福建省福清市海口镇高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理教学实录 新人教A版必修4

福建省福清市海口镇高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理教学实录新人教A版必修4科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）福建省福清市海口镇高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理教学实录新人教A版必修4设计思路本节课以福建省福清市海口镇高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理为主题，结合新人教A版必修4教材，通过引导学生探究平面向量的基本定理，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。课程设计注重理论与实践相结合，通过实例分析和课堂互动，使学生深入理解平面向量的基本定理，并能够灵活运用到实际问题中。核心素养目标1.培养学生的数学抽象能力，理解平面向量的概念及其运算规律。

2.提升逻辑推理能力，通过证明平面向量的基本定理，发展学生的证明技能。

3.强化几何直观，运用图形和坐标来直观展示向量运算和定理的应用。

4.增强数学建模意识，将实际问题转化为向量问题，提高解决实际问题的能力。教学难点与重点1.教学重点，

①理解平面向量基本定理的内容，包括向量加法的平行四边形法则和三角形法则。

②掌握向量加法运算的步骤，能够正确进行向量加法运算。

③应用平面向量基本定理解决实际问题，如计算向量的和、差和倍数。

2.教学难点，

①理解向量加法法则的几何意义，将抽象的向量运算与直观的图形联系起来。

②掌握向量加法法则的证明过程，理解向量运算的严谨性和逻辑性。

③在复杂问题中灵活运用平面向量基本定理，解决涉及向量运算的几何问题。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有新人教A版必修4《数学》教材。

2.辅助材料：准备平面向量的基本定理相关的图形、图表和多媒体视频，以便直观展示向量加法的几何意义。

3.实验器材：准备用于展示向量加法运算的教具，如向量图卡、白板等。

4.教室布置：设置分组讨论区，安排实验操作台，营造有利于互动学习的课堂氛围。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：通过展示生活中的向量应用案例，如力的作用、运动轨迹等，引发学生对平面向量的兴趣。

-回顾旧知：回顾向量概念、向量的加法和减法等基础知识，帮助学生建立新旧知识之间的联系。

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：详细讲解平面向量的基本定理，包括向量加法的平行四边形法则和三角形法则。

-举例说明：通过具体实例，如力的合成、运动轨迹分析等，展示如何应用这些定理解决实际问题。

-互动探究：分组讨论，让学生尝试运用基本定理解决简单的几何问题，如求两向量的和、差等。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：布置练习题，包括填空题、选择题和计算题，让学生独立完成。

-教师指导：巡视课堂，对学生的练习情况进行个别指导，解答学生的疑问。

4.深入探究（约15分钟）

-引导学生思考：提出更复杂的问题，如证明向量加法法则，培养学生的证明能力。

-分组合作：让学生分组合作，共同完成一个综合性的向量应用问题。

5.总结提升（约10分钟）

-学生总结：让学生回顾本节课所学内容，总结平面向量基本定理的应用要点。

-教师总结：强调本节课的重点和难点，对学生的表现给予评价和鼓励。

6.课堂延伸（约10分钟）

-提出问题：引导学生思考向量在其他学科中的应用，如物理学、工程学等。

-分享讨论：鼓励学生分享自己了解的向量应用案例，增强学习的实践性。

7.作业布置（约5分钟）

-布置作业：安排课后练习题，巩固学生对平面向量基本定理的理解和应用。

-指导学生：告知学生作业要求，提醒学生按时完成。

教学过程中，教师应注重启发式教学，鼓励学生积极参与，通过讨论、实验和问题解决等方式，提高学生的数学思维能力和实践操作能力。同时，教师应根据学生的反馈及时调整教学策略，确保教学目标的实现。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握：通过本节课的学习，学生能够熟练掌握平面向量的基本定理，包括向量加法的平行四边形法则和三角形法则。他们能够理解并运用这些定理进行向量运算，如求向量的和、差和倍数。

2.思维能力：学生在学习过程中，通过参与课堂讨论、解决实际问题等活动，培养了逻辑推理和抽象思维能力。他们能够运用向量知识分析问题，将实际问题转化为向量问题，并找到解决问题的方法。

3.解决问题能力：学生能够将平面向量基本定理应用于解决实际问题，如计算力的合成、分析运动轨迹等。他们能够运用所学知识解决生活中的实际问题，提高解决实际问题的能力。

4.团队合作能力：在分组讨论和合作解决问题的过程中，学生学会了与他人沟通、协作，共同完成任务。他们能够倾听他人的意见，尊重他人的观点，提高团队合作能力。

5.学习兴趣：通过本节课的学习，学生对平面向量产生了浓厚的兴趣。他们能够主动探索向量在其他学科中的应用，如物理学、工程学等，拓宽了知识面。

6.学习习惯：学生在学习过程中，养成了良好的学习习惯，如按时完成作业、主动复习等。他们能够合理安排学习时间，提高学习效率。

7.自主学习能力：学生在本节课的学习中，学会了自主学习的方法，如查阅资料、独立思考等。他们能够根据自己的需求，主动获取知识，提高自主学习能力。

8.评价与反思能力：学生在学习过程中，学会了如何评价自己的学习效果，并进行反思。他们能够认识到自己的不足，制定改进措施，不断提高自己的学习能力。课后作业1.作业题目：已知向量\(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\)和向量\(\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}\)，求向量\(\vec{a}+\vec{b}\)和\(\vec{a}-\vec{b}\)。

解答：\(\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-1\\-3+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)

\(\vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-(-1)\\-3-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}\)

2.作业题目：已知向量\(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\)，求向量\(\vec{a}\)的模长。

解答：\(|\vec{a}|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\)

3.作业题目：已知向量\(\vec{a}=\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}\)和向量\(\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}\)，求向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的点积。

解答：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=(-2)\cdot4+5\cdot(-3)=-8-15=-23\)

4.作业题目：已知向量\(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\)和向量\(\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\)，求向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的夹角余弦值。

解答：\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1\cdot2+3\cdot(-1)}{\sqrt{1^2+3^2}\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{2-3}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=\frac{-1}{\sqrt{50}}=-\frac{\sqrt{2}}{10}\)

5.作业题目：已知向量\(\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}\)和向量\(\vec{b}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\)，求向量\(\vec{a}\)在向量\(\vec{b}\)方向上的投影。

解答：\(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}=\frac{4\cdot3+(-2)\cdot1}{3^2+1^2}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\frac{12-2}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\frac{10}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\)

这些作业题目涵盖了平面向量运算的基本内容，包括向量的加法、减法、点积、模长以及向量的投影。通过这些练习，学生能够巩固和加深对平面向量基本定理的理解和应用。板书设计1.知识点

①平面向量基本定理

②向量加法

③向量减法

④向量点积

⑤向量模长

⑥向量投影

2.词句

①向量加法法则：平行四边形法则、三角形法则

②向量点积公式：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)

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