2024年中考数学几何模型归纳训练：圆中的重要模型之圆幂定理模型（原卷版+解析）

专题33圆中的重要模型之圆然定理模型

圆基定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理

以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳CSteiner）或者法国数学家普朗克雷

（Poncelet）提出的。圆塞定理的用法：可以利用圆塞定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。

模型1.相交弦模型

条件：在圆。中，弦A8与弦C£）交于点E,点E在圆。内。

结论：CAEBDET—=_PEC?EDEB?EAo

EBED

例1.（2023・江苏无锡•校联考三模）如图，点A,C,D,5在（。上，AC=BC,ZACB=90°.若CQ=4,

tanZCBD=1,则AD的长是

例2.（2023•山东济宁一模）如图，边长为6的等边三角形A3C内接于团O,点。为AC上的动点（点A、C

除外），2。的延长线交回。于点£,连接CE.（1）求证△CEDsABAD；（2）当8=2X0时，求CE的长.

例3.（2023•江西宜春•统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突

然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等）,

（2）小刚又看到一道课后习题，如图2,48是。的弦，P是AB上一点，AB=10cm,PA=4cm,OP=5cm,

图2

模型2.双割线模型

C

条件：如图，割线CH与弦CF交圆0于点E和点Go

结论：_CEG_CHFb—=—!»EC1FCGC2HC

CHCF

例1.（2023•辽宁葫芦岛•一模）已知：如图，PAB,尸CD是回0的割线，PA=4cm,AB=6cm,CD=3cm.

贝ljPD=cm.

例2.（2023・四川成都•九年级校考阶段练习）如图，PAB为。的割线，且R4=A3=3,PO交,。于点C,

若PC=2,则。的半径的长为.

例3.（2022・河南洛阳•统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离.当直线与圆有

两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线.割线也有一些相关的定理.比如，割线定

理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.下面给出了不完整的定理"证

明一"，请补充完整.

已知：如图①，过。。外一点尸作。的两条割线，一条交（。于A、B点,另一条交：。于C、。点.

求证：PAPB=PCPD.

证明一：连接AD、BC,回—A和/C为所对的圆周角，0.

又回NP=NP,0,0.BPPAPB=PC-PD.

研究后发现，如图②，如果连接AC、BD,即可得到学习过的圆内接四边形ABDC.那么或许割线定理也

可以用圆内接四边形的性质来证明.请根据提示，独立完成证明二.

证明二：连接AC、BD,

模型3.切割线模型

条件：如图，C8是圆。的切线，CA是圆。的割线。

结论：CBDCABP—=—PCB2=CD2CA

CACB

例1.（2023•江苏南通・中考模拟）如图，已知上4是，。的切线，A为切点，PC与＜。相交于8.C两点,

PB=2cm,BC=8cm,则P4的长等于（）

A.4cmB.16cmC.20cmD.2#cm

例2.（2023•河南郑州•一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把

这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.

割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.

切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.

阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作.它是欧洲数学的基础，总结了平面

几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书.其中第三卷命题36-2圆基定

理（切割线定理）内容如下：

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的"已知"和"求证"，请补充完整,

并写出证明过程.

己知：如图，A是回0外一点，.求证：.

例3.（2022•河南驻马店•校考二模）在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想,

特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》,

这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作.它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，

被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书.其中第三卷命题36-2圆幕定理（切割线定理）

内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例

中项.（比例中项的定义：如果。、b、c三个量成连比例即。2=Z?:c,则b叫做a和c的比例中项）

⑴为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的"已知"和"求证"，请补充完整，

并写出证明过程.已知：如图，A是圆。外一点，A3是圆。的切线，直线ACD为圆。的割线.

求证：证明：.

（2）已知AC=2,CD=4,则A3的长度是.

模型4.弦切角模型

A

D

B

条件：如图，CB是圆。的切线，A8是圆。的直径。

结论：1）CBDCAB^—=—1»CB2=CD2CA；

CACB

2）CBDBADP—=—bBD1=AD2CD；3）BADC4BP—=—PBA2=AD?AC

ADBDCABA°

例1.（2023•河南二门峡•统考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课

本上没有的与圆相关的角一弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫

做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质.

（1）如图，直线A3与回。相切于C点，D,E为回。上不同于C的两点，连接CE,DE,CD.请你写出

图中的两个弦切角；（不添加新的字母和线段）

（2）小锐目测NDCB和/DEC可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方

法证明结论的正确性吗？

已知：如图，直线与回。相切于C点，D,E为圆上不同于C的两点，连接CE,DE,CD.

求证：=（3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理.

例2.（2023・河南洛阳・统考三模）人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出

圆的概念：”圆，一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比古希腊数学

家欧几里得给圆下的定义要早100多年.与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一.我们把顶点

在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对

的圆周角度数.

(1)如图1,A3是C。的切线.点C,。在。上.求证：ZADC=ZCAB；(2)如图2,CE是：.。的切线.连

接AE交于点D,AB为。的直径.若CELAO,BC=2,。的半径为5,求DE的长.

例3.(2023•四川绵阳•九年级统考期中)定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切

角.如图1,AC为。的切线，点A为切点，AB为。内一条弦，即为弦切角.

⑴古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5

个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明.第三卷中命题32一弦切角定

理的内容是:"弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角度数.”

如下给出了弦切角定理不完整的"已知"和"求证"，请补充完整，并写出"证明”过程.

已知：如图2,AC为。的切线，点A为切点，AB为。内一条弦，点。在(。上，连接。4,OB,BD,

AD.求证：ZBAC=ZBDA.证明：

(2)如图3,A3为O的切线，A为切点，点C是。上一动点，过点C作CD，AS于点。，8交O于E,

连接OE,OC,AE.若AD=10,AE=2后,求弦CE的长.

模型5.托勒密定理模型

B

D

^*****-^

c

条件：如图，AB.CO是圆。的两条弦；结论：AB1CDAD2BCAC?BD

例L（2023•山西晋中•九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务：托勒密（P勿/esy）（公元90年〜

公元168年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为"伟大的数学书”，托勒密有时把

它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理.

托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.

已知：如图1,四边形ABCD内接于（O.求证：ABCD+BCAD=ACBD

下面是该结论的证明过程：证明：如图2,作=交BD于点、E.

AHBE

国A£>==（依据1）回△ABESAACD（依据2）0-=—^ABCD=ACBE

ACCD

团AB=AB回^ACB-ZADE

团ZBAE=NOW团NBAE+NE4C=NCW+NE4C即NBA。=回△ABC

⑦ADBC=ACED⑦ABCD+ADBC=AC（BE+ED）

©ABCD+ADBC=ACBD

任务：（1）上述证明过程中的"依据1""依据2”分别是指什么？

依据1：,依据2：.

3

（2）如图3,四边形ABCD内接于O,AC为。的直径，AD=5,tan/AC3=：,点。为&c的中点,

4

求的长.

例2.（2023•江苏盐城•九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角

如图①，四边形ABC。是。的内接四边形，若AB=3O,NABO=40。，则/BCD=_。.

【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？

如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：AB-CD+BC-DA=AC-BD

证明：如图③，作/54E=NC4D,交BD于点、E.

回ZBAE=ZCAD,ZABD=ZACD,回AABE^AACD,

团瞿=煞即=（请按他们的思路继续完成证明）

AC

【应用迁移】如图④，已知等边AAFC外接圆。，点尸为8c上一点，且PB=如,PC=1,求的长.

课后专项训练

1.（2023山东九年级课时练习）如图AB与圆O相切于4。是圆。内一点，与圆相交于C.已知8c

=OC=3,OD=2,AB=6,则圆的半径为.

A

2.（2022秋•浙江宁波•九年级校考期中）如图，两个同心圆，过大圆上一点A作小圆的割线，交小圆于8、

4.（2023•重庆九年级期末）如图，从圆外一点尸引圆的切线丛,点A为切点，割线尸£>3交（。于点。、8.已

4.（2023•浙江杭州•模拟预测）如图，过点尸引圆的两条割线RW和PCD,分别交圆于点A3和C,。，连

PAprPAPC-PAPD

结AC,8,则在下列各比例式中，=②右=,；③年二而，成立的有（把

rDrL）rL）rDACDD

你认为成立的比例式的序号都填上）.

5.（2023・浙江绍兴•模拟预测）四边形ABDC内接于圆，对角线交点为E,AB=AC=4,AE=2,若BE、CE

都是整数，则跳:的值为.

B

D

AE

6.（2023•广东珠海•统考一模）如图，。为正,ABC的外接圆，尸为劣弧8C上任一点，CP的延长线和

的延长线交于点。.⑴求/3PC;（2）求证：AC'=CPCD.

7.（2023•广东汕头,校考一模）如图，A3是，。的直径，点C,。在（。上，AD平分—C钻，过点。作AC

的垂线交AC的延长线于点E,交A3的延长线于点F,连接

⑴求证：所是：O的切线；⑵求证：AB■（AB-AE）=AC-BF（3）^AB=10,AC^6,求AD的长.

8.（2023•云南昆明•统考一模）如图，尸是以。为圆心的两个同心圆外一点，过尸点的两条直线分别与大圆

。交于A、8、C、。四个点，其中一条直线交小圆。于/点，尸为线段CD的中点，NP=ZADP,CEYPA,

AF?

垂足为E.⑴求证:PD为小圆。的切线；⑵若须二彳，AB=10,求大圆。的半径.

CE3

B

P

CFD

9.(2023•广东揭阳•统考一模)欧几里德，古希腊著名数学家.被称为“几何之父".他最著名的著作《几何

原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书.他在第三

卷中提出这样一个命题："由已知点作直线切于已知圆”.

图1图2

如图1,设点P是已知点，圆。是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：

①连接OP,作线段OP的中点A；②以A为圆心，以AO为半径作圆A,与圆。交于两点Q和R；

③连接尸。、PR,贝PR是圆。的切线.⑴按照上述作图步骤在图1中补全图形；

(2)为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明"尸2、依是圆。的切线”的过程；

⑶如图2,连接。。并延长交圆。于点8,连接BR,已知以=2,PQ=2非,求圆。的半径.

10.(2023•山东聊城•九年级统考期中)顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.如

图①所示：出切回。于点A,A3是回。的一条弦，回以3就是回。的一个弦切角.经研究发现：弦切角等于它

夹弧所对的圆周角.根据下面的"已知"和"求证"，写出"证明"过程，并回答后面的问题.

(1)如图1,是回。的切线，A为切点，AC为直径，EIB4B夹弧所对的圆周角为EIC.求证：(2)

如图2,是团。的切线，A为切点，回彻8夹弧所对的圆周角为SD.求证：0B4B=0Z).

(3)如图3,为半回。的直径，。为圆心，C,。为半回。上两点，过点C作半团O的切线CE交AO的延

长线于点E,若CE0AD,且BC=1,A8=3,求。E的长.

11.（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）如图，为回。的直径，且肱V=15,MC与ND为圆内的一组平行

弦，弦交MC于点”.点A在Me上，点8在押c上，ZOND+ZAHM=90°.

B

\N

⑴求证：（2）求证：AC=BC.⑶在回。中，沿弦ND所在的直线作劣弧N。的轴对称图

3

形，使其交直径"N于点G.若sinNCMN=§求NG的长.

12.（2022•湖南长沙,统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于O,对角线AC,3D相交于点E,点尸

在边AD上，连接EF.⑴求证：AABEs4DCE；

.（直接将结果填写在相应的横线上）

⑶①记四边形A3CD,的面积依次为5,&,5，若满足石=质+£,试判断，AABE,ACDE

的形状，并说明理由.②当£>C=C2，AB=7〃，AO=n,CD=p时，试用含相，n,p的式子表示AE-CE.

13.（2023春•北京通州,九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三种

不同情况，并完成了情况一的证明.请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明.AB,C,D为CO

上的点，直线AB,8相交于点尸.

证明

情况一点尸在回0内时，连接AC,BD（如图1）：

情况二点尸在回。外时情况三当点A和点8重合时

ZA=ZD,ZAPC=ZDPB⑦△APCS/\DPB

ApCP（如图2）：（如图3）

团一=—,^APBP=CPDP

DPBP

14.（2023•辽宁大连,模拟预测）如图1,ABC内接于O,点£＞为圆外4B上方一点，连接AO,若NC=Z£L4D.

⑴求证：AD是。的切线；（2）如图2,连接.若tanNABO=g,AC=66,比=8,求,O的半径.（注:

本题不允许使用弦切角定理）

15.（2023秋•山西吕梁•九年级校考期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务.

米勒定理

米勒（1436-1476）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三角

学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作.下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程

已知：如图1,上4与。相切于点A,PB与。相交于点8,C.

求证：Pd=PBPC.

证明：如图2,连接AC,OA,OC.

回24为。的切线，0Z1+Z2=9O°.

0（M=（9C,回/2=/3.

0ZO+Z2+Z3=18O°,0/0+2/2=180°.

0AC=AC,0?°2?3，132/3+2/2=180°,

任务：（1）请完成剩余的证明过程（2）应用：如图3,RI是。的切线，PC经过。的圆心。，且尸3=03=2,

割线「。£交（。于点。，E,PE=5,求尸£）的长.

16.（2023・江苏•九年级专题练习）阅读下列材料，完成相应任务：

弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家.第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幕，带

来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父".他还发现从圆外一点引圆的切线和割线，

切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）.

如图是。外一点，PC是。的切线，P4是O的一条割线，与。的另一个交点为B,则PC?=2473.

证明：如图2,连接AC、BC,过点C作O的直径8,连接AD.

EIPC是：。的切线，0PC±CD,0ZPCD=9O°,BPZPCB+ZBCD=90°.........

任务：（1）请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分.

⑵如图3,R4与二。相切于点A,连接P。并延长与。交于点8、C,ZP=ZBAD,8c=8,AP=3BP,

连接CO.①CO与AP的位置关系是.②求8。的长.

17.（2022•山西•三模）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务.

人们在研究圆与直线的位置和数量关系时，发现存在这样一个关系：从圆外一点引圆的切线和割线，切线

长是这点到割线与圆交点构成的两条线段长的比例中项.这个几何关系也叫圆的切割线定理.喜欢探究的

小明尝试给出了该定理的如下证明：

已知：如图1,尸为回。外一点，切线以与圆相切于点4割线P2C与圆相交于点8,C.

求证：PA2=PBPC.证明：如图2,连接AB,AC,BO,AO.

团%切国。于点A,SPA±AO,即/R43+NQ45=90°.

004=05,SZOAB=ZOBA.

ElZOAB+ZOBA+ZO=180°,02ZtMB+ZO=18O°.........

任务：⑴请帮助小明补充完成以上证明过程.(2)如图，割线POE与圆交于点D,E,且PB=BC=4,PD=5,

连接BE,过点C向下作C尸〃BE交PE的延长线于点凡求EF的长.

18.(2023•河南周口•校考三模)阅读与思考

整，并给出证明.

己知：如图，A是।。外一点，过点A的直线交C。于点8,C,.求证：AE2=

19.（2023・广东九年级期中）探究问题:

A

D

图。

图E

⑴阅读理解：①如图4在一ABC所在平面上存在一点尸，若它到_ABC三个顶点的距离之和最小，则称点

尸为,ABC的费马点，此时上4+尸3+尸。的值为，ABC的费马距离.

②如图B,若四边形ABCD的四个顶点在同一个圆上，则有AB-CD+3c.zMnACZD,此为托勒密定理.

知识迁移：①请你利用托勒密定理解决如下问题：如图C,已知点P为等边外接圆的BC上任意一

点.求证：PB+PC=PA；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻一ABC（其中ZBAC,4BC,Z4cB均小

于120。）的费马点和费马距离的方法：

第一步：如图。，在J1BC的外部以BC为一边作等边△BCD及其外接圆；

第二步：在8c上任取一点P'，连接PAP'B,P'C,P'。.易知尸N+HB+P'C=PA+（PB+P'C）=PA+

第三步：请你根据（1）①中定义，在图。中找出ABC的费马点P,则线段的长度即为ABC的费

马距离.（2）知识应用：今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的

饮水问题，解放军某部来到该市某地打井取水.已知三村庄A、B、C构成了如图E所示的「.ABC（其中

NA、NB、ZC,均小于120。），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长

度最小，求输水管总长度的最小值.

20.（2023•山西临汾・九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务

托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一

个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积.下面是该定理的证明过程（部分）

已知：如图①四边形A3CD是（O的内接四边形；求证：ADBC+ABCD=ACBD

证明：以C顶点，CB为一边作NBCE交BD于点、E,使得NBCE=ZACD

AnAr

5LSZCAD=ZCBE0VACD:NBCE0——SADBC=ACBE,

BEBC

又ZADC=/BEC,ZADC+ZABC=180°,NBEC+NDEC=180°,

SZABC=ZCED^ZCAB=ZCDE

4D

团八48。ADEC,0—=—0

DEDC

0

任务：⑴请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；⑵当圆内接四边形A3C。是矩形时，托勒密定理就是我

们非常熟知的一个定理:.（3）如图②若NADB=NBDC=60。，试探究线段AD,8之间

的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论.

图①

21.（2023・湖南岳阳•统考二模）请阅读下列材料，解答问题：

克罗狄斯・托勒密（约90年一168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家.在数学方面，他还

论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理.

托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.

如图，正五边形4BCAE内接于，。，AB=2,则对角线5D的长为.

专题33圆中的重要模型之圆幕定理模型

圆累定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理

以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳(Steiner)或者法国数学家普朗克雷

(Poncelet)提出的。圆塞定理的用法：可以利用圆幕定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。

模型1.相交弦模型

A

条件：在圆。中，弦与弦C£)交于点E,点E在圆。内。

结论：CAEBDEK—=—PEC1EDEB?EA。

EBED

例L(2023•江苏无锡•校联考三模)如图，点A,C,D,8在(。上，AC=BC,ZACB=90°.若CD=4,

tanZCBD=1,则AD的长是.

【答案】8及

【分析】如图，连接AB,设AD,BC交于点E,根据题意可得A3是。的直径，ZADB=90°,设AC=〃z,

证明根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出AE,即，根据Rt^ABC,勾股

定理求得m=46，根据AD=AE+ED即可求解.

【详解】解：如图，连接设A2BC交于点£,

c

D

DE1

0ZACB=90°AAB是1O的直径,ZADB=90°,.tanZCBD=-

3DB~39

在Rt^DEB中,BE=yjDE2+DB2=-JlODE，

CD=CD，**,«BD=ZACD,「tanACAD=:CE1

AC3

2.,DE^BE=^,

设AC=m则CE=—m,AC=BC,EB=­m,m

331030

Rt-ACE中，AE=ylAC2+CE2=m，

/.AD=AE+ED=^^-m+—m=-4i0m,DB=DB，:.NECD=NEAB，

3035

1

CDCE3m1「

又NCED=ZAEB,CED^AEB,—=—==CD=4,/.AB=4^10,

3

AC=BC=m,AB=42m,41m=4A/10,解得机=4百，

:.AD=三回m=］屈x4亚=8也,故答案为：8也.

【点睛】本题考查了90。圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性质

与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键.

例2.（2023,山东济宁一模）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于团O,点。为AC上的动点（点A、C

除外），8。的延长线交回0于点E,连接CE.（1）求证△CEDSABAD；⑵当zx?=2AZ）时，求CE的长.

【答案】⑴见解析（2）CE=]4

【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得NA=4,再由对顶角相等得N&M=/CDE,故可证明绪论;

（2）根据"=2隹》可得4。=2,口）=4,由40£064840可得出2£>§0石=8,连接4£,可证明

AABD^AEBA，得出=出为8£=%52+2£）§8瓦代入相关数据可求出2。=2近，从而可求出绪论.

【详解】（1）EIBC所对的圆周角是NANE,SZA=ZE,又NBDA=NCDE,国△CE4LBAD；

（2）EEABC是等边三角形，^\AC=AB=BC=6

SDC=2AD,国AC=3AD,回AO=2,DC=4,

ADBDAB2BD„„“

团AGED〜ABAD,回——=——=——,团——=——，团5。£）£=o8;

DECDCEDE4

连接AE,如图，^AB=BC,^AB=BC^BAC=ZBEA,

又田ABD=NEBA,BIBIABD-AEBA,51—=一,

BEAB

0AB2=BD.BE=BD\BD+DE）=BD2+BDDE,

062=B£>2+8,©BD=2币（负值舍去）0—=—,解得，CE=—y/l

CE47

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形和判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.

例3.（2023•江西宜春•统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突

然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等）,

下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务.

圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等.

已知：如图1,。的两弦ARCD相交于点P.求证：APBP=CPDP.

证明：如图1,连接AC,BD.

EINC=ZB,ZA=ZE>.0AAPC^ADPS,（根据）

Ap

团——=@,⑦AP・BP=CPDP,

DP

团两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等.

PA=Acm,OP-5cm,

CP

【答案】（1）有两个角对应相等的两个三角形相似；—；（2）7cm

【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）延长0尸交圆。于点。，延长尸。交圆。于点E

设圆。的半径为rem,则尸P=（5+r）cm,PD=（r-5）cm,根据（1）中结论代入求解即可.

【详解】（1）连接AGBD.回NC=N3,ZA=ZD.

0AAPC-ADPB，（有两个角对应相等的两个三角形相似）

4p「p

0—=—,^APBP=CPDP,回两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等.

CP

故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似;

BP

（2）延长。尸交圆。于点。，延长尸。交圆。于点尸,

设圆0的半径为rem,则PF=(5+r)cm,P£>=(r-5)cm,

根据(1)中结论得ABBP=DPFP，即为4x(lO-4)=(r+5)0•-5),

解得：r=7或r=-7(不符合题意，舍去)，。的半径为7cm.

【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交

弦定理是解题关键.

模型2.双割线模型

条件：如图，割线CH与弦CF交圆。于点E和点G。

结论：CEGCHFP—=—PEC2FCGC2HC

CHCF

例1.(2023•辽宁葫芦岛•一模)已知：如图，PAB.PCD是回。的割线，PA=4cm,AB=6cm,CD=3cm.

则尸Z)=cm.

例2.(2023・四川成都•九年级校考阶段练习)如图，PAB为。的割线，且R4=AB=3,PO交。于点C,

若PC=2,则。的半径的长为.

【分析】延长尸O交圆于点。，连接AC、BD,由圆内接四边形内对角互补性质可得/B+NA8=180。,

PAPC

结合邻补角互补可得/ACP=/3，继而证明二R4csp/后，由相似三角形对应边成比例解得而=前,

由此计算PD=9,最后根据线段的和差解题即可.

【详解】如图，延长尸。交圆于点。，连接AC、BD,

四边形ABDC为圆内接四边形，EZB+ZACD=180°.

0AACD+AACP=180°,BZACP=ZB,0ZP=ZP,SAPAC^,.PDB,

PAPC

0——=一，0PDx2=3x6,PD=9,

PDPB

7

SCD+PC=PD,0CD=9—2=7,回半径为一，故答案为:

2

【点睛】本题考查圆的内接四边形、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关

知识是解题关键.

例3.（2022•河南洛阳•统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离.当直线与圆有

两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线.割线也有一些相关的定理.比如，割线定

理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.下面给出了不完整的定理"证

明一”，请补充完整.

己知：如图①，过，:，。外一点尸作。的两条割线，一条交,。于A、B点,另一条交。于C、。点.

求证：PAPB=PCPD.

证明一：连接AD、BC,

国NA和NC为所对的圆周角，0.

X0ZP=ZP,m,0.

即PAPB=PCPD.

研究后发现，如图②，如果连接AC、BD,即可得到学习过的圆内接四边形ABDC.那么或许割线定理也

可以用圆内接四边形的性质来证明.请根据提示，独立完成证明二.

证明二：连接AC、BD,

APDP

【答案】证明一：ZA=ZC,AADPB..CBP证明二见解析

^P~~BP

【分析】（1）证明zM//回@尸即可得到结论;

（2）根据圆内接四边形的性质可得/尸BD=/ACD,进一步证明△ACP回ADBP

【详解】解：证明一：连接AD、BC,

回，A和NC为BO所对的圆周角，0ZA=ZC.

APDP

又团NP=NP,@AADP%CBP,回一二—.WflPAPB=PCPD.

CPBP

Apr）p

故答案为：ZA=ZC,AADP回一CBP,——=——，

CPBP

证明二：连接AC、BD,

团四边形ABDC为圆内接四边形，EINARD+/ACD=180。，

又国ZABD+NPBD=180°,0ZPBD=ZACD,

APCP

又回"=々，0AACP0DBF,0—=—,BPPAPB=PCPD.

DPBP

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键.

模型3.切割线模型

C

条件：如图，CB是圆。的切线，CA是圆。的割线。

结论：CBDCABP—=—1>CB2=CD2CA

CACB

例1.（2023•江苏南通・中考模拟）如图，已知丛是。的切线，A为切点，PC与O相交于8.。两点,

PB^2cm,BC=8cm,则PA的长等于（）

B

A.4cmB.16cmC.20cmD.2际cm

【答案】D

【分析】根据已知得到PC的长，再根据切割线定理即可求得RL的长

【详解】解：回尸3=2cm,BC=8cm,0PC=lOcm,

SPA2=PB'PC=20,0PA=2^,故选Z）.

【点睛】本题是对圆知识的综合考查，熟练掌握圆及相似三角形的性质是解决本题的关键.

例2.（2023,河南郑州•一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把

这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.

割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.

切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.

阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作.它是欧洲数学的基础，总结了平面

几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书.其中第三卷命题36-2圆幕定

理（切割线定理）内容如下：

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的"已知"和"求证"，请补充完整,

并写出证明过程.

己知：如图，A是回。外一点，.

求证：.

【答案】是囱。的切线，直线AC。为回。的割线，AB2=AC»AD,见解析

【分析】按照题设要求，写出"已知"和"求证"，然后证明EABOfflAOB,即可求解.

【详解】解：（已知：如图，A是回。外一点，）是回。的切线，直线AC。为回。的割线.

求证：AB2=AC»AD.

故答案为：是国。的切线，直线ACC为回。的割线，AB2^AC»AD,

证明：连接2。，连接2。并延长交回。于点E,连接CE,

0AB是国。的切线，EHA8C+I3CBE=9O°,EIBE是圆的直径，fflBC£=90°=E£+0CBE,

0EL4BC=0E,而团E=EICZ）B,00ABC=0BZ）C,

A3AC

^\BAC=^\DAB^\ABC^\ADB团——=——,^\AB2=A^AD.

ffADAB

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，作出辅助线是解决本题的关键.

例3.（2022•河南驻马店•校考二模）在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想,

特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》,

这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作.它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，

被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书.其中第三卷命题36-2圆塞定理（切割线定理）

内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例

中项.（比例中项的定义：如果b、c三个量成连比例即。:6=6:c,则6叫做。和c的比例中项）

（1）为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的"已知"和"求证"，请补充完整，

并写出证明过程.已知：如图，A是圆。外一点，AB是圆。的切线，直线ACD为圆。的割线.

求证：_______________

证明：

（2）已知AC=2,CD=4,则A3的长度是.

【答案】（DAB?=AC.AD,证明见解析⑵2石

【分析】（1）根据比例中项的定义写出“求证"，连接BO并延长交,：。于点E,连接先根据

圆的切线的性质可得BELAB,再根据圆周角定理可得NBCE=90°,ZE=ZADB,从而可得？ABC?ADB,

然后根据相似三角形的判定证出ABCAD3,根据相似三角形的性质即可得证；

（2）先根据线段和差求出AD=6,再根据（1）的结论即可得.

【详解】（1）求证：AB2=ACAD.

证明：如图，连接2。并延长交,。于点E,连接BC/ACE,

.至是。。的切线，:.BE±AB,ZABC+ZEBC=90°,

由圆周角定理得：NBCE=90°,NE=NADB,

:.ZADB+NEBC=NE+NEBC=90°,:.ZABC=ZADB,

ZABC=ZADB

在-ABC和ADB中,

ABAC=ZDAB

ABAC

ABCADB,AB2=ACAD.

AD-AB

(2)解：AC=2,CD=4,:.AD=AC+CD^6,

由(1)已证：AB2=ACAD,.-.AB2=2x6=12,

解得48=2百或A8=-26<0（不符题意，舍去），故答案为：20

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线的性质

和圆周角定理是解题关键.

模型4.弦切角模型

条件：如图，C8是圆。的切线，A8是圆。的直径。

结论：1）CBDCABP—=_PCB?=CD2CA；

CACB

2)CBDBADP—=—PBD2=AD2CD；3)BADCABP—=—1»BA2=AD?AC

ADBDCABA

例L（2023•河南三门峡,统考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课

本上没有的与圆相关的角一弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫

做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质.

E

（1）如图，直线AB与回。相切于C点，D,E为回。上不同于C的两点，连接