2025届新高三开学摸底数学考试卷（新高考）【含答案】

2025届新高三开学摸底数学考试卷（新高考通用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置

上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，

将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。

1.（2024•广西•模拟预测）已知集合A={x[—2<x<3},B={x|x2-5x<O,xeN）,贝

（）

A.{x|0<x<3}B.{尤|一2<无<5}C.{0,1,2}D.{1,2}

47—i

2.（2024•河南•模拟预测）已知复数z满足贝卜的虚部为（）

Z

A,—iB.—iC.-D.—

510510

3.（23-24高三下•陕西西安•阶段练习）已知向量2=（私1）,b=（l,n）,若

（£+彼）//（£一6），贝ij（）

A.mn-\B.mn=—1C.m—n=OD.|m|—|n|=0

4.（23.24高一下•广东广州•期中）某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择

测量某山峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚/测得山顶尸的仰角

为45。，沿倾斜角为15。的斜坡向上走了90米到达8点（4B,P,0在同一个平面

内），在3处测得山顶尸的仰角为60。，则山高P。为（）米

A.45（76-72）B.45（^+72）C.90（^-1）D.90（6+1）

5.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知sinasin（Qr+E）=cosasin（1-a）,贝

tan（2a+：j=（）

A.2-73B.-2-73C.2+6D.一2+石

6.（2023•辽宁鞍山•一模）函数f（x）是定义在R上的偶函数,且〃l+x）=〃l-x）,若

xe[0,l],/（x）=2\则/（2023）=（）

A.4B.2C.1D.0

7.（23-24高三上•福建•阶段练习）函数〃x）=sinx+2卜也斗彳目0,2可的图象与直线

'=%有且仅有两个不同的交点，则上的取值范围是（）

A.（0,1）B.（0,3）C.（1,3）D.（0.2）

22

8.（2024・山东•模拟预测）已知双曲线E：,2=1（“>0力>0）的左、右焦点分别为

K,用,过F2的直线与E的右支交于A,8两点，且忸阊=2|A阊，若丽.丽=0,则

双曲线E的离心率为（）

A.出B.姮C*D.亚

333

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得

0分.

9.（2024•广东汕头•一模）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中

随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高

分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于［80,90）内的学生成绩方

差为12,成绩位于［90,100）内的同学成绩方差为10.则（）

参考公式：样本划分为2层，各层的容量平均数和方差分别为：加、7、s；；〃、

工、s；.记样本平均数为石，样本方差为$2,

A.6/=0.004

B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14

C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25

10.（2024・河南•模拟预测）已知函数/（x）=sin,+3，下列说法正确的是（）

A.的最小正周期为g

B.点为〃尤）图象的一个对称中心

C.若/（元）=a（aeR）在无/上有两个实数根，则3W

L189」2

D.若“X）的导函数为尸⑺，则函数y=〃x）+/'（x）的最大值为亚

11.（2022•山东济南•一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵

形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐

标系xOy中，M（-2,0）,N（2,0）,动点尸满足1PM卜|尸叫=5,其轨迹为一条连续的封

闭曲线C.则下列结论正确的是（）

A.曲线C与y轴的交点为（0,-1）,（0,1）B.曲线C关于x轴对称

C."MN面积的最大值为2D.|。尸|的取值范围是[1,3]

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（2024・江西・二模）已知非零向量词满足2同=瓦且心心-可，贝上石的夹角大

小为.

13.（23-24高二下•四川广安•阶段练习）已知直线＞=丘+，既是曲线y=ln尤的切线，

也是曲线y=-in（-x）的切线，则％+匕=.

14.（2024•安徽安庆・三模）一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标

有数字1,2,3,4,4.现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机

摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平

局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

步聚。

15.(2024・湖南益阳•三模)已知。、b,c分别是44BC内角A,B,C的对边,

(Z?—a)cosC=c(cosA—cosB),b2=2ac.

(1)求cosC；

⑵若2MBe的面积为后，求。

22

16.(23-24高二上•江苏徐州•阶段练习)已知椭圆C：，+多=1(a>6>0)的一个焦

ab

点为B(2,0),且离心率为9.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线/：与椭圆c交于48两点，若AABO面积为G,求直线/的方程.

17.(2024•河南•三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面

ABCD,PA±AB,AB//CD,AB=2CD=2AD=2BC=2.AP=2.

⑴证明：平面P4C_L平面P3c；

(2)求平面PAD与平面PBC夹角的正弦值.

18.(2024•广东茂名•二模)在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采

用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败

者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛「'败区”的两人对阵，

败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级

最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠

军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为。(0<。<1),且不同对阵的结果

相互独立.

(1)若p=0.6,经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；

□求甲获得第四名的概率；

□求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；

(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败

者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.

19.(2024•河南信阳・二模)已知函数y=〃x),其中=一日2,左©R.若点A在

函数y=的图像上，且经过点A的切线与函数y=〃x)图像的另一个交点为点8,

则称点8为点A的一个“上位点”，现有函数y=〃x)图像上的点列M,.........

M,,，…，使得对任意正整数〃，点Mn都是点加用的一个“上位点”.

(1)若左=0,请判断原点。是否存在“上位点”，并说明理由；

(2)若点％的坐标为例,0),请分别求出点风、“3的坐标；

⑶若M的坐标为(3,0),记点M“到直线y=心的距离为源.问是否存在实数加和正整数

T,使得无穷数列4、dT+l办+"…严格减？若存在，求出实数机的所有可能值；

若不存在，请说明理由.

参考答案与详细解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。

1.(2024•广西・模拟预测)已知集合4={吊一2＜》＜3},B={x|x2-5x＜0,xeN),贝

AAB=()

A.{x|0＜x＜3}B.{尤|一2＜尤＜5}C.{0,1,2}D.{1,2}

【答案】D

【分析】先求集合8,注意xeN,再求AcB.

2

【详解】X-5X<0^0<X<5,又因为XWN,所以8={1,2,3,4},得可|-={1,2}

故选：D.

2.(2024•河南•模拟预测)已知复数z满足二^=-2i,贝IJz的虚部为()

Z

A.—iB.—iC.—D.—

510510

【答案】C

【分析】根据条件，利用复数的四则运算，即可求出结果.

【详解】因为"匚=-2i,所以4iz+l=2z,所以1=(2-旬z,

Z

12+4i2+4i11.,,1

^^Z-2-4i-(2-4i)(2+4i)"20'所以z的虚部为g，

故选：C.

3.(23-24高三下•陕西西安•阶段练习)已知向量Z=5=(1,"),若

(£+■)//(£-■),则()

A.mn=lB.mn——1C.m—n=OD.|m|—|n|=0

【答案】A

【分析】利用平面向量共线的坐标表示计算即可.

【详解】a+B=(次+1,1+〃)，a-b,

□(4+5)〃(”方)，□(m+l)(l-«)=(/72-l)(l+M),化简得修〃=1.

故选:A.

4.(23-24高一下•广东广州•期中)某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择

测量某山峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚/测得山顶尸的仰角

为45。，沿倾斜角为15。的斜坡向上走了90米到达8点(4B,P,。在同一个平面

内)，在8处测得山顶尸的仰角为60。，则山高尸。为()米

p

A.45(A/6-A/2)B.45(#+垃)C.90(^-1)D.90(73+1)

【答案】B

【分析】在dBP中，利用正弦定理求AP,进而在RtdAQ中求山的高度.

【详解】依题意，ZPAQ=45°,ZBAQ=i5°,贝U?PAB30。，NAP。=45。,

又NPBC=60。，则/BPC=30°,即有ZBPA=15。，NPBA=135'

AP4R

在AABP中，AB=90,由正弦定理得.茨DD=.,

sinZABPsinZAPB

「./A-A/?

且sin15°=sin(60°-45°)=sin60°cos45°-cos60°sin45°=-------

onm

ABsinZABP90sin135°218072

IjllAP=____________=__________=_____——=________

sinZAPBsin15°76-^2遍一行

4

在RtAPA。中，pQ=APsin45。也=45(#+应)，

戈-垃2

所以山演］PQ为45(逐+A/2)米.

故选：B

5.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知sinasin(a+W=cosasin]1-“，则

tanQa+J()

A.2-y/3B.-2-73C.2+y/3D.-2+白

【答案】B

【分析】由两角和差公式、二倍角公式逆用可得tan2a=6,进一步结合两角和的正

切公式即可得解.

【详解】由题意^^sin?a+'sinacosa=-^-cos26Z--sincrcoscr，即

2222

V3Q1..

——cos2a=—sin2a，

22

c兀

tan2a+tan—gki^一一2一技

即tan2a=上,所以tanf+—1=4

71

1-tan2atan—1-V3-2

4

故选：B.

6.(2023•辽宁鞍山•一模)函数"X)是定义在R上的偶函数，且-x),若

xe[0,l],f(x)=2\则/(2023)=()

A.4B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根据〃l+x)=〃l-x),结合/(X)是定义在R上的偶函数，易得函数根X)的

周期为2,然后由“2023)=/(1011x2+1)=/(1)求解.

【详解】因为〃1+力=〃1-力，且/(尤)是定义在R上的偶函数,

所以/(l+x)=〃x-l),

令r=xT,则x=f+l,

所以〃/+2)=/'⑺，即/(x)=/(x+2),

所以函数/(无)的周期为2,

所以/(2023)=/(1011X2+1)=/(I)=2.

故选：B.

7.（23-24高三上•福建•阶段练习）函数〃尤）=sinx+2卜inx|,xe[0,2可的图象与直线

>=上有且仅有两个不同的交点，则上的取值范围是（）

A.（0,1）B.（0,3）C.（1,3）D.（0,2）

【答案】C

【解析】先分类讨论去绝对值号，得出函数“力的解析式，然后画出函数与

y=上的图象进行判断.

【详解】〃x）=sinx+2卜inR=1.,

[-sinx,7r<x<27r

如图所示，

要使〃x）=sinx+2卜inx|,xe[0,2K]的图象与直线y=%有且仅有两个不同的交点，则只

需1<左<3.

故选：C.

【点睛】本题考查根据函数图象的交点个数求参数的取值范围，较简单，画出函数的

图象是关键.

22

8.（2024•山东•模拟预测）已知双曲线E：=-2=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为

ab

Ft,F2,过尸2的直线与E的右支交于A,8两点，且忸阊=2|A阊，若丽.通=0,则

双曲线E的离心率为（）

AYB.叵C.空D.叵

333

【答案】B

【分析】设|盟|=J则怛闾=27,根据双曲线的定义，可得|倒|和|即再在直角三

角形中，利用勾股定理可得关于。，。的关系，可得双曲线的离心率.

【详解】如图：设|然|=/,则|%|=2f,

根据双曲线的定义，可得|筋|=2°+~忸耳|=2a+2t,

因为丽•荏=0,所以/54片=90。，

所以||的「+|第2=1耳欧J（2a+H+/=（2c）2

2222

\\AF1|+1AB「=\BFf［（2t?+r）+（3z）=（2a+2r）

由（2a+r）+（3f）=（2“+2f）=>2a=3t,

代入（2a+r）2+产=（Ze?可得17/=9/ne=£=姮.

a3

故选：B

【点睛】方法点睛：选择填空题中，出现圆锥曲线的问题，首先要考虑圆锥曲线定义

的应用，不能用定义，再考虑其他方法.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得

0分.

9.（2024•广东汕头•一模）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中

随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高

分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于［80,90）内的学生成绩方

差为12,成绩位于［90,100）内的同学成绩方差为10.则（）

参考公式：样本划分为2层，各层的容量平均数和方差分别为：机、Ks；；〃、

工、破.记样本平均数为了，样本方差为$2,

A.a=0.004

B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14

C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25

【答案】BCD

【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1,列等式求出实数。的

值，可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用总体平均数公式可判断C

选项；利用方差公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1,

贝M2a+3a+7a+6a+2a）xl0=200a=l,解得a=0.005,A错；

对于B选项，前两个矩形的面积之和为（2a+3a）x10=50a=0.25<0.5,

前三个矩形的面积之和为（2。+3。+7。）x10=120。=0.6>0.5,

设计该年级学生成绩的中位数为机，则me（70,80）,

根据中位数的定义可得025+（m-70）x0.035=0.5,解得加。77.14,

所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14,B对；

对于C选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为

6ax85+2"x95=87.5分,C对；

6a+2a6a+2a

对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为

1[12+（87.5-85）2]+^-[10+（87.5-95）2]=30.25,D对.

故选：BCD.

10.（2024•河南•模拟预测）已知函数〃x）=sin[3x+[,下列说法正确的是（）

A./（x）的最小正周期为三

B.点管,0）为图象的一个对称中心

C.若7（x）=a（aeR）在x上有两个实数根，则

L189J2

D.若的导函数为r（x）,则函数y=〃x）+r（x）的最大值为历

【答案】ACD

【分析】对于A,直接由周期公式即可判断；对于B,直接代入检验即可；对于C,

画出图形，通过数形结合即可判断；对于D,求得后结合辅助角公式即可得解.

【详解】由题意可得T=?，故A正确；

（弓卜si吟=9。，所以信,0）不是“X）图象的一个对称中心，故B错误；

令t=3x+工，由一二WxV工得四

318963

根据题意可转化为直线产。与曲线〃x）=sin（3x+1],无/_91有两个交点,

13/Lioy

1

4

y=sin（3x+^y

1

2

>

7171TlX

18189

数形结合可得等""<1’故C正确；

设尸0）为“X）的导函数，

贝lj/（x）+/'（X）=sin+3cos^3%+=VTUsin13%+；+0]<V10,其中tan。=3,

当且仅当3x+:+0=I+2E/£Z,即当且仅当.―¥+9+§水£Z时等号成立，故

323183

D正确，

故选：ACD.

11.（2022•山东济南•一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵

形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐

标系xOy中，M（-2,0）,N（2,0）,动点尸满足|PMHPN|=5,其轨迹为一条连续的封

闭曲线C.则下列结论正确的是（）

A.曲线C与），轴的交点为（0,-1）,（0,1）B.曲线C关于x轴对称

C.APMN面积的最大值为2D.|。尸|的取值范围是[1,3]

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，由尤=0判断A；由曲线方程对称性判断

B；取特值计算判断C；求出炉的范围计算判断D作答.

【详解】设点解")，依题意，[(》+2)2+/]©-2)2+也=25,整理得：

'+'=，16/+25-4,

对于A,当x=0时，解得y=+l,即曲线C与y轴的交点为(O,T),(0,1),A正确；

对于B,因％2+(_y>=三+/=,16/+25—4,由换>方程不变，曲线C关于x轴对

称，B正确；

对于C,当/=|时，/=|,即点P(手,4)在曲线C上，

S"=；\MN、T=巫,C不正确；

对于D,由/=」16/+25-4-彳230得：尤4一8尤2一940,解得04/<9,

于是得|OP『=X2+y2=+25-4w[1,9],解得14卯43,D正确.

故选：ABD

【点睛】结论点睛：曲线C的方程为尸配y)=0,(1)如果H-x,y)=0,则曲线C关于了

轴对称；

(2)如果网苍―y)=0,则曲线C关于x轴对称；(3)如果尸(-％->)=0,则曲线C关于原

点对称.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(2024•江西・二模)已知非零向量泡满足2同=瓦且打贝IJ标的夹角大

小为.

【答案】y

【分析】由向量垂直的数量积表示和数量积的定义式运算即可.

【详解】因为（万-5）,设向量Z与方的夹角为6,

所以/,（/_方）=/-万-5=时-|fl|-|z?|cos^=0,

又因为2同=忖，

所以同2-2同.同cos6=0,所以cos6=g.

因为所以e=g.

所以向量获的夹角大小为土

故答案为：y.

13.（23-24高二下•四川广安•阶段练习）已知直线＞=丘+6既是曲线y=ln尤的切线,

也是曲线y=-In（-%）的切线，则左+b=.

【答案】~1e-1

e

【分析】利用导数的几何意义计算即可.

【详解】设曲线y=lnx与y=-ln（-x）的切点分别为（和%）,（%2，%）,

易知两曲线的导函数分别为＞=』，/=

b=0

l+Z?=-ln^

所以12+b=In玉n

-1+6=In%k=-

fcr2+/?=-ln(-x2)e

贝IJk+/?=—.

e

故答案为：L

e

14.(2024•安徽安庆•三模)一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标

有数字1,2,3,4,4.现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机

摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜(若所标数字相同则为平

局)，则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为.

【答案】|

【分析】设事件“甲获胜”为事件A,事件“乙摸到2号球”为事件8,由古典概率公式求

出P(A),尸(AB),再由条件概率求解即可.

【详解】设事件“甲获胜”为事件A,事件“乙摸到2号球”为事件B,

则P(A),

'，C'C'25')CjC'25

3

所以P国力=舒=295-

25

故答案为：;.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

步聚。

15.(2024・湖南益阳•三模)已知。、b,c分别是44BC内角A,B,C的对边,

(b—a)cosC=c(cosA—cosB),=2ac.

(1)求cosC；

(2)若ZL4BC的面积为岳，求c.

【答案】(1)1；⑵2.

O

【解析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合余弦定理可求；

(2)由已知结合三角形的面积公式即可直接求解.

【详解】(1)由3-。)85。=式8$4-©0$2)及正弦定理可得，

sinBcosC—sinAcosC=sinCcosA-sinCcosB,

所以sin3cosC+sinCcosB=sinCcosA+sinAcosC,

即sin(B+C)=sin(A+C),

所以sinA=sinB,

所以〃=b,

因为/=2QC=28C,

所以b=2c,

a1+/-c24c2+4c2-c27

由余弦定理可得，cosC=

2ab2x2cx2c8

⑵由⑴知sinC=Jl一针=平

因为ZL4BC的面积为止，所以J_"sinC='a2x2l=JF,解可得。=4,

228

贝ljc=L=2

2

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求

解三角形中的应用，属于中档试题.

22

16.(23-24高二上・江苏徐州•阶段练习)已知椭圆C：与+夫=1(。＞“0)的一个焦

ab

点为尸(2,0),且离心率为当.

(1)求椭圆C的方程;

(2)直线/：»机与椭圆c交于a3两点，若面积为求直线/的方程.

【答案】⑴3+[=1

62

⑵产尤±2

【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求出a，c,从而求出以即可求解方程；

（2）联立直线与椭圆方程，韦达定理求出弦长，利用点到直线的距离求出高，根据面

积建立方程求解即可.

【详解】⑴由焦点为-2,0）得c=2,又离心率e=£=1,得到”几，

a3

22

所以62=°2一°2=6一4=2,所以椭圆C的方程为工+匕=1.

62

（2）设2a“J,B[x2,y2）,

、江+其=1〜

联立<62,消了得4x?+6/HX+3"/—6=0,

y=x+m

A=36m2-16（3m2-6）=-12m2+96>0,得至lj<8,

由韦达定理得，西+毛=-当，尤也=近4,

，4

2

又因为AB=y/l+k\x2-%|="Jlx（I2；,

又原点到直线的距离为1=号，

所以S”=g41AB|=gx号x曰A/I二=4x师而二^J=技

所以布-8■+16=0,所以4=4,即根=±2,满足）<8,

所以直线/的方程为y=%±2.

17.（2024•河南•三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面

ABCD,PA±AB,AB//CD,RAB=2CD=2AD=2BC=2AP=2.

⑴证明：平面P4C_L平面PBC；

（2）求平面PAD与平面PBC夹角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵巫

4

【分析】（1）先由线段关系证ACL3C,结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线

线垂直证线面垂直；

（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.

【详解】（1）由题意AB=2CD=2AD=23C=2,则NABC=60。，

因为3c=1,48=2,所以NAC3=9（r,AC_LBC,

因为平面巳钻，平面ABCD,平面上4Bc平面ABCD=AB,

且PA_LAB,PAu平面PAB,

所以P4,平面ABC。，

因为BCu平面ABCD,所以P4LBC,

且ACnPA=A,AC,PAu平面PAC,所以3C_L平面PAC,

又BCu平面尸8C,所以平面PAC_L平面尸3C；

(2)如图，以/为原点，市5,；®分别为工轴，'轴正方向，在平面AB8内过点/作

平面48c的垂线为z轴，

建立空间直角坐标系，

则尸(1,0,0),8(020),。0,

所以》=(1,0,0),而jo,；,*],PB=(-l,2,0),BC=k-1,^

[22)【22)

设平面PAD的一个法向量4=(x,y,z),

/11-AP=x=0

则______yJjz，令z=-l,得4=(0,&,-1),

rL-AD=^-+—=0

122

设平面PBC的法向量％=(m,",p),

n2-PB=—m+2n=0

贝IJ______n6P，令P=1得兀=(2瓜6,1),

&-BC=——+------=0

I222

々.%21

设平面R4D与平面尸5。的夹角为。，贝h。5。=占造=丁7=:，

匐M|2x44

所以平面PAD与平面PBC夹角的正弦值为J1-cos?6=姮.

4

18.(2024•广东茂名•二模)在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采

用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败

者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛「'败区”的两人对阵，

败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级

最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠

军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为？(0<?<1),且不同对阵的结果

相互独立.

(1)若p=0.6,经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；

□求甲获得第四名的概率；

□求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；

(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败

者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.

【答案】(l)D0.16；03.128

(2)答案见解析..

【分析】(1)结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；

(2)结合对立事件概率和独立事件概率公式比较计算.

【详解】⑴口记“甲获得第四名”为事件A,则P(A)=(1-0.6)2=0.16；

□记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X,

则X的所有可能取值为2,3,4,

连败两局：P(X=2)=(l-0.6)2=0.16,

X=3可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；

P(X=3)=0.62+(l-0.6)x0.6x(l-0.6)+0.6x(l-0.6)x(l-0.6)=0.552,

p(X=4)=(1-0.6)x0.6x0.6+0.6x(1-0.6)x0.6=0.288；

故X的分布列如下：

X234

P0.160.5520.288

故数学期望E(X)=2x0.16+3x0.552+4x0.288=3.128；

⑵“双败淘汰制”下，甲获胜的概率尸=/