2025高考数学二轮复习：直线与圆锥曲线的位置关系 专项训练【含答案】

微专题39直线与圆锥曲线的位置关系

［考情分析］直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线相交、相

切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等.

-思维导图

直

直线的方程一线一弦长、面积问题

必备与常见

圆锥曲线的性质——

圆—中点弦问题

知识题型

弦长公式一锥-直线与圆锥曲线位置关系的应用

曲

线

的

点差法解决中点弦问题-----位—)忽略直线斜率不存在的情况

必备置常见

1误区七I忽-略直线与双曲线、抛物线只有一个交

联立直线与方程，利用根与系数的关系，』解法关

解决中点弦问题系点时，有多种情况

典型例题

考点一弦长问题

【典例1】已知椭圆C：［十三=1(心6>1)长轴的顶点与双曲线D^=1实轴的顶点相同,

层N4N

且C的右焦点F到D的渐近线的距离为也I

7

⑴分别求C与。的方程；

⑵若直线/的倾斜角是直线y=(/—2)x倾斜角的2倍，且/经过点尸，/与C交于4,3两

点，与。交于N两点，求四.

\MN\

解(1)由题意可得。2=4,则。=2.

因为。的渐近线方程为y=i|x,

即bx±2y=0,

椭圆C的右焦点为F(y］4-b2,0),

由题意可得晅，

A/4+ZJ27

因为b>l,解得6=3,

故椭圆C的方程为e十上=1,

43

22

双曲线。的方程为工一匕=1.

43

(2)设直线2)x的倾斜角为a,

2tana1

所以直线I的斜率k=tan2a=

1—tan2a2,

所以直线/的方程为y=gx—1),

y=：(xT),

联立，2得4炉一2x—ll=0,

3x2+4产=12,

则zh=4+4X4X11>0,

设/(xi,yi),2(x2,>2),

则为十小，…,，

3x2—4j2=12,

联立“_1z［、得2/+2%—13=0,

产5(%—1)，

J2=4+4X2X13>0,

设点M(%3,»3),N(X4,»4),

则%3+%4=—1»X3X4=—L,

2

所以\MN\=\1+02-V(X3+X4)2—4xjX4=3^^,

故岫="x；=近.

\MN\43也56

跟踪训练1已知椭圆E：1(a>6>0)的一个顶点为/(0,1),焦距为2y/3.

(1)求椭圆E的方程；

⑵过点P(—2,1)作斜率为左的直线与椭圆E交于不同的两点3,C,直线48,ZC分别与x

轴交于点M,N,当|卬=2时，求左的值.

8=1,

解⑴由题意，#-2C=2A/3,

a2=b2+c2,

a=2,

解得小=1,

c=3,

...椭圆£的方程为e+f=l.

4

(2)由题意可设直线BC的方程为y—l=A(x+2).

--1-/=1,

联立得方程组

y—1=©x+2).

消去y并整理，得(4左2+1.2+(16专+Sk)x+16左2+16左=0,

则/=(16左2+8与2—4(4F+1)(16左2+16Ao>0，

解得k<0.

设3(x1,yi),C(X2,>2),

16乃+8左16乃+16人小

.".Xl+x2一；----,XIX2-；-----.①

4^+14^+1

由题知直线/C的斜率都存在,

，直线AB的方程为y=yi~U+1,

X1

则直线N3与x轴交点M的坐标为I

同理得点N的坐标为

一%2一阳

V\MN\=29左(X2+2)左(xi+2)=2,

.*•|xi——\k[XlX2~i~2(Xl+%2)+4]|,

\)(X\+%2)2—4%1%2=|k[x1X2+2(X1+X2)+4]|.②

[16k2+Sk][16左2+16-2(16左2+8左)4

将①代入②，得I41+11_4(16启+16-=.412+14乃+12.

4左2+1

整理，得/+4左=0.

又上<0,・,•左=—4.

考点二面积问题

【典例2】(2022•新高考全国I)已知点/(2,1)在双曲线C：三一户=1(°>1)上，直线/交C

于尸，。两点，直线4P,/。的斜率之和为0.

⑴求I的斜率；

⑵若tan/E4Q=2也,求△口。的面积.

解(1)将点/的坐标代入双曲线方程得—=1,

aLaz—l

化简得/—4a2+4=0,得层=2,

故双曲线C的方程为芷一『=1.

2

由题易知直线/的斜率存在,

设直线/的方程为y=kx+m,

尸（％1，J1），2（X2,歹2）,

联立直线/与双曲线。的方程，消去》并整理得

（2k2—l）x2+4A:mx+2m2+2=0,

4km2m2+2

故X1+X2X\X2

2左2—12k2~1

...一="T।y2-l

幻尸+kAQ1

x\—2X2—2

kx\~\-m­1_^kx2-\-m-1

=0,

x\—2X2—2

化简得2kxiX2~\~(jn—1—2k)(x\+%2)—4(冽-1)=0,

4km]

2-2加2+2)2A：2—1J—4(m—1)=0,

故-F(m—1—

2左2—1

整理得(左+1)(加+2左一1)=0,

又直线/不过点4,即加+2左一1W0,

故人=—1.

(2)不妨设直线PA的倾斜角为/°<*力，

由题意知NF4Q=兀一2仇

所以tmZPAQ=—tan20=^tan^—2^2,

~tarM—1

解得tan8=也或tan9=—?(舍去).

…=w

JL2_10—4也

下巾=1，3

所以|/尸|=3|四一2|=43(：—D,

同理得4=10+4啦,

3

所以|/Q|=3|X2—2尸勾1户U

因为tanNE4Q=2/,

所以sinZB4g=^j^,

故SABiQ=^AP\\AQ\smZPAQ

_lv4也（也—1）43（也+1）2/16/

23339

,,2

跟踪训练2（2023•南京模拟）已知双曲线M：N—;=1,在双曲线M的右支上存在不同于点

4（2,3）的两点尸，。，记直线4尸，AQ,尸。的斜率分别为人左2,k,且左i,k,左2成等差数列.

⑴求左的取值范围；

（2）若△OP。的面积为#（O为坐标原点），求直线PQ的方程.

解（1）设P（xi,外），。（%2,玖），直线P。：y=kx+m9

y=kx-\-m,

由N—J,

I3

消去》得（3—左2.2—2kmx—m2—3=0,

3—Vwo,

A=4k2m2+4（3-左2）（冽2+3）>0,

2km„

依题意可得X1~\~X2

——3T；〉°，

m2+3

XiX2----7>°，

3T2

F>3,

得.加2+3>左2,

mk<0,

又左1,鼠上2成等差数列,

所以2左=左1+左2="―-+—~~-kx\~\~m—3+kxi~\~m—3

xi—2X2—2x\—2X2-2

_k（x1_2）+2左+机―3+k（x2一2）+2左+冽一3

xi~2X2~2

_d

=2左+（2左+加一3）1%1—2X2—2J,

所以（2左+m—3）lxi—2X2—2j=0,

因为尸，。不同于4即4（2,3）不在直线尸。：y=kx+m±,

所以3W2左+冽，即2左+加一3W0,

所以二一十—^=0,即XI—2+X2—2=0,

Xi~2X2~2（xi—2）（X2-2）

即为+工2=4,

所以六=4,即加6—2左2

k

代入m2+3>A2,得Ik『+3>左2,

得4(^2-3)2>F(F-3),

因为产＞3,所以4（丈—3）＞以,即严＞4,

点0到直线P。的距离

SAO?2=；XX2弋八:加2+3―左2=加,

2yi+左2左」3

所以|词A/冽2+3—左2=也（左2—3）,

两边平方得加2（加2+3—左2）=2（左2—3）2,

12km.zs八）左2冽2

由丁二=4得（/左72—?3）2=:，

3一%4

代入冽2（冽2+3一左2）=2体2—3）2,

得m2（m2+3—左2）=2X.：,

整理得5左4—42左2+72=0,

所以（5左2—12）（42—6）=0,

解得好=6或乃=；,

由（1）知，左2＞4,所以42=6,k=土水,

当女=加时，m=9一聆@=一比，

直线尸。的方程为y=«x—水,

当左=一水时，m=~一牛^=«,

-6

直线PQ的方程为y=—A/6X+A/6,

综上所述，直线尸。的方程为或歹=—%工+市.

考点三中点弦问题

22

【典例3】（2022•新高考全国n）已知直线/与椭圆上+匕=1在第一象限交于4,5两点，/与x

63

轴、》轴分别交于M,N两点，且|比4|=|同|,|皿=23，贝心的方程为.

答案x+也2也=0

解析方法一设直线/的方程为王+»=1（冽>0,〃>0）,分别令y=0,x=0,

mn

得点M（冽，0）,N（0,n）.

设/（Xl,yi）,5（X2,歹2）・

由题意知线段45与线段〃N有相同的中点，

Xj+x2m+0

22rixi+x2—m,

所以＞1+次0+〃即.

yi+y2=n.

.2―2'

因为kAB=kMN9

所以g=s=—“

x\—X2m—0m

将4(xi,yi),5(x2,H)代入椭圆方程,

2=i,

相减得，1+X2）（X1—X2）।。1+歹2）81—>2）.0

由题意知X\~\~X2~^~0fXl-/~X2，

所以…・—，

X1+X2X\~X22

1

即“卜

m3-2

整理得冽2=2层.①

X|W|=2^3,

所以由勾股定理，得小+层=12,②

由①②并结合机>0,〃>0,

m=2也,

得

四=2,

所以直线/的方程为予+t=1,

2也2

即x+也》-2也=0.

方法二设直线/的方程为工+义=1(机>0,〃>0),分别令y=0,x=09

mn

得点M加,0)，N(0,ri).

由题意知线段48与线段A/N有相同的中点，

Cmn\

设为Q,则决2'引，

n

则=kQ=-=-.

m—0mOmm

2

由椭圆中点弦的性质知，

_b2_1

kAB'koQ=；=一二，

a2-2

即[m]~=—K以下同方法一.

m2

跟踪训练3过点尸(4,2)作一直线N3与双曲线C：产=1相交于4,8两点，若尸为线段

48的中点，则|48|等于()

A.2也B.2/C.33D.43

答案D

解析方法一由题意可知，直线N5的斜率存在.

设直线48的斜率为k,

则直线48的方程为y=Mx—4)+2.

y=k(x—4)+2,

消去》并整理，得(l—2F)N+8-2左一1)%—32左2+32左一10=0,/>0.

设4(xi,为)，5(x2,»2).

因为尸(4,2)为线段45的中点，

8左(2左一1)

所以X1+X28,

1一2公

解得k=l.

所以32杉+32-1。=。

所以1=A/1+P・A/(XI+%2)12—4%1%2=4^3.

2

方法二设4(xi,/),B(X2,歹2)，则&r―比=1,①

:-优=1.②

①一②得;(％1—X2)(xi+x2)—(yi—y2)(yi+/)=0.

因为P(4,2)为线段的中点，

所以XI+X2=8,yi+y2=4.

所以4(X1—X2)—4(y1—y2)=0,

即xi—X2=yi~y2,

所以直线的斜率左=乃二*=1.

X1—X2

则直线AB的方程为y=x-2.

消去y并整理，得/—8x+10=0,

所以X1+X2=8,X1X2=10.

所以\AB\=\jl+k2-y］（xi+x2）2—4X1X2=4\/3.

［总结提升］

直线与圆锥曲线的位置关系中，解决直线与圆锥曲线的相交弦长、面积问题的通法是用代数

法联立方程消元转化进行求解.对于中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，

在求解过程中，在设直线方程时，注意斜率不存在的情况.

1.（2023•雅礼中学模拟）已知抛物线G：V=以的焦点为尸，过下且斜率大于零的直线/与

G及抛物线C2：产=一叙的所有公共点从右到左分别为点4,B,C,则0身等于（）

A.4B.6C.8D.10

答案C

解析由题意可得尸（1,0）,设直线/的方程为》=叼+1（加＞0）,

由题意可得直线/与抛物线C1必有2个交点,

x=my+1,

与抛物线。2相切，联立方程组

y2=-4x,

可得产+4即+4=0,

所以/=16冽2—16=0,解得m=l,

故直线I的方程为x=y+l,

x=y+l,

与抛物线G方程联立得

俨=4x,

得x2—6x+1=0,

设/（Xl,yi）,5（X2,》2）,则Xl+X2=6,

所以=修+X2+2=8.

22

2.（2023•临汾模拟）已知倾斜角为60。的直线/与椭圆C：々+「=1（心6>0）相交于/,8两点,

a1b1

与x轴、》轴分别交于C,。两点.若|4C|=|C0=|Z）g|,则椭圆。的离心率为（）

4CfD2

答案A

解析如图,设4g芹），B（X2

。分别是线段N5的两个三等分点,

—2X2,U1

贝以

Xl=-2x2»

得卜_」yi,

3y2

:.左="一玖=_2_=1.12

X1—X2—3X22X2

1,

利用点差法，由两式相减得

1

（XI+X2）（X1—X2）|&1+V2）（yi—V2）0

b2a2

整理得到号=誓，

xibL

即¥=4产，即彳=玄

b1b1

•・•直线48的倾斜角为60°,

.*.A?=tan600=3,

得1=3,遮白,

供出3

3.（2023・新高考全国II）已知椭圆C：：+产=1的左、右焦点分别为尸1,尸2,直线夕=x+/〃

与C交于1,8两点，若△尸M3面积是△歹248面积的2倍，则加等于（）

也D.-2

A-3B

-fc33

答案C

y=x+m,

解析将直线＞=X+加与椭圆联立得芷+2=1

3y

消去y可得4x2+6mx+3m2—3=0,

因为直线与椭圆相交于4,5两点，

则为=36次2—4X4（3m2—3）＞0,

解得一2〈冽＜2.

由题意知，Fi（-也,0）,尸2（也，0）,

因为△EA8面积是△尸2A8面积的2倍，

所以点Fi到直线AB的距离是点尸2到直线A3的距离的2倍,

削〔一/+刑一也+刑

勺2W

解得机=一?或m=—3也（舍去）.

4.（2023•湖北圆创联考）过点频T,/）作抛物线产=2px①＞0）的两条切线，切点分别是/,

B,若△M43面积的最小值为4,则〃等于（）

A.1B.2C.4D.16

答案B

解析设/(»,yi),B(X2,H)(yiWO,8工0),以Z为切点的切线斜率为左i,

则以4(见，巾)为切点的切线方程为y—yi=ki(x—xi)9

与抛物线炉=2px(p>0)联立可得kiy2—2py+2py\—2k\px\=0,

由4=0,即4p2—Skrpyi+Sk^pxi=0,则4p2—Skipyi+4^?=0,

即(2p—2左1m)2=0,解得左i=2,

则以4(xi,yi)为切点的切线方程为y—yi=2(x—xi),即以)；一行=,('一%1)，

所以yiy~=p(x—xi),整理可得yiy=p(x+xi),

同理以5(X2,>2)为切点的切线方程为>2P=P(X+X2),

因为点M(—l,次)在切线yiy=p(x+xi)和3/2歹=2。+X2)上，

所以泗川=。(修一1),乂必=。(%2—1),

故直线45的方程为次y=p(x—1),

"ov="(x—1),

联立，消去x,得产-2yoy—2夕=0,J=4jS+8/?>0.

y2=2px,

由根与系数的关系，得yi+》2=2yo,y\yi=-2p,

于是|48|=:[1+03(4历+80.

点”到直线43的距离4=坪士组，

于是的面积S=1型回=1匹型：\J[+R(4团+*)=加+20)3,

22\lyi+p2P

当泗=0时，△M43的面积最小为2寸石=4,p=2.

5.(多选)(2023•茂名模拟)我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光

学性质：Fl,凡是双曲线的左、右焦点，从尸2发出的光线加射在双曲线右支上一点尸，经点

P反射后，反射光线〃的反向延长线过当尸异于双曲线顶点时，双曲线在点尸处的切线

PT平分/EPB.若双曲线C的方程为(一3=1,则下列结论正确的是()

916

A.若射线"所在直线的斜率为左，则左e[一：'0

B.当时，|尸尸1卜|尸尸2尸32

C.当n过点0(7,5)时，光线由尸2到P再到Q所经过的路程为13

D.若点T的坐标为(1,0),直线尸T与。相切，则|尸尸2]=12

答案ABD

解析因为双曲线C的方程为龙一犬=1,

916

所以。=3,6=4,c=5,渐近线方程为y=i|x.

对于A,因为直线PFi与双曲线有两个交点，

f-44]

所以左e〔3,3J,即A正确；

对于B,由双曲线的定义知，\PF!\-\PF2\=2a=6,

若贝方尸尸IF+F「2F=|BF2|2=(2C)2=100,

222

因为(|PFi|-|PF2|)=|PFi|+\PF2\~2\PFI\-\PF2\,

所以36=100—2|呐尸尸2|,

解得|尸人卜|尸尸2|=32,即B正确；

22

对于C,\PF2\+\PQ\=(|PF11-2a)+\PQ\=\FiQ\-2a=A/(7+5)+(5-0)-2X3=7,即C错误；

对于D,因为P7平分NBPB,由角平分线定理知，的=的，

|7Fi|\TF2\

所以俏=霜=7=；，又|刊』一|列司=6,

\PF2\\TF2\5—12

a

所以:巴/一|尸外|=6,解得|尸刃=12,即D正确.

6.(多选)(2023•金华模拟)已知N(xo,泗)，B,C为抛物线f=4x上的三个点，焦点尸是△48C

的重心.记直线N5,AC,3c的斜率分别为MB,kAC，kBC,贝U()

A.线段BC的中点坐标为l82)

B.直线BC的方程为4x~\~yoy~\-yi—6=0

C.州G[—23，2悯

D.J-+J_L/

kABkACksc2

答案ABD

解析设B(xi,勿)，C(%2,y2),网1,0),

因为尸为△4BC的重心，

所以？+XHX2=3,

yo+yi+^2—0,

设的中点为yM)9贝必xo,yM~yo),

AF=（1~XQ,一次），由重心分中线为1：2,

得弱二2折,

3

_3XO

1-xo=-Xo),XM——

22

即’2台

_yo

一次=式见L/)yM——，

-3

又因为4在抛物线上，所以M=4xo,

所以砧=？一%:12二负，

288

02—_对

即认8'2J,故A正确；

7J一歹2_4。1一歹2)4_4

kBc---------------------――.——-----

Xi-X24(X1—X2)yi+^2yo

[=一4x+"]五=4x+yoy+M—6=0,故B正确;

直线BC：

因为—¥>0,所以冒<12,

28

所以次£（—23，23），故C错误;

1_XQ—Xl_4(XQ—Xl)_冗一比_jo+jl

kAByo—y\4(yo-yi)4(yo-j^i)4

同理1-=次+玖,1=，+/,

kac4kBC4

所以工+「-一L=2当+当康_鹏=刈，故D正确.

kABkACkBC4442

7.（2023・长沙模拟）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线反射后光

线都平行于抛物线的对称轴，已知抛物线/=2x,若从点。（3,2）发射平行于x轴的光线射向

抛物线的/点，经4点反射后交抛物线于8点，则|/引=.

答案”

8

解析由条件可知与X轴平行，令刃=2,可得以=2,故/点坐标为（2,2）,

因为爆经过抛物线焦点出。

所以的方程为y—0=

整理得4x—3y—2=0,

y2=2x,

联立

4x—3y—2=0,

所以”+>8=]

又刃=2,

所以性=_:,电=:义[i)2=l,

228

即£2],

所以|48|=

8.(2022・新高考全国I)已知椭圆C：l(a>b>0),C的上顶点为/,两个焦点为月,

尸2,离心率为:过F1且垂直于Ng的直线与C交于。，£两点，|。£|=6,则△/£)£的周长是

答案13

解析•••椭圆的离心率为A泞，

=

••6Z2c9

b2=a2-c2=3c2,

椭圆的方程片

1,

即30+4产―124=0,

不妨设左焦点为右焦点为后，如图所示,

V\AF2\=a9\OF2\=C9a=2c,

：.//斤2。=匹，

3

...△NEEz为正三角形,

:过B且垂直于/尸2的直线与C交于。，E两点，为线段N尸2的垂直平分线,

，直线DE的斜率为上，斜率的倒数为3,

3

直线OE的方程为x=0—c,

代入椭圆方程3x2+4y2-12c2=0,

整理化简得13y2-6\l3cy-9c2=0,

判另1式/=（6\5C）2+4X13X9C2=62X16XC2,

设。（XI,斐）,E（X2,>2）,

2

|JD£|=^l+（A/3）[yi-^2|=2X^|=2X6X4X^=6,

、

...c=——13，贝m！i］a=2c=——13，

84

为线段/尸2的垂直平分线，根据对称性知，\AD\=\DF^,\AE\=\EF.\,

：.△4D£的周长等于△&DE的周长，

利用椭圆的定义得到LF2DE的周长为尸2|十\EF2\+\DE\=\DF2\+\EF2\+\DFX|+|£FI|=\DFX\

+\DF2\+\EFi\+\EF2\^2a+2a^4a^l3.

9.(2023•长沙模拟)如图，斜率为:的直线/与椭圆C：［+［=1交于/,8两点，且尸(3/,

3)在直线I的左上方.

(1)证明：△245的内切圆的圆心在一条定直线上；

(2)若N4P5=60。，求△£45的面积.

⑴证明设4(%1,6),5(X2,歹2),直线/：>=$十九①

将①代入椭圆。的方程，化简并整理得

2x2+6mx+9m2—36=0.

9冽2—36

则xi+%2——3m,x\X2

2

_（yi-啦）（%2-3也）+&2-啦）（%1—3仍）

故kpA~\~kpB

（xi—3也）（%2—33）

上式分子=1%+加—月3—3g)+〔52+加一qS—3/)

JX1X2~\~（m-2yl2）"+、2）—6\[2（m-/）

=(加—2亚)(—3加)—6也(加—也)

=3%2—12—3勿2+6/%一6/〃7+12

=0.

从