2024-2025学年河南省南阳市高一上册第一次月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年河南省南阳市高一上学期第一次月考数学检测试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（）A. B. C. D.2.命题“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，3.满足集合为真子集且的集合的个数是（）A.3 B.4 C.5 D.64.下列哪一组中的函数与表示同一个函数（）A.， B.，C.， D.，5.如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（）A. B.C. D.6.已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知函数，其中为不超过x的最大整数，则函数的值域为（）A. B. C. D.8.已知函数，若，则实数的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数可以为（）A.9 B.23 C.128 D.23310.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.的解集为或11.已知函数，则（）A. B.的最小值为0C.的定义域为 D.的值域为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若函数为幂函数，且在单调递减，则实数的值为_______.13.已知正实数a，b满足，则的最小值为______.14.定义在上的函数，，对，，使得，则实数的取值范围为______.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15设集合，，非空集合.（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围.16.已知函数为上的奇函数，当时，，且.（1）求函数的解析式；（2）若函数满足不等式，求实数t取值范围.17.解关于x的不等式.18.已知函数的定义域为，，且对于任意实数，，有，当时，.（1）求值；（2）求证：在定义域上是单调递增函数；（3）求证：为奇函数.19.已知函数.（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）设函数在区间上的最小值为，求的表达式；（3）对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围.2024-2025学年河南省南阳市高一上学期第一次月考数学检测试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】分是否为0两种情况进行讨论，结合二次方程根的情况列式求解即可.【详解】当时，，故符合题意；当时，由题意，解得，符合题意，满足题意的值的集合是.故选：D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【正确答案】B【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可.【详解】根据命题否定定义可知，命题“，”的否定是“，”.故选：B.3.满足集合为的真子集且的集合的个数是（）A.3 B.4 C.5 D.6【正确答案】A【分析】依题意可得、且中至少还有一个元素，再由，即可列出符合题意的集合，从而得解.【详解】因为集合为的真子集，所以、且中至少还有一个元素，又，所以或或，故满足条件集合有个.故选：A4.下列哪一组中的函数与表示同一个函数（）A.， B.，C.， D.，【正确答案】D【分析】判断两函数的定义域是否相同，解析式是否一致，即可得解.【详解】对于A：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数，故A错误；对于B：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数，故B错误；对于C：的定义域为，，函数解析式不一致，故不是同一函数，故C错误；对于D：fx=1x的定义域为，的定义域为，且，两函数的定义域相同，函数解析式一致，故是同一函数，故D正确.故选：D5.如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】先表示出，，进而结合勾股定理可得，进而判断即可.【详解】，，而，则由，可得，当且仅当时等号成立.故选：A.6.已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由题意可知函数在上单调递减，结合分段函数单调性列式求解即可.【详解】由题意，对任意实数，都有成立，所以函数在上为减函数，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故选：D.7.已知函数，其中为不超过x的最大整数，则函数的值域为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由题意可得，进而得到，从而求解.【详解】由题意，为不超过x的最大整数，则，即，所以函数的值域为.故选：B.8.已知函数，若，则实数的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】C【分析】根据直接代入解析式，计算可得.【详解】因为，且，所以，即，则，解得.故选：C二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数可以为（）A.9 B.23 C.128 D.233【正确答案】BCD【分析】直接将各选项的数字变形判断即可.【详解】对于A：，则，所以，故A错误；对于B：，满足的描述，所以，符合题意，故B正确；对于C：，满足的描述，则，符合题意，故C正确；对于D：，满足的描述，，符合题意，故D正确；故选：BCD10.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A B.C. D.的解集为或【正确答案】ABD【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项.【详解】因为不等式的解集为或，所以，且关于的方程的实数根为或，所以，所以，故A正确；，故B正确；，故C错误；不等式，即，即，解得或，即不等式的解集为或，故D正确；故选：ABD11.已知函数，则（）A. B.的最小值为0C.的定义域为 D.的值域为【正确答案】BC【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得.详解】由，而，所以，故A错误；当时，，因此的最小值为0，故B正确；在函数中，，即，所以函数的定义域为，故C正确；，由，即，所以，所以的值域为，故D错误.故选：BC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若函数为幂函数，且在单调递减，则实数的值为_______.【正确答案】【分析】根据幂函数定义和单调性求解．【详解】由题意知，解得：或，当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意；所以实数的值为.故答案为.13.已知正实数a，b满足，则的最小值为______.【正确答案】##【分析】由得，根据基本不等式“1”的代换计算即可求解.【详解】由，得，又，所以，所以，当且仅当即时等号成立.所以的最小值为.故14.定义在上的函数，，对，，使得，则实数的取值范围为______.【正确答案】【分析】问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集，先求出在上的值域，分类讨论求出的值域，根据子集关系即可求出的范围.【详解】因为，当时，所以；当时，则在上单调递增，所以；综上可得；因为对，，使得，所以函数在上的值域是函数在上的值域的子集，又，，当时，，则有，解得，当时，，不符合题意；当时，，则有，解得．综上所述，可得的取值范围为．故．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设集合，，非空集合.（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）先求出集合B，进而求出，结合并集的定义与运算即可求解；（2）根据充分、必要条件的定义可得B是A的真子集，结合集合间的包含关系建立不等式组，解之即可求解.【小问1详解】若，则非空集合，所以或，又，故.【小问2详解】由“”是“”的必要不充分条件，得B是A的真子集，又，所以（不能同时取到等号），解得，即的取值范围为.16.已知函数为上的奇函数，当时，，且.（1）求函数的解析式；（2）若函数满足不等式，求实数t的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据奇函数的性质结合题意可得当时，，设，则，利用奇偶性可得时的解析式，可得的解析式；（2）由（1）可得的单调性，根据函数的单调性、奇偶性结合列出不等式，即可求解.【小问1详解】因为函数为上奇函数，且当时，，所以，又，解得，所以当时，，设，则，，，.【小问2详解】由（1）知，可得在上是减函数，又为奇函数，，，解得，所以的取值范围是.17.解关于x的不等式.【正确答案】答案见解析【分析】当时，原不等式为一元一次不等式；当时，原不等式为一元二次不等式，然后利用二次函数开口方向和根的分部分别讨论不同情况不等式的解即可.【详解】当时，得，解得；当时，由，得当时，解，得或；当时，解，得；当时，解，无解当时，解，得；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；18.已知函数的定义域为，，且对于任意实数，，有，当时，.（1）求的值；（2）求证：在定义域上是单调递增函数；（3）求证：为奇函数.【正确答案】（1）0（2）见解析（3）见解析【分析】（1）首先计算，再通过赋值求的值，即可求解；（2）首先设，，代入条件，判断的正负，结合函数单调性的定义，即可证明；（3）通过赋值，再结合奇函数的定义，即可证明.【小问1详解】令，则，得，令，，则即；【小问2详解】设，，所以，即，因为，所以，则，所以函数在上单调递增；【小问3详解】令，，则，得，即，所以函数是奇函数.19.已知函数.（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）设函数在区间上的最小值为，求的表达式；（3）对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）