2025高考数学二轮复习：非对称韦达定理 专项训练【含答案】

微专题43非对称韦达定理

［考情分析］圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，非对称韦达定理的应用在高考中

经常出现，常以解答题的形式压轴出现，难度较大.

-思维导图

圆锥曲线的方程」L两根之比型

必备一常见

直线方程一非一系数不等型

知识对题型

韦达定理」称「分式上、下不对称型

韦

达

化对称一定

理p忽略直线斜率不存在的情况

必备一常见

和积转化-七忽略参数的范围

解法误区

配凑半代换一

典型例题

考点一两根之比型

【典例1】设椭圆C：1(心6>0)的左焦点为R过点/的直线/与椭圆C相交于n,B

两点，直线/的倾斜角为60。，AF=1FB,求椭圆。的离心率.

解设4gyi)95(x2,y2),由题意知”>0,歹2Vo.

直线/的方程为y=S(x+c),其中°=寸层一扶,

卜=Sa+c),

联立

1,

得(3次+〃)产-2sb2少一3〃=0,

韶62(。+2〃)_yj3b2(c—2a)

解得yi,yi

3层+左3a2+b2

因为4尸=2方瓦所以刃=一292,

,\[3b2(c+2a)_\[ib2(c—2a)

即・------=-2-------.

3。2+炉3a2+b2

整理得，离心率e=—=—

a3

非对称处理方法一

由韦达定理得力+夕2=坐"，3〃

3az+bz3tz2+62

由4F=2必，得刃=一2》2,

21

即8=—2,所以"+若即(yi+yi)

歹2y2yi2yiy22

则----理吠一=-I,整理得8c2=34+尻，即9c2=4层,

(3a2+b2)-3b42

弓=2

所以e=

a23

C主】方法一铲=—2取倒数相加，得到以十/=一,，这样处理将不对称式转化为对称式,

yi歹2yi2

就可以将韦达定理的结果整体代入了.

非对称处理方法二

yi+y2=—y2,

由yi=-292,得

yiyi=~2yi.

(yi+y2)2(-y2)21

则

VU2~2yl2

=2a2c

yi+y2

3Q2+62,

将3〃

产=一力的，

[2收2。

13a2+办

1

代入上式，得一次

2,

3层+按

12b%21

3a1+b22

整理得e=2

3

【注】方法二是利用条件"=-2H，得到勿+H与加为的关系改±注=—1,然后就可以用

y\y22

韦达定理处理了.

非对称处理方法三

,2®%

将歹1=一2心代入3〃

'2c

一》_3a2+居

得‘3〃

3tz2+/)2

r

123b2、4

消去H，得213层十对2=T^,

3az+bz

整理得e=2

3

C主】方法三是逐个消掉"，了2,其实就是代入消元法.

跟踪训练1设双曲线C：三一产=1(°>0)与直线/：x+y=l相交于不同的点/,B,设直线/

与y轴的交点为尸，且弘=吉尸5,求Q的值.

解易得尸。1),设4(制，yi),5(X2,歹2)，

—

故B4=(xi,yi-l)9PB=(X2,y21).

由双曲线。与直线/相交于两个不同的点,

X22一

口一歹=1，

联立,“得(1—〃2)X2+2Q2X—2Q2=(),

y=-x+1,

M.2a22a2

故Xl十X2=--------X1X2=------------；,

l-azl-az

且1—dPwo.

由F4=★尸5,知(Xl,g-1)=\(X2,方―1),

MX\=-X2,由X1=*X2得皂=*,

1212X212

取倒数相加，得型+卷=*+起,

X2xi125

，+里+2=&+被,2

125X2xiX1X2

即(41+%2)2=289

X1X260

将%1+%2=---叁7，工代入上式,得一二二手,解得

1—6Z2

考点二系数不等型

【典例2】已知抛物线C产=4%与定点尸(2,1),直线/过点尸且与抛物线交于4B两点,且

有力=1诵,求直线/的斜率.

7

4a1,5(x2,J2).

解设yi)9

方法一由必可得7>1+/=8,即/=—7/+8,

引入待定系数九使得方一1=231—1),

易得丸=—7,即/一1=—7。1-1).

因为力一1W0,所以匕匚=—7.

加一1

取倒数相加，得—7」=…+…=eLD2+J—l)2,

7yi-l"一］(yi—l)(j2-1)

所以£=S+H-2)22.

7歹必一。1+玖)+1

设直线/：x—2=m(y—1),与抛物线C：产=4%联立可得产一4叼+4冽一8=0,

则H+H=4冽，＞U2=4加-8,

代入前面的式子中可得16.—16冽+4=一韭

7

解得加=2或加=—1,所以直线/的斜率为1或-1.

2

方法二设4(xi,/),B(X2,/),直线/：x—2=m(y—l),

与抛物线C：炉=4x联立可得/-4加y+4加-8=0,

则巾+^2=4加，y\y2=4m—8.

~►1—►

由/尸可得H=-7yi+8,

代入上面两式，得ji+72=_6ji+8=4m,

4—。vyi

解得刃=---,又次及=—7货+80=4机一8.

C4—2m\

所以一7「T^2+8♦匕冽=4加一8,

3

解得加=2或加=—1.

所以直线/的斜率为;或T

跟踪训练2如图，在平面直角坐标系。初中，焦点在x轴上的椭圆C：1+，=1经过点

,且标=8,经过点7(1,0)作斜率为网上＞0)的直线/交椭圆C于/,3两点(4在x轴下

方）•

(1)求椭圆。的方程;

(2)过点。且平行于/的直线交椭圆于M,N两点，求胃料的值；

⑶记直线/与y轴的交点为尸，若力=泌求直线/的斜率左的值.

解(1)因为椭圆C：：+,=1经过点［乩1,

Z）2।c2_

所以8十2〃一1.

又层=62+,2,则^+1!=1,

82b2

解得分=4或加=8(舍去).

所以椭圆。的方程为芷十丁=1.

84

(2)设4(xi,yi),5(%2,歹2).

因为7(1,0),则直线/的方程为》=义》-1).

y=k(x-1),

联立直线I与椭圆方程得柄2।方_1

I—1,

184

消去必得（2左2+l）N—4Nx+2a一8=0,

所以=f

21c1+12左2+1

因为MN〃l,所以直线肱V的方程为^=布,

y=Ax,

联立直线MN与椭圆方程得定+丁=1

.84'

消去丁得(2左2+l)N=8,

8

解得N=

2a+1

因为MN〃l,

所以|47]|571=（1—xi＞（x2-1）

|M^|2（XM~XN）2

7

因为（1—X1）,（X2-1）=~[X1X2—（Xl+x2）+1]

2左2+1

32

（XM一1N）2—4x2=

2『+1

所以|4』|34=（1—制）・（%2—1）=7

\MN\2（XM-XN）232

(3)在歹=左。一1)中，令x=0,则^=一左，所以尸(0,—k),

从而/尸=(—xi,—k-y\)9TB=(xi—1,y2),

因为崩=j/，所以一Xl=jx2—1),

即Xl+；X2=j①

4万2„

Xl+X2————，②

2k2+1

由(2)知‘2A2—8

XiX2c,,③

.2左2+1

一4产+216产一2

由①②得XI

3(2左2+1)3(2产+1)'

代入③式，整理得50A4—83产—34=0,

解得产=2或小=—黑(舍).

又因为左＞0,所以左=也.

考点三分式上、下不对称型

【典例3】如图，设尸为椭圆C：：+产=1的右焦点，过点(2,0)的直线/与椭圆C交于/,B

两点.

(1)若点2为椭圆C的上顶点，求直线/尸的方程；

(2)设直线NRAF的斜率分别为41,奴上2手0),求证：也为定值.

左2

⑴解由题意得直线N2的方程为:十7=1,即＞=一；+1,

Xi1

y~2+i，

联立得-x2-x=0,

H+J，4

解得x=0或x=±

3

所以/(j，J,而尸(1,0),所以自F=l.

故直线AF的方程为y=x-l.

(2)证明设直线48的方程为x=my+2,A(xi,71)»B(X2,y2),

x=my-{-2,

联立

―"ry2—1,

12

得（加2+2»2+4叼+2=0,则/>0.

由韦达定理可得力+/=—.（*）

mz+2m2+2

求解目标为&=2二1=竺恒二D=吧"

女2.2y2（xi-l）myiy2+y2

X2~l

yi,方的系数出现了不对称，可用如下处理手法.

非对称处理方法一（PU2转化为yi+y2）

由（*）两式相除，可得/+"=-2myiy2,

所以叼必=一"；",

切1歹2十歹1_2______ji-yi

所以夕1.

左2my\y2~\~y2yi+v2,H-yi

―2---

C主】yi+y2,HN2中,把yiy2转化成yi+/.

非对称处理方法二（yi,”保留yi）

k\_my\yi+y\_my\yi+y\_^+2"_m2+2.

一=------=--------------=-------------=-------=-1

左2myxyi+yimy\yi+（yi+y2）~yi2m4m—2m

--------------yiyi

m2+2m2+2-----m2-\~2

C主】yi,H保留一个，分子、分母统一保留yi,故在分母处配yi+玖.

非对称处理方法三（yi,又保留方）

2m4m2m

k\=切必+歹1=加歹必+⑦+㈤一/=冽2+222+2=冽2+2

左2myxyi+yimyxyi+yi2m.2m.

■-IT—十,2-r;一十歹2

m2+2m2+2

C主】yi,又保留一个，分子、分母统一保留方，故在分子处配/+以.

非对称处理方法四（暴力求根）

由求根公式得y=一2加士12/-4,不妨设v_—2m+^/2m2~4_—2m—ylm2-4

22

m2+2m+2'm+2

2m।2m―2m+,X/zm2-4

,------ryi

加玖理+/=冽2+2m2+2m2+272nl2—4

1.

myxyi+yi2m.21n

~:ry2

冽2+2/m2+2m2+2

C主】首先结合韦达定理化去外外，然后暴力求根代入外，歹2,将分子、分母都用含冽的式子

表示，逐步消元得到结果.

22

跟踪训练3如图，在平面直角坐标系。沙中，已知椭圆C：：+：=1的左、右顶点分别为

A,B,过右焦点厂的直线与椭圆C交于点P,。(点尸在工轴的上方).设直线4P,BQ,BP

的斜率分别为左1，左2,依.

(1)求证：无依为定值；

(2)是否存在常数九使得左1=法2?若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.

⑴证明设尸(xi,yi),0a2,歹2),直线尸。的方程为1=卯+1,代入椭圆方程,

得(4+3m2)y2-\-6my—9=0,

从而"+芹=工^'一9

4+3加2

22K歹纨

于是k2k3

X2一2xi—2(%2一2)(x1一2)

y2yl

因此k2k3=

(myi—1)(myi-1)m2y\y2—m(y\+1

将刃十歹2,j必代入，化简得左2左3=一：,

故左2角为定值.

(2)解假设存在常数九使得任=江2,

&一2叩I/—yi

则2=k\yi

foxi+2y2my\y2~\~^y2

方法一(消")

因为"四殳二”，—9

切必+3丁24+3m2

-9

m--7-1---

所以-4+3加2

-9

m卜--3-y-2---

4+3m2

又“石舞,从而以—6m

P2,

4+3m2

|—6m

—3m.

一；十》2

于是九=4±3注-------------4+3冽21

—9m।.~9mic3’

~~+3y2；---；+3j2

4+3m24+3m2

方法二（积化和）

、3

因为my\y2—~（y\+j;2）,

3

k\my\yi—y\21

所以a=

左2myxyi-V3yi33

-(yi+^2)+3j2

方法三（和化积）

、3

因为叼U2=5（yi+»2）,

2

即y1+y2=^my\y2,

k\my\yi—y\町iH—(yi+H)+H_5叼曲+j21

所以2=

上2myxyi+3yimyxyi+3yi3

加歹必+3歹2

方法四（升嘉）

因为4•红二

xi+2y2

所以.叵戈.

（XI+2）2yi

由定+式遐+立=1,

4343

—il,货=3

得行=31

(X2—2)2

(2-xi)(2—X2)_4-2(xi+%2)+%i%2

于是N=(X2

8+2)230(2+%1)(2+%2)4+2(xi+%2)+%1%2

当直线P。的斜率不存在时，X1=X2=1,此时％=；；

当直线尸。的斜率存在时，设尸。：y=k（x~\\

22

代入椭圆方程亍+：=1,得（4乃+3）N—8—+4产—12=0,

8产4^-12

从而Xl+X2=X\X2

4左2+34F+3

8F।4R—12

4-2-

4左2+34产+3

于是=1,即九=1

8杉।4左2—1293

4+2-

4尸+34^+3

综上所述，A=-.

3

方法五(换k)

因为后止3=-3,即后3=----

44左1

9

而k2k3二—,

4

所以4214后］=一',从而，=3,则4=1.

4k\3

［总结提升］

在解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题中，在遇到直线与圆锥曲线联立转化为一元二次方

程，得到韦达定理后，发现不能直接应用韦达定理，这类问题叫做“非对称韦达问题”，处

理这类问题常用两种方法，一是和积转换法，二是配凑半代换法.

^^5®

1.已知圆C：(x+l)2+/=8,定点/(1,0),M为圆上动点，点尸在4W上，点N在CM上，

且满足茄'=2成，标•施=0,点N的轨迹为曲线£.

⑴求曲线E的方程；

⑵过定点/(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G,//(点G在点下,8之间)，且满足眉=苏力,

求义的取值范围.

解⑴；京=2亦NPAM=Q.

为的垂直平分线，=

又：|CW+pW|=2也，：.\CN\+\AN\=2\f2>2,

动点N的轨迹是以点C(—1,0),/(1,0)为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a=2仍，焦距2c

=2,即4=/，0=1,则炉=1.

曲线E的方程为止+产=1.

2

(2)当直线G/Z斜率存在时，设直线GH的方程为了=丘+2,代入椭圆方程:+产=1,

得匕Jx2+4fa:+3—0,

由/>0得.设Ggyi),H(X2,为)，

一4左-8k

则X1+X2=T~

~+k21+2乃

2

—」6

X\X1—11,②

-+k21+2R

2

U：FG=XFH,/.（xi,刃—2）=4（X2,方一2）,

.\X1=XX2,.*.A=­.

X2

f^+i+2=3（n^）=

4<2+1+2VK,解得1<%<3且丸W1,

233

VO<2<1,・・・％vl.

3

又当直线HG斜率不存在时直线方程为％=0,FG=-FH,A=-,

33

.」Wkl,j*0.

3

2.已知椭圆C：:+,=l(心6>0)的离心率为J短轴长为2^.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设4,8分别为椭圆C的左、右顶点，若过点P(4,0)且斜率不为0的直线/与椭圆。交于

M,N两点，直线与3N相交于点。.证明：点Q在定直线上.

⑴解因为椭圆的离心率为热

所以,=1,所以a=2c,

a2

又26=2/，所以6=3.

因为b2=a2—c2=3c2=3,

所以c=l,。=2,

所以椭圆C的方程为芷十芷=1.

43

（2）证明方法一设直线MV：x=ty+4,M（xi,yi）,Ng,㈤,

x="+4,

可得(3?+4»2+24亚+36=0,

,——24%

yi十玖=1—，

3F+4

所以

MM36

直线4M的方程为歹=」^一(x+2),①

xi+2

直线5N的方程为y='^(x—2),②

X2—2

由对称性可知，点。在垂直于X轴的直线上，

联立①②可得》=生"金也

3y2—n

因为g”

yiy23

所以九一2—必+6y2+2)i—3(y1+H)+⑶2+2H一1

3y2—yi3y2—yi

所以点。在直线x=l上.

方法二设M(X1,H),Ng»2),。(%3,力)，Xi,X2,X3两两不等,

因为尸，M,N三点共线，

221MM

所以A——/■彳二凫4j=314j

222

xi-4%2-4(制-4)2(%2—4)(xi—4)(%2—4)

整理得2XI%2—5(xi+%2)+8=0.

又4M,0三点共线，有J一=产一，①

又3,N,。三点共线，有‘^=」^,②

X3—2xi-2

将①与②两式相除得

卜3+2]

士+2=歹2(修+2)/口"^|,=支(修+2)2

X3—2J?1(X2—2)货(工2—2)2

__9(XI+2)2=(X2+2XXI+2)

3U3-2)28-2)3-2)

_%1%2+2(工1+%2)+4

X\X2—2(%1+%2)+4

将2X1X2—5(X1+%2)+8—0,即X1X2—~(x1+X2)—4,

卜3+2]

代入得Q—力2=9,

解得X3=4(舍去)或X3=l(因为直线BQ与椭圆相交，故X3W4),

所以。在定直线X=1上.

3.已知椭圆E的左、右焦点分别为Fi(-c,0),尸2(。,0)(。＞0).点N在/上，NFiLFxFi,丛NF1F2

的周长为6+4/，面积为1°.

3

(1)求石的方程；

(2)设£的左、右顶点分别为4B,过点(？°)的直线/与£交于C,。两点，记直线NC的

斜率为后，直线8。的斜率为.(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并

解答).

①求直线AC和BD交点的轨迹方程；

②是否存在常数小使得质=求2恒成立？

③过点C作关于x轴的对称点C',连接C'。得到直线/i,试探究：直线/1是否恒过定点.

2Q+2C=6+4也，

解(1)依题意，得_1

'7-2c—————c—~c,

2aa3

〃+c=3+2也，

即,尤=L

a3,

a2=9,

解A得「

b2=h

所以£的方程为：+俨=1.

(2)选择①.

设直线/的方程为X=W+Q,C(XI,y\)9D(X2,H),

r2

"r=1,

联立方程’3

工=夕+鼻，

化简整理，得4(—+9»2+12)—27=0,

,一3t

州+〜2+9'

由韦达定理得‘-27