第四章 数列（压轴题专练）（原卷版）

第四章数列（压轴题专练）题型一数列的函数性质【例1】已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，请说明理由．思维升华1．求数列的最小项(或最大项)的方法(1)判断数列的单调性，求出最小项(或最大项)所在的位置．(2)设第n项an最大(或最小)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))n≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1，))n≥2))，解不等式组，从而确定出哪一项为数列的最值．2．由数列的单调性确定变量的范围利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系：数列{an}递增⇔an＋1＞an恒成立；数列{an}递减⇔an＋1＜an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．巩固训练1．已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(n,n2＋1)(n∈N*)，试判断该数列的增减性，并说明理由．2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N*)，若数列{an}是递增数列，求实数k的取值范围．题型二等差数列的判定与证明【例2】已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n>1，n∈N*)，记bn＝eq\f(1,an－2)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．思维升华等差数列的判定与证明方法定义法an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列等差中项法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列巩固训练1．已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．(1)判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由；(2)求{an}的通项公式．2．已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，求证：lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列．题型三灵活设元求解等差数列问题【例3】已知四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．思维升华常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d．巩固训练1．已知三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．2．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．题型四等差数列前n项和公式的基本运算【例4】在等差数列{an}中，(1)已知a1＝eq\f(5,6)，an＝－eq\f(3,2)，Sn＝－5，求n和d；(2)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；(3)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n．思维升华等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)结合使用．巩固训练1．在等差数列{an}中，(1)a1＝1，a4＝7，求S9；(2)a3＋a15＝40，求S17．题型五两个数列的综合问题【例5】已知等差数列{an}：5,8,11，…和等差数列{bn}：3,7,11，…各有100项，问它们有多少个相同的项？记这些共同的项从小到大依次构成数列{cn}，问数列{cn}是否为等差数列？思维升华有关两个等差数列公共项的问题，处理办法一般有两种：一是先利用两数列的公共项组成的新等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数求新数列的公差，然后找到第一项后用通项公式解决；二是从通项公式入手，建立am＝bn这样的方程，利用n＝f(m)，借助n，m均为正整数，得到n(或m)可取的整数形式．巩固训练1．已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1与b1，且b1∈N*，a1＋b2019＝－2．设cn＝abn(n∈N*)，则数列{cn}的通项公式为________．2．等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项之间各插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是________．题型六等差数列前n项和的实际应用问题【例6】某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50m，最远一根电线杆距离电站1550m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工(完成任务后回到原处)．若该汽车往返运输总行程为17500m，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？思维升华等差数列前n项和公式主要应用于求解实际问题中的总数问题，如材料的总数目、行程问题中的总行程等．只要是等差数列，就可以应用前n项和公式计算总数，求解时应注意从实际问题中抽象出的数学模型要准确．巩固训练1．某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%．若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？2．我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十六斤棉，赠分八子作盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”大意为：“有996斤棉花，分别赠送给8个子女作为盘缠，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟之间要和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为()A．184斤 B．176斤C．65斤 D．60斤题型七等差数列前n项和的最值问题【例7】在等差数列{an}中，公差为d，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．思维升华求等差数列前n项和Sn的最大(小)值的常用方法(1)通项法若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))来确定；若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))来确定．(2)二次函数法在等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值，其中，n值可由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定．(3)一般地，在等差数列{an}中，当a1＞0，且Sp＝Sq(p≠q)时，①若p＋q为偶数，则当n＝eq\f(p＋q,2)时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝eq\f(p＋q±1,2)时，Sn最大．巩固训练1．(多选)设等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12>0，S13<0，则下列结论正确的是()A．数列{an}是递增数列B．S5＝60C．－eq\f(24,7)<d<－3D．S1，S2，…，S12中最大的是S62．已知等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项的和记为Sn，a3＝－4，a6＝8．(1)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式；(2)求Sn的最小值及其相应的n值．题型八等差数列前n项和的性质的应用【例8】(1)在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(11,13)，则公差d＝________．(2)已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}前3m项的和S3m．思维升华解决有关等差数列前n项和问题时注意应用其性质解题．巩固训练1．已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n＋2,n＋3)，则eq\f(a5,b5)＝________．2．已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．3．已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．题型九求等差数列前n项绝对值的和【例9】在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．思维升华求数列{|an|}的前n项和等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}，若原数列{an}中既有正项又有负项，则{|an|}不再是等差数列，求和的关键是找到数列{an}中正、负项的分界点处n的值，再分段求和．巩固训练1．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2＋an＝2an＋1．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn是数列{|an|}的前n项和，求Sn．题型十灵活设元求解等比数列问题【例10】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．思维升华几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为：eq\f(a,q)，a，aq．推广到一般，奇数个数成等比数列设为：…，eq\f(a,q2)，eq\f(a,q)，a，aq，aq2，…(2)四个符号相同的数成等比数列设为：eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3．推广到一般，偶数个符号相同的数成等比数列设为：…，eq\f(a,q5)，eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3，aq5，…(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3．巩固训练1．在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为()A．－4或eq\f(35,2) B．4或eq\f(35,2)C．4 D．eq\f(35,2)2．有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．题型十一等比数列的实际应用【例11】已知0<r<p<100，在一容器内装有浓度为r%的溶液1kg，注入浓度为p%的溶液eq\f(1,4)kg，搅匀后倒出混合液eq\f(1,4)kg．如此反复进行下去．(1)写出第1次混合后溶液的浓度a1%；(2)设第n次混合后溶液的浓度为an%，试用an表示an＋1；(3)写出an的通项公式．思维升华数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解；(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．巩固训练题型十二等比数列前n项和的实际应用问题【例12】一个热气球在第1min上升了25m的高度，在以后的每1min里，它上升的高度都是它在前1min上升高度的80%．这个热气球上升的高度能达到125m吗？思维升华解数列应用题的思路和方法巩固训练1．某电扇厂去年实现利润300万元，计划在以后5年中每年比上一年利润增长10%．问从今年起第5年的利润是多少？这5年的总利润是多少？(结果精确到1万元)2．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程之和是(结果保留到个位)()A．300米 B．299米C．199米 D．166米题型十三分组转化法求和【例13】已知数列{cn}：1eq\f(1,2)，2eq\f(1,4)，3eq\f(1,8)，…，试求{cn}的前n项和．思维升华分组转化法求和的常见类型[提醒]某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．巩固训练1．已知数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(n2＋n,2)，n∈N*．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．题型十三分组转化法求和【例13】已知等比数列{an}的各项均为正数