2024年中考数学题型突破：二次函数与圆的问题（专项训练）

类型十二二次函数与圆的问题(专题训练)

1.(2023•浙江温州•统考中考真题)如图1,为半圆。的直径，C为54延长线上一点，CD

3

切半圆于点。，BELCD,交CD延长线于点E,交半圆于点尸，已知。4=^,AC=1.如

图2,连接AF,尸为线段AF上一点，过点尸作BC的平行线分别交CE,BE于点M,N,

过点尸作尸于点设尸H=无，MN=y.

(1)求CE的长和》关于x的函数表达式.

(2)当PH<PN,且长度分别等于PH,PN,。的三条线段组成的三角形与ABCE相似时,

求。的值.

⑶延长PN交半圆。于点Q,当=-3时，求MN的长.

…小八、16254

【答案】⑴CE=《，y=-—x+4

“、162760

⑵行或而或新

⑶“

8

CDCO

【分析】(1)如图1,连接O。，根据切线的性质得出QDLCE,证明得出三=*

CECB

即可得出CE=¥；证明四边形APMC是平行四边形，得出誓=丝，代入数据可得

5BCCE

yx+4；

12

(2)根据ABCE三边之比为3:4:5,可分为三种情况.当尸N=3:5时，当PH:PN=4:5

时，当PH:PN=3:4时，分别列出比例式，进而即可求解.

Y1

(3)连接A。，BQ,过点。作QGLA3于点G,tanZBQG=tanZQAB=-=得

3x3

出BG=；QG=；尤，由+=可得x=g,代入(1)中解析式，即可

求解.

【详解】(1)解：如图1,连接0。.

E

:.ODICE.

3

・.,0A=—,AC=1,

2

0C=-

2f

：.CD=2.

■:BELCE,

：.OD//BE,

.CDCO

^~CE~~CB"

5

即2=2，

CE-4

如图2,ZAFB=NE=900,

・•・AF//CE.

・・・四边形APMC是平行四边形,

sinZ1sinC33

5

MN_ME

~BC~~CE

165

———x

・53

>•2-一

416

y

…-竺x+4.

12

25

（2）・・・PN=y—1=—石％+3,PH<PN,△BCE三边之比为3:4:5（如图2）,

・・・可分为三种情况.

i）当PH:PN=3:5时,

5255

PN=-PH,——x+3=—%,

3123

4

解得x

.416

・・Q=-X=---.

315

ii）当PH:/W=4:5时，

5255

PN=-PH,——x+3=—x,

4124

解得尤瑞9，

.327

••a=-x=—.

440

iii）当PH:PN=3:4时，

4254

PN=-PH,——％+3=—x,

3123

解得尤=筌

41

.560

・・Q=-X----.

341

（3）如图3,连接A。，BQ,过点。作QGLA5于点G,

ZQAB=ZBQG.

1525

•;NQ=—x—3,PN=y-l=——x+3,

412

HG=PQ=NQ+PN=^x.

4

9：AH=-x,

3

AG=AH+HG=3%,

x1

tanZBQG=tanZQAB=—=—,

3x3

3G=；QG=；x,

109

：.AB=AG+BG=—x=3x=—,

3f10

/.y=-—x+4=—,即ACV的长为一.

【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，函数解析式,

分类讨论，作出辅助线是解题的关键.

2.（2023・山东烟台•统考中考真题）如图，抛物线,=52+云+5与x轴交于A,3两点，与y

轴交于点CAB=4.抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=履-1交于点。，与x轴交

备用图

（1）求直线AD及抛物线的表达式；

（2）在抛物线上是否存在点使得是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出

所有点/的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点尸为。8上一个动点，请求出PC+gpA的最小值.

【答案】（1）直线AD的解析式为＞=丁-1；抛物线解析式为y=Y-6x+5；（2）存在，点M的

坐标为（4,一3）或（0,5）或（5,0）；（3）而

【分析】（1）根据对称轴尤=3,AB=4,得到点A及8的坐标，再利用待定系数法求解析

式即可；

(2)先求出点。的坐标，再分两种情况：①当/DAM=90。时，求出直线AM的解析式为

[y=_X+1__

y=-x+l,解方程组2-4，即可得到点加的坐标；②当NADA1=9O。时，求出直

[y=%-ox+5

fy=_x+5__

线。根的解析式为y=-%+5,解方程组厂2乙，，即可得到点知的坐标；

[y=x-ox+5

(3)在A5上取点尸，使3/=1,连接CP,证得空==，又NPBF=NABP,得到

PBAB

△PBFs^ABP,推出尸尸=；PA,进而得到当点C、P、尸三点共线时，PC+1尸A的值最小，

即为线段CP的长，利用勾股定理求出CP即可.

【详解】(1)解：•••抛物线的对称轴龙=3,AB=4,

/.A(1,O),5(5,0),

将A(l,0)代入直线、=依-1,得％-1=0,

解得％=1,

.••直线AD的解析式为＞=xT；

将4(1,0),3(5,0)代入y=or2+6x+5,得

a25+ab++55b=+05=0'招军得l｛a。==l一6

A抛物线的解析式为y=f_6x+5；

(2)存在点M,

直线AD的解析式为y=x-l,抛物线对称轴x=3与x轴交于点E.

...当x=3时，y=x-l=2,

.*.0(3,2),

①当/ZMM=90。时，

设直线AM的解析式为y=-x+c,将点A坐标代入，

得—1+c=0,

解得c-1,

直线AM的解析式为y=-X+1,

y=-x+l

解方程组

y=x2—6x+5

X=1­x=4

得y=o或

y=_3'

.••点M的坐标为（4,-3）；

②当ZADN=90。时，

设直线的解析式为y=f+d,将。（3,2）代入,

得-3+d=2,

解得d=5,

直线DM的解析式为y=-x+5,

fy=-+5

解方程组%

[y=f—6X+5

x=0x=5

解得或

j=5y=0

.♦•点M的坐标为（0,5）或（5,0）

综上，点M的坐标为（4,-3）或（0,5）或（5,0）；

（3）如图，在AB上取点F，使班'=1,连接C/,

,/PB=2,

.BF

•••

PB2

..PB_2_j_

*AB~4~2^

.BFPB

**PB-AB?

又•：ZPBF二ZABP,

.**APBFS4ABp,

PC+-PA=PC+PF>CF,

2

...当点C、P、尸三点共线时，PC+gpA的值最小，即为线段C尸的长,

,/OC=5,OF=05-1=5-1=4,

；•CF=yj0C2+0F2=>/52+42=741，

•••PC+；PA的最小值为"T.

【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三

角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识

点是解题的关键.

3.（2023•江苏苏州・统考中考真题）如图，二次函数y=/-6x+8的图像与x轴分别交于点

A8（点A在点8的左侧）,直线/是对称轴.点P在函数图像上,其横坐标大于4,连接PA,PB,

过点P作尸加，/,垂足为/,以点/为圆心，作半径为r的圆，PT与0M相切，切点为T.

⑴求点A,8的坐标；

（2）若以的切线长PT为边长的正方形的面积与AELB的面积相等，且不经过点

（3,2）,求尸河长的取值范围.

【答案】（l）A（2,0）,B（4,0）；⑵1＜尸加〈垃或0〈尸加＜2或PM＞2

【分析】（1）令、=。求得点48的横坐标即可解答；

（2）由题意可得抛物线的对称轴为x=3,设尸（利,〃72-6帆+8）,则“（3,1-6加+8）；如

图连接MT,则MTLPT,进而可得切线长PT为边长的正方形的面积为（根-3『-尸；过点

尸作轴，垂足为H,可得S，卸=；■"//=疗一6加+8；由题意可得

（m-3）2-r2=m2-6m+8,解得/•=：!；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答

即可.

【详解】（1）解：令y=0,则有：尤2_6尤+8=0,解得：x=2或尤=4,

/.A（2,0）,B（4,0）.

（2）解：：抛物线过A（2,0）,8（4.0）

抛物线的对称轴为x=3,

设P（〃z,加-6加+8）,

PM±1,

M（3,nr-6/72+8）,

如图：连接建T,则MT_LPT,

PT2=PM2-MT2=（m-3）2-r2,

切线PT为边长的正方形的面积为（m-3）2-产，

2

过点尸作轴，垂足为则：S^PAB=-ABPH=m-6m+S,

（m—3）2—r2=m2—6m+8

r>0,

=1

假设0”过点N（3,2）,则有以下两种情况：

①如图1：当点〃在点N的上方，即M（3,3）

m2—6m+8=3,解得：加=5或〃z=l,

*.*m>4

m=5；

②如图2：当点M在点N的上方，即M（3,l）

m2—6m+8=l,解得：帆=3土行,

m>4

m=3+\/2;

综上，PM—m—3=2sKy/2-

.•.当0M不经过点(3,2)时，1<尸“<0或应<PM<2或PM>2.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论

思想是解答本题的关键.

4

4.(2023・四川自贡・统考中考真题)如图，抛物线>尤+4与无轴交于A(-3,0),3两

(1)求抛物线解析式及B,C两点坐标；

(2)以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，求点。坐标；

(3)该抛物线对称轴上是否存在点E,使得N4CE=45。，若存在，求出点E的坐标；若不存在，

请说明理由.

【答案】⑴抛物线解析式为y=-|x+4,3(1,0),C(0,4)；⑵。(-2,-4)或。(-4,4)

或0（4,4）；⑶7J

【分析】（1）将点A（-3,0）代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令》》=0,

即可求得反C两点的坐标；

（2）分三种情况讨论，当48,AC,BC为对角线时，根据中点坐标即可求解；

（3）根据题意，作出图形，作AGLCE交于点G,尸为AC的中点，连接GQGF,则A,0,C,G

在。尸上，根据等弧所对的圆周角相等，得出6在》=-％上，进而勾股定理，根据尸G=|建

立方程，求得点G的坐标，进而得出CG的解析式，即可求解.

4

【详解】（1）解：：抛物线＞=一§尤2+灰+4与天轴交于4（一3,0）,

4

A--x（-3）9--3Z?+4=0

Q

解得：b=一,

48

・・・抛物线解析式为y=-1x2-jx+4,

当％=0时，y=4,

二C（0,4）,

4«

当y=0时，0=_§f_§x+4

解得：玉=-3,%=1,

Z.B(l,0)

(2)♦4(-3,0),5(1,0),C(0,4),

设。(w),

・・,以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形

,、J,A/br_L机+0—3+14+〃0+0

当43为对角线时，—^=—^，―=—

解得：m=-2,n=-4,

；•D(_2,T)；

,,—3+01+m4+00+”

当AC为对角线时，=

解得：m=-4,n=4

：.D(T4)

—3+m_0+10+40+〃

当5C为对角线时,

2一^T，2—2

解得：m=4,n=4

0(4,4)

综上所述，以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，。(-2,-4)或£>(<4)或。(4,4)

(3)解：如图所示，作AGLCE交于点G,尸为AC的中点，连接GO,GF,

•••△AGC是等腰直角三角形，

/.AO,C,G在。厂上,

VA(-3,0),C(0,4),

；，F[-l，2],AC=JAO2+C。2=5,GF=1AC=|

,?ZAOG=ZACG=45°,

：.G^y=-x±,

2

设G(/,T),则G^=r+|

7

解得：4=_］，芍=°(舍去)

77

•••点G

2；2

设直线CG的解析式为y=kx+4

77

=——k+4

22

解得：k="

直线CG的解析式y=gx+4

VA（-3,0）,3（1,0）,

；•抛物线对称轴为直线x=土/=-1,

177

当x=-l时，-x（-l）+4=y,

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周

角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键.

5.（2023・四川乐山・统考中考真题）已知（％,另）,（马,必）是抛物0|：丫=-；/+6无"为常数）

上的两点，当％+%=。时，总有为=丫2

⑴求6的值；

2

（2）将抛物线G平移后得到抛物线C2:y=-1（%-w）+l（/»>0）.

探究下列问题：

①若抛物线G与抛物线C?有一个交点，求机的取值范围；

②设抛物线C?与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,抛物线C2的顶点为点E,“BC外

接圆的圆心为点「如果对抛物线G上的任意一点尸，在抛物线C?上总存在一点Q,使得

点尸、。的纵坐标相等.求所长的取值范围.

7Q

【答案】（1）0;Q）①2WmM2+2点②

【分析】（1）根据y=-：尤；+如,%=-；¥+灰2,且为+%=。时，总有％=%,变形后即

可得到结论；

（2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可.

【详解】（1）解：由题可知：x=-7片+如,%=-工无；+。龙2

•.・玉+%=0时，总有其=%，

则W（无2+西）（％-玉）-6（%-%）=。，

.二（—玉）W（%+）—b=0,

...一人(％2—%)=。总成立，且%一玉00,

.,.b=0；

(2)①注意到抛物线C?最大值和开口大小不变，〃z只影响图象左右平移下面考虑满足题意

的两种临界情形：

(0当抛物线C2过点(0,0)时，如图所示，

综上，2<m<2+2y/2,

②同①考虑满足题意的两种临界情形:

(O当抛物线C2过点(0,-1)时，如图所示,

(z7)当抛物线C?过点(2,0)时，如图所示,

综上2^2<,77<4，

如图，由圆的性质可知，点E、尸在线段48的垂直平分线上.

:.HB=m+2-m=2,

•・・FB=FC,

:.FH2-^-HB2=FG2+GC2,

没FH=t,

,/m>2A/2,

2

my八

------1w0,

4

加2m23

二.——2/+3=0,即Rn/=——+-,

482

•/2^2<m<4.

57即5上WWW7，,

2222

，・EF=FH+1,

79

:.-<EF<-

22

【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、垂径定理、解一元二次方程等知识，数形结合

和分类讨论是解题的关键.

6.(2023・四川宜宾•统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+Zzx+c与无轴交于点引-4,0)、

8(2,0),且经过点C(-2,6).

(1)求抛物线的表达式；

(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N,射线4V、分别与抛物线的对称轴交于点P、Q,

点。关于x轴的对称点为Q',求△AP。'的面积；

(3)点M是y轴上一动点，当/40C最大时，求M的坐标.

【答案】⑴丫=-：尤2-&+6；⑵⑶M(0,12-4有)

【分析】(1)设抛物线的解析式为丁=。(尤+4)(尤-2),代入点C的坐标，确定。值即可.

(2)+,直线AN的解析式为y=区+6,直线的解析式为

y=px+q,表示出P,Q,。'的坐标，进而计算即可.

(3)当M是y轴与经过A,C,M二点的圆的切点是最大计算即可.

【详解】(1)•••抛物线一加+灰+c与无轴交于点A(y。)、3(2,0),

，设抛物线的解析式为丫=。(了+4乂了-2),

；经过点。(一2,6),

；.6=a(-2+4)(-2-2),

3

解得。=：,

4

3

y=-](x+4)(x-2),

•y=_32

••yx--x+6

42

(2)如图,当点N在对称轴的右侧时,

••v-32一，+6=_』(X+1)2+2,

・y~~4X24V74

直线BN的解析式为y=px+q,

-4k+b=02p+q=0

徒+人一』病一根33J

3+6'mp+q=——m2——m+6

4242

323么

323j

——m——m+o42

k—____2_____P=

m-2

解得m+4

3

.-3m2-6m+24—m92+3m-12

b=--------------------2___________

m+4q=

m-2

33u

——m2——m+o

•・•直线•的解析式为y=42-3m2-6m+24,直线6N的解析式为

---------------x+

m+4m+4

--m2--m+6-m2+3m-12

-4_2-2----------------

y二x+

m—2m—2

323乙9291°

——m——m+o——m——m+18八

当％=-1时，-3m2-6m+240_2———(吁2)，

尸-------Z-------x(-l)+

m+4v7m+4m+44'

323乙3o99

——m——m+o—m2+3m—12—m2+—m—1Q8

y=—-------2-------x(-l)+2-----------二42=孤?+4)，

m-2v7m-2m—2

；•(一+4)),e^-t-1(m+4)

oo27

；•Pe，=--(m-2)+-(/n+4)=y,

1区3国

^^APQ,=­X

224

如图，当点N在对称轴的左侧时,

1卫*3=迎

,•S^APQ'=­X

224

QI

综上所述，S^Apa=-.

(3)当AAMC的外接圆与OM相切，切点为M时，/4WC最大,

设外接圆的圆心为E,。是异于点M的一点，连接8,QC,交圆于点T,

则ZAMC=ZATC,根据三角形外角性质，得ZATC>ZAQC,故ZAMC>ZAQC,

—WC最大,

设0A与圆交于点”，连接MH,ME,根据切线性质,

ZEMO^ZMOA^90°,

作直径MV,连接MN,

ZHMN=90°,ZMNH=ZMAH,

,:EM=EH,

；・ZEMH=ZEHM,

：.90°-ZEMH=90°-ZEHM,

・・・/OMH=/MNH=ZMAH,

:・AOMHSQAM,

.OMOH

，9~OA~~OMy

・・・OM1=OA・OH,

OM=y,OH=x,贝!JAH=4—x,

2

y=4xf

y=2y[x,

过点E作砂，Q4,垂足为尸，过点。作CGLQ4,垂足为G,交EM于点P,

根据垂径定理，得AF=FH=胃,四边形EMO尸是矩形，

EC=EM=OF=x+上'土把，

22

根据C（-2,6）,得CD=PM=OG=2,CG=6

：.PE=EM-PM=^--2=~,

22

CP=CG-PG=CG-OM=6-24x,

在直角三角形PEC中,

/+（6-2&）2=4|与,

X+I6=11y[x，

，（x+16）2=（12«y,

二X2-112x+256=0,

解得西=56-24百，%=56+24石＞4（舍去），

•••y=2&=2«6-24君=2J（6・2南=2（6-2A/5）=12-4A/5-

故。M=12-4有,

...当N4WC最大时,M（0,12-475）.

【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，垂径定理,

勾股定理，矩形的判定和性质，三角形的外接圆，相似三角形的判定和性质，用方程的思想

解决问题是解本题的关键.

7.（2023・湖北恩施・统考中考真题）在平面直角坐标系北少中，。为坐标原点，已知抛物线

>=-；尤2+云+。与、轴交于点人，抛物线的对称轴与x轴交于点8.

备用图

⑴如图，若A（0,6），抛物线的对称轴为x=3.求抛物线的解析式，并直接写出时x

的取值范围；

⑵在（1）的条件下，若尸为，轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当APBC为等边三

角形时，求点尸，C的坐标；

⑶若抛物线>=尤2+如+。经过点E（n,2）,且加<”,求正整数办

n的值.

【答案】（l）>=-g—+3x+A；0<x<6

（2）cf-^+6,3V3-1\尸]0,3石。或C（0,⑹，尸（0,一⑹；

I33J<5）

（3）m=2,几=7或机=3,n=4

【分析】（1）根据A（0,代），抛物线的对称轴为x=3,待定系数法求解析式即可求解；当

y=g时，求得x的范围，进而结合函数图象即可求解；

（2）①连接AB,AC,AC交对称轴于点。，由AB,C,尸四点共圆，得NBAC=N3PC=60。，

证明AR4的AGM,求出点。的坐标，确定直线AQ的解析式，进而求得C点的坐标，设

尸（0,p）,PB=PC,勾股定理即可求解；②由①可得NQ4B=60。，则当C与A重合时也存

在等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解.

（3）根据抛物线y=V+bx+c经过点。（根,2）,£（n,2）,F（1-1）,可得抛物线对称为

m+F7I1I

直线%=——=&,_]+b+c=-l则b+cn—,,贝ijc二一万一/？,进而令y=2,求得6的范围，

进而根据函数图象可知机=2或机=3,进而分别讨论求得几的值，即可求解.

【详解】（1）解：•••A（0,0），抛物线的对称轴为x=3.

c=也

，抛物线摘牟析式为y=+3x+0,

当y=yf3时，BP——x-+3.x+y[3=y/3

解得：百=0,々=6,

.,.当y2相时，0WxW6

（2）解：①如图所示，连接AB,AC,AC交对称轴于点D,

VA(0,V3),5(3,0)

・・・OA=®OB=3,

则tanNO45=G

/.ZOAB=60°,ZBAP=120°,

,•.△PBC为等边三角形，

ZPCB=ZPBC=6D°,

・・・NP4B+/PCB=180。，

・・・A,3,C,P四点共圆，

・•・ZBAC=ZBPC=60°,

*/BD〃OA,

・・・ZABD=ZOAB=60°.

：.ZABD=PBC,

：.ZABP=ZDBC,

VZBDC=ZPAB=120°,PB=BC,

：.△/^B^ACDB(AAS),

・•.BD=BA=«⑸+32=26，则。(3,29,

设直线AD的解析式为y=kx+M

贝I」3左+6=2石

解得：k=B

3

所以直线AC的解析式为丁=日尤+石

y=£，+出

联立

y=——%2+3x+>/3

2

x=Qx=--------+6

解得：或<3

y=6

y=3A/3--|

.•.（一与+6,3回|、

7

•••3（3,0）,设P（0,p）,

"?PC=PB

22

：.p+3=^-|73+6^|+^3A/3-1-P

解得：p=3&3

.•.小,3痒£|；

②由①可得NQ4B=60。，当C与点A重合时，APBC为等边三角形

则尸与C对称，止匕时C（0,后），P（0,-73）,

综上所述；C［-平+6,3--：］；尸］。,34一；］或q。,⑹，P（O,-73）;

I33J<'）

（3）解：..•抛物线y—gf+bx+c经过点。（根,2）,E（〃,2）,F（1-1）,

二抛物线对称为直线X==6,-j+b+c=-l

贝！］b+c=_L,贝ijc=一!一6

22

•••抛物线解析式为y=+bx-b-l=_：（彳-6）2+J

乙乙乙乙乙

,顶点坐标为

当-6-：=2时，

解得：b=l-娓或b=l+&

■：m<n,且加,“为正整数，过点p（1,-1）,则当彳=1时y<0,

:.机=2或机=3,

当〃7=2时，将点(2,2)代入解析式了=-(无2+法-6-；,

解得一=]9

*.*m+n=2b

则〃=7,

当m=3时，将点(3,2)代入解析式〉=-3》2+法-6-；

7

解得：b=-

m+n=2b

则〃=4,

综上所述,m=2,n=1或m=3,n=4.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据特三角函数求角度，圆内接四边形对角互补，二

次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

8.如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=。与x轴分别相交于A、B两点，

与y轴相交于点C,下表给出了这条抛物线上部分点(x,y)的坐标值：

・・・

X•••—10123

y•••03430•••

(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标;

(2)尸。是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点Q上方)，求AQ+QP+PC

的最小值；

(3)如图2,点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作x轴，垂足为F,Z1ABD

的外接圆与。尸相交于点E.试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值;

如果不是，请说明理由.

图1图2

【答案】(1)y=-(x-l)2+4；M(l,4)；(2)V13+1；⑶是，L

【分析】

(1)依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；

(2)利用平移和找对称点的方式，将AQ+QP+PC的长转化为PE+1+PC,再利用两

点之间线段最短确定?E+尸C的最小值等于CE的长，加1后即能确定PE+1+PC的最小

值；

(3)设出圆心和D点的坐标，接着表示出E点的坐标，利用圆心到B点的距离等于圆心到

D点的距离，求出q和e的关系，得到E点的纵坐标，进而确定EF的长为定值.

【详解】

解：(1)由表格数据可知，顶点坐标为(1,4)

设抛物线解析式为：y=a(x-l)2+4,

将点(0,3)代入解析式得：3=a+4,

Q=—1,

抛物线解析式为：y=-(x-l)2+4,顶点坐标加(1,4).

(2)由表格可知，抛物线经过点A(-1,0),C(0,3),

如图3,将A点向上平移一个单位，得到4(-1,1),

贝IJA47/PQ,AA'=PQ,

四边形A4'PQ是平行四边形，

：.PA,=QA,

作A'关于MQ的对称点E,则£(3』),

；•PA'=PE，

：.AQ+QP+PC=PE+1+PC,

当P、E、C三点共线时，PE+PC最短,

设直线CE的解析式为：y=mx+n,

72=3

将C、E两点坐标代入解析式可得：,

3m+n=\1

n=3

・•・<2,

m=—

I3

・・・直线CE的解析式为：y=--x+3,

7

令x=l,则y=3，

.•.当时，p、E、C三点共线，此时尸E+PC=EC=J(3—Oy+(l—3『=而"最短,

AQ+QP+PC的最小值为V13+1.

(3)是；

理由：设。(p,q),

因为A、B两点关于直线x=l对称，

所以圆心位于该直线上，

所以可设△ABD的外接圆的圆心为。'(Le),

作ONLDF,垂足为点N,则N(p,e),

由轴，

/.ECp,2e-q),

'：O'D^O'B,且由表格数据可知3(3,0)

(3-1『+(0-e)-+(q_e『，

化简得：4+e?=(p—l)2+(q—e『，

•••点D是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为y=—(x—1J+4,

**•Q——(p-1)+4,

，(P-1)2=4-心

4+e2=4_q+(q_e)",

'：q^Q,

2e—q=-1,

/.E(p,-1),

：.EF=\，

即E尸的长不变，为1.

【点睛】

本题涉及到了动点问题，综合考查了用待定系数法求抛物线解析式、点的平移、勾股定理、

平行四边形的判定与性质、最短路径问题、圆的性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握

相关概念与公式，能将题干信息与图形相结合，挖掘图中隐含信息，本题有一定的计算量,

对学生的综合分析与计算能力都有较高的要求，本题蕴含了数形结合的思想方法等.

9.如图，抛物线y=(x+l)(x—a)(其中。＞1)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C.

(1)直接写出N0C4的度数和线段AB的长(用a表示)；

(2)若点D为AABC的外心，且△BCD与/XACO的周长之比为9：4,求此抛物线

的解析式；

(3)在(2)的前提下，试探究抛物线y=(x+l)(x-a)上是否存在一点P,使得

NCAP=/DBA?若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)Z0CA=45°,AB=a+1；(2)y=x2-x-2；(3)存在，P,,

■24

P2(1,-2).

【分析】

(1)根据二次函数解析式可得A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),即可得出0A=0B=a,

OB=1,即可证明AOCA是等腰直角三角形，可得/0CA=45°,根据线段的和差关系可表示AB

的长；

(2)如图，作AABC的外接圆。D,根据等腰直角三角形的性质可得AC=亿，利用两点间

距离公式可用a表示出BC的长，根据圆周角定理可得ND=2N0AC=90°,可得△DBC是等腰

直角三角形，即可证明△DBCs^OCA,根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a

值即可得答案；

(3)如图，过点D作DHLAB于H,过点C作AC的垂线，交x轴于F,过点0作OGLAC于

G,连接AP交CF于E,可得△OCF是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF的解析

式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D坐标，即可得出BH、DH的长，根

据NC4P=ZBHD=ZACE=90°可证明△BHDs^ACE,根据相似三角形的性质可求

出CE的长，根据两点间距离公式可得点E坐标，利用待定系数法可得直线AE解析式，联立

直线AE与抛物线的解析式求出点P坐标即可得答案.

【详解】

（1）•••抛物线y=O+D（x—a）（其中a>l）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C.

.•.当x=0时，y=-a,

当y=0时，(x+l)(x—a)=0,

解得：%]=-1,x2=a,

AA(a,0),C(0,-a),B(T,0),

.\0B=l,0A=0C=a,

AAOCA是等腰直角三角形，

Z0CA=45°,AB=0A+0B=a+l.

(2)如图，作AABC的外接圆。D,

:点D为5c的外心，

.\DB=DC,

「△OCA是等腰直角三角形，0A=a,

.,.Z0AC=45°,AC=V2tz>

1/ZBDC和/BAC是BC所对的圆心角和圆周角,

AZBDC=2ZBAC=90°,

；./DBC=45°,

.\ZDBC=Z0AC,

.,.△DBC^AOCA,

,/ZXBCD与△ACO的周长之比为710：4，

2

.BCMBnV«+iW

AC441a4

解得：a—+2,

经检验：±2是原方程的根，

,：a>l,

a=2,

・•・抛物线解析式为：y=(X+1)(%-2)=%2_%_2.

(3)如图，过点D作DH1_AB于H,过点C作AC的垂线，交x轴于F,过点0作OGLAC于

G,连接AP交CF于E,

a=2,

/•C(0,-2),A(2,0),AC=2&，

VZ0CA=45°,

ZOCF=45°,

...△OCF是等腰直角三角形，

；.F(-2,0),

设直线CF的解析式为y=kx+b,

-2k+b=Q

[b=-2

直线CF的解析式为y=—x—2,

•.'△OCA是等腰直角三角形，OG±AC,

；.0G所在直线为AC的垂直平分线，点G为AC中点,

•・•点D为的外心，

...点D在直线0G上,

VA(2,0),C(0,-2),

AG(1,-1),

设直线0G的解析式y=mx,

••Hl=一1,

，直线0G的解析式y=-x,

•点D为△ABC的外心，

...点D在AB的垂直平分线上,

・••点D的横坐标为---1-+--2-二31

22

把X=/代入y=-x得y=-5，

•*.D（一，），

22

113

・・・DH=—,BH=1+一二

222

VZCAP=ZDBA,ZBHD=ZACE=90°,

.,.△BHD^AACE,

13

DHBH

----=----,即an5=5,

CEACCE~2y/2

解得°芈

•.•点E在直线CF上,

，设点E坐标为（n,-n-2）,

~_2y/2

2

解得：n—±—,

3

242

：・E]（—,—）,E>2（一,

333

设直线AEi的解析式为y=kix+bi,

27,4

.<—§匕+4=一3,

2%+4=0

解得：《

4=-1

直线AEI的解析式为y=；x—1,

同理：直线AE2的解析式为y=2x—4,

—1

联立直线AL解析式与抛物线解析式得彳,y——2x

y=x2-x-2

1

玉二-2'x=2

1

解得：S、c(与点A重合，舍去)，

也2=°

•P(1

••111---

2

y=2%-4

联立直线AE,解析式与抛物线解析式得2-

y=X--X-2

X]=1=2

解得：\八(与点A重合，舍去)，

Ji=-2'[%=0

E2

综上所述：存在点P,使得NC4P=NDfiA,点P坐标为P(―L，,P2(L-2).

24

【点睛】

本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角

定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键

10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点C(2,-3)且与x轴交于原点及点8(8,0).

y

(1)求二次函数的表达式；

(2)求顶点A的坐标及直线A3的表达式；

(3)判断AABO的形状，试说明理由；

(4)若点P为。。上的动点，且。。的半径为20,一动点E从点A出发，以每秒2个单

位长度的速度沿线段"匀速运动到点尸，再以每秒1个单位长度的速度沿线段用匀速运动

到点8后停止运动，求点E的运动时间f的最小值.

【答案】(1)y=%2-24(2)A(4,-4),y=x-8；(3)等腰直角三角形，理由见解

析；(4)572

【分析】

(1)根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；

(2)根据(1)中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A、B坐标

求出AB解析式即可；

(3)根据二次函数对称性可知AABO为等腰三角形，再根据0、A、B三点坐标，求出三条

线段的长，利用勾股定理验证即可；

(4)根据题意可知动点E的运动时间为/=34尸|+|尸8|,在OA上取点。，使00=0,

可证明△APO"△a)。，根据相似三角形比例关系得归。