2025高考数学二轮复习：集合与常用逻辑用语 专项训练（含解析）

2025高考数学考二轮专题复习-第一讲-集合与常用逻辑用语-专项训练

一：考情分析

命题解读考向考查统计

1.高考对集合的考查，重点是2022•新高考□卷，

集合间的基本运算，主要考查1

集合的交、并、补运算，常与2023•新高考□卷，

一元二次不等式解法、一元一1

交集的运算

次不等式解法、分式不等式解2024•新高考□卷，

法、指数、对数不等式解法结1

合.2022•新高考口卷，

2.高考对常用逻辑用语的考查1

重点关注如下两点：2023•新高考□卷，

根据集合的包含关系求参数

（1）集合与充分必要条件相2

结合问题的解题方法；2023•新高考□卷，

充分必要条件的判定

（2）全称命题与存在命题的7

否定和以全称命题与存在命题全称、存在量词命题真假的2024•新高考口卷，

为条件，求参数的范围问题.判断2

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷未考查集合，口卷依旧考查了集合的交集运算，常用逻辑

用语在新高考口卷中考查了全称、存在量词命题真假的判断，这也说明了现在新高考

“考无定题”，以前常考的现在不一定考了，抓住知识点和数学核心素养是关键！集合

和常用逻辑用语考查应关注：（1）集合的基本运算和充要条件；（2）集合与简单的不

等式、函数的定义域、值域的联系。预计2025年高考还是主要考查集合的基本运算。

三：试题精讲

1.(2024新高考口卷-I)已知集合4={尤|-5</<5},3={_3,-1,0,2,3},则=

()

A.{—1,0}B.{2,3}C.{一3,-1,0}D.{—1,0,2)

2.（2024新高考□卷2）已知命题p：VxeR,1尤+1|>1；命题q：3x>0,丁=%,则

（）

A.。和q都是真命题B.F和q都是真命题

c.0和r都是真命题D.刃和r都是真命题

高考真题练

1.（2022新高考口卷T）若集合M={x]«<4},N={x|3x21},则/cN=（）

A.{x|0Wx<2}B.C.{x|3<x<16}D.j<x<161

2.（2023新高考□卷-1）已知集合Af={—2,-l,0,l,2},^={^|^2-x-6>o},则McN=

（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

3.（2022新高考□卷T）已知集合4={-1,1,2,4},2=卜卜-1区1},则（）

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

4.（2023新高考□卷2）设集合A={0,-a},B={l,a-2,2a-2},若AgB,则。=

（）.

2

A.2B.1C.-D.-1

3

5.（2023新高考口卷—7）记S,为数列{%}的前“项和，设甲：{%}为等差数列；乙：

{2}为等差数列，则（）

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

知识点总结

一、元素与集合

1、集合的含义与表示

某些指定对象的部分或全体构成一个集合.构成集合的元素除了常见的数、点等数学

对象外，还可以是其他对象.

2、集合元素的特征

（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该

集合中的元素.

（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能

重复出现.

（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关.

3、元素与集合的关系

元素与集合之间的关系包括属于（记作aeA）和不属于（记作a^A）两种.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法（韦恩图）.

5、常用数集的表示

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N.ZQR

二、集合间的基本关系

（1）子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合3中

的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合3的子集,记作A=3

（或5"），读作"A包含于3”（或“3包含A”）.

（2）真子集：对于两个集合A与3,若且存在beB，但方任人，则集合A是

集合6的真子集，记作AUB（或3£A）.读作“A真包含于3”或“3真包含A”•

（3）相等：对于两个集合A与3，如果A[3，同时3=A，那么集合A与3相等，

记作A=3・

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何

非空集合的真子集.

三、集合的基本运算

（1）交集：由所有属于集合A且属于集合3的元素组成的集合，叫做A与3的交集，

记作Ac3,即AcB={x|xeA且xe8}.

（2）并集：由所有属于集合A或属于集合3的元素组成的集合，叫做A与3的并集，

记作即AuB={x|尤eA或xeB}.

（3）补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集

合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作C^A,即

CuA={x\x&U,且Y任A）.

四、集合的运算性质

（1）Ap|A=A>AO0=0，4「3=3口4，AnBcA，AcB=B.

（2）A\JA=A，A\J0=A，=ACAUB-

（3）AC\（CuA）=0,A\J（CuA）=U，CU（CUA）=A.

（4）Ar^B=A<^>A<JB=BA^B'^BcAc%8=0

【集合常用结论】

（1）若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有2".1个，非空子集有

2"_]个，非空真子集有才_2个.

（2）空集是任何集合a的子集，是任何非空集合3的真子集.

（3）AaBoAnBuAoAUBMoQBuQA.

(4)Q(An8)=(QA)U(QB),Q(AUB)=(CVA)A(QB).

五、充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若夕,则q”为真(记作0=“)，则p是4的充分条件；同时4是p的必要条

件.

2、从逻辑推理关系上看

(1)若且44p,则p是q的充分不必要条件；

(2)若q且q=>0,则p是q的必要不充分条件；

(3)若且qnp,则P是q的的充要条件(也说p和q等价)；

(4)若q且44P>则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

六、全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量

词，并用符号“V”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M

中的任意一个x,有p(x)成立"可用符号简记为“VreM,p(x)”，读作“对任意x属于

M,有p(x)成立

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个“在逻辑中通常叫做存

在量词，并用符号表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题

“存在M中的一个飞,使p(x0)成立"可用符号简记为0cMp(%)”，读作“存在〃中

元素飞,使双毛)成立,’(存在量词命题也叫存在性命题).

七、含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题p:X/xeAf,P(x)的否定为土0cM,~^p(x0).

(2)存在量词命题p:3x0eM,p(x0)的否定为VxeM，r?(x).

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【常用逻辑用语常用结论】

1、从集合与集合之间的关系上看

设A={x|p(x)},B={x\q(x)}.

(1)若A=则p是4的充分条件(pnq),4是p的必要条件；若4雕，则p是

q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即〃=><?且“4p;

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小=大”.

(2)若3=4,则p是4的必要条件，q是p的充分条件；

(3)若A=3,则p与4互为充要条件.

名校模拟练

一、单选题

1.(2024•河南•三模)命题“玉>0,尤2+》-1>0”的否定是()

A.Vx>0,x2+.r-l>0B.Vx>0,x2+x-1<0

C.3x<0,x2+%—1>0D.3.x<0,x2+x—1<0

2.(2024・湖南长沙•三模)已知集合M={x||x[”2},N={x|lnx<l},则McN=()

A.[2,e)B.[-2,1]C.[0,2)D.(0,2]

3.(2024•河北衡水三模)已知集合4={1,2,3,4,5},B-1<Ig(x-l)<,则

AQB=()

A.j.r|^<x<5jB.{2,3,4}C.{2,3}D.卜生

4.（2024•陕西•三模）已知集合4={兄-14*42},3={尤|一%2+3%>0},则（）

A.RB.（0,2]C.[-1,0）D.[-1,3）

5.（2024•安徽•三模）已知集合4={+5"。},3={小>-2},则图中所示的阴影部

分的集合可以表示为（）

A.[x\-2<x<i^B.{x1-2VxVl}

C.{%|-5<x<-2)D.{x卜5Vx<-2}

6.（2024・湖南长沙三模）已知直线/:fcc-y+同=0,fflO:x2+/=l,则“（<1”是

“直线/上存在点尸，使点尸在圆。内”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2024•湖北荆州三模）已知集合&=旧2元-VW。},B=其中R是实数集，集

合C=则3cC=（）

A.（f0]B.（0,1]C.（-8,0）D.（0,1）

8.（2024•北京•三模）已知集合&=卜卬<1},若。公心则。可能是（）

A.-B.1C.2D.3

e

9.（2024•河北衡水•三模）已知函数/（©=（2*+“27卜inx,贝广病=1”是“函数/⑴是

奇函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既

不充分也不必要条件

10.（2024•内蒙古・三模）设a,夕是两个不同的平面，加，/是两条不同的直线，且

=/则“血是“〃"/月且根//0”的（）

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

11.（2024•北京•三模）已知&={尤隧2（尤-1）41},B=|x||x-3|>21,则4（8=（）

A.空集B.或x>5}

C.{x|xV3或x>5且xHl}D.以上者K不对

12.（2024・四川三模）已知集合&={。,3,5},B={x|x（x-2）=0）,则4口3=（）

A.0B.{0}C.{0,2,3,5}D.{0,3}

13.（2024・重庆・三模）已知集合4={无€叫/-%-2<0},2={引y=2，,xeA},则

AC\B=（）

A.（一L4）B.生］C,加D.,,"

14.（2024•北京•三模）"AABC为锐角三角形”是“sinA>cos3,sinB>cosC,

sinC>cosA”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

15.（2024・上海•三模）设lva<>,集合4={1,。,可，集合

B=^t\t=xy+^,x,yeA,x^y^,对于集合8有下列两个结论：口存在。和6,使得集合

8中恰有5个元素；□存在a和6,使得集合3中恰有4个元素.则下列判断正确的是

（）

A.□□都正确B.□；□都错误C.口错误，□正确D.□正确，□错误

二、多选题

16.（2024•江西南昌•三模）下列结论正确的是（）

A.若{尤|x+3>O}c{x|x-a<O}=0,则°的取值范围是a<-3

B.若{x|尤+3>0}c{尤|尤-a<O}=0,则a的取值范围是aV-3

C.若{x|x+3>（）2{x|x-a<0}=R,贝。的取值范围是aN-3

D.若{x|x+3>O}u{x|x-a<O}=R,则°的取值范围是a>-3

17.（2024・辽宁・三模）已知max{占,…,王}表示国,马，…,无“这”个数中最大的数.能说

明命题“Va,6,c,dwR,max{a,6}+max{c,d}2max{a,6,c,d}”是假命题的对应的一组

整数a,b,c,d值的选项有（）

A.1,2,3,4B.-3,-1,7,5

C.8,-1,-2,-3D.5,3,0,-1

18.（2024・重庆•三模）命题“存在x>0,使得,n?+2x_i>o”为真命题的一个充分不必

要条件是（）

A.m>-2B.m>-lC.m>0D.m>\

19.（2024•黑龙江齐齐哈尔・三模）已知。，人>0,则使得“a>夕’成立的一个充分条件可

以是（）

A.—<yB.|a-21>|£>—21C.a^b-ab2>a—b

ab

D.ln（a2+l）>ln（Z72+l）

20.（2024•安徽安庆三模）已知集合4=3€2--2%-8<0},集合

8={x|9工>3"：〃7wR,xeR},若AcB有且仅有3个不同元素，则实数，"的值可以为

（）

A.0B.1C.2D.3

三、填空题

21.（2024•湖南长沙•三模）已知集合4={1,2,4},3={“,〃},若=则

d—

22.（2024•上海•三模）已知集合A={0,1,2},B={x|x3-3x<1},贝1140台=

23.（2024•湖南衡阳•三模）已知集合4={。,々+1},集合8={xeN|x2-x_2V0},若

B,则〃=.

24.（2024•湖南邵阳•三模）A=^eN|log2（x-3）<2）,5=jx||^|<oj,贝lj

AQB=.

25.（2024•安徽三模）已知集合4={42,-1},3={引y=/,xeA},若AuB的所有元素

之和为12,则实数2=.

26.（2024•山东聊城•三模）已知集合4={1,5,/},3={1,3+2。},且Au8=A,则实数。

的值为.

27.（2024・重庆•三模）已知集合4=卜|尤2-5x+6=。},8={尤［-1<X<5,XCN},则满足

AcCOS的集合C的个数为.

28.（2024・天津•三模）己知全集。=口©^|》<7},集合A={1,2,3,6},集合

3={xeZ|W<5},则@4）口2=，A\JB=

29.（2024•山东泰安•三模）已知集合A=无一<0,B={x|log2x>«）若

3三（条力，则。的取值范围是.

30.（2024咛夏银川三模）已知命题p：关于x的方程犬-办+4=0有实根；命题q：

关于》的函数〉=143（2炉+办+3）在［3,+8）上单调递增，若“p或q”是真命题，“。且q”

是假命题，则实数。的取值范围是

参考答案与详细解析

:考情分析

命题解读考向考查统计

1.高考对集合的考查，重点是2022•新高考口卷，

集合间的基本运算，主要考查1

集合的交、并、补运算，常与2023•新高考□卷，

一元二次不等式解法、一元一1

交集的运算

次不等式解法、分式不等式解2024•新高考口卷，

法、指数、对数不等式解法结1

合.2022•新高考口卷，

2.高考对常用逻辑用语的考查1

重点关注如下两点：2023•新高考口卷，

根据集合的包含关系求参数

（1）集合与充分必要条件相2

结合问题的解题方法；2023•新高考□卷，

充分必要条件的判定

（2）全称命题与存在命题的7

否定和以全称命题与存在命题全称、存在量词命题真假的2024•新高考口卷，

为条件，求参数的范围问题.判断2

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考口卷未考查集合，口卷依旧考查了集合的交集运算，常用逻辑

用语在新高考口卷中考查了全称、存在量词命题真假的判断，这也说明了现在新高考

“考无定题”，以前常考的现在不一定考了，抓住知识点和数学核心素养是关键！集合

和常用逻辑用语考查应关注：（1）集合的基本运算和充要条件；（2）集合与简单的不

等式、函数的定义域、值域的联系。预计2025年高考还是主要考查集合的基本运算。

三：试题精讲

1.(2024新高考□卷—1)已知集合4={尤|-5</<5},8={_3,-1,0,2,3},贝=

()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2)

【答案】A

【分析】化简集合A,由交集的概念即可得解.

【详解】因为A={x|-为<x(出},8={-3,-1,0,2,3},且注意到1〈为<2,

从而49={-1，0}.

故选：A.

2.(2024新高考口卷2)已知命题p：VxeR,I无+1|>1；命题q：3x>0,x3=x,则

()

A.p和q都是真命题B.父和q都是真命题

c.p和r都是真命题D.f和r都是真命题

【答案】B

【分析】对于两个命题而言，可分别取x=T、*=1,再结合命题及其否定的真假性相

反即可得解.

【详解】对于P而言，取x=T,则有旧+[=。<1,故P是假命题，刃是真命题，

对于4而言，取x=l,则有无3=]3=]=无，故q是真命题，F是假命题，

综上，力和q都是真命题.

故选：B.

高考真题练

1.(2022新高考口卷T)若集合M={x]«<4},N={x\3x>l},则McN=()

A.{x|0W尤<2}C.{x|3<x<16}D.sx—<x<16

【答案】D

【分析】求出集合M,N后可求McN.

【详解】M={x\Q<x<X6],N={x\x>^i,故McN={x《4x<16

故选：D

2.(2023新高考口卷-1)已知集合河={—2,-1,0,1,2},N={x\^-x-6>o\,则McN=

()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为汩卜卜2一.6训=(-8,-2]33,+8),而,={—2,—1,0,1,2},

所以McN={-2}.

故选：C.

方法二：因为M={-2,-l,0,l,2},将-2,-1,0,1,2代入不等式Q—>620,只有-2使不

等式成立，所以McN={-2}.

故选：c.

3.(2022新高考□卷T)已知集合4={-1,L2,4},2=,卜-1|41},则()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【分析】方法一：求出集合B后可求Ac瓦

【详解】［方法一卜直接法

因为3={x|0Wx42},故AHB={L2},故选：B.

［方法二］:【最优解】代入排除法

尸-1代入集合2=国尤-1区1},可得2V1,不满足，排除A、D；

x=4代入集合2=卜卜-1区1},可得3<1,不满足，排除C.

故选：B.

【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解.

4.(2023新高考□卷2)设集合A={0,-。},B={l,a-2,2a-2\,若则。=

().

2

A.2B.1C.；D.-1

3

【答案】B

【分析】根据包含关系分。-2=0和2a-2=0两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为4。星则有：

若＞2=0,解得°=2,此时4={0,-2},3={1,。,2},不符合题意;

若2a-2=0,解得a=l,此时A=｛0,-L｝,B=符合题意;

综上所述：a=l.

故选：B.

5.(2023新高考口卷-7)记5,为数列｛风｝的前〃项和，设甲：｛q｝为等差数列；乙：

｛邑｝为等差数列，则()

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与

第n项的关系推理判断作答.，

【详解】方法1,甲：｛4｝为等差数列，设其首项为由,公差为(

i„“("-1),S”n-l,ddS“+]S“=d

贝m(ijS=nci^H----------d,—=qH-------d=一”+q

n"2n222)n+1n2

因此｛2｝为等差数列，则甲是乙的充分条件；

n

反之，乙：｛2｝为等差数列，即“■■区/必用-。;1电=〃。一:"为常数,设为乙

nn+1nn(n+Y)n(n+l)

即""广："=，,则S“=〃a“+i_/•〃(〃+1),有S“_1=(〃-1)。"-人〃(〃-1),〃*2,

w(w+l)

两式相减得：a”=%+i-("-1)。“-2”?,即%+[-a“=2f,对”=1也成立,

因此｛4｝为等差数列，则甲是乙的必要条件,

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛风｝为等差数列，设数列｛%｝的首项%,公差为d,即

Cn(n-l)

="%+--—d,

则&=q+纥=9+因此｛2｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222n

反之，乙：｛%为等差数列，即辿-&=。,&=廿+5-1)。，

nn+1nn

即Sn=ns1+n(n-1)D,S,」=(〃-1)^+(〃-1)(〃-2)D,

当2时，上两式相减得：S“-S“T=H+2(〃T)。，当”=1时，上式成立，

于是%=4+25-1)。，又%-%=%+2九［q+2("-1)。］=2D为常数，

因此｛4｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

知识点总结

一、元素与集合

1、集合的含义与表示

某些指定对象的部分或全体构成一个集合.构成集合的元素除了常见的数、点等数学

对象外，还可以是其他对象.

2、集合元素的特征

(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该

集合中的元素.

(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能

重复出现.

（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关.

3、元素与集合的关系

元素与集合之间的关系包括属于（记作aeA）和不属于（记作。eA）两种.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法（韦恩图）.

5、常用数集的表示

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N.ZQR

二、集合间的基本关系

（1）子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合3中

的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合3的子集，记作A=3

（或BqA）,读作“A包含于3”（或“3包含屋）.

（2）真子集：对于两个集合A与3，若AgB，且存在beB，但6任&，则集合A是

集合3的真子集，记作At）2（或.读作“A真包含于3”或“3真包含A

（3）相等：对于两个集合A与3,如果4=8，同时3=4,那么集合A与3相等，

记作4=3•

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何

非空集合的真子集.

三、集合的基本运算

（1）交集：由所有属于集合A且属于集合3的元素组成的集合，叫做A与3的交集，

记作Ac5,即AcB={x|元eAJLxeB}.

（2）并集：由所有属于集合A或属于集合3的元素组成的集合，叫做A与3的并集，

记作即Au8={x|xwA或xe8}.

（3）补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集

合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作C%,即

CuA=[x\xGU,SJCeA}.

四、集合的运算性质

(1)4八4=4，AD0=0，AAB=gr|A，Ac3=A，AcB=B.

⑵A\JA=A>A\J0=A>AUB=3UA，A=AD3，B=ADB.

(3)AH(CvA)=0,AU(QA)=U，CU(CUA)=A.

(4)AryB=A<^>A<jB=B<^A^B<^>'j^Bc^AoAc%8=0

【集合常用结论】

(1)若有限集A中有"个元素，则A的子集有2,个，真子集有2"-1个，非空子集有

2〃_1个，非空真子集有2"一2个.

(2)空集是任何集合a的子集，是任何非空集合8的真子集.

(3)A^B^AC\B=A^A\JB=B^CVBCQA.

(4)C0(An8)=(QA)U(Q8)，Q(AUB)=(CVA)Q(QB)•

五、充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若p,则二'为真(记作0=4),则p是夕的充分条件；同时夕是p的必要条

件.

2、从逻辑推理关系上看

(1)若°=>q且44p,则p是q的充分不必要条件；

(2)若q且q=>0,则p是q的必要不充分条件；

(3)若p=>q且q=>0,则p是q的的充要条件(也说p和q等价)；

(4)若4且44p，则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

六、全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量

词，并用符号“V”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M

中的任意一个X,有p(元)成立“可用符号简记为“读作”对任意x属于

M,有p(x)成立

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存

在量词，并用符号表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题

“存在"中的一个％,使p(x0)成立"可用符号简记为“可wMP(x。)”，读作“存在M中

元素%,使p(x0)成立“(存在量词命题也叫存在性命题).

七、含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题p:VxeAf,p(x)的否定r?为加wM,~^p(x0).

(2)存在量词命题p:3x0eM,p(x0)的否定为VxeMrXx).

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【常用逻辑用语常用结论】

1、从集合与集合之间的关系上看

设A={x|p(x)},8={x|g(x)}.

(1)若A=B,则p是夕的充分条件(0=4),q是p的必要条件；若则p是

4的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即p=q且4乙p;

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小二大”.

(2)若则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

(3)若A=3,则p与q互为充要条件.

名校模拟练

一、单选题

1.(2024•河南•三模)命题“土>0户2+了_1>0”的否定是()

A.Vx>0,x2+x-1>0B.Vx>0,x2+x-1<0

C.3X<0,X2+X-1>0D.3^<0,x2+x-1<0

【答案】B

【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.

【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，

即命题”即>0,x2+x-l>。”的否定为“Vx>0,x2+x-l<0,5.

故选：B.

2.(2024・湖南长沙•三模)已知集合M={x|国,,2},N={x|lnx<l},则McN=()

A.[2,e)B.[-2,1]C.[0,2)D.(0,2]

【答案】D

【分析】由对数函数单调性解不等式，化简N,根据交集运算求解即可.

【详解】因为M千2,2],N=(O,e),

所以MnN=(O,2].

故选：D.

3.(2024•河北衡水•三模)已知集合人={1,2,3,4,5},B=L|-1<Ig(x-l)<4,贝I」

A[}B=()

A.|x[^<x<51B.{2,3,4}C.{2,3}

D.x[<x<3

【答案】B

【分析】求得8=卜年"4加+“，可求AcB.

【详解】B=1x|-l<lg(x-l)<|j=|x|^<x<Vi0+lj

又4={1,2,3,4,5},故488={2,3,4},

故选：B.

4.(2024•陕西•三模)已知集合4={乂-14*42},8=卜|一/+3%>0},则473=()

A.RB.(0,2]C.[-1,0)D.[-1,3)

【答案】D

【分析】先解一元二次不等式求出集合凡再根据集合并集定义计算即可.

【详解】由-炉+3*>0,解得0<x<3,所以集合3={x[0<x<3},

所以Au8={尤|-14元<3},所以AuB=[T3）.

故选：D.

5.（2024・安徽•三模）已知集合人={+56<1},B={x\x>-2},则图中所示的阴影部

分的集合可以表示为（）

A.{%|-2<%<1}B.{x|-2<x<l

C.{%|-5<x<-2}D.{尤卜5Vx<

【答案】C

【分析】图中所示的阴影部分的集合为4BeA,结合集合的运算即可得解.

【详解】由图可知，阴影部分表示的集合的元素为A,

而A={x|—5WxV1},8={x|x＞—2},贝瑜8={x|xV-2},

＜^BnA={%|-5＜%＜-2],

故所求集合为

故选：C.

6.（2024•湖南长沙•三模）已知直线/:fcc-y+恒=0,fflO:x2+/=l,则“左＜1”是

“直线/上存在点尸，使点尸在圆。内”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由直线与圆相交可求得-则通过判断-1〈左＜1与左＜1的关系可得答

案.

【详解】由直线/上存在点尸，使点尸在圆。内，得直线/与圆。相交，即

VF+1

解得即林

因为后＜1不一定能得至（J-1〈左＜1,而一1〈左＜1可推出上＜1,

所以“人＜1”是“直线/上存在点P,使点P在圆。内”的必要不充分条件.

故选：B

7.（2024•湖北荆州•三模）已知集合力=何2>/40},B=^A,其中R是实数集，集

合。=（一力』，则3cC=（）

A.（f0]B.（0,1]C.（-8,0）D.（0,1）

【答案】B

【分析】解出一元二次不等式后，结合补集定义与交集定义计算即可得.

【详解】由2x-fV0可得x4。或x»2,则B='A={x[0<x<2},

又。=（一力』，故BcC=（O,l].

故选：B.

8.（2024•北京•三模）已知集合4={珅1«<1},若。范人则。可能是（）

A.-B.1C.2D.3

e

【答案】D

【分析】解对数不等式化简集合A,进而求出。的取值集合即得.

【详解】由lnx<l,得0cx<e,则A={x[0<x<e},4A={x|xW。或2e},

由a走A,得ae”，显然选项ABC不满足，D满足.

故选：D

9.（2024•河北衡水三模）已知函数/。）=（2"+〃"2r卜inx,贝产疗=/，是“函数了⑺是

奇函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既

不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由函数/(X)是奇函数，可求得〃2=1,可得结论.

【详解】若函数了⑺是奇函数，

贝(J/"(x)+/(—x)=(2"+底2-*卜也》一(2一“+wj-2")sinx=(I—"z)(2"—2-，sinx=0恒成立，即

m=l,

而〃，=1,得%=±1.

故“m2=1”是“函数/⑺是奇函数”的必要不充分条件.

故选：B.

10.(2024•内蒙古•三模)设a,夕是两个不同的平面，加，/是两条不同的直线，且

［。尸=/则“加〃/“是“///且机//£”的()

A.充分不必要条件B.充分必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据题意，利用线面平行的判定定理与性质定理，结合充分条件、必要条件

的判定方法，即可求解.

【详解】当机〃/时，〃可能在a内或者夕内，故不能推出机〃〃且"〃3,所以充分性

不成立；

当机〃，且1时，设存在直线〃ua,nu/3,旦,

因为机/力，所以“〃£,根据直线与平面平行的性质定理，可知〃〃/,

所以机///,即必要性成立，故"是“5//且初/<z”的必要不充分条件.

故选：C.

11.(2024•北京•三模)已知4={尤隧《一1)<1},B={x||x-3|>2},则40台=()

A.空集B.{x|xV3或x>5}

C.{x|xW3或X>5且XH1}D.以上者E不对

【答案】A

【分析】先求出集合A,2,再由交集的定义求解即可.

【详解】4={司1。82(苫-1)41。822}={尤|0<》一1〈2}={尤[1<尤43},

B=^x\x—?>>2或x-3<-2}={引尤<1或%>5},

所以Ac3=0.

故选:A

12.(2024•四川•三模)已知集合4={0,3,5},B={x|x(x-2)=0),则加3=()

A.0B.{0}C.{0,2,3,5}D.{0,3}

【答案】B

【分析】将集合B化简，然后结合交集的运算，即可得到结果.

【详解】由题意3={#(*-2)=0}={0,2},所以4。3={0,3,5泊{0,2}={0}.

故选：B.

13.(2024・重庆•三模)已知集合4=卜€吗/__¥_2<0},3={引y=2，,xeA},贝lj

AAB=()

A.(T4)B,Q,l]C,目D.g,"

【答案】D

【分析】解一元二次不等式求解集合A,根据指数函数单调性求解值域得集合B,然

后利用交集运算求解即可.

2

【详解】A={xGR|x-x-2<0}={xGR|(x-2)(x+l)<0}={xeR|-l<x<2}=(-l,2),

贝!|B={y|y=2",xe（_l,2）}=<jy］；<y<4:=1g,4j,

所以A「3=（q,2）.

故选：D

14.（2024•北京•三模）"AABC为锐角三角形”是“sinA>cos3,sinB>cosC,

sinC>cosA”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据诱导公式及正弦函数的单调性，再结合充分条件和必要条件的定义即可

得解.

【详解】充分性：

因为AASC为锐角三角形，

所以A+B>5，即—8>0,

所以sinA>sin一吕）=cosB,

同理可得sin3>cosC,sinC>cosA,

故充分性得证；

必要性：

因为sinA>cos3,所以sinA>sin,-g1,

因为0<3<兀,所以三苫-2苫，

若A*,则4+8嗫

若AV],则所以A+2>5,

综上，A+B,，

JTTT

同理B+C>5，A+C>5，

所以AMC为锐角三角形，

必要性得证，

综上所述，为充分必要条件.

故选：c.

15.（2024•上海•三模）设1<。<6,集合A={l,a,6},集合

B=^t\t=xy+^,x,yeA,x^y^,对于集合8有下列两个结论：口存在a和6,使得集合

3中恰有5个元素；□存在a和b,使得集合3中恰有4个元素.则下列判断正确的是

()

A.□□都正确B.□□都错误C.□错误，□正确D.□正确，□错误

【答案】A

【分析】由题意可知2av2b,Q~\—<Z?H—<db—vab—,对于□举例分析判断即可,

abba

对于口，若b,贝！16+1=2后，然后构造函数，利用导数结合零点存性定理

ab

2b=ab+-

[b

可确定出6,从而可进行判断.

【详解】当尤=l,y=a时，t=xy+2=Q+a=2Q,

x

当％=l,y=Z?时，t=xy+—=b+b=2b

x9

当％=a,y=l时，t=xy+—=a+—,

xa

y匕

x=a,y=b,t—xyH——ab—,

xa

当％=〃,y=l时，t=xy+—=b+—,

xb

、“7y1a

当％=/7,y=Q时，t=xy+—=ab+—

xb9

氏|大J1va<b,月f以2Q<2b,QH—<bT—<ab—<ab—,

abba

当a=',b=\/3时，2a=3,2b=2A/3,6/+—=—+—=—=^3+-4==4A,

2a236bJ33

加"三号，=1后ab+/"+上当=26,

所以8=9,2后层百A的,有5个元素，所以口正确,

2a=b+—

b则46=I":得Z?+g=2指

若,|,,

।b

2b=ab+—

b

ii__i_

2

令/0)=彳+—2«(%>1),贝！|f\x)=1T-x(x>l),

XX

i21--

令g(x)=l——--X