，则曲线与直线有三个公共点C.当时，曲线上的点到点距离的最小值为D.无论为何值，曲线均为一条连续曲线【答案】AC【解析】【分析】根据和都符合，即可判断选项A，把代入轨迹方程，分类求解即可判断选项B，结合B选项做法，即可判断选项C，分析轨迹方程两侧函数式，即可判断选项D.【详解】设动点，则其到的距离为，动点到轴的距离为，则，即，因为点也符合上式，所以选项A正确；若，则把代入上式，得方程，当时，，方程为，解得或（舍去），即得对应点，当时，方程为，解得，即得对应点，所以B错误；当时，的轨迹方程为，令曲线上的点到点距离为，则，，因为是对称轴，所以代入轨迹方程得，当时，方程为，解得，当时，方程为，则无解，将代入方程得，则点到的距离最小，且为，C正确；因轨迹方程为，，不妨取，，此时，当时，方程为，解得（负值舍去），当时，方程为，解得或，取，，则，无解，即直线与曲线无交点，但在直线两侧均有点在曲线上，此时曲线的曲线不连续，D错误.故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在哈尔滨成功举行.4名大学生到冰球、速滑以及体育中心三个场馆做志愿者，每名大学生只去1个场馆，每个场馆至少安排1人，则所有不同的安排种数为__________.（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】应用部分平均分组，将4人分3组，再作全排列，最后应用分步乘法求结果.【详解】由题设，需要将4个人分成3组，有种，再将3组人分配到三个场馆，有种，所以共有种.故答案为：3613.设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的定义及已知有、、，再应用余弦定理得到双曲线参数的齐次式，即可求离心率.【详解】由题设及图知，且，，所以，则，所以，即，可得（负值舍）.故答案为：14.已知正数满足，则的最小值为__________：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】①.5②.【解析】【分析】由已知有，应用基本不等式求最小值，注意取值条件，进而有恒成立，问题化为在上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围.【详解】由题设，当且仅当时等号成立，所以的最小值为5，此时不等式化为恒成立，所以，即令且，则，时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，故，则因此可得在上，恒成立，令且，所以，令，，单调递增，且，则时，，函数在单调递减，时，，函数在单调递增，因此可得，即，则当，，则在单调递增，当，，则在单调递减，所以，故只需.故答案为：5，【点睛】关键点点睛：将不等式恒成立化为在上恒成立，再应用导数研究右侧的最大值为关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数在处有极大值.（1）求实数的值；（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案；（2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案.【小问1详解】由函数，求导可得，由函数在处取极大值，则，解得或，当时，可得，易知当时，；当时，，则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去；当时，可得，易知当时，；当时，，则此时函数在处取得极大值，符合题意.综上所述，.【小问2详解】由（1）可得函数，求导可得，令，解得或，可得下表：单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的极大值为，极小值为，函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点，如下图：由图可得，则.16.如图，点在以为直径的半圆的圆周上，，且平面，（1）求证：；（2）当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质有，由圆的性质易得，再由线面垂直的判定和性质证明结论；（2）若为的中点，即为半圆的圆心，作面，在面内作，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值，结合已知列方程求参数即可.【小问1详解】由平面，平面，则，又点在以为直径的半圆的圆周上，则，由且都在面内，则面，由面，故；【小问2详解】若为中点，即为半圆的圆心，作面，在面内作，由，，则，故可构建如下图示的空间直角坐标系，则，由，故，可得，所以，，，若，分别为面、面的一个法向量，则，取，，，取，，所以，整理得，则，可得或.17.为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立.（1）设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求；（2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列；（3）假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额.【答案】（1）（2）答案见解析；（3）元【解析】【分析】（1）先应用互斥事件概率和公式计算项目挑战成功的概率，再应用概率乘积公式计算即可求解；（2）先求出甲参赛队可能获得的奖金为元的所有可能取值，再应用独立事件概率乘积公式求出每个值所对应的概率，即可求解；（3）先求出甲参赛队可获得奖金的数学期望，再结合参加的队数估计需提供的奖金总额即可.【小问1详解】每个项目挑战成功的概率，则.【小问2详解】甲参赛队获得奖金数为随机变量的所有可能取值为4000，3000，2000，1000，0.；；；；.∴甲获得奖金数的分布列为：40003000200010000【小问3详解】由（2）得出甲参赛队获得奖金数数学期望元，因为假设本届比赛共有36支参赛队，估计其需提供的奖金总额为元18.已知椭圆的焦距为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，为上两个动点，且，作，垂足为.（i）线段的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；（ii）设点轨迹为，过点作的切线交于点（异于），求面积的最小值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由题目中的焦距与离心率，结合的关系式，可得答案；（2）（i）分直线的斜率存在与不存在两种情况，设出直线方程，并联里椭圆方程写出韦达定理，利用直线垂直的斜率关系以及点到直线距离公式，可得答案；（ii）根据圆的对称性，分情况求弦长，利用基本不等式，可得答案.【小问1详解】由椭圆的焦距为，则，由椭圆的离心率为，则，解得，易知，则可得椭圆.【小问2详解】（i）当直线的斜率不存在时，可设方程为，代入椭圆，可得，易知，解得；当直线的斜率存在时，可设方程为，联立，消