《高等数学 》课件-第8章

第8章概率论基础知识8.1随机事件与概率8.2概率的性质与运算8.3随机变量及其分布8.4随机变量的数字特征8.5概率应用举例8.6用MATLAB计算数学期望与方差

8.1随机事件与概率

8.1.1随机事件

1.随机现象与随机事件

在我们的实际工作和生活中，有些现象在一定条件下必然会发生或必定不会发生，例如，在一个标准大气压下水加热到100℃必然会沸腾,同性电荷必然不会相互吸引等.这类在一定条件下必然会发生或必定不会发生的现象称为确定性现象.

此外，还存在与确定性现象有着本质区别的另一类现象.例如，抛掷一枚质地均匀的硬币，可以出现正面，也可能出现反面；从一批产品中随意地抽验一件，这件产品的质量可能合格，也可能不合格.这类在一定条件下有多种可能结果，且事先无法预知哪种结果会出现的现象称为随机现象.

人们经过长期实践并深入研究之后，发现随机现象虽然就每次试验或观察结果而言，具有不确定性，但在大量重复试验或观察下其结果却呈现出某种规律性.例如，多次重复投掷一枚硬币，得到正面向上的次数大致占总投掷数的1/2左右.我们把这种在大量重复试验或观测下，其结果所呈现出的固有规律性称为统计规律性.概率论与数量统计就是

研究随机现象的统计规律性的一门数学学科.

研究随机现象的统计规律性，需要在相同的条件下重复地进行多次试验(或观察)，称为随机试验，简称试验.

试验具有如下三个特点：

(1)试验可以在相同的条件下重复进行；

(2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以明确试验的所有可能结果；

(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

在随机试验中，可能出现的结果称为随机事件，简称为事件，通常用大写字母A、B、C等表示.例如，在抛掷一枚硬币的试验中，A=

“国徽向上”，就是一随机事件.在随机事件中，有的是由某些事件复合而成的，而有些事件是不能分解为其他事件组合的最简单的随机事件，这些事件称为基本事件.例如，掷一颗骰子的试验中，观察其出现的点数：“1点”、“2点”、……“6点”都是基本事件，其中“奇数点”也是随机事件，但它不是基本事件，它是由“1点”、“3点”、“5点”这三个基本事件组成的，只要这三个基本事件中的一个发生，“奇数点”这个事件就发生.在每次试验中必然要发生的事件，称为必然事件；一定不发生的事件，

称为不可能事件.我们称随机试验中每一种可能的结果为一个样本点，用ω表示.样本点的全体组成的集合称为该随机试验的样本空间，记作Ω.在引入样本空间后,就可以从集合论的角度描述随机事件以及它们之间的关系和运算.随机试验中任意一个事件就是样本空间的子集.基本事件是由一个样本点组成的单元集，子集Ω和分别称为必然事件和￠不可能事件.

2.事件的关系和运算

和集合的关系与集合的运算相对应，下面介绍事件之间的关系与事件的运算.

1)包含关系

如果事件A发生，必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A被事件B所包含，记作AB或BA.显然，对任一事件A，有￠AΩ.

2)相等关系

如果事件B包含事件A，同时事件A也包含事件B，即AB及BA同时成立，则称事件A与事件B相等，记作A=B.∪∪∪∪∪∪

3)事件的和(并)

事件A与事件B至少有一个发生，称为事件A与事件B的和(并).它是由事件A和事件B的所有样本点构成的集合，记作A+B或A∪B.事件和的概念可以推广到n个事件的情况.事件A1+A2+…+An称为事件A1，A2，…，An之和，表示n个事件A1，A2，…，An中至少有一个发生.

4)事件的积(交)

两个事件A与B同时发生，称为事件A与事件B的积(交)，记作AB或A∩B.事件积的概念也可以推广到n个事件的情况.事件A1A2…An称为事件A1,A2,…,An之积，表示n个事件A1，A2，…，An同时发生.

5)事件的差

事件A发生而事件B不发生，称为事件A与事件B的差.它是由属于A但不属于B的那些样本点所组成的集合，

记作A-B.

6)互不相容事件

若事件A与事件B不能同时发生，即AB=￠,则称事件A与B互不相容(或称互斥).互不相容事件A与B没有公共样本点.显然，基本事件间是互不相容的.

7)对立事件

若两个事件A和B满足A+B=Ω及AB=￠,则称A、B互为对立事件，记作B=A.

显然，A的对立事件A表示A不发生.

对立事件有下列性质：由此可得，对立事件必为互斥事件，反之不成立.

8)完备事件组

若事件A1,A2,…,An为两两互斥，且A1+A2+…+An=Ω,则称事件A1，A2，…，An构成一个完备事件组.

例8-1从一批产品中每次取出一个产品进行检验，做不放回抽样，用Ai表示事件“第i次取到合格品”

(i=1,2,3).试用A1、A2、A3表示下列事件：

(1)三次都取到合格品.

(2)三次中至少有一次取到合格品.

(3)三次中恰有两次取到合格品.

(4)三次中最多有一次取到合格品.8.1.2随机事件的概率

1.概率的统计定义

在实际问题中，常常需要知道随机事件在试验中发生的可能性有多大，为此，我们先介绍事件频率的概念.

定义8.1设事件A在n次重复进行的试验中发生了m次，则称为事件A发生的频率；m称为事件A发生的频数.

为了研究事件发生的可能性大小，可以做大量重复试验，观察事件发生的情况.例如历史上曾有人做过多次抛掷硬币的试验，结果参见表8-1.表8-1抛掷硬币试验的几个著名记录定义8.2(频率的统计定义)在一个随机试验中，如果随着试验次数n的增大，事件A出现的频率在某个常数p附近波动，那么定义事件A的概率为p,记作

P(A)=p

概率的统计定义指出，任一事件A的概率是客观存在的.在实际问题中，往往不知P(A)为何值，这时可取试验次数n充分大时的事件A出现的频率为它的近似值.这正是该定义的优点.

2.概率的古典定义

如果试验具有以下两个特点：

(1)每次试验只有有限种可能的试验结果，或者说组成试验的基本事件(样本点)总数为有限个.

(2)每次试验中，各基本事件(样本点)出现的可能性是相同的，则称这样的试验为古典试验.例如，抛掷硬币的两种结果“正面”和“反面”出现的可能性都是,因此，抛掷硬币这一试验是一古典试验.古典试验的数学模型称为古典概型.关于古典概型的问题，可用下面的概率公式计算.

定义8.3(概率的古典定义)若试验结果一共由n个基本事件A1，A2，…，An组成，这些事件的出现具有相等的可能性，而事件A由其中某m个基本事件组成，则事件A的概率是(8-1)

例8-2

从1～10这10个自然数中任取一数.

(1)求随机试验的样本空间.

(2)设事件A为“任取的一数是偶数”，求P(A).

(3)设事件B为“任取的一数是5的倍数”，求P(B).

解取出的数可以是1～10这10个自然数中的任意一个，每一个数被取到的可能性相同.如果将样本点{任取一数字为i}简记为i(i=1,2,…,10),则样本空间Ω含有10个样本点，即Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

(1)事件A={2,4,6,8,10},含有5个样本点，所以(2)事件B={5,10},含有2个样本点，所以

例8-3

在10件产品中，有7件为合格品，3件为次品，从中任取5件.计算：

(1)

5件中恰有1件是次品的概率.

(2)

5件都是合格品的概率.

(3)

5件中至少有4件是合格品的概率.

解从10件产品中任取5件的样本点，总数是C105.

(1)设A={5件中恰有1件是次品}，因为在10件产品中有7件合格品，所以包含的样本点个数是.因此有

(2)设B={5件都是合格品}，则B包含的样点个数是C57,因此

(3)设C={5件中至少有4件是合格品}，则C包括恰有4件合格品和恰有5件合格品两种情况，其包含的样本点个数是C47C13+C57C03,因此有例8-4为了估计一个大型渔场中鱼的尾数，常使用以下的方法：先从渔场中捕出一定数量的鱼并做上记号后放回水中，经过适当时间，让其充分混合，再从渔场中捕出一定数量的鱼，查看有记号的鱼所占的比例，估计渔场中鱼的尾数.

如果第一次捕出1000尾并做上记号放回水中，第二次捕出600尾，其中有记号的鱼有10尾,试估计该渔场中鱼的尾数.

解设A表示“有记号的鱼”，n表示渔场中鱼的尾数，假定每尾被捕到的可能性相等，则由概率计算公式得第二次捕出600尾鱼中，有记号的鱼有10尾.由概率的统计定义，得将式①代入式②，得解方程，得n≈60000(尾)即该渔场中大约有60000尾鱼. 8.2概率的性质与运算

8.2.1概率的性质

随机事件的概率有如下基本性质：

性质8.1(非负性)对任一事件A，有0≤P(A)≤1.

性质8.2(规范性)P(Ω)=1.

性质8.3(有限可加性)若事件A与事件B互不相容，即AB=￠,则P(A+B)=P(A)+P(B)(8-2)

例8-5100件商品中含有2件次品，其余都是正品.从中任取3件进行检验，求在3件中至少有1件次品的概率.

解设A1={恰有一件次品}，A2={恰有两件次品}，

A={至少有一件次品}，则

A=A1+A2

且A1A2=￠

根据有限可加性，得根据上述三条概率的基本性质，可以得到下面概率的性质.性质8.4不可能事件的概率为零，即P(￠)=0.

性质8.5如果事件A1,A2,…,An两两互不相容，即AiAj=(i≠j),则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(8-3)性质8.6

对任何事件A,有(8-4)性质8.7

如果A

B,则(8-5)性质8.8(任意事件的加法公式)对于任意两事件A,B,有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(8-6)

例8-6

某班学生有6个人是1988年9月出生的，求其中至少有2个人是同一天生日的概率.

分析：设A={6个人中至少有两个人同一天生日}.

A1={恰有2个人同一天生日}；

A2={恰有3个人同一天生日}；

A3={恰有4个人同一天生日}；

A4={恰有5个人同一天生日}；

A5={6个人同一天生日}.于是A=A1+A2+A3+A4+A5.显然,Ai(i=1,2,…,5)之间是两两互斥的，由性质8.5得P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)计算上式可以求出P(A),但是比较繁琐，因此考虑用对立事件A计算.用A0表示事件{6人中没有同一天出生的}，则有以下解答.

解

A0+A=Ω

又因为A0A=￠,所以A0=A,于是P(A)=1-P(A)=1-P(A0)由于9月共有30天，每个人可以在这里30天里的任一天出生，因此全部可能情况共有30×30×30×30×30×30=306

种不同的情况，没有两人生日相同就是30中取6的排列A306=

30×29×28×27×26×25，这就是A0包含的基本事件数.于是P(A0）＝

×30×29×28×27×26×25≈0.5864因此P(A)=1-P(A0)=1-0.5864=0.41368.2.2条件概率与乘法公式

1.条件概率

在实际问题中，我们往往会遇到这样的问题：在事件B已发生的条件下，求事件A发生的概率.因为增加了新的条件：事件B已发生，所以称之为条件概率，记作P(A|B).相应地，把P(A)称为无条件概率或原概率.

例8-7

有16件产品，其中有甲厂生产的，也有乙厂生的，均有合格品与废品，其情况如表8-2所示.表8-2从这16件产品中随机抽取一件，记

A={取到的是甲厂产品}，B={取到的是合格品}

A={取到的是乙厂产品},B={取到的是废品}

由概率古典定义得现在要问：如果已知取到的产品是合格品，那么这件产品是甲厂产品的概率是多少呢？这事实上是在事件B已经发生的前提下，求事件A的条件概率.由于一共有10件合格品，而其中甲厂产品有3件，使

例8-8

在一个盆中混有新的和旧的两种乒乓球，在新乒乓球中有40个是白色的，30个是红色的；在旧乒乓球中有20个是白色的，有10个是红色的(参见表8-3).从盆中任取1球，

发现是新的，问此球为白色的概率是多少？表8-3

解法1

利用古典概率计算.在盆中任取1球.新乒乓球70个中有40个是白色的，于是解法2

利用条件概率的定义计算：

例8-9

某人有5把钥匙，只有一把能打开房门，若逐把试开，假设每把试开的可能性相同，试求：

(1)第二次才打开房门的概率.

(2)三次之内打开房门的概率.

解设事件Ai={第i次试开就打开房门}(i=1,2,…,5).8.2.3事件的独立性

1.事件的独立性

如果两个事件A和B，其中任何一个是否发生都不影响另一个发生的可能性，则称两个事件A和B相互独立.

例如，甲、乙两人同时向一目标射击各一次，彼此互不影响，如果用A表示“甲击中”，用B表示“乙击中”，则A、B是相互独立的.乙击中与否，并不影响甲击中的概率，即P(A|B)=P(A).同样，甲击中与否，并不影响乙击中的概率，亦即P(B|A)=P(B).

如果n(n>2)个事件A1,A2,A3,…,An中任何一个事件发生的可能性都不受其他一个或是几个事件发生与否的影响，则称A1，A2，A3，…，An相互独立.关于独立性有以下几个性质：

(1)A与B独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B).

(2)若A与B独立，则A与B、A与B、A与B中的每一对事件都是相互独立的.

(3)若A1，A2，A3，…，An相互独立，则有P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)(4)若A1，A2，A3，…，An相互独立，则有

例8-10

甲、乙两人都考大学，甲考上的概率是0.7,乙考上的概率是0.8.问：

(1)甲、乙两人都考上大学的概率是多少？

(2)甲、乙两人至少一人考上大学的概率是多少？

解设A表示{甲考上大学}，B表示{乙考上大学}，则P(A)=0.7,

P(B)=0.8

(1)甲、乙两人考上大学的事件是相互独立的，故甲、乙两人同时考上大学的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56(2)甲、乙两人至少一人考上大学的概率是P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.8-0.56=0.94

例8-11(摸球模型)设盒中装有6只球，其中4只白球，2只红球.从盒中任意取球两次，每次取一球，考虑两种情况：

(1)第一次取一球观察颜色后放回盒中，第二次再取一球，这种情况叫做放回抽样.

(2)第一次取一球不放回盒中，第二次再取一球，这种情况叫做不放回抽样.试分别就上面两种情况求：

(1)取到两只球都是白球的概率.

(2)取到两只球颜色相同的概率.

(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率.

解设Ai表示{第i次取到白球}，则Ai表示{第i次取到红球}(i=1,2),于是，A1A2表示{取到两只白球}，A1A2+A1A2表示{取到两只相同颜色球}，A1+A2表示{至少取到一只白球}.

放回抽样的情形：

由于放回抽样，因此{第一次取到白球}与{第二次取到白球}的事件相互独立，且因为于是（１）(2)(3)不放回抽样的情形：

由于不放回抽样，因此{第一次取到白球}与{第二次取到白球}的事件不是相互独立的.因为

2.n次独立重复试验

在相同条件下，重复做n次试验，如果满足：

(1)每一次试验的结果都不影响其他各次试验的结果；(2)每一次试验只有两种可能的结果A或A；

(3)每一次试验中事件A发生的概率都不变.

则称这样的n次试验为n次独立重复试验或n重伯努利试验.

例如，从一批含有次品的零件中有放回的抽取n次，每次抽取一件检验是次品还是正品；在相同条件下射手进行n次射击，每次射击只考察击中还是不击中，等等，这些都是n次独立重复试验.

下面来讨论n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率.

例8-1210个零件中有3个次品，从中每次抽检一个，验后放回，连续抽检三次，求抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率.

分析：由于三次抽检是相互独立的，并且每次抽检只是两个可能的结果“抽到正品”或“抽到次品”，因此，这是一个三次独立重复试验.

解设B={3次抽检，恰有2个次品},Ai={第i次抽到次品}(i=1,2,3),则

Ai={第i次抽到正品}

(i=1,2,3)依题意有因为3次抽检中恰有2个次品的事件共有C23=3种，即

例8-13

某型号对空导弹，发射一枚击中敌机的概率为0.6,试求：

(1)发射三枚导弹，恰有一枚击中敌机的概率.

(2)发射三枚导弹，均未击中敌机的概率.

(3)发射三枚导弹，至少有一枚击中敌机的概率.

(4)至少要发射几枚导弹，才能使击中敌机的概率不小于0.99.

解本题满足n次独立重复实验条件，击中敌机的概率p=0.6.由公式(8-9)得 8.3随机变量及其分布

8.3.1随机变量的概念

随机试验的结果是事件，要定量地研究随机现象，很自然的想法是：既然试验所有可能的结果都是已知的，就可以对每一个结果都赋予一个相应的值.如果对于试验的每一个可能结果，也就是基本事件ω,都对应着一个实数X(ω),

而X(ω)又是随着试验结果不同而变化的一个变量，则称它为随机变量.一般用字母X、Y、Z…表示.

例8-14

掷一枚硬币，一次试验有两种结果，即“出现正面”或“出现反面”.将“出现正面”与数“1”对应，“出现反面”与数“0”对应，如果用X表示一次试验出现的结果，则随机变量X可能的取值是0或1.

例8-15

从一批灯管中任取一个作寿命测试，假设灯管的寿命最高不超过10000h,若用X表示灯管的寿命，则随机变量X可能取的值是[0,10000]上的一切实数.

例8-16

掷一枚骰子，用X表示出现的点数，则

(1)“X=3”表示“出现3点”.

(2)“1≤X≤3”表示“出现1点或2点或3点”.

(3)“X=2.5”表示“出现2.5点”，这是一个不可能事件.

(4)“X<10”表示“出现小于10的点”，这是一个必然事件.

例8-17

掷一枚骰子，用X表示出现的点数，显然，X的可能取值是1,2,3,4,5,6,且P(X=i)=

(i=1,2,3,4,5,6),于是X的分布函数为F(x)的图形如图8-1所示.图8-1

2.分布函数的性质

由分布函数的定义可以推得随机变量X的分布函数F(x)具有下列性质：

(1)0≤F(x)≤1.

(2)F(x)是x的单调不减函数，即x1<x2,则F(x1)≤F(x2).

(3)记 则F(-∞)=0,F(+∞)=1.

有了分布函数，随机变量取某些值的概率就能方便地计算出来.P(a≤X<b)=P(X<b)-P(X<a)=F(b)-F(a)P(X=a)=P(X≤a)-P(X<a)=F(a+0)-F(a)例8-18

设随机变量X的分布函数为8.3.3离散型随机变量

1.离散型随机变量的定义

定义8.6

如果一个随机变量X只取有限个或者可列个值，则称随机变量X为离散型随机变量.

设离散型随机变量X的一切可能取值为x1,x2,…,xk,…,

且事件“X=xk”的概率为P(X=xk)=pk(k=1,2,…),则称数表8-4为随机变量X的分布密度或概率分布列.(8-10)由分布函数的性质可知，离散型随机变量的分布函数的图形在随机变量的取值处跳跃.

例8-19

一射手对靶连续不断地进行射击，直到命中为止.如果每一次射击命中目标的概率为p,试求命中目标所需射击次数的分布密度.

解用随机变量X表示命中目标所需的射击次数.由于随机变量的取值为1,2,…事件“X=i”(i=1,2,…)表示前i-1次射击未命中目标，而第i次射击首次命中目标.又由于每次射击目标互不影响，故事件“X=i”(i=1,2,…)的概率为P(X=i)=p(1-p)i-1,

i=1,2,…

3.几个常见分布

1)两点分布

如果X具有如表8-5所示的分布密度，则称随机变量X服从参数为p(0<p<1)的两点分布(或0-1分布)，记作X～B(1,p).表8-5

例8-20

袋中有8个白球，6个红球，从中任取两球，记显然X服从两点分布，其分布列为

2)二项分布

进行n次独立重复试验，每次试验的结果只有两种(即A和A),每次试验事件A发生的概率为p,以X表示事件A在n次试验中发生的次数.

如果X具有如表8-6所示的分布密度，则称随机变量X服从参数为n、p的二项分布，又称伯努利分布，记作X～B(n,p).当n=1时的二项分布即为两点分布.表8-6

例8-21

一批产品中有10%是次品，现从该批产品中抽取5件，且抽取是独立的.试求所取出的产品中次品数的分布密度，并计算次品数不少于2的概率.

解用X表示抽出的产品中次品的数量，抽取一件产品要么是正品，要么是次品，只有两种可能性.所以X～B(5,p)且X=0,1,2,3,4,5.于是所取出的产品中次品数的分布密度为

3)泊松分布

若随机变量X的分布密度为k=0,1,2,…则称随机变量X服从参数为λ(λ>0)的泊松(Poisson)分布，记作X～P(λ).在实际工作和生活中，服从泊松分布的随机变量很多，如电话程控交换机在单位时间内接收到的电话呼唤次数，单位面积草坪中含有杂草的根数，工厂生产的一批布匹上瑕疵的点数等，它们都是服从泊松分布的.8.3.4连续型随机变量

1.连续型随机变量的定义

定义8.7

若随机变量X的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分则称随机变量X为连续型随机变量，并称f(x)为X的概率密度函数或概率分布密度(简称密度函数或分布密度).根据定义及分布函数的性质，连续型随机变量X的概率密度函数满足：

(1)非负性：f(x)≥0,-∞<x+∞.

(2)规范性： .反之，满足上述两条件的任何一个函数f(x)必为某一连续型随机变量的密度函数.

2.概率密度与分布函数间的关系

连续型随机变量不能像离散型随机变量一样用分布密度来描述它的分布规律，而必须用它在各个区间取值的概率来进行描述.

(1)连续型随机变量X取任一点的概率为零，即p(X=a)=0.

(2)随机变量X落在区间[a,b)内的概率为

(3)若F(x)连续，且除去有限个点外，导函数F′(x)存在且连续，则

例8-22

设随机变量X的密度函数为故分布函数为

3.连续型随机变量的几个常见分布

1)均匀分布

设在区间[a,b]内等可能地投点，则所投点落在[a,b]中的任一位置是等可能的，以随机变量X表示落点的坐标，则X的分布函数为图8-2此时随机变量X的密度函数为称X服从[a,b]上的均匀分布，记作X～U[a,b].

f(x)的图形如图8-3所示.图8-3

2)指数分布

若随机变量X的密度函数为其中λ>0,则称X服从参数为λ的指数分布.

X的分布函数为指数分布在实践中有许多应用.例如，无线电元件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、随机服务系统的服务时间等都近似地服从指数分布.正态分布是所有概率分布中最重要的一种分布，无论是在实际中还是在理论上,都有重要的意义.在实际中，人体的身高、体重、测量的误差等，都近似地服从正态分布；在理论上，许多分布在一定的条件下可以用正态分布来近似代替.

(1)正态曲线关于直线x=μ对称.

(2)当x=μ时，函数f(x)取得最大值，其值为 .

(3)x离μ越远，f(x)的值越小；当x→∞时，f(x)→0.

(4)对确定的μ,若σ越小，则f(μ)越大，图形越窄，分布越集中在x=μ附近；若σ越大，则f(μ)越小，图形越宽，分布越平坦.我们把正态分布形象地称为“中间大，两头小”的分布.下面介绍正态分布的计算.

(1)标准正态分布.若X～N(0,1),则8.4随机变量的数字特征

8.4.1数学期望

1.离散型随机变量的数学期望

定义8.8

设离散型随机变量X的概率分布列为表8-7.

例8-25

抛掷一枚骰子，用X表示出现的点数，求E(X).

解

X的分布列为表8-8.

表8-8

根据公式,得

2.连续型随机变量的数学期望

定义8.9

设连续型随机变量X的概率密度为f(x),如果积分绝对收敛，则称此积分为随机变量X的数学期望，简称期望，记作E(X),即

例8-26

设顾客在某商店的窗口等待服务的时间X(单位：min)是一个随机变量，其概率密度为

3.数学期望的性质

性质8.9E(c)=c(c为常数).

性质8.10E(kX)=kE(X)(k为常数).

性质8.11E(kX+b)=kE(X)+b(k、b都是常数).

性质8.12x1、x2是随机变量，则E(x1+x2)=E(x1)+E(x2).

例8-27

设X的分布列为表8-9.求E(X)、E(X2)、E(2X-1)的值.8.4.2方差与标准差

1.方差与标准差的定义

E(X)是随机变量X的数学期望，它是一个常数，数学期望(或称均值)是随机变量的一个重要数字特征，但只知道随机变量的数学期望或均值有时还不够，还需要弄清楚随机变量与这个均值的偏差情况.那么如何考查随机变量X与其均值E(X)的偏离程度呢？因为X-E(X)的值有正有负，而E[X-E(X)]正、负相抵掩盖了其真实性,所以容易想到用E|X-E(X)|来度量X与其均值E(X)的偏离程度.但由于此式含有绝对值，在运算上不方便，因此通常用E[X-E(X)]2来度量X与均值E(X)的偏离程度.

定义8.10

设X是一个随机变量，若E[X-E(X)]2存在，

则称E[X-E(X)]2为X的方差，记为D(X),即D(X)=E[X-E(X)]2.

在实际使用中，为了使单位统一，引入标准差描述X的偏离程度，记为σ(x).

例8-28

设随机变量X服从两点分布，其分布为P(X=1)=p,P(X=0)=1-p=q

求方差D(X).

解

E(X)=1·p+0·q=p

E(X2)=12·p+02·q=p

D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=pq例8-29

设X～N(0,1),求X的期望与方差.解因为X～N(0,1),所以由于被积函数为奇函数，故积分为零，即E(X)=0.于是

例8-30

求例8-26中顾客等待时间X的方差和标准差.

2.方差的性质

性质8.13设c是常数,则D(c)=0.

性质8.14设c是常数，则D(cX)=c2D(X).

性质8.15设随机变量X、Y互相独立，则

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

性质8.15可以推广到有限多个互相独立随机变量的情况，即设X1,X2,…,Xn是互相独立的随机变量，则有

D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)

例8-31

设随机变量X1,X2,…,Xn互相独立，服从同一个分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2,求的数学期望和方差.

解由数学期望和方差的性质，得

性质8.16

D(kX+b)=k2D(X)(k、b均为常数).

例8-32

已知Y～N(3,0.22),求E(Y)和D(Y)的值.

解令,则X～N(0,1),Y=0.2X+3.由例8-29知,E(X)=0,D(X)=1；再由性质8.16知E(Y)=E(0.2X+3)=0.2E(X)+3=3D(Y)=D(0.2X+3)=0.22D(X)=0.04根据本例可知，正态分布N(μ,σ2)中的两个参数μ、σ即为正态分布的期望和标准差.8.4.3常用分布的期望和方差

1.两点分布

若X的分布为P(X=1)=p,P(X=0)=1-p=q

则E(X)=p,D(X)=pq

2.二项分布

4.均匀分布

若X～U(a,b)，则 8.5概率应用举例

8.5.1抽样检验问题

在对商品作质量检验时，通常是抽出一小部分商品进行检验，通过抽检来判断全部商品的质量，即所谓抽样检验.

用某种抽检方案进行抽样检验时，被检验的一批商品被接受(即为合格品)的可能性有多大，这是检验者和被检验者双方都十分关心的问题.下面举例说明.

例8-33

一批商品共1000件，已知该种商品的不合格率约为2%，商检部门用抽检方案(30/3)进行检验(即从1000件商品中抽取30件，如果其中不合格品数不大于3件，则判定该批商品为合格批，从而被接受；如果其中不合格品数大于3件，则判定该批商品为不合格批，从而不被接受).求该批商品的接受概率(记作L(p),p=0.02).

解从1000件中任取30件，由于商品数量较大，因此不合格数的概率分布可用二项分布近似.

根据抽样方案(30/3),任取的30件商品中，不合格数为0,1,2,3时，都可判定该批商品为合格批，因此，其接受概率为故该1000件商品用方案(30/3)抽检时，被接受的概率约为99.7%.

例8-34

某品牌电子集团公司明年将售给某地区电信部门1000台手机，手机约定保修一年，该集团公司对手机的保修业务有以下两个方案可供选择：

(1)委托该地区电信部门承包保修业务，为期一年，保修期内维修次数不限，共需一次性支付修理费2000元.

(2)委派电子集团公司在该地区的技术人员小组承担保修业务，但技术人员提出：一年内只能接受维修100次，共需支付修理费1200元，若超过100次，每增加一次需加付维修费4元.

另根据过去的经验及当前产品的质量实际情况估计，今后一年内手机可能出现维修的次数及其发生的概率如表8-11所示.

问：该集团公司应选择哪种方案？

解若选择第(1)方案，则集团公司将支出维修费2000元.

若选择第(2)方案，则集团公司支付维修费X的期望值为E(X)=1200×0.5+1400×0.3+1600×0.18+2000×0.02=1348元可以看出，第(2)方案优于第(1)方案，故该集团公司应委派自己的维修人员订立保修合同.

上面通过几个具体实例简单介绍了概率的一些应用问题.

应当指出，我们所讨论的问题都是经过抽象、简化了的数学模型，实际情况往往要复杂得多.因此，在实际工作中，遇到类似的问题时，要深入调查，全面掌握情况，科学地分析问题，以求得最优方案.8.5.2随机型存储问题

工矿企业为了保证生产正常进行，从原材料、半成品到成品都需要存储；在商业方面，为了满足市场需要，必须采购一定数量的货物，保证一定量的库存，如果库存量过大会造成积压的损失，而库存量过小也会造成缺货的损失.因此，必须选择一个最优的存储方案，使总费用最小，获利最大，这就是存储问题.

例8-35

某商店某月销售一种易腐烂商品，每筐成本20元，售价50元，若每天剩余一筐，则损失20元.现市场的需求情况不清楚，但有去年同月(该月为30天)的日售量统计

资料,如表8-12所示.表8-12

解

(1)若订货量为100筐，则期望利润为

E(X1)=3000×0.2+3000×0.5+3000×0.2+3000×0.1=3000元

(2)若订货量为110筐，则期望利润为

E(X2)=2800×0.2+3300×0.5+3300×0.2+3300×0.1=3200元

(3)若订货量为120筐，则期望利润为

E(X3)=2600×0.2+3100×0.5+3600×0.2+3600×0.1=3150元

(4)若订货量为130筐，则期望利润为

E(X4)=2400×0.2+2900×0.5+3400×0.2+3900×0.1=3000元可以看出，当订货量为110筐时，其期望利润为最大.因此，该商店每天应订货110筐.

例8-36

假定在国际市场上，每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(t),由以往的统计资料可知，它近似地服从在区间[2000,4000]上的均匀分