高考数学人教A版理科第一轮复习课件第七章不等式推理与证明75

7.5

数学归纳法-2-知识梳理双基自测211.数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=

时命题也成立.

只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.-3-知识梳理双基自测212.数学归纳法的框图表示

2-4-知识梳理双基自测3415答案答案关闭(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.(

)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(

)(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(

)(4)用数学归纳法证明问题时,必须要用归纳假设.(

)(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+”,验证当n=1时,等号左边的式子应为1+2+22+23.(

)-5-知识梳理双基自测23415答案答案关闭C-6-知识梳理双基自测23415A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立答案答案关闭B-7-知识梳理双基自测234154.在用数学归纳法证明“平面内有n条(n≥2)直线,任何两条不平行,任何三条不过同一个点的交点个数为

时,第一步验证n0等于(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案解析解析关闭因为平面内不平行的两条相交直线就有交点,所以验证n0=2.答案解析关闭B-8-知识梳理双基自测234155.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添的代数式是

.

答案解析解析关闭∵当n=k时,左侧=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左侧=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,∴当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.答案解析关闭(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2-9-考点1考点2考点3例1求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N*).思考用数学归纳法证明等式的注意点有哪些?

证明

(1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·5·…·(2k-1),那么,当n=k+1时,左边=(k+1+1)·(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k·1·3·5·…·(2k-1)·(2k+1)·2=2k+1·1·3·5·…·(2k-1)·(2k+1),即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对所有n∈N+都成立.-10-考点1考点2考点3解题心得用数学归纳法证明等式的注意点:(1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.(2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.(3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.-11-考点1考点2考点3-12-考点1考点2考点3-13-考点1考点2考点3例2若函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴的交点的横坐标,试运用数学归纳法证明:2≤xn<xn+1<3.思考具有怎样特征的不等式可用数学归纳法证明?证明的关键是什么?-14-考点1考点2考点3-15-考点1考点2考点3-16-考点1考点2考点3解题心得1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.2.证明的关键是由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.-17-考点1考点2考点3证明

(1)当n=1时,∴a1>a2.(2)假设当n=k(k∈N+)时,ak+1<ak,又ak+2+ak+1+1<-1+(-1)+1=-1,∴ak+2-ak+1<0,∴ak+2<ak+1,即当n=k+1时,命题成立.由(1)(2)可知,当n∈N+时,an+1<an.-18-考点1考点2考点3例3设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列{an}的通项公式.思考解决“归纳—猜想—证明”问题的一般思路是什么?哪些问题常用该模式解决?-19-考点1考点2考点3解

(1)由Sn=-3n2-4n,得S2=4a3-20,S3=S2+a3=5a3-20.又S3=15,∴a3=7,S2=4a3-20=8.又S2=S1+a2=(2a2-7)+a2=3a2-7,∴a2=5,a1=S1=2a2-7=3.综上知a1=3,a2=5,a3=7.-20-考点1考点2考点3(2)由(1)猜想an=2n+1(n∈N+),以下用数学归纳法证明:①当n=1时,结论显然成立;②假设当n=k(k∈N+,且k≥2)时,有ak=2k+1成立,则Sk=3+5+7+…+(2k+1)即当n=k+1时,结论成立.由①②知,数列{an}的通项公式为an=2n+1(n∈N+).-21-考点1考点2考点3解题心得解决“归纳—猜想—证明”问题的一般思路:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.-22