2024-2025学年江苏省南京市高一上册第一次月考数学质量检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省南京市高一上学期第一次月考数学质量检测试题一、选择题（共4小题）1.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（）A B. C. D.2.已知集合且，集合，则（）A. B.C. D.3.已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.4.已知正实数满足.则的最小值为（）A.3 B.9 C.4 D.8二、多选题（共5小题）5.下列四个命题中正确的是（）A.方程的解集为B.由所确定的实数集合为C.集合可以化简为D.中含有三个元素6.已知实数，且，则下列结论正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为6 D.7.下列四个命题是真命题的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.函数的值域为C.若函数两个零点都在区间为内，则实数的取值范围为D.已知在区间上是单调函数，则实数的取值范围是8.已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.9.若，且，则（）A. B. C. D.三、填空题（共4小题）10.定义在上的函数满足，则___________.11.若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是__________．12.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_________.13.在ΔABC中，角所对的边分别为，若且，则ΔABC面积的最大值为________．四、解答题（共5小题）14.命题：实数满足（其中）,命题：实数满足.(1)若,且命题均为真命题,求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.15.已知函数是定义域上的奇函数.（1）确定解析式；（2）用定义证明：在区间上是减函数；（3）解不等式.16.已知函数，（1）若函数的定义域为，求实数a的取值范围；（2）若当时，函数有意义，求实数取值范围.（3）若函数，函数的最小值是5，求实数的值.17.若，.（1）求的取值范围；（2）求的取值范围.18.已知关于x函数和.（1）若，求x的取值范围；（2）若关于x的不等式（其中）的解集，求证.2024-2025学年江苏省南京市高一上学期第一次月考数学质量检测试题一、选择题（共4小题）1.若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】分和讨论，结合恒成立问题分析求解即可.【详解】当时，原不等式为：，对恒成立；当时，原不等式恒成立，需，解得，综上得．故选：C．2.已知集合且，集合，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据4和6的最小公倍数为12，得，而，进而逐项判断两集合之间关系即可.【详解】因为且，4和6的最小公倍数为12，所以，又因为，而，但，所以A，C错误；因为集合中元素为12的正整数倍，而为24的整数倍，所以元素满足是24的正整数倍时，必满足是12的正整数倍，则，故D正确；对于B，若但，且，B错误；故选：D3.已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】用不等式的性质判断，不一定成立的不等式可举反例说明．【详解】由题意可知，.当时，，，则排除A，B；因为，，所以，所以.因为，所以，所以，则C一定成立；因为，，所以，所以.因为，所以，所以，则排除D.故选：C．4.已知正实数满足.则的最小值为（）A.3 B.9 C.4 D.8【正确答案】B【分析】对不等式变形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】a，b均为正实数，，当且仅当，即时，等号成立.故选：B二、多选题（共5小题）5.下列四个命题中正确的是（）A.方程的解集为B.由所确定的实数集合为C.集合可以化简为D.中含有三个元素【正确答案】BC【分析】选项A：由二次根式和绝对值的非负性可得解集；选项B：由，的正负性分类可得；选项C：由得，故为2的倍数，取为2的非负整数倍可得；选项D：取为6的因数可得.【详解】选项A：方程的解为，解集为，故A错误；选项B：由知，，当，同为正数时，；当，一正一负时，；当，同为负数时，，故由所确定的实数集合为，故B正确；选项C：，，当时，；当时，；当时，，故集合可以化简为，故C正确；选项D：，当时，；当时，；当时，；当时，，故中含有4个元素，故D错误，故选：BC6.已知实数，且，则下列结论正确是（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为6 D.【正确答案】AD【分析】对于A，利用基本不等式求解判断，对于B，利用配方法求最值，对于C，利用“1”的代换结合基本不等式判断，对于D，先分离常数，再利用的范围判断.【详解】对于A，因为，，所以，得，当且仅当时，取等号，所以的最大值为，所以A正确，对于B，因为，，所以，，所以，所以，所以当时，有最小值，所以B错误，对于C，因为，，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为，所以C错误，对于D，因为，所以，由选项B知，所以，所以，所以，所以，所以，所以D正确，故选：AD7.下列四个命题是真命题的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.函数的值域为C.若函数的两个零点都在区间为内，则实数的取值范围为D.已知在区间上是单调函数，则实数的取值范围是【正确答案】ACD【分析】根据抽象函数的定义域即可求解A，根据函数的单调性即可求解最值，进而判断B，根据二次函数的零点分布，即可判断C，根据二次函数的性质即可求解D.【详解】由，解得，即函数的定义域为,，故A正确；函数的定义域为,，易知函数在,上单调递增，则函数的值域为,，故B错误；若函数的两个零点都在区间为内，则且故即解得，故C正确，若在单调递增，则，若在单调递减，则，故实数的取值范围是，D正确，故选：ACD8.已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【正确答案】BD【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义即可得解.【详解】因为集合，集合，所以等价于即，对比选项，、均为的充分不必要条件.故选：BD.本题考查了由集合的运算结果求参数及充分不必要条件的判断，属于基础题.9.若，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】AC【分析】根据已知条件结合不等式性质判断各个选项即可【详解】A选项：∵，且，∴，可得，即，A正确；B选项，，B错误；C选项，即，，由可得，C正确；D选项，因为当，所以，D错误.故选：AC.三、填空题（共4小题）10.定义在上的函数满足，则___________.【正确答案】7【分析】分别令，，，得到，，然后计算即可.【详解】因为定义在R上的函数满足，所以当时，；当时，；当时，；当时，，即，∴.故7.11.若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是__________．【正确答案】【分析】由题意知原命题的否定为真，将问题转换成立二次不等式在定区间上的恒成立问题了，对对称轴的位置进行讨论即可求解.【详解】由题意原命题的否定“，使得”是真命题，不妨设，其开口向上，对称轴方程，则只需在上的最大值即可，我们分以下三种情形来讨论：情形一：当即时，在上单调递增，此时有，解得，故此时满足题意的实数不存在；情形二：当即时，在上单调递减，在上单调递增，此时有，只需，解不等式组得，故此时满足题意的实数的范围为；情形三：当即时，在上单调递减，此时有，解得，故此时满足题意的实数不存在；综上所述：的取值范围是.故答案为.12.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_________.【正确答案】【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解.【详解】由的解集为，可得，且方程的解为，所以，则，所以，即关于的不等式的解集为.故答案为.13.在ΔABC中，角所对的边分别为，若且，则ΔABC面积的最大值为________．【正确答案】【详解】试题分析：由得，代入得，，即，由余弦定理得，，所以，则的面积，当且仅当取等号，此时，所以的面积的最大值为，故答案为．考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.【方法点晴】本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力，对计算能力要求较高，属于中档题；由得，代入化简，根据余弦定理求出，由平方关系求出，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形面积的最大值．四、解答题（共5小题）14.命题：实数满足（其中）命题：实数满足.(1)若,且命题均为真命题,求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.【正确答案】(1);(2).【分析】(1)先解出不等式的解集,再解出不等式的解集,根据题意,可以求出实数的取值范围；(2)根据是的充分不必要条件,可以根据集合的关系得到关于实数的不等式组,解这个不等式组即可求出实数的取值范围.【详解】解(1)由得，又，所以,当时,,即为真时实数的取值范围是.由，得解得,即为真时实数的取值范围是.均为真命题，所以实数的取值范围是.(2)由（1）知,,充分不必要条件,解得，故实数的取值范围是.本题考查了两个命题为真命题时求参数问题,考查了根据命题的充分不必要条件求参数问题,考查了数学运算和分析能力.15.已知函数是定义域上的奇函数.（1）确定的解析式；（2）用定义证明：在区间上是减函数；（3）解不等式.【正确答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）利用奇函数的定义f−x=−fx，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论；（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数y=fx的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】（1）由于函数是定义域−1,1上的奇函数，则f−x=−f即，化简得，因此，；（2）任取、，且，即，则，，，，，，，.，，因此，函数y=fx在区间−1,1上是减函数；（3）由（2）可知，函数y=fx是定义域为−1,1由得，所以，解得.因此，不等式的解集为12,1本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.16.已知函数，（1）若函数的定义域为，求实数a的取值范围；（2）若当时，函数有意义，求实数的取值范围.（3）若函数，函数的最小值是5，求实数的值.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据定义域为，转化为对任意的,，即可由判别式求解，（2）分类讨论，求解的最值即可求解，（3）将问题转求解的最小值，即可分类讨论求解.【小问1详解】若函数的定义域为，则对任意的,,由于函数为开口向上的二次函数，故只需要，解得【小问2详解】对有意义，则对于恒成立，记，对称轴为，当时，即，此时在单调递增，故，与矛盾，舍去，当，即，此时在单调递减，故，故，当，即，此时，解得，故，综上可得：【小问3详解】，令，则，，则为开口向上，对称轴为的二次函数，当，此时，不符合要求，舍去，当，此时或（舍去）故17.若，.（1）求的取值范围；（2）求的取值范围.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）结合基本不等式整理得，当且仅当时取等号，再根据已知的范围即可得答案；（2）由于，故只需解并结合已知条件求解即可.【详解】解：（1）因为，，所以，当且仅当时取等号，整理得：，解得：或，又因为，，所以，所以.（2）因为，，当且仅当时取等号，所以，解可得，或（舍），故.又因为，所以.18.已知关于x的函数和.（1）若，求x的取值范围；（2）若关于x的不等式（其中）的解集，求证.【正确答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）转化为求解；（2）讨论，，，求解，判断是否成立.【小问1详解】可得，即，即，即，则，则实数x的取值范围是；【小问2详解】因为，所以，由（1）知，所以（i）时，当时，，