浙江省金华一中2023-2024学年高一（下）期中数学试卷（含答案）

浙江省金华一中2023-2024学年高一（下）期中数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数1−i的虚部为()A．1 B．−1 C．i D．−i2．已知向量a=(t,1),b=(t+2,1)A．−2 B．−1 C．1 D．23．△ABC中，A，B，C是△ABC的内角，则“A=π3”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是()A．若m⊂α，n//β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n//α，则n//βC．若m⊂α，n//α，m，n共面于β，则m//nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线5．向量a=(6,2)A．(2,−1) B．(1,−12) C．(4,−2)6．侧面积为2π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为()A．2155 B．155 C．27．已知三棱锥P−ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PC=3，PB=A．823π B．6423π8．△ABC中，已知(AB|AB|+A．三边互不相等的三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．平面向量a，b是不共线的向量，则下列正确的是()A．|a+bC．|a+b10．已知z1，zA．|z1+C．z1+z11．下面有关三角形的命题正确的是()A．若△ABC的面积为34(B．在△ABC中，A=30°，b=2，a=2C．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=4：5：6，则最大内角是最小内角的2倍D．在△ABC中，a=2，c=4，cosC=−14，则AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．设x，y∈R，若x+(y−1)i=3+xi，其中i是虚数单位，则x+y=．13．如图所示，直观图四边形A'B'C'D'14．在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M是该正方体表面上一个动点，且四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．在复平面内，点A，B对应的复数分别是2+3i，1+2i(其中i是虚数单位)，设向量BA对应的复数为z．（1）求复数z；（2）求|z（3）若z1=m+i，且z116．如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，EF//CD，FB=FD．（1）若CD=2EF，求证：OE//平面ADF；（2）求证：平面ACF⊥平面ABCD．17．游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C；另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？18．如图，在三棱锥P−ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．（1）证明：AP⊥BC；（2）已知BC=8，AO=3，OD=2，且直线PB与平面PAD所成角的正弦值为23①求此三棱锥P−ABC的体积；②求二面角B−AP−C的大小．19．△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，a+b+c=6，b2（1）求角B的最大值，以及边长b的最大值；（2）设△ABC的面积为S，求S+1

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为复数为z=1−i，所以复数z的虚部为-1.

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合复数的虚部的定义，进而得出复数z的虚部.2．【答案】B【解析】【解答】解：因为向量a=(t,1),b=(t+2,1)，又因为a⊥b，

所以，a→·b→3．【答案】C【解析】【解答】若A=π3，则cosA=12若cosA=12，因为A∈(0，π)，所以A=π3所以“A=π3”是“故答案为：C．

【分析】根据充分必要条件的定义进行判断即可得出答案。4．【答案】C【解析】【解答】解：对于A，若m⊂α，n//β，m，n是异面直线，则α，β相交或α，β平行，所以A错；

对于B，若m⊥α，m⊥β，n//α，则n//β或n⊂β，所以B错；

对于C，若m⊂α，n//α，m，n共面于β，则m//n，所以A对；

对于D，若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或m，n相交，所以D错.

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合直线与直线的位置关系判断方法、直线与平面的位置关系判断方法、平面与平面的位置关系判断方法，进而找出结论正确的选项.5．【答案】C【解析】【解答】解：向量a=(6,2)在向量b=(2,−1)上的投影向量为a→6．【答案】D【解析】【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl=2π，

由侧面展开图是一个半圆，则2πr=πl，解得l=2,r=1,所以，该圆锥的底面半径为1.

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合圆锥的侧面积公式和圆锥侧面展开图是一个半圆，进而得出母线和圆锥底面半径的长.7．【答案】A【解析】【解答】解：三棱锥P−ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，

其外接球就是以PA，PB，PC为长，宽，高的长方体的外接球，

设PA=a,PB=b,PC=c，则有a2+b2=5b2+c2=5a2+c2=6可得a8．【答案】C【解析】【解答】解：因为(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，AB⃗|AB⃗|,AC⃗|AC⃗9．【答案】C,D【解析】【解答】解：已知平面向量a，b是不共线的向量，

设平面向量a，b的夹角为θ，则θ∈0,π，

则cosθ∈-1,1，即-|a→|·|b→|<a→·b→<|a→|·|b→|.

10．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，则z1+z2=a+c+b+di，故|z1+z2|=a+c2+b+d故答案为：BCD.【分析】本题主要考查复数的基本概念及混合计算，设z111．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A，由题意可知，S=12acsinB=34a2+c2-b2，

整理可得a2+c2−b2=233acsinB,由余弦定理可知a2+c2−b2=2accosB,

所以，tanB=3，因为B∈0,π，所以B=π3，所以A对；

对于B，由正弦定理可得asinA=bsinB解得sinB=22，

因为B∈0,π，所以B=45°或B=135°，即满足条件的三角形有2个，所以B错；

对于C，因为sinA：sinB：sinC=4：512．【答案】7【解析】【解答】解：因为x+(y−1)i=3+xi，

所以x=3y-1=x⇒x=3y=4，则x+y=7.13．【答案】2+【解析】【解答】解：因为直观图四边形A'B'C'D'是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，

根据斜二测画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD=1，高AB=2A'B'=2,

下底为BC=1+2，所以，1+1+214．【答案】3【解析】【解答】解：如图所示：

边长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，

动点M满足BM//平面AD1C，由面面平行的性质可得：

当BM始终在一个与平面AD1C平行的面内，即满足题意，

连接A1B,BC1,A1C1,因为AB∥C1D1且AB=C1D1,

所以，四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，

同理A1B∥D1C，又因为15．【答案】（1）解：因为点A，B对应的复数分别是2+3i，1+2i，所以A(2,3)，所以BA=(1,1)（2）解：因为z=1+i，所以|z（3）解：因为z1所以z1由z1z是纯虚数，可知解得m=−1．【解析】【分析】(1)利用已知条件结合复数的几何意义得出点A和点B的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，从而由复数的几何意义得出复数z.

（2）利用已知条件结合复数z的代数表示和共轭复数的定义以及复数的混合运算法则，从而由复数的模求解公式得出复数z的模.

（3）利用已知条件结合复数的除法运算法则和纯虚数的定义，进而得出实数m的值.16．【答案】（1）证明：取AD的中点M，连接OM、FM如图所示：

∵对角线AC与BD的交点为O，∴OM//CD，OM=1∵EF//CD，CD=2EF，∴OG//EF，OG=EF，∴OMFE为平行四边形，∴OE//FM．∵FM⊂平面ADF，OE⊄平面ADF，∴OE//平面ADF．（2）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BF=FD，O是BD的中点，∴OF⊥BD．又∵OF∩AC=O，∴BD⊥平面ACF．∵BD⊂平面ABCD，∴平面ACF⊥平面ABCD．【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中位线的性质和平行四边形的定义，进而得出线线平行，再结合线线平行证出线面平行.

（2）利用菱形的结构特征和等腰三角形三线合一证出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，从而由线面垂直证出面面垂直.17．【答案】（1）解：在△ABC中，因为cosA=1213，所以sinA=513，从而sinB==sinAcosC+cosAsinC=由正弦定理ABsinC得AB=AC答：索道AB的长为1040m．（2）解：假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100+50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得：d2因0≤t≤1040130，即当t=3537时，答：当t=35（3）解：由正弦定理BCsinA得BC=AC乙从B出发时，甲已经走了50×(2+8+1)=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为vm/min，由题意得−3≤500解得125043答：为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[125043,【解析】【分析】（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式、诱导公式和两角和的正弦公式，从而得出角B的正弦值，再结合正弦定理得出索道AB的长.

（2）利用已知条件结合余弦定理和二次函数在给定区间求最值的方法，进而得出甲、乙两游客距离最短的时间.

（3）利用正弦定理得出BC的长，再结合已知条件得出−3≤500v−7105018．【答案】（1）证明：∵PO⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴BC⊥PO，又AB=AC，D为BC的中点，∴BC⊥AD，又PO∩AD=O，且PO，AD⊂平面PAD，∴BC⊥平面PAD，又AP⊂平面PAD，∴AP⊥BC；（2）解：①由(1)可知BC⊥平面PAD如图所示：

∴直线PB与平面PAD所成角为∠BPD，∴sin又易知BD=4，∴PB=BDsin∠BPD又OD=2，PO⊥平面ABC，∴PO=20−4又BC=8，AD=3+2=5，∴三棱锥P−ABC的体积为13②由(1)及①易知PD垂直平分BC，∴PB=PC=6，又AB=AC，PA=PA，∴△PAB≌△PAC，又易知AB=AC=A又AP=A∴cos∠PAB=25+41−36过B作BE⊥AP于点E，连接EC，∴EB=AB×sin∵△PAB≌△PAC，∴CE⊥AP，∴二面角B−AP−C的平面角为∠BEC，又EB=EC=42，又BC=8∴EB2故二面角B−AP−C的大小为90°．【解析】【分析】（1）利用已知条件结合线面垂直的性质定理和等腰三角形三线合一，进而证出线线垂直.

(2)①由(1)可知BC⊥平面PAD，进而得出直线PB与平面PAD所成角为∠BPD，再结合正弦函数的定义和勾股定理以及线面垂直的定义，进而由三棱锥的体积公式得出三棱锥P−ABC的体积.②由(1)及①易知PD垂直平分BC，进而得出PB=PC，再利用AB=AC，PA=PA结合两三角形全等的判断方法得出△PAB≌△PAC，再结合勾股定理和余弦定理以及同角三角函数基本关系式，进而由正弦函数的定义得出EB的长，再结合两三角形全等得出线线垂直，进而得出二面角B−AP−C的平面角为∠BEC，再结合勾股定理得出二面角B−AP−C的大小．19．【答案】（1）解：∵a+b+c=6，b2∴cosB=a2+∵0<B<π，且y=cosx在(0,π)上单调递减，