2024年新高考地区数学二模分类汇编：导数（解析版）

专题08导数-2024年新高考地区数学

二模分类汇编-山东专用（解析版）

一、多选题

1.（2024•山东泰安•二模）已知函数〃尤）=：-ln|x|-尤+1,则下列说法正确的是（）

A.直线V=-x+加与〃x）相切

B.%eN*,/（«）＞1

C./⑺恰有2个零点

D.若西马＞°且/（芯）+/（吃）=2,则尤逮2=1

【答案】ACD

【分析】利用导数研究函数f（x）的单调性并作出图形，结合导数的几何意义即可判断A；

根据函数的单调性和/⑴=1,即可判断B；根据函数的单调性和零点的存在性定理即可判

断C；当玉＞0,々＞。、不＜0,马＜0时，分别解方程”323=1小％）,即可判断D.

%工2

—Inx—x+1,x＞0

【详解】由题意知,/⑺的定义域为何中。｝,/（x）=：

—ln（—x）—x+1,x＜0

、九

X2+X+1八

------2——,X>0

则:。）=J，对于方程/+%+1=0,A=-3<0,

x+x+1

——2—,x<0

X

所以尸（x）＜0在｛小W0｝上恒成立，故f（x）在（-叫0）、（0,+⑹上单调递减,

作出直线丁=-X和函数/（X）的图象，如图,

A:由图可知，当兀＜0时，/（x）=--ln（-x）-A：+l,则/（一1）=1,/'（-I）=-1,

X

所以曲线＞=/（尤）在点（T，l）处的切线方程为丁=一%，

此时协=0使得直线旷=-x与/Xx）相切，故A正确;

B:当—>0时,f(x)=--lnx-x+l,函数/(%)在(0,+oo)上单调递减,

X

且〃1)=1>0,〃2)=-In2-；<0,则存在％e(1,2)使得/(尤0)=0,

当xe(o,%o)时，〃力>0且〃1)=1,当xe(x(),+8)时，/(x)<0,

所以立eN*,使得/(")*「故B错误;

C：由选项B的分析知，函数/(*)在(0,+8)上有且仅有1个零点;

当XV。时，/(x)=--ln(-x)-x+l,/(%)在(-*0)上单调递减,

X

又〃」)=2+1-e<0,/(-1)=1>0,由零点的存在性定理知,

ee

函数/(x)在(-吃。)上有且仅有1个零点，所以/(x)恰有2个零点，故C正确;

D：若占>0,%>。，贝1|%+天2>0,/(占)+/(%)=上一皿占一再+1+2-111工2-巧+1=2,

玉X2

得(1-'；?+%)=皿为三),解得占马=1;

若芭vO,尤2<0,贝|玉+12<0,/(%)+/(%2)=----ln(一%)一玉+1H--------ln(-%2)—%+1=2,

石龙2

7%)

得。-;=ln(x,x2),解得玉％=1,

综上，若再%>°且/(%)+/(%)=2,贝!|士工2=1,故D正确.

故选：ACD

【点睛】思路点睛：关于函数零点个数的有关问题，一般转化为两个函数图象交点问题，利

用函数图象分析，结合零点单调存在性定理求解即可.

2.(2024•山东临沂.二模)已知定义在R上的函数/⑺满足/(x+l)+/(x+3)=/(2024),

/(-x)=f(x+2),且则(

A.7(元)的最小正周期为4B.〃2)=0

2024(1\

C.函数/(*—1)是奇函数D.%小一=-2024

k=yI2)

【答案】AB

【分析】据题意，通过赋值得至U/(x)+/(x+2)=/(2024),/(x+2)+/(x+4)=/(2024),

即可判断A；令x=2021,可求出"2022)=0,由周期性可判断B；令x=0,得至U/(0)=0,

由周期性/(2024)=0,可证明/⑺是奇函数，假设函数八久-1)是奇函数，推出矛盾，判

试卷第2页，共45页

断C；由周期性及对称性可计算D.

【详解】对于A,因为/（x+l）+/（x+3）=/（2024）,

所以/(X)+/(X+2)=〃2024),/(X+2)+/(X+4)=/(2024),

所以〃x+4）=/（x）,故的最小正周期为4,A正确;

对于B,因为〃x+l)+/(x+3)=〃2024),

令x=2021,贝u/(2022)+f(2024)=/(2024),

所以/（2022）=0,

由A可知，/（2022）=/（4x505+2）=/（2）=0,故B正确;

对于C,因为/(r)="x+2),①

令尤=0,则/（0）=/（2）=0,

所以“2024)="4x506)=〃0)=0,

所以/(X)+/(X+2)=〃2024)=0,②

由①②，所以〃x)+/(f)=0,BP/(-x)=-/(%),故/(x)为奇函数,

若函数f0-1)是奇函数，则/(-x-l)=-/(x-l),

所以〃一尤-1)=/[一(尤+1)]=—〃x+l),即〃x-l)=/(x+l),

所以/(x+2)=[〃尤+1)+1]=/[(尤+l)T=〃x),

所以/（x）的最小正周期为2,与选项A矛盾，故C错误;

:,所以/

对于D,因为“X）为奇函数，且/

I4

又因为的最小正周期为4,所以I4

因为〃T)=/(X+2)

3533

所以/II

所以望仙357

I=lxfI+2x/+3xf+4x/

9111315

沙小=5xf+6x/+7xf+8x/

k=5\I

=5x巾+6"图+70图+8*佃

=5vx—1+6/x—1+r7x+8x

44

以此类推,

2024(1\

所以”3=506x(-l)=-506,故D错误.

k=i\z)

故选：AB

【点睛】方法点睛：本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断

出的周期.

以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆:

设函数y=/(X)xeR,a>0,a^=b

(1)若/(x+4)=/(x-a),则函数/(x)的周期为2a；

(2)若f(x+a)=-/(x),则函数的周期为2a；

，/、1

(3)右”f(X+6Z;)=〃/~尤r)'则函数”X)的周期为2a；

若〃…)=-看,

(4)则函数“X)的周期为2a；

(5)若/(x+a)=/(x+b),则函数/(x)的周期为印

二、填空题

3.(2024・山东济南二模)已知函数若方程/(x)+/(；+1=。有三个不相等

的实数解，则实数。的取值范围为.

【答案】何

【分析】对/(x)求导，利用导数判断其单调性和最值，令/=/(%),整理得可得

』+(1-4+1-。=0,构建g⑺=』+(1一力+1”，结合的图象分析g⑺的零点分布,

结合二次函数列式求解即可.

【详解】由题意可知:/(x)的定义域为R,则广([=(1—x)/，,

试卷第4页，共45页

当x<l时，/'(%)>0；当兀>1时，/'(%)<0；

可知/(X)在(-8,1)内单调递减，在(1,+8)内单调递增，可得/(x)w/(l)=l,

且当X趋近于-CO时，/(X)趋近于f;当X趋近于+8时，〃X)趋近于0;

作出“X)的图象，如图所示，

对于关于X的方程“X)+]=a,

令t=1,可得tn----=6/,整理得厂+(1-+1-a=0,

且-1不为方程r+(l—力+1-。=0的根，

可知方程f----=a等价于/+(1—a)r+l—a=。，

t+\''

若方程/")+瑞石=。有三个不相等的实数解，

可知广+1-。=0有两个不同的实数根4出石<G,

且％<0<%2<1或。<%<1=，2或％=°<,2<1，

构建g⑺=产+(]._〃)/+]_Q,

g(0)=l-〃<03

若％<0<%2<1,则<解得

a

若0<%<1,芍=1,则g(l)=3_2a=0,解得a=],

止匕时方程为--1一3=0,解得4=_(应=1,不合题意;

若％=0<r2<1,贝！Jg(0)=l_a=0,解得a=l,

此时方程为产=0,解得％=,2=。，不合题意;

综上所述：实数。的取值范围为

故答案为：

【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

4.(2024.山东枣庄.模拟预测)设4(%,%),巩知％)为平面上两点，定义

rf(AB)=|x1-x2|+|y1-y2|,已知点尸为抛物线C:V=2py(p>0)上一动点，点

3

Q(3,0),d(P,Q)的最小值为2,则。=；若斜率为|■的直线/过点。，点M是直线/

上一动点，则的最小值为.

3

【答案】2j

【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过P作尸N//X并构造直角三角

形，根据d(P,M)的定义化折为直，结合直线与抛物线的位置关系计算即可.

【详解］设P(相,三，贝!|d(P,Q)T〃L3|+^0>-^m+3=^(m-p)2+3-^,

I2pJ2p2p2p2

n3-点=2,即p=2,O="时取得最小值；

39

易知/：>=万》—C:x2=4y,联立有f—6尤+18=0,

显然无解，即直线与抛物线无交点，如下图所示，

过尸作PN//X交/于N,过Af作VE_L尸N,

则d(P,M)=\PE\+\EM\>|PE|+|£7V|=|P^|(M,N重合时取得等号)，

(2、/22\2Qo

设W〃，丁则N—+3,—,所以|PN|=^——w+3=—(«-3)'+—>—,

4J(64)1166'，22

【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离的新定义问题可以利用化折为直的思想，数形结合再根

据二次函数的性质计算最值即可.

试卷第6页，共45页

兀

5.（2024・山东•二模）当r£0,—时，6ax+asinx-xcosx-1之0,则实数。的取值范围为.

【答案】a>1

【分析】由令/（力=留+磔:山一乩0院一1,由/（0）=0,故有广（0）20,可得即得

其必要条件，再在“2；的条件下，借助尤+1,x>sinx,可得

e④+asiwc-xcosx-1>sinx-xcosx,借助导数可得2asinx-xcos%20,即可得〃Ng是

其充分条件，即可得解.

【详解】令/(x)=e6+asinx-%cosx-1,贝1J(x)=〃e④+acosx-cosx+xsin%,

由/(0)=e°+0-0-l=0,故/'(0)=恁°+0—1+。=20—1之0,即“zg,

1兀

即“。2彳"是“当xe0,—时，em+qsinx-xcosx-120”的必要条件，

212」

当a21•时，

令g(x)=e，--x-l,xe0,1-,贝ijg<x)=e*-120,

故g(x)在。弓上单调递增，即g(x"g(O)=。，即e*2x+l,

则有e21>ax+l,

令/z(x)=x-sinx,i£0,—兀,贝ij”(x)=1—cosxNO,

jr

故九(汽)在0,—上单调递增，即/1(%)之九(。)=0，EPx>sinx,

贝!J有ax>asinx，

艮口有+asiwc—xcosx—1>ax+1+asinx—xcosx-1>2asinx—xcosx,

令〃(%)=2«sinx-xcosx,xe0,—

贝ij“(x)=2acosx-cosx+xsinx=(2a—1)cosx+xsinx,

,1八兀71

由。之一，xe0,-,故"(x)=(2a—l)cosx+xsinxN0,

22

JT

即M”在o,-上单调递增，则有Mx"M°）=°，

即e④+asiwc-xcosx-122asin%—xcosx>0,

i兀

故是“当0,不时，/+asinx-xcos%-120”的充分条件,

故实数0的取值范围为

故答案为：

2

【点睛】关键点点睛：本题关键点有两个，一是借助必要性探路法(端点效应)，得到其必

I7T1JT

要条件让，二是借助常见不等式e-x+1,在口0,-时，x'sinx,在xe0,-

的情况下，得至!Je依+asinx—xcosx-122Qsinx—xcosx,从而可通过导数得到

2asinx—XCOSJ:>0.

6.(20-21高二下•北京•期中)己知x轴为函数f(x)=x3+ax+5的图像的一条切线，则实数

a的值为.

【答案】-43

4

【分析】求出原函数的导函数，设切点为(％,0),由题意列关于4与。的方程组，求解得

答案.

【详解】解：由/(无)=尤3+办+；,得/'(x)=3/+a,

设切点为(％,0),

2

3xn+a=0<

1

则31八，消去。并整理，得需=1,则%=不

XQ+CIXQ+—=0x2

._&2_3

••Q_-3XQ__-.

故答案为：-一3.

4

7.(2024•山东临沂•二模)若直线y=ax+l与曲线y=6+lnx相切，则他的取值范围

为.

【答案】-，，+[!

【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得%=2+lna,则而=2a+alna(a>0),

构造g(a)=2a+alna并研究单调性，进而求值域即可.

【详解】函数y=，+ln尤的导数为y=,，

X

/、11

设切点为(%,叫)+1),所以一=。，则依0=1,即一=尤0

/a

又因为(为,映+1)在y=，+ln尤上，所以%+l=Z?+lnx0,

试卷第8页，共45页

所以6+In%=2,即Z?—lna=2,所以〃=2+lna,

所以"=4（2+1114）=24+〃111々（々＞0）,

令g（a）=2a+aln。，/⑷=2+In«+«•—=In«+3,

a

令g'（a）＞0,可得。＞4，令短（。）＜0,可得0＜a＜；,

ee，

所以g（。）在（o,5J上单调递减，在［J，上单调递增，

CCHI，、（1}21,1231

所以g（a）1nl"g/=/+/山/=/一/=_/.

当。趋近正无穷时，g（。）趋近正无穷.

所以仍的取值范围为：-，，+=°）.

故答案为：一5，+，（•

8.（2024.山东聊城二模）已知正方形ABC。的四个顶点均在函数〃x）=x3_2&x+l的图

象上，若48两点的横坐标分别为王,马，则可到=.

【答案】6

【分析】分析函数关于点〃（。，1）中心对称，进而正方形ABC。的对称中心为M,设出直线AC

的方程为卜=履+1伏＞。），则直线8。的方程为y=-gx+l,A（玉，％）,B（x2,y2）,贝lJC（一再,

K

2-%）,D（-x2,2-y2）,联立直线方程与函数y=/（x）可得％2=%+20,X；=2®_\,由

K

|AM|=|BM|,可得（1+%2）a+2直）=（1+」）（2直-J）,进而求得心1的值，所以可得忘;，

kkk

代值计算即可得出答案.

【详解】因为"x)=d—2缶+1,所以/(T)=f3+20x+l,贝Ijf(x)+/(f)=2,得函

数/（元）关于点〃（0，1）中心对称,

显然该正方形A2CD的中心为M,

由正方形性质可知，ACSB少于且|四|=|8知|=|。0|=|£>加|,

不妨设直线AC的方程为y=kx+Kk>0),则直线3。的方程为y=-1x+l,

k

设B(X2,y2),则。(一玉，2-％),。(—九2,2—%),

y=kx+]

联立直线AC方程与函数>=/(x)得即尤3—(左+2近)龙=0,

y=d—2A/2X+1

「•玉2=左+20，同理马？=2^2--,

K

又|AM|=J1+F|网一0|,18Ml=J+g|%-0|,

(1+k2)(k+2A/2)=(1+^)(2>/2--),BPjt2+-4+2^2(fc--)=0,

kkkk

化简得(k—+2^2{k——)+2=0,k——=—y/2,

kkk

x；%2=(上+20,2应一£|=2点[")+7=2近义卜应)+7=3,

I^x2|=A/3.

故答案为：73.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与曲线的综合运用.解决本题的关键是利用函数的对称

性与正方形的对称性，从而可设互相垂直的两条直线，再根据直线与曲线相交的坐标关系,

进而利用相交弦长公式确定直线斜率关系式.考查了运算求解能力，属于较难题目.

9.(2024•山东滨州•二模)已知函数/(x)=17m,数列｛4｝满足4=%=1，4+3=%(〃eN*),

2024

/(«2)+/(«3+«4)=0>则.

Z=1

【答案】2

【分析】根据函数性质分析可知：在R上单调递增，且为奇函数，进而可得

出+%+4=0,结合数列周期性分析求解.

【详解】由题意可知：的定义域为R,

y-i3-13Ji-3x

且/(x)+f(-x)=++=0,BP/(x)=-/(-%),

3'+13-'+13'+1i+r

可知/(x)为定义在R上的奇函数;

3—12

且/(x)==1-

3%+13工+1'

因为y=3,在R上单调递增,可知/(X)在R上单调递增;

试卷第10页，共45页

综上所述：/(x)在R上单调递增，且为奇函数.

因为/'(%)+/(%+4)=。，则/(03+。4)=一/(。2)=/(-02)，

可得。3+%=一％，即。2+〃3+〃4=0，

由4+3=4,("eN*)可知：3为数列｛%｝的周期，则%+4,+1+%+2=。，

2024

且2024=3x674+2,所以£q=囚+%=2.

1=1

故答案为：2.

【点睛】易错点睛：本题分析/(x)的奇偶性的同时，必须分析/'(尤)的单调性，若没有单调

性，由〃％)+〃％+%)=0无法得出的+%+4=0.

三、解答题

10.(2024.山东济南.二模)己知函数/(x)=(x-a)2(x-b)(a,6eR,a<%).

⑴当。=1力=2时，求曲线y=F(x)在点(2,42))处的切线方程；

(2)设士,无2是“X)的两个极值点，彳3是“X)的一个零点，且鼻片无］,退.是否存在实数工4,

使得4无2,尤3,尤4按某种顺序排列后构成等差数列？若存在，求Z；若不存在，说明理由.

【答案】⑴y=尤一2

【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得；

(2)借助导数祭计算可得函数的极值点为a,9詈，零点为6,结合等差数列定义计算即

可得解.

【详解】(1)当。=1,6=2时，/(x)=(x—1)2(X—2),

则((耳=2(尤-1)(尤-2)+(尤-1)2=(X-1)(3尤-5),故附2)=1,

又"2)=0,所以曲线y=f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2；

(2)尸(x)=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=3(x-a)|x-"+",

a+2b

由于a<6，故a<

3

令r（x）>0,解得或令尸（x）<0,解得

可知y=〃x）在内单调递减，在（-%（巴了,+j内单调递增,

所以/（X）的两个极值点为无=。,尤=二^,

a+2b

不^=a,x?—

3

因为三片外,退7%,且尤3是〃x）的一个零点，故F=6.

又因为Q丁+2b-"<2'-a+丁2b\J

a+2b2a+b

33

N—2a+ba+2b

此时a,--------,-----力---依次成等差数列,

所以存在实数Z满足题意，且无4=笥也.

11.（2024•山东济南•二模）已知点8（4,6）是双曲线T：J-y2=i上一点，T在点5处的切

线与x轴交于点A.

（1）求双曲线T的方程及点A的坐标;

（2）过A且斜率非负的直线与T的左、右支分别交于N,M.过N做NP垂直于x轴交T于尸（当

N位于左顶点时认为N与尸重合）.C为圆E:（尤-iy+（y+2）2=l上任意一点，求四边形

MBPC的面积S的最小值.

【答案】⑴:一/=1,（1,0）

(2)26+2

【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程，利用导数法来求切线方程即可得A点坐标；

（2）先设直线的方程，再利用M,A,N三点共线，可求出直线过定点。（4,0）,从

而把面积问题转化到两定点上去研究，最后发现尸、M为实轴两顶点时取到最小值,

再去研究另一个圆上动点C的SQM最小值.

试卷第12页，共45页

162

【详解】⑴由题意可知，4-3=1,即a=2,故T的方程为：r

a24

因为8在第一象限，不妨设好0,则9-必=1可变形为y=

则V，代入x=4得：y=*所以切线方程为y=%（，

令y=o得x=l,所以点A坐标为（1,0）.

设正加：丫=%：+〃?,加（可，丹）,P（尤2，％），则N（%,-y?）,

2=1

联立方程J41一，整理得：（l-4k2）x2-8bnx-4m2-4=0,

y=kx+m

△=16（加2一4左2+1）>0,玉+%=8碗2'再'2=-―，

1-4k1-4k

由M,A,N三点共线得：—=7,即％%+西%一（％+%）=。，

再一1%一］

整理得：2kXyX2+（加一女）（%+x2）-2m=0,

所以2女—二+（4-左）*妨12m=0，整理得〃2=-4左,

1-4左217l-4）t2

满足△>（）,所以直线加过定点。（4,0）,则忸0=6且线段垂直于1轴,

令dp-BQ，令-BQ，d（j-PM分别表示P,M,C到BQ,PM的距离,

结合图，显然限%-%-82,2°,怛河|220,仅当M为右顶点时两式中等号成立,

所以S=SB.+SCPM

>!|Be|2fl+12a（|£A|-l）=2V3+2,当且仅当尸（一2,0）,加（2,0）,。（1,-1）时等号成立.

【点睛】关键点点睛：利用导数思想来研究某点处的切线方程；对于面积问题，本题是要转

移到一边已知，从而把面积问题转化为点到这边距离的最小值问题.

12.(2024・山东济南・二模)已知函数/(2=办2-111》一1，8(彳)=止，-依2(0€11),

⑴讨论“X)的单调性；

⑵证明：/(A：)+g(x)>x.

【答案】(1)答案见详解

(2)证明见详解

【分析】(1)求导可得了'(x)=与匚，分aW0和a>0两种情况，结合导函数的符号判断

原函数单调性；

(2)构建尸(x)=/(x)+g(x)-苍x>0,/z(x)=el-px>0,根据单调性以及零点存在性定

理分析h(x)的零点和符号，进而可得F(x)的单调性和最值，结合零点代换分析证明.

【详解】(1)由题意可得：的定义域为(0,+8),f'(x\=2ax--=^^,

XX

当aW0时，贝(12依2-1<0在(0,+8)上恒成立，

可知/(x)在(0,+8)上单调递减；

当。>0时，令r(x)>0,解得x>jL令尸(X)<0,解得0<x<jL；

V2aV2a

可知/(X)在,K］上单调递减，在旧,+、上单调递增；

综上所述：当aWO时，“X)在(0,+8)上单调递减；

(r—\(r—\

当〃>0时，/(可在［0、五J上单调递减,在，+8j上单调递增.

构建尸

(2)(x)=/(x)+g(%)-x=xeX-lrix-x-l9x>0,

贝!］尸，(x)=(x+l)ex_!_］=(x+l)［ex_』］

由%>0可知％+1>0,

构建/i(x)=e'-』,x>0,

因为V=e。y=-,在(0,+8)上单调递增，

则人(%)在(0,+8)上单调递增,

X

试卷第14页，共45页

可知九（%）在（0,+8）上存在唯一零点七,

当。＜%＜X0，则%（%）＜0,即方'（力＜0；

当x＞%0，则h（%）＞0,即/'（x）＞0；

可知FQ）在（0,不）上单调递减，在5,+。）上单调递增，

则F（x）＞F（x0）=^e^-lnx0-x0-l,

又因为e'"」=。，则e&」,七=e』，xoef^jl

x°x0（2）

A

可得/（％o）=x（）x---Ine-°-x0-1=0,

x（）

BPF（x）＞0,所以〃x）+g（x）Zx.

13.（2024•山东济南•二模）在平面直角坐标系xOy中，直线/与抛物线W：/=2、相切于

点P，且与椭圆C：三+9=1交于A,8两点.

2-

（1）当尸的坐标为（2,2）时，求即;

（2）若点G满足GO+GA+G3=0,求△G4B面积的最大值.

【答案】

9

⑵正

6

【分析】（1）设尸1根据题意结合导数的几何意义求得切线方程为y=x°x-gx；,

与椭圆方程联立，结合韦达定理求|他|,代入/=2即可得结果；

（2）根据题意可知：点G为△OAB的重心，进而可得

S&GABOAd；2上,结合基本不等式求其最大值.

=l3S^B=12X小/J焉+1X小年+1

【详解】（1）由秒=2＞可得y=；/,y=x,

设尸（七,；尺），可知直线/的斜率k=%,

可知切线方程为y-gx；=尤o(x-Xo),即y=,

y=xox-^xo

联立方程2，消去y得(2片+1卜2-2无；尤+3/-2=0,

X71L

可知A=44（2/；+1）|父-21-2（M-阮-4）>0,解得_"+2君</<“+2若，

4

3-X-2

设4（再,3）,3®,%）,贝%+X_21_2_2___

为2―2片+1--2,+1

则N后［舒jig=国飞丁

若尸的坐标为(2,2),即演=2,

V2XA/1+22XV-24+8X22+41072

所以|A'=

2X22+19

1

(2)因为点0到直线/：与尤7-3焉=0的距离〃=

由题意可知：点G为△OAB的重心，且-“+2石<%<"+2。，

1/

+龙;J-x；+8元:+4

可知S&GAB=-5A0Afi=-X-JX—X—J*

/\\JAD3/'Cz/u?3

21+考2%：+1

二也X-F^=XJ-x；+8焉+4

12后^

个2乂+1

、2、2

+8%；+4显

金+

122、《2*+16，

7

当且仅当看二卫话"'即5±亦时'等号成立'

试卷第16页，共45页

所以△GAB面积的最大值为正.

6

【点睛】方法点睛：L与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法

(1)数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解.

(2)构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不

等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值).

14.(2024•山东济南.二模)随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机

现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下

移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为。例如在1秒末，粒子会等可能地出现在

(1,0),(0,1),(0,-1)四点处.

(1)设粒子在第2秒末移动到点(x,y),记x+y的取值为随机变量X,求X的分布列和数

学期望E(X)；

(2)记第〃秒末粒子回到原点的概率为P..

⑴己知之(de“求加P4以及%;

左=0

(ii)令b„=p2n,记S“为数列也｝的前〃项和，若对任意实数M>0,存在〃eN*,使得M,

则称粒子是常返的.已知有国U，证明：该粒子是常返的.

【答案】(1)见解析

9

⑵⑴A=0:p4=—(ii)见解析

【分析】(1)求出求X的可能取值及其对应的概率，即可求出X分布列，再由数学期望公

式求出矶X)；

(2)(i)粒子奇数秒不可能回到原点，故必=。；粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑，

再由古典概率公式求解即可；第2〃秒末粒子要回到原点，则必定向左移动左步，向右移动人

步，向上移动”-左步，向下移动〃-左步，表示出外"，由组合数公式化简即可得出答案；(ii)

利用题目条件可证明。再令/(x)=x-ln(l+x),x>0可证得

〃11

5“=»2上＞/此(〃+1),进一步可得S”＞zln5+1)＞M,即可得出答案.

左=166

【详解】(1)粒子在第2秒可能运动到点(1,1),(2,0),(0,2)或(0,0),(1,-1),(-1,1)或

(--1),(-2,0),(0,-2)的位置,X的可能取值为:-2,0,2,

尸(X=-2)=U，P(X=0)K尸"=2)=昌,

所以X的分布列为:

X-202

]_£1

P

424

E(X)=(-2)x：+0x；+2x；=0.

(2)(i)粒子奇数秒不可能回到原点，故n=。，

粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑：

S)每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有A：种情形;

修)每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有2c种情形;

A：+2C；9

于是“=

4464

第2〃秒末粒子要回到原点，则必定向左移动左步，向右移动左步，向上移动〃-左步,

gcfcfC7k1G(2〃)！

向下移动i步，故展？“力」中三项(〃_3

_](2〃)!<____(〃!)______]Qn\^QkQn~k

-F丽召⑼2[伍_女)!丁-哈…

今k=Q今

(ii)利用后(3“＜疝＜鼾扃哈”可知:

试卷第18页，共45页

令/(x)=x-ln(l+x),x>0尸(尤)=1-=—>0

''1+x1+x

故/(x)在(0,+8)上单调递增,

则/(力>〃。)=。，于是尤>ln(l+x)(x>。),

nn\infiAi

从而有：S,=£02%百>z£lnl+-\=-ln(n+l),

k=\k=lOk。2=1\)6

即团为不超过X的最大整数，则对任意常数M>0,当〃z［e6M］时，

n>e6M-l,于是S“>gln(〃+1)>M,

综上所述，当〃236“］时，S”>拉成立，因此该粒子是常返的.

【点睛】关键点睛：本题第二问(ii)的关键点在于利用同『后『］可

121n1

得力=齐•(e“)—>丁，再令/(尤)=x-ln(l+x),x>0可证得S“=E%>Rn(〃+l),进

一步可得S“>gln(w+1)>M,即可得出答案.

15.(2024.山东枣庄.模拟预测)已知函数/(x)=e，-ar2_x,/'(x)为/(无)的导数

(1)讨论:(x)的单调性；

⑵若x=0是/(x)的极大值点，求”的取值范围；

sin0081

(3)若0,£,证明：e^*+e^+ln(sin6»cos6>)<1.

【答案】(1)答案见解析

⑵。〉g

(3)证明见解析

【分析】(1)令g(x)=r(］),求出导函数，再分和〃>。两种情况讨论，分别求出函

数的单调区间;

(2)结合(1)分。40、0<。<；、a=g、四种情况讨论，判断了(X)的单调性，即

可确定极值点，从而得解；

(3)利用分析法可得只需证e™1'—+lnsin6<sin，。,ecose-1+Incos0<cos2^»只需证对任意

-l<x<0,有e*+ln(l+x)<(l+x)2,结合(2)只需证明ln(l+x)<x(T<x<0)&构造函数,

利用导数证明即可.

【详解】(1)由题知尸(x)=e'—2依一1,

令g(x)=/"(x)=e*-2ax-1,则g，⑺=e*-2a,

当aW0时，g'(x)>0J'(x)在区间(f,y)单调递增,

当a>0时，令g'(x)=0,解得x=ln2a,

当;ve(-oo,ln2a)时，g,(x)<0,当xe(ln2a,+ao)时，g'(x)>0,

所以/''(x)在区间(y,ln2a)上单调递减，在区间(ln2a,-H»)上单调递增,

综上所述，当aWO时，/'(X)在区间上单调递增；

当a>0时，/'(X)在区间(T»1n2a)上单调递减，在区间(In2a,”)上单调递增.

(2)当时,广(0)=0,

由(1)知，当xe(yo,0)时，在(-co,0)上单调递减；

当xe(0,+«))时,f(%)>0,/(%)在(0,+8)上单调递增；

所以x=0是函数的极小值点，不符合题意；

当0<a<；时，ln2a<0,且/(0)=0,

由(1)知，当xe(ln2a,0)时,尸(x)<0,f(x)在(ln2a,0)上单调递减;

当xe(0,+«))时，f(%)>0,/(%)在(0,+8)上单调递增；

所以x=0是函数/(x)的极小值点，不符合题意；

当a=g时，In2a=0,则当xe(Yo,+w)时，/(同20,/(力在(YO,+CO)上单调递增，

试卷第20页，共45页

所以/(X)无极值点，不合题意;

当a>g时，In2a>0,JiL/，(O)=O；

当xe(-00,0)时，(x)>0,/(x)在(-8,0)上单调递增；

当x«0,ln2a)时,尸⑺<0,〃x)在(0,ln2a)上单调递减;

所以x=0是函数的极大值点，符合题意；

综上所述，。的取值范围是

(3)要证esinW+e-+ln(sin，cos，)<1,

只要证/e+产火+In(sin6)+ln(cos，)<sin2e+cos2e,

只要证esine_1+Insin3<sin20，e00^-1+lncos0<cos26>,

因为8e1°，3，则sin。e(0,1),cos。e(0,1),

所以只要证对任意0<x<l,有e，T+hu<x2,

只要证对任意T<x<0,<ex+ln(l+x)<(l+x)2

因为由⑵知：当。=1时,若x<0,则/(x)</(O)=l,

所以e*-/-尤<1,HP<x2+x+l®,

令函数/z(x)=ln(l+x)-x(-l<x<0),贝!]//(尤)=1---1=^-^-,

所以当—l<x<0时〃(x)>0,所以/z(x)在(T。)单调递增；

则/7(x)</z(0)=0,即ln(l+x)<x(—l<x<0),

由①+②得e*+ln(l+x)<d+2x+l=(x+l)2,

所以(X)成立，

所以esin^+e-+ln(sina:os，)<1成立.

【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：

1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；

2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系;

3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

16.(2024•山东枣庄•模拟预测)若数列｛%｝的各项均为正数，对任意“eN*,有小2为，

则称数列｛4｝为“对数凹性”数列