人教A版高中数学选择性必修三8.2第2课时 一元线性回归模型的综合问题-同步练习【含答案】

人教A版高中数学选择性必修三8.2第2课时一元线性回归模型的综合问题-同步练习1．根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,Ee＝0，De＝σ2))得到经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，对应的残差如图所示，模型误差()A．满足一元线性回归模型的所有假设B．满足回归模型E(e)＝0的假设C．满足回归模型D(e)＝σ2的假设D．不满足回归模型E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设2．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某数学建模小组建立了茶水冷却时间x和茶水温度y的一组数据(xi，yi)．经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^)))2的值分别是0.98,0.80,0.12，1.36.则拟合效果最好的模型是()A．模型① B．模型②C．模型③ D．模型④3．(多选)对变量y和x的一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)进行回归分析，建立回归模型，则()A．残差平方和越大，模型的拟合效果越好B．若由样本数据得到经验回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则其必过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))C．用决定系数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若y和x的样本相关系数r＝－0.95，则y和x之间具有很强的负线性相关关系4．若一函数模型为y＝sin2α＋2sinα＋1，为将y转化为t的经验回归方程，则需作变换t等于()A．sin2α B．(sinα＋1)2C．sinα＋eq\f(1,2) D．以上都不对5．已知两个线性相关变量x与y的统计数据如下表：x3456y2.534m其经验回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋eq\o(a,\s\up6(^))，据此计算，样本(4,3)处的残差为－0.15，则表中m的值为()A．4B．4.5C．5D．5.56．(多选)对于表中x，y之间的一组数据：x13678y12345甲、乙两位同学给出的拟合直线方程分别为①eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,3)x＋1和②eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，若通过分析得出②的拟合效果好，则下列分析理由正确的是()A．①的残差和大于②的残差和，所以②拟合效果更好B．①的残差平方和大于②的残差平方和，所以②拟合效果更好C．①的R2小于②的R2，所以②拟合效果更好D．残差图中直线②的残差点分布的水平带状区域比①的残差点分布的水平带状区域更窄，所以直线②拟合效果更好7．某同学计算两个线性相关变量x与y的经验回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋40，则相对应于点(11,5)的残差eq\o(e,\s\up6(^))(eq\o(e,\s\up6(^))i＝yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)为________．8．若一个样本的观测值与均值的差的平方和为80，残差平方和为60，决定系数R2为________．9．某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动．该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚(每间一亩)进行试点，得到各间大棚产量数据绘制成如图所示的散点图．光照时长为x(单位：小时)，大棚蔬菜产量为y(单位：千斤每亩)，记w＝lnx.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dlnx，哪一个更适合作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的经验回归方程模型(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程(结果保留小数点后两位)；(3)根据实际种植情况，发现上述经验回归方程在光照时长位于6～14小时内拟合程度良好，利用(2)中所求方程估计当光照时长为e2小时时(自然对数的底数e≈2.71828)，大棚蔬菜亩产约为多少．参考数据：eq\i\su(i＝1,20,x)ieq\i\su(i＝1,20,y)ieq\i\su(i＝1,20,w)ieq\i\su(i＝1,20,x)eq\o\al(2,i)eq\i\su(i＝1,20,y)eq\o\al(2,i)eq\i\su(i＝1,20,w)eq\o\al(2,i)eq\i\su(i＝1,20,x)iyieq\i\su(i＝1,20,w)iyi290102.4524870540.281371578.2272.1参考公式：β关于α的经验回归方程eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\o(m,\s\up6(^))α＋eq\o(n,\s\up6(^))中，eq\o(m,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,α)iβi－n\x\to(α)\x\to(β),\i\su(i＝1,n,α)\o\al(2,i)－n\x\to(α)2)，eq\o(n,\s\up6(^))＝eq\x\to(β)－eq\o(m,\s\up6(^))eq\x\to(α).10．耐盐碱水稻俗称“海水稻”，是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻．海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉．某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表．绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋0.88.海水浓度xi(‰)34567亩产量yi(吨)0.620.580.490.40.31残差eq\o(e,\s\up6(^))i(1)求eq\o(b,\s\up6(^))，并估计当浇灌海水浓度为8‰时该品种的亩产量；(2)①完成上述残差表：②统计学中常用决定系数R2来刻画回归效果，R2越大，模型拟合效果越好，如假设R2＝0.8，就说明预报变量y的差异有80%是由解释变量x引起的．请计算决定系数R2(精确到0.01)，并指出亩产量的变化多大程度上是由海水浓度引起的？附：残差公式eq\o(ei,\s\up6(^))＝yi－eq\o(yi,\s\up6(^))，决定系数R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(yi,\s\up6(^))2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2).11．(多选)某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2015年到2023年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x(2015年作为第1年)的函数．运用excel软件，分别选择经验回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图，则下列说法正确的是()A．销售额y与年份序号x呈正相关关系B．三次函数回归模型的残差平方和大于线性回归模型的残差平方和C．三次函数回归曲线的拟合效果好于经验回归直线的拟合效果D．根据三次函数回归曲线可以预测2024年“年货节”期间的销售额约为1698.719亿元12．(多选)下列说法正确的是()A．经验回归直线一定经过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高D．在线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明回归模型的拟合效果越好13．某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如下表所示：广告支出费用x2.22.64.05.35.9销售量y3.85.47.011.612.2根据表中的数据可得经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2.27x－1.08，R2≈0.96，以下说法正确的是()A．第三个样本点对应的残差eq\o(e,\s\up6(^))3＝－1，回归模型的拟合效果一般B．第三个样本点对应的残差eq\o(e,\s\up6(^))3＝1，回归模型的拟合效果较好C．销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的D．销售量y的多少有4%是由广告支出费用引起的14．已知经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.2)，则残差平方和是________．15．若对于变量x，y的10组统计数据的回归模型中，计算R2＝0.95，又知残差平方和为120.55，那么eq\i\su(i＝1,10,)(yi－eq\x\to(y))2的值为()A．241.1 B．245.1C．2411 D．245116．现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素．某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据(单位：万元)如下表所示：月份1234物流成本x8383.58086.5利润y114116106122残差eq\o(ei,\s\up6(^))＝yi－eq\o(yi,\s\up6(^))0.20.61.8－3月份5678物流成本x8984.57986.5利润y132114m132残差eq\o(ei,\s\up6(^))＝yi－eq\o(yi,\s\up6(^))－1－4.6－1根据最小二乘法求得经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝3.2x－151.8.(1)求m的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值eq\o(e,\s\up6(^))8；(2)请先求出线性回归模型eq\o(y,\s\up6(^))＝3.2x－151.8的决定系数R2(精确到0.0001)；若根据非线性经验回归方程y＝267.76lnx－1069.2求得解释变量(物流成本)对于响应变量(利润)决定系数Req\o\al(2,0)＝0.9057，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好？(3)通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为116万元．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的经验回归方程．附1(修正前的参考数据)：eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝78880，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝56528，eq\x\to(x)＝84，eq\i\su(i＝1,8,)(yi－eq\x\to(y))2＝904.附2：R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(yi,\s\up6(^))2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2).附3：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)·\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).参考答案与详细解析1．D[由残差图可以看出，图中的残差点不能拟合成一条直线，且不满足D(e)＝σ2.]2．C[对于回归模型，残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好，故拟合效果最好的模型是模型③.]3．BD[因为残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故选项A错误；因为经验回归直线必过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，故选项B正确；因为决定系数R2越接近1，说明模型的拟合效果越好，故选项C错误；由样本相关系数为负且接近1，则y和x之间具有很强的负线性相关关系，故选项D正确．]4．B[因为y是关于t的经验回归方程，实际上即y是关于t的一次函数，又因为y＝(sinα＋1)2，若令t＝(sinα＋1)2，则可得y与t的函数关系式为y＝t，此时变量y与变量t是线性相关关系．]5．B[由题意，样本(4,3)处的残差为－0.15，所以3.15＝0.7×4＋eq\o(a,\s\up6(^))，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝0.35，由经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，且eq\x\to(x)＝eq\f(1,4)×(3＋4＋5＋6)＝4.5，所以可得eq\x\to(y)＝0.7eq\x\to(x)＋0.35＝0.7×4.5＋0.35＝3.5，由eq\x\to(y)＝eq\f(1,4)×(2.5＋3＋4＋m)＝3.5，得m＝4.5.]6．BCD[不可以根据残差和的大小来分析模型的拟合效果的好坏，故A错误；用eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,3)x＋1作为拟合直线时，所得y的实际值与y的估计值的差的平方和即残差平方和为S1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,3)))2＋(2－2)2＋(3－3)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(10,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(11,3)))2＝eq\f(7,3)，用eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)作为拟合直线时，所得残差平方和为S2＝(1－1)2＋(2－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(7,2)))2＋(4－4)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(9,2)))2＝eq\f(1,2).∴S2<S1，∴②的拟合效果更好，故B正确；①的R2＝1－eq\f(\f(7,3),10)＝eq\f(23,30)，②的R2＝1－eq\f(\f(1,2),10)＝eq\f(19,20)，∴①的R2小于②的R2，∴②拟合效果更好，故C正确；残差图中直线②的残差点分布的水平带状区域比①的残差点分布的水平带状区域更窄，∴直线②拟合效果更好，故D正确．]7．0.2解析因为eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋40.当x＝11时，eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2×11＋40＝4.8，故eq\o(e,\s\up6(^))＝5－4.8＝0.2.8．0.25解析R2＝1－eq\f(60,80)＝0.25.9．解(1)根据散点图，开始的点在某条直线附近，但后面的点会越来越偏离这条直线，因此y＝c＋dlnx更适合作为y关于x的经验回归方程模型．(2)因为w＝lnx．所以y＝c＋dlnx为y＝c＋dw，eq\x\to(y)＝eq\f(\i\su(i＝1,20,y)i,20)＝eq\f(102.4,20)＝5.12，eq\x\to(w)＝eq\f(\i\su(i＝1,20,w)i,20)＝eq\f(52,20)＝2.6，eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(272.1－20×5.12×2.6,137－20×2.62)≈3.26，eq\o(c,\s\up6(^))＝5.12－3.26×2.6≈－3.36，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝3.26w－3.36，即eq\o(y,\s\up6(^))＝3.26lnx－3.36.(3)当x＝e2时，eq\o(y,\s\up6(^))＝3.26lne2－3.36＝3.16.所以大棚蔬菜亩产约为3.16千斤．10．解(1)经计算，eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝0.48，由0.48＝5eq\o(b,\s\up6(^))＋0.88可得，eq\o(b,\s\up6(^))＝－0.08，当x＝8时，eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.08×8＋0.88＝0.24，所以当浇灌海水浓度为8‰时，该品种的亩产量约为0.24吨．(2)①由(1)知eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.08x＋0.88，从而有海水浓度xi(‰)34567亩产量yi(吨)0.620.580.490.40.31残差eq\o(ei,\s\up6(^))－0.020.020.010－0.01②R2＝1－eq\f(0.0004＋0.0004＋0.0001＋0＋0.0001,0.142＋0.12＋0.012＋－0.082＋－0.172)＝1－eq\f(0.001,0.065)＝eq\f(64,65)≈0.98，所以亩产量的变化有98%是由海水浓度引起的．11．AC[由散点图的变化趋势可知，销售额y与年份序号x呈正相关关系，故选项A正确；由散点图以及线性回归模型和三次函数回归模型的位置关系可知，三次函数回归模型的残差平方和小于线性回归模型的残差平方和，故选项B错误；因为0.999>0.936，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于经验回归直线的拟合效果，故选项C正确；因为三次函数为y1＝0.168x3＋28.141x2－29.027x＋6.889，则当x＝10时，y1＝2698.719(亿元)，故选项D错误．]12．ACD[对于选项A，因为经验回归直线一定经过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，故选项A正确；对于选项B，由样本相关系数的绝对值越趋近于1，相关性越强可知，若两个变量负相关，其相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于－1，故选项B错误；对于选项C，因为在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故选项C正确；对于选项D，因为在线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明线性回归模型的拟合效果越好，故选项D正确．]13．C[由题意得eq\o(e,\s\up6(^))3＝7－(2.27×4－1.08)＝－1，由于R2≈0.96，所以该回归模型拟合的效果比较好，故A，B错误；在线性回归模型中，R2表示解释变量对于响应变量的贡献率，R2≈0.96，则销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的，C正确，D错误．]14．0.06解析因为eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋1，故当x＝2时，eq\o(y,\s\up6(^))＝5，eq\o(e,\s\up6(^))1＝－0.1，x＝3，eq\o(y,\s\up6(^))＝7，eq\o(e,\s\up6(^))2＝0.1，x＝4，eq\o(y,\s\up6(^))＝9，eq\o(e,\s\up6(^))3＝0.2，则eq\o(e,\s\up6(^))eq\o\al(2,1)＋eq\o(e,\s\up6(^))eq\o\al(2,2)＋eq\o(e,\s\up6(^))eq\o\al(2,3)＝0.01＋0.01＋0.04＝0.06.15．C[由题意知残差平方和eq\i\su(i＝1,10,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝120.55，又R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,10,)yi－\o(y,\s\u