2024年高三数学重难点复习专练：圆锥曲线与四心二十一大题型（原卷版）

重难点专题43圆锥曲线与四心二十一大题型汇总

题型1圆锥曲线重心与离心率.........................................................1

题型2圆锥曲线重心与直线...........................................................3

题型3圆锥曲线重心与面积...........................................................4

题型4圆锥曲线重心与坐标...........................................................5

题型5圆锥曲线重心与轨迹方程.......................................................6

题型6圆锥曲线外心与离心率.........................................................8

题型7圆锥曲线外心与坐标...........................................................9

题型8圆锥曲线外心与轨迹方程......................................................10

题型9圆锥曲线外心与求值..........................................................12

题型10圆锥曲线内心与离心率.......................................................13

题型11圆锥曲线内心与内切圆半径..................................................14

题型12圆锥曲线内心与直线（曲线）................................................16

题型13圆锥曲线内心与面积.........................................................17

题型14圆锥曲线内心与轨迹方程....................................................18

题型15圆锥曲线内心与求值.........................................................20

题型16圆锥曲线垂心与离心率.......................................................21

题型17圆锥曲线垂心与直线（曲线）................................................22

题型18圆锥曲线垂心与面积.........................................................24

题型19圆锥曲线垂心与坐标.........................................................25

题型20圆锥曲线垂心与轨迹方程....................................................26

题型21四心综合...................................................................29

题型1圆锥曲线重心与离心率

驷，“#占

一、三角形重心的定义

三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这一点就是三角形的重心.

二、三角形重心常见结论

（1）G是MBC的重心QGA+GB+GC=0；重心坐标：G（过詈垃,也竽巧；

（2）G为MBC的重心,P为平面上任意点，则丽=家丽+PB+PC）；

(3)重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1;

(4)重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3

条边的长成反比、

【例题II2019上・江苏•高三校联考阶段练习般4尸分别为椭圆C：9+2=1(a>b>0)

的右顶点和右焦点，名,殳为椭圆C短轴的两个端点，若点F恰为/力/殳的重心，则椭圆C的

离心率的值为

【变式1-1]1.(2020下•浙江•高三校联考阶段练习)已知6、尸2为椭圆5=l(a>b>0)

的左、右焦点，P的椭圆上一点(左右顶点除外)，G为△PFiB为重心•若"GF2<|兀恒成

立，则椭圆的离心率的取值范围是()

【变式1-1]2.(2018・贵州贵阳•高三阶段练习)在双曲线C：*2=l(a>0,b>0)的

右支上存在点4，使得点4与双曲线的左、右焦点6,尸2形成的三角形的内切圆P的半径为a,

若ZM&F2的重心G满足PG〃6&，则双曲线C的离心率为

A.V2B.V3C.2D.V5

【变式1-1]3.(2022•全国高三专题练习)已知椭圆9+，=1(a>6>0)的左右焦点为

Fl、F2,点P为椭圆上一点,△FJF2的重心、内心分别为G、I,若为=2(1,0),FK0),

则椭圆的离心率e等于()

A-B.在C.iD.在二

2242

【变式1-U4.(2022•全国•高三专题练习)设双曲线C：g-g=l(a>0,b>0)在左右焦

点分别为&，4，若在曲线C的右支上存在点P,使得△P&B的内切圆半径a,圆心记为M,

又4P&a的重心为G,满足MG平行于久轴，则双曲线C的离心率为()

A.V2B.V3C.2D.V5

22

【变式1-1]5.（2020・湖北•高三校联考阶段练习）已知椭圆C嘘+左=1（a＞b＞0）的

左、右焦点分别为Fl,F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I,G分别为APF1F2

的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为.

题型2圆锥曲线重心与直线

【例题2]（2020下•河北石家庄•高三统考阶段练习）已知抛物线C：*=8x的焦点为尸,

21（%1，%），。2（＞2,3/2）/3（%3，丫3）为抛物线。上的三个动点，其中＜乂2＜乂3且＞2＜。若/为公

P1P2P3的重心，记仆P/3P3三边P1P2，P/3，P2P3的中点到抛物线。的准线的距离分别为

dr，d2,43,且满足di+弓3=2d2,则BP3所在直线的斜率为（）

A.1B.-2C.2D.3

【变式2-1】1.（2019•全国•高三校联考阶段练习）已知抛物线C：V=4x上有三个不同的

点4C,直线ZB,BC,ZC的斜率分别为/CwMe，.右:两足,^AB+%c=0.且4ABe的重心在

直线y=-1上.则心。=（）

A.-2B.--2C.--2D.--3

v2

【变式2-1]2.（2022•全国高三专题练习）在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：^+y2=1

的左右焦点分别为0,&,过B且斜率不为0的直线/与椭圆C交于4,B两点，若△48%的

重心为G，且|OG|=乎，则直线珀勺方程为

O

22

【变式2-1]3.（2020•浙江•校联考三模）已知椭圆C：?+'=1的右焦点为“1,0）,上顶

点为B,则B的坐标为，直线MN与椭圆C交于M,N两点，且4BMN的重心恰

为点尸,则直线MN斜率为

22

【变式2-1]4.（2020•上海•高三专题练习）已知直线L交椭圆高+±=1于M、N两点，

NU16

椭圆与y轴的正半轴交于点B,若/BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点尸上,则直线L的方程

是

2

【变式2-1]5.（2022・全国•高三专题练习）在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y+y2=l

的左右焦点分别为a,&，过B且斜率不为0的直线I与椭圆C交于4,B两点，若4的

重心为G，且|OG|=,，则直线/的方程为

题型3圆锥曲线重心与面积

【例题3]（2020•吉林・统考三模）设点P为椭圆C：,+[=1上一点，6、4分别是椭圆。的

2516

左、右焦点，且/PF14的重心为点G,如果|P&I=2：3,那么/GP&的面积为（）

A.—B.2V2C.—D.3V2

33

【变式3-1]1.（2020下•重庆九龙坡•高三重庆市育才中学校考开学考试）设点P为椭圆：

哈+哈=1上一点，Fi,尸2分别是椭圆的左右焦点，G为"a尸2的重心，且P&1PF2,那么

/GPF2的面积为

【变式3-1]2.（2019上•上海浦东新•高三上海市建平中学校考期末）已知抛物线f=8%

的焦点是F,点A、B、C在抛物线上,。为坐标原点，若点F为AABC的重心,人。凡4、AOFB、^OFC

面积分别记为£、$2、S3,贝！IS/+S22+S32的值为

A.16B.48C.96D.192

【变式3-1]3.（2022•四川资阳统考二模）设F为抛物线y2=4久的焦点,A,B,C为抛物

线上不同的三点，点F是AABC的重心，。为坐标原点，AOFA、AOFB、AOFC的面积分别为

Si、S2、S3,则S/+S字+S[=

A.9B.6C.3D.2

【变式3-1]4.（2020上•浙江•高三校联考阶段练习）已知6（-1,0）,F2（l,0）,M是第一

象限内的点，且满足IMFJ+|M&|=4,若/是△的内心，仃是4M&F2的重心，记4

行/2与4G&M的面积分别为Si,S2,则（）

A.Si>52B.Si=S2C.Si<S2D.Si与S2大小不确定

题型4圆锥曲线重心与坐标

【例题4]（2019•甘肃校联考一模）已知4B分别是双曲线C：产-?=1的左、右顶点，P

为C上一点，且P在第一象限.记直线PA,PB的斜率分别为灯，k2,当2kl+@取得最小值

时，△PA8的重心坐标为（）

A.（L1）B,（1彳）C.&1）D-（1-1）

【变式4-1】L（2019河北衡水统考一模）已知抛物线y2=4%上有三点4,B,C,AB,BC,CA

的斜率分别为3,6,-2,则2MBe的重心坐标为

A.（小1）B.（拳0）C.（|1,0）D.琮,1）

【变式4-1]2.（2020下•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考期中）抛物线。：必=

2PMp>0）的焦点为尸，48是抛物线C上两点M\AF\+\BF\=10,。为坐标原点，若

的重心为尸，贝加=（）

A.1B.2C.3D.4

【变式4-1】3.（2018•福建莆田•统考一模）已知。为坐标原点，F为抛物线C：*=8x的焦

点，过F作直线/与C交于A,B两点.若|4B|=10,则40AB重心的横坐标为

A/B.2C.|D.3

【变式4-114.（2020•陕西统考二模）已知抛物线广：y2=2p%（p>0），从点M（4,a）（a>

0）发出，平行于无轴的光线与「交于点4，经厂反射后过厂的焦点N,交抛物线于点B,若反

射光线的倾斜角为雪，|力N|=2,则4A8M的重心坐标为（）

A.（2，-百）B.（|,0）C,（3,-f）D,（2,-f）

【变式4-1]5.（2022•全国•高三专题练习）已知AABC是椭圆卷+春=1（3>6>0）的内

接三角形,F是椭圆的上焦点，且原点O是AABC的重心.求A,B,C三点到F距离之和

为

2

【变式4-1]6（2016上•湖南•高三阶段练习股直线/：%-2y-m=。与椭圆C：>+V=1

4

相交于4,B两点，M为椭圆C的左顶点，若2MBM的重心在y轴右侧,则小的取值范围

是.

【变式4-1】7.（2020•吉林长春•高三校联考阶段练习）抛物线=4比的焦点为F，点P、

Q、R在C上,且/PQR的重心为尸,贝!J|PF|+|QF|的取值范围为

A-（3，|）U（|<5]B.[4,-）U（-,5]C.（3,4）U（4,JD,[3,5]

题型5圆锥曲线重心与轨迹方程

型色重点

焦点三角形重心轨迹方程：

22

①设点G为椭圆会+琶=Ka>b>0）的焦点三角形P&F2的重心，则点G的轨迹方程为

证明：如图1,设P（x°,y°）,则有y0丰0（否则不能成为三角形），椭圆左、右焦点坐标为

&（—c,0）,F2（c,0）,△2尸/2由重心为6（久,丫），由三角形重心坐标公式，有x=-。+（；）+。=

羡，y=智2=段,即X。=3x,yO=3y,代入椭圆方程，可得等+筌=1，化简可得

2222

急+备=1，又；刖不。，；•yAo，于是其重心的轨迹方程为Q+悬=i（y中。），即以

\37（石）\3/

原椭圆的长轴长的[为长轴，以原椭圆的短轴长的1为短轴的椭圆（顶点除外）.

I\1

图1图2

22

②设点G为双曲线W-^=l（a>0,b>0）的焦点三角形PF/2的重心，则点G的轨迹方程为

27

禽-Q=底"。）•

\3/⑺

证明：如图2,设PG。，y°）,则有y°丰0（否则不能成为三角形），双曲线左、右焦点坐标

为&（—乙0）/2（。,。）“「尸/2由重心为60,刃，由重心坐标公式，有x=x*c）+c=",y=

也詈=卑,即%。=3x,y0=3y,代入双曲线方程，可得誓-誓=1,化简可得总-

\3）

222

施=1,又•；y°H0,yK0,于是其重心的轨迹方程为急一施=l（yA0）,即以原双

VS/（石）（,37

曲线的实轴长的《为实轴，以原双曲线的虚轴长的［为虚轴的双曲线（顶点除外）.

【例题5］（2018上•重庆•高三重庆一中校考期中）已知P是以&&为焦点的双曲线［-1=

ioy

1上的动点，则/&&P的重心G的轨迹方程为（）

A.等-y2=1（尸0）B.岑-/=l（y力0）

lo1O

C.—+y2=l（y。0）D.—+%2=l（yH0）

1616

【变式5-l】l.（2022上福建福州•高三校考期中庇平面直角坐标系xOy中设点P（-1,0）,

Q（1，0），点G与P,Q两点的距离之和为2,N为一动点，且6为4PQN的重心.

（1）求点N的轨迹方程C；

（2）设C与久轴交于点4,B（A在B的左侧），点M为C上一动点（且不与4,8重合）.设直线4M,

x轴与直线x=汾别交于点R,S,取E（2,0）,连接所,证明：ER为NMES的角平分线.

【变式5-1］2.（2022上•广东揭阳•高三揭东二中校考阶段练习）已知&、尸2是椭圆。：7+

y=1的左、右焦点，点P（rn,m（九丰0）是椭圆上的动点.

（1）求4P&F2的重心G的轨迹方程；

（2）设点Q（s,t）是APF/2的内切圆圆心，求证：加=2s.

【变式5-1］3.（2022・全国•高三专题练习）点4（的,月），8（右,当）是抛物线。：/=2y上

的不同两点，过4,B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P（xo，y。）.

⑴求证：比是久1与右的等差中项；

(2)若直线4B过定点M(0,1),求证：原点。是△P48的垂心；

(3)在(2)的条件下，求4P4B的重心G的轨迹方程.

【变式5-1J4.(2020・浙江•统考模拟预测)已知O是坐标系的原点,F是抛物线C：/=4y

的焦点，过点F的直线交抛物线于A,B两点，弦AB的中点为M,A。48的重心为G.

(2)设(1)中的轨迹与y轴的交点为D,当直线AB与x轴相交时，令交点为E,求四边

形DEMG的面积最小时直线AB的方程.

题型6圆锥曲线外心与离心率

#占

f.丰•、、、

一、三角形外心的定义

三角形的外心：三角形外接圆的圆心，称为外心，三角形三条边的垂直平分线的交点，就是

三角形的外心.

二、三角形外心重要结论

(1)O是44BC的夕卜心=|07|=\OB\=|oc|(或a2=42=而2)；

(2)若点O是44BC的夕卜心,贝！］(市+OB)-AB=(OB+OC)-BC=(OA+OCyAC=0.

(3)若O是4ABC的夕卜心,贝Usin2A•OA+sin2B-OB+sin2C-OC=0；

(A\仝3二佳国々卜心小杆.介(。力sin2A+%Bsin2B+-csin2cy/sin24+yBsin2B+ycsin2C、.

I)—用L/土体•uIsin24+sin2B+sin2C'sin24+sin2B+sin2c)'

(5)多心组合：△ABC的外心。、重心G、垂心”共线，BPOGIIOW；

【例题6】（河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考数学（理）试题）已知坐标平面xOy

2

中，点&分别为双曲线f=1（a>0）的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，

MF2与双曲线C的一条渐近线交于点。，且。为MF2的中点，点I为△OMF2的外心',若。、/、

。三点共线，则双曲线C的离心率为（）

A.V2B.3C.V5D.5

【变式6-1】1.（2020•湖北宜昌・统考一模）设F（c,0）为双曲线—《=l（a>0,b>0）

的右焦点，以尸为圆心，6为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,线段FP的中点为。,

/P。尸的外心为/,且满足砺=AOI（A*0）,则双曲线E的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【变式6-l】2.（2018上•湖南长沙•高三宁乡一中阶段练习匹尸2分别为双曲线1

（a,b>0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足函-PK=0,若/PF1F2的内切圆半径与外

接圆半径之比为手，则该双曲线的离心率为

22

【变式6-1]3.（2020•山东泰安•统考模拟预测）已知点&,尸2分别为双曲线C；京-a=

l（a>0,b>0）的左、右焦点点A,B在C的右支上，目点尸2恰好为△62B的外心若丽+

瓦J）•瓯=0,贝UC的离心率为

题型7圆锥曲线外心与坐标

【例题7】（2022•全国•高三专题练习）在直角坐标系xOy中直线y=x+4与抛物线C：x2=

4y交于A,B两点.若D为直线y=尤+4外一点，且小28。的外心M在C上，则M的坐

标为

【变式7-1]1.（2019•浙江•统考模拟预测）已知椭圆1+1=1的下顶点为4，若直线比=

164

ty+4与椭圆交于不同的两点M、N,则当t=时，2MMN外心的横坐标最大.

【变式7-1]2.（2022・全国•高三专题练习）如图，椭圆Q：1+y2=1,抛物线C?:/=

4

2py(p>0),设G、Q相交于人B两点，。为坐标原点.若A4B。的外心在椭圆上，则实数

P的值

22

【变式7-1]3.(2022・全国•高三专题练习)设椭圆C：9+3=1的右焦点为尸,过F的直

线1与C相交于4B两点•设过点力作久轴的垂线交C于另一点P，若加是4P4B的外心，则黑的

\MF\

值为

【变式7-1】4.(2022・全国•高三专题练习)已知椭圆C5+[=1的左、右焦点分别为&,

过的直线交椭圆。于两点,过作支轴的垂线交椭圆与另一点不与重

F2,F22484CQ(Q4B

合).设△力收的外心为G,贝嚼的值为

【变式7-1]5.(2022•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的方程

为J+V=1,设经过点P(2,0)的直线1交椭圆C于4,B两点，点Q(m,0).设点F为椭圆C的

左焦点，若点<2为4凡48的外心',则实数小的值

题型8圆锥曲线外心与轨迹方程

(6)焦点三角形外心轨迹方程:

22

①动点P为椭圆京+a=l（a>6>0）上异于椭圆顶点（土a,0）的一点，a,F2为椭圆的左、

右焦点，设焦点三角形PF/2的外心为E,则外心E的轨迹方程为x=0（y2与/或y<

C2-）

2b）.

22

②动点P为双曲线会—色=l（a>0,6>0）上异于双曲线顶点（土a,0）的一点，&,F?为双曲

线的左、右焦点，设焦点三角形P&B的外心为E,则外心E的轨迹方程为x=0.

证明：只证双曲线情形.如图1,设点P坐标为P（x°,yo）,则有y°丰0，;点E在&尸2的垂直

平分线上，，可设E（0,乃）；PF?的垂直平分线的方程为y-葭=-手1-青上），而点E在

其上，因此为=等+葭."在双曲线上，•,丁一"=1，•»=禁一差，由于

nZClU乙U

（-8,0）U（0,+00）,.-.yieR,因此点E的轨迹方程为x=0.同理可证椭圆情形.

【例题8]（2022・全国•高三专题练习）已知点4（2,0）,8,。在、轴上,且|BC|=4,则△ABC

外心的轨迹S的方程；

【变式8-1]1.（2022・全国•高三专题练习）设点M、N分别是不等边△ABC的重心与外

心，已知4（0,1）、B（0,-1）,且而=AAB.则动点C的轨迹E；

【变式8-1】2.（2022・全国•高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，点2在圆。：/+/=

5上，直线％=2与圆。交于E,F两点（E点在x轴上方），点P（7H,n）（0<mf是抛物线f=

2x上的动点，点Q为APEF的外心，则线段。Q长度的最大值为,当线段0Q长度最大时,

则4PEF外接圆的标准方程为

22

【变式8-1]3.(2021•河北石家庄•统考一模)已知坐标原点为。，双曲线(:+-琶=

l(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离为近,离心率为旧.

(I)求双曲线的方程；

(n)设过双曲线上动点P(*o，yo)的直线等=1分别交双曲线的两条渐近线于4,8两

点，求小4。8的外心M的轨迹方程.

【变式8-1]4.(2021・全国•模拟预测)在平面直角坐标系中,MBC的两个顶点A,B的

坐标分别为(-1,0),(1,0),平面内两点G,M同时满足以下3个条件：①G是AABC三条

边中线的交点：②M是AABC的外心；③GM〃AB

(1)求AABC的顶点C的轨迹方程；

(2)若点P(2,0)与(1)中轨迹上的点E,F三点共线,求|PE|•|PF|的取值范围

题型9圆锥曲线外心与求值

【例题9](2022・全国•校联考模拟预测)已知椭圆「：1=1,过其左焦点6作直线I

4D

交椭圆r于P,A两点，取P点关于x轴的对称点B.若G点为△P4B的外心，则鹄=()

IGF/

A.2B.3C.4D.以上都不对

【变式9-1]1.(2023下•广东清远•高三校联考阶段练习)已知双曲线C：《-《=

l(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),过点F的直线/与双曲线C的右支相交于M,N两点，点M

关于y轴对称的点为P.当丽・丽=0时，|MN|=平.

(1)求双曲线C的方程；

⑵若△MNP的外心为Q,求瑞的取值范围.

【变式9-1]2.(2020下•福建•高三统考阶段练习)设椭圆C：1+q=1的右焦点为F,过

4D

尸的直线/与C相交于4B两点.

(1)若赤=2FB,求2的方程；

(2)设过点加乍%轴的垂线交C于另一点P,若M是△P4B的外心，证明:拨为定值.

【变式9-1]3.(2021・四川眉山•仁寿一中校考模拟预测)已知椭圆C：^+5=l(a>b>0)

的左右焦点分别是&B，P是椭圆上一动点(与左右顶点不重合)，已知△「&心的内切圆半

径的最大值是白，椭圆的离心率是去

(1)求椭圆C的方程；

(2)过H(4,0)作斜率不为0的直线2交椭圆于4B两点，过B作垂直于x轴的直线交椭圆于另

一点Q,连接4Q,设UBQ的外心为G,求证：黑为定值.

题型10圆锥曲线内心与离心率

一、三角形内心的定义

三角形的内心：三角形内切圆的圆心，称为内心，三角形三条内角平分线的交点，就是内心.

二、三角形内心常见结论

设小ABC的内切圆为圆/,切边力B于P,则有如下重要结论：

(1)/是AABC的内心=a・请+b•历+c-7?=6(其中a、b、C为△ABC的三条边)；

(2)ABIC=90。+*；

(4)内心/点的坐标为(

a+b+ca+b+c

【例题10](2020下•湖北•高三校联考阶段练习)过双曲线c：g-g=l(a>0,b>0)的右

焦点F作直线/,且直线/与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为4,直线I与另一条渐近线交于

点B,已知。为坐标原点，若404B的内切圆的半径为手a,则双曲线C的离心率为()

A.当B.V3+1C.竽D.学或2

22

【变式10-1]1.（2020・浙江绍兴统考二模）双曲线a=l（a>0,b〉0）的渐近线

与抛物线。2：/=2py（p>0）交于点4。,8,若抛物线。2的焦点恰为/4。8的内心，则双曲

线Ci的离心率为（）

A.-B.V3C.—D.9

242

【变式10-1]2.（2022・全国•高三专题练习）设?是双曲线。：9—9=Ka>0,b>0）的右

焦点，。为坐标原点，过F作。的一条渐近线的垂线，垂足为H,若小的内切圆与x轴切

于点B,且加=2丽，贝UC的离心率为（）

A3+V17g4+V17Q3+3^17p3+3A/T7

•4,4•84

【变式10-1]3.（2021•辽宁统考二模）已知双曲线5-2=1的左右焦点为&F2,0为它

的中心，。为双曲线右支上的一点，/PF/2的内切圆圆心为/,且圆/与x轴相切于4点，过6

作直线P/的垂线，垂足为B,若双曲线的离心率为e，则

A.\OB\=\OA\B.\OB\=e\OA\C.\OA\=e\OB\D.|OB|与|。4|关系不确定

【变式10-l】4.（2019下•福建南平•高三统考期末圮知点P为双曲线3=l（a>0,6>

0）右支上一点，点Fl,F2分别为双曲线的左右焦点，点I是WF1F2的内心（三角形内切

圆的圆心），若恒有S.PI-S.P6>曰S.R%成立，则双曲线的离心率取值范围是（）

A.（1,V2）B.（1,2V2）

C.（1,2V2]D.（1,V2]

【变式10-1】5.（2019上河北•高三校联考阶段练习）过双曲线*冬=Ka>b>0）右

焦点F的直线交两渐近线于4B两点，若m-AB=0,。为坐标原点，且4。48内切圆半径

为竽a，则该双曲线的离心率为

A.—B.V3C.—D.V3+1

33

题型11圆锥曲线内心与内切圆半径

'1z5!^^

邪一尊重点:

三角形内切圆的半径求法：

①任意三角形：r=等（其中C△为△ABC的周长，S加XABC的面积）；

②直角三角形：r=H二（其中a,b为直角边，c为斜边）；

【例题11]（2022•全国•高三专题练习）已知双曲线C：捻-g=l（a>0,fe>0）的两条

渐近线与抛物线f=2px（p>0）的准线分别交于A,8两点，。为坐标原点，若双曲线C的

离心率为2,A4。8的面积为值,则440B的内切圆半径为（）

A.V3-1B.V3+1C.2V3-3D.2V3+3

【变式11-1】L（2017•江西抚州•统考一模）点&、尸2分别是双曲线/-1=1的左、右

焦点，点P在双曲线上，则/PF1a的内切圆半径r的取值范围是

A.（0,V3）B.（0,2）C.（0,V2）D.（0,1）

【变式11-1]2.（2023・全国•模拟预测）如图，已知双曲线C：*5=l（a>0,b>0）的

左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，目尸2P的延长线交y轴于点注，且用•可=0,

△4P6的内切圆半径为4,AP&F2的面积为9,则|441由/21=（）

A.18B.32C.50D.14

【变式11-1】3.（2021•云南昆明•昆明一中校考模拟预测）已知椭圆C:?+9=1的左、

右焦点分别为Fl,F2,点M在椭圆C上,当AMF1F2的面积最大时,^MF1F2内切圆半

径为（）

A.3B.2C.-D.-

33

【变式11-1】4.（2023・湖南邵阳•邵阳市第二中学校考模拟预测）设椭圆捺+《=

l（a>b>0）的左右焦点分别为6和F2,离心率为日,过左焦点&且倾斜角为60。的直线与椭

圆交于A,B两点，且线段4B=5,贝必MF2的内切圆半径等于

【变式11-1】5.（2023上•广东广州•高三广东广雅中学校考阶段练习）已知椭圆。：5+5=

l（a>b>0）的右顶点为2,上顶点为B,。为坐标原点,且直线4B的方程为百万+2y-

2V3=0.

（1）求椭圆C的方程；

（2）F为椭圆C的左焦点，直线/交椭圆C于M,N（不与点力重合）两点，记直线AM,AN，珀勺

斜率分别为七，七，k,满足：七+七=-*记4FMN的内切圆半径为r,求r的取值范围.

题型12圆锥曲线内心与直线（曲线）

【例题1212018•河北石家庄•统考一模圮知Fl,F2分别为双曲线《-5=l（a〉0,b〉0）

的左焦点和右焦点，过F2的直线I与双曲线的右支交于A,B两点，MF1F2的内切圆半径

为rl,ABF1F2的内切圆半径为r2,若rl=2r2,则直线I的斜率为（）

A.1B.V2C.2D.2V2

22

【变式12-1】1.（2016•福建漳州统考二模）已知双曲线。噌―言=l（a>0,b>0）的左、

右焦点为&,64为双曲线C右支上异于顶点的一点，APFIF2的内切圆与无轴切于点（1,0）,

且P与点B关于直线y=-与对称，则双曲线方程为

22

【变式12-1】2.（2022・全国•高三专题练习）点P是双曲线C:《-工=1的上支上的一点，

yio

Fl,F2分别为双曲线的上、下焦点，则APF1F2的内切圆圆心M的坐标一定适合的方程是

A.y=-3B.y=3C.x2+y2=5D.y=3x2-2

22

【变式12-1]3.（2020・山西统考三模）已知椭圆a=l（a>6>0）的左、右焦点分

别为国,尸2，P为C上一点，若/为△PF/2的内心，且SAPF】FZ=3SA*FZ，贝北的方程可能是

A.—+y2=1B.—+y2=1

2）3/

c.立+优=1D.立+片=1

3243

【变式12-1】4.（2015•浙江杭州统考一模）已知椭圆C:总+5=l（a>b>0）,F2为

左右焦点，点P（2,遍）在椭圆C上，△&P4的重心为G,内心为/,且有房=温百（%为

实数），则椭圆方程为（）

A,互+股=iB.互+二=1

86164

c,立+空=1D.立+片=1

927105

题型13圆锥曲线内心与面积

【例题13】（2019・安徽•高三校联考阶段练习）如图所示，点P为椭圆9+?=1上任一点，

a,尸2为其左右两焦点，△PF/2的内心为I，则等曲=（）

i

APF1F2

3234

【变式13-1】1.（2020上•贵州贵阳•高三贵阳一中校考阶段练习）双曲线I-g=1的左、

916

右焦点分别为6尸2,P为双曲线右支上一点J是的内心目S〃PF2=

/PF#2SAIPF1-ASAIFIF2,

则4=()

A「|B.YC.|D.i

【变式13-1】2.(2020上•浙江•高三校联考阶段练习)已知6(-1,0),F2(l,0),M是第一

象限内的点，且满足IMFJ+|M&|=4,若/是△MF/2的内心，G是AMF/z的重心，记4

叼2与4G&M的面积分别为Si,S2,则()

A.Si>52B.Si=S2C.Si<S2D.Si与S2大小不确定

【变式13-1】3.(2012•浙江•校联考一模)已知点P为双曲线捻-g=l(a>0,b>0)右支

上一点，&&分别为双曲线的左右焦点，且下出1=9,/为三角形PF/2的内心，若%p&=

S4/PF2+"Sq/FiFz成"I则4的值为

A..2V3-1C.V2+1D.V2-1

【变式13-1】4.(2019下河南洛阳•高三统考期末)已知双曲线M：/—1=1的左，右

焦点Fl,F2，点P在双曲线上左支上动点，则三角形PF1F2的内切圆的圆心为G，若AGPF1

与△GF#2的面积分别为SF,贝除取值范围是

题型14圆锥曲线内心与轨迹方程

31塾重点

(6)焦点三角形内心轨迹方程：

①设点M为椭圆真+卷=l(a>b>0)的焦点三角形P&F2的内心，则点”的轨迹方程为：

22_________

总+7T77?=l(y丰°)，其中c=Va2-b2.

\a+c)

证明：如图1,设M(x,y),P(&,y°),连结P“交&F2直线于点。，0),由三角形内角平分

线定性质矢喘=器=^=悬畸*"•朋—+詈，陋』】+小』=

C2%o

又由|MP|=,MO|,得殉=1,y。=W匕♦唔+普=1,.+霜=1(尸0).

②设点/为双曲线盘一3=l(a>0,b>0)的焦点三角形PF/2的内心，则有：

(1)当P在双曲线右支上时，点/的轨迹方程为％=a(|y|<b,y0)；

(2)当P在双曲线左支上时，点/的轨迹方程为久=-a(|y|<。0).

证明：(1)当P在双曲线右支上时，如图2,设圆/与P&,PF2,F/2分别相切于点4，B,C,

则有|七川=内有,\PA\=\PB\,\F2B\I\F2C\.rP在双曲线右支上,\PFr\-\PF2\=2a,

即吗川-正引=2a,又|FiC|-|F2clM2a,设C(二,0),则有久'一(—c)一(c一7)=2a,

化简，有x'=a.从而知总圆/与久轴相切于点C(a,0),又,；/C1%轴，故点/的轨迹方程为x=

a.

设/的纵坐标为y,NPF/2=a,则有整=tan]<三=詈，:|y|<6且yK0.

c

综上所述，点/的轨迹为X=a(|y|<6,yA0).

(2)仿照(1)的证明可证得：当P在双曲线左支上时，圆/总与%轴相切于点C(-a,0),点

/的轨迹为x=-a(|y|<b,y0).

【例题14](2018上浙江金华•高三校联考期末)已知见尸2为椭圆C：=+?=1的左、右

焦点,点P在椭圆C上移动时,/PF1&的内心/的轨迹方程为

【变式14-1]1.(2019上•四川成都•高三成都七中校考期中)点M为椭圆9+9=1上一

点，6,尸2为椭圆的两个焦点，则仆&MF2的内心轨迹方程为

22

【变式14-1]2.(2022上・全国•高三阶段练习)若双曲线C：亍-七=1,&,4分别为

45

左、右焦点，设点P是在双曲线上且在第一象限的动点，点/为可&尸2的内心，4（。,4）,则下

列说法正确的是（）

A.双曲线C的渐近线方程为彳±?=0

B.点/的运动轨迹为双曲线的一部分

C.若IP&I=2|P&I,司=万西+、而，则y-%=|

D.不存在点P,使得|P4|+|P&|取得最小值

【变式14-1】3.（2022・全国•高三专题练习）已知椭圆条+卷=Ka>b>0）左、右焦点

分别为6,F2，P为椭圆上异于长轴端点的动点，APF/z的内心为/，求点/的轨迹方程.

题型15圆锥曲线内心与求值

22

【例题15】2018上•河北石家庄•高三辛集中学阶段练习）已知M是椭圆募+±=1上一点，

Zb16

a正2是椭圆的左右焦点