2024-2025学年河南省某中学九年级上期末数学试卷（附答案解析）

2024-2025学年河南省实验中学九年级上期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）把一元二次方程2%=f-3化为一般形式，若二次项系数为1,则一次项系数及常数项分别为（）

A.2,3B.-2,3C.2,-3D.-2,-3

2.（3分）中国古建筑以木材、砖瓦为主要建筑材料，以木构架结构为主要的结构方式，由立柱、横梁、

顺棵dm）等主要构件建造而成.各个构件之间的结点以柳卯相吻合，构成富有弹性的框架，如图是

某种樟卯构件的示意图，其中樟的左视图为（）

3.（3分）如图，在矩形ABC。中，对角线AC与3。相交于点。，则下列结论一定正确的是（）

A.AB=ADB.AC±BDC.AC=BDD.ZACB=ZACD

（-），（*）都在反比例函数］（）的图

4.（3分）在平面直角坐标系中，若点（-2,yi）,1,”2,y=k>0

象上，则下列结论正确的是（）

A.yi>yi>y3B.y2>yi>y3C.y3>y\>y2D.y3>yi>yi

5.（3分）如图，△ABC中，ZB=60°,AB=6,AC=8.将△ABC沿图中的DE剪开.剪下的阴影三角

形与原三角形不相似的是（）

6.（3分）如图1,长为10cm,宽为8c机的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了

探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落

在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据:

点落在不规则图案内的频率

由此可估计不规则图案的面积大约为（）

A.32cm2B.24cm2C.16cm2D.8cm2

7.（3分）如图，点A,B,C都是正方形网格的格点，连接BA,CA,则/B4C的正弦值为（）

V52V5

B.—C.—D.2

55

8.（3分）关于抛物线y=-2（x+1）2+3,下列说法错误的是（）

A.开口方向向下

B.当了＜-1时，y随x的增大而减小

C.对称轴是直线x=-1

D.经过点（0,1）

9.（3分）如图，四边形A8CQ内接于连接AC.若ZBAC=36°,则的度数是（

B

C.72°D.73°

10.（3分）如图，在四边形ABC。中，AD//BC,NC=45°,以43为腰作等腰直角三角形A4E,顶点E

恰好落在CD边上,若AE>=1,则CE的长是（）

二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分）

11.（3分）已知：一=一,则---=.

b5b

12.（3分）已知关于x的方程x2-3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围

是.

13.（3分）若二次函数自变量x=2时，函数值y有最大值-1,则这样的二次函数关系式可以

是.

14.（3分）某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地

面102机的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°,底端B的俯角为63°,则测得黄鹤楼的高度是

（参考数据：tan63°〜2,sin63°cos63°^0.5)

15.（3分）菱形A8C。的边长为4,ZBAD=60°,对角线AC、交于点O,点尸为线段A。上的一个

动点，连接PB,将线段PB绕点B顺时针旋转60°至QB,连接。。则线段长的最小值为

最大值为.

三、解答题（共75分）

16.（10分）（1）解方程：2x75=0；

（2）计算：2-2+（一》。-旧+4s讥60。.

17.（9分）一起感悟读书之美，推广全民阅读，建设“书香中国”，不负韶华梦，读书正当时！我校对A.《三

国演义》、B.《红楼梦》、C.《西游记》、D.《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活

动.

（1）小胡从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为.

（2）我校计划从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，求《红楼梦》被选中的概率.（请用画树

状图或列表等方法说明理由）

18.（9分）如图，一次函数（左W0）的图象与反比例函数月=£（小力。）的图象相交于A（1，3）,

B（n,-1）两点，分别连接4。和20.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）根据图象，直接写出时，x的取值范围；

（3）求△ABO的面积.

19.（9分）如图，在△ABC中，ZC4B=90°,AD是3c边上的中线.

（1）尺规作图：在直线AC右侧作射线AE〃BC,在射线AE上截取AE=CD,连接CF.（保留作图痕

迹，不写作法)

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AOb为正方形，并说明理由.

20.(9分)如图，已知48是。。的直径，直线。C是。。的切线，切点为C,AE±DC,垂足为E,连接

AC.

(1)求证；AC平分/R4E；

7

(2)若AC=10,tan/ACE=q，求。。的半径.

21.(9分)“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种，某葡萄种植基地2021年年底己经种植“阳光玫瑰”200

亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到288亩.

(1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率；

(2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/他时，每天能售出200像；销售单价每降低1元，

每天可多售出40依.为了减少库存，该基地决定降价促销.已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10

元/依，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利2160元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定为

多少元？

22.(10分)羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建

立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y(单位：加)与水平距离x(单

位：M近似满足函数关系y=a(x-h)2+k(aWO).某次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y

的几组数据如下：

水平距离02468

x/m

竖直高度21450142

392793

(1)根据上述数据，求y与尤之间的函数关系式；

(2)已知羽毛球场的球网高度为1.55小，当发球点距离球网5m时，羽毛球能否越过球网？请说明理由.

23.(10分)“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1,RtZ\ABC中，ZABC=90°,BD为AC边

上的中线.将△A3。沿射线的方向平移，得至IJ△所G,其中点A,B,。的对应点分别为E,F,G,

如图2,当线段EF经过点。时，连接。G,GC,请解决下列问题：

【数学思考】

(1)请直接写出四边形。PCG的形状：；

【深入探究】

(2)如图3所示，老师将图2中的△£打；绕点厂按顺时针方向旋转得到△PF。，其中点£、G的对应

点分别为P、Q,线段PG。尸分别与边8。交于点/、N.

①“勤学小组”提出问题：当时，试猜想线段和尸M的数量关系，并证明；

②''善思小组”提出问题：若AABC中，AB=6,BC=8,当△句0N为等腰三角形时，请直接写出△

PMN的面积.

图1图2图3

2024-2025学年河南省实验中学九年级上期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

L（3分）把一元二次方程2x=W-3化为一般形式，若二次项系数为1,则一次项系数及常数项分别为（）

A.2,3B.-2,3C.2,-3D.-2,-3

【解答】解：根据题意可将方程变形为/-2龙-3=0,则一次项系数为-2,常数项为-3.

故选：D.

2.（3分）中国古建筑以木材、砖瓦为主要建筑材料，以木构架结构为主要的结构方式，由立柱、横梁、

顺楝（Hn）等主要构件建造而成.各个构件之间的结点以桦卯相吻合，构成富有弹性的框架，如图是

某种样卯构件的示意图，其中禅的左视图为（）

【解答】解：樟的左视图为：______I.

故选：D.

3.（3分）如图，在矩形ABC。中，对角线AC与2。相交于点。，则下列结论一定正确的是（）

A.AB=ADB.AC±BDC.AC=BDD.ZACB=ZACD

【解答】解：：四边形ABC。是矩形,

1

：.AC=BD,ZADC=90°,AD=BC,AD//BC,OA=^AC,

：.AC±BD,不一定成立，AC=BD,一定成立，48=AO一定不成立，

故选：C.

4.（3分）在平面直角坐标系中，若点（-2,yi）,（-1,>2）,（2,*）都在反比例函数y=2（k>0）的图

象上，则下列结论正确的是（）

A.ji>j2>y3B.yi>y\>yiC.y?,>y\>y2D.yi>yi>yx

【解答】解：反比例函数%>0,反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内y随尤的增大

而减小，

：-2<-1<0,2>0,

.".yi>yi>y2,

故选：C.

5.（3分）如图，△ABC中，NB=60°,AB=6,AC=8.将AABC沿图中的。E剪开.剪下的阴影三角

形与原三角形不相似的是（）

A

【解答】解：A、VZC=ZC,ZDEC=ZB=60°,

:.△DECs^ABC,故本选项不符合题意；

B、'：ZC=ZC,ZCDE=ZB,

.,.△CDEsACBA,故本选项不符合题意；

C、由图形可知，只有不能判断故本选项符合题意;

D、VZA=ZA,ZADE=ZB=60°,

；.AADEs/\ABC,故本选项不符合题意；

故选：C.

6.（3分）如图1,长为10cm,宽为8c机的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了

探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落

在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据：

点落在不规则图案内的频率

由此可估计不规则图案的面积大约为（）

A.32cm2B.24cm2C.16cm2D.8cm2

【解答】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3,

・•・不规则图案的面积大约为0.3,

x

设不规则图案的面积为叫而=。,3,

解得了=24,

故选：B.

7.（3分）如图，点A,B,。都是正方形网格的格点，连接区4,CA,则NA4C的正弦值为（

1V52V5

A.-B.一C.—D.2

255

【解答】解：连接

设小正方形边长为1,

.•.AB2=22+42=20,AC2=32+42=25,CB2=22+12=5,

:.AC2=AB2+BC2,

.♦.△ABC是直角三角形，

AZABC=90°,

在Rt^ABC中，CB=®AC=5,

.".sinZ.BAC=兼=造，

故选：B.

8.（3分）关于抛物线y=-2（x+1）2+3,下列说法错误的是（）

A.开口方向向下

B.当-1时，y随x的增大而减小

C.对称轴是直线x=-1

D.经过点（0,1）

【解答】解:A.V-2<0,

，抛物线开口向下，故A选项正确，不符合题意；

C.由解析式可知，对称轴为直线x=-l,故C选项正确，不符合题意；

8.•••抛物线开口向下，对称轴为直线x=-l,

当尤<-1时，y随x的增大而增大，故2选项错误，符合题意；

D.令无=0,得y=-2Xl+3=l,

•••抛物线经过点（0,1）,故。选项正确，不符合题意.

故选：B.

9.（3分）如图，四边形ABC。内接于O。，连接AC.若NBAC=36°,则/。的度数是（

【解答】解：N8AC=36

.•.ZB=180°-2X36°=108°,

,/四边形ABCD内接于OO,

.•.ZB+Z£）=180°,

・・・NO=180°-108°=72°,

故选：C.

10.（3分）如图，在四边形ABC。中，AD//BC,ZC=45°,以AB为腰作等腰直角三角形朋应顶点E

恰好落在边上，若AO=1,则CE的长是（）

【解答】解：如图，过点A作AfUBC于凡过点E作GHL5C于"，交A。的延长线于G,贝!jNAbB

：.AF//GH,

'：AD//BC.ZAFH=90°,

・•・四边形AFHG是矩形，

AZG=ZAFH=ZFHG=ZFAG=90°,

AABE是等腰直角三角形，

：.AB=AE,ZBAE=90°,

'：ZFAG=ZBAEf

：.ZBAF=ZEAG,

VZAFB=ZG=90°,

AAFB^AAGE(AAS),

：.AF=AG,

・•・矩形A尸HG是正方形，

：.AG=GH,

,:AG〃BC,

：.ZC=ZEDG=45°,

:ACHE和△DGE是等腰直角三角形，

：.DG=EG,CH=EH,

：.AD=EH=1,

：.CH=1,

由勾股定理得：CE="2+M=鱼.

解法二：如图2,过点E作交BC于F,

图2

VZC=45°,

・・・AEFC是等腰直角三角形，

:・EF=CE,NCFE=45°,

.'.ZBFE=180°-45°=135°,

■:NCFE=NFBE+NBEF=45°,ZAED+ZBEF=90°-45°=45°

/AED=/FBE,

・・・丛ABE是等腰直角三角形，

AE1

・•・康=后

9：AD//BC,

AZC+Z£>=180°,

・•・/£>=180°-45°=135°,

：.ZD=ZBFE,

：.AADEsAEFB,

eADAE1

••EF-BE-双

VAZ)=1,

：.EF=V2,

：.CE=EF=yj2.

故选：A.

二、填空题(每小题3分，共5小题，共15分)

,a2,a+b7

11.（3分）已知：一=一，则——二-

b5b—5—

a2

【解答】解：?

二.设。=2攵，b=5k,

.a+b2k+5k

9b5k

_7k

~5k

7

故答案为：--

9

%<

12.(3分)已知关于x的方程/-3x+左=0有两个不相等的实数根，则上的取值范围是-

一4

【解答】解：根据题意得A=(-3)2-4k>0,

9

-

4

即左的取值范围为上寻.

故答案为：k<.,

13.(3分)若二次函数自变量x=2时，函数值y有最大值-1,则这样的二次函数关系式可以是y=-

(x-2)“-1.

【解答】解：•二次函数自变量x=2时，函数值y有最大值-1,

顶点坐标为(2,-1),

...二次函数关系式可以是y=-(x-2)2-1.

故答案为：j=-(x-2)2-1(答案不唯一).

14.(3分)某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地

面102根的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°,底端B的俯角为63°,则测得黄鹤楼的高度是

m.

（参考数据：tan63°仁2,sin63°"1,cos63°弋0.5）

【解答】解：延长84交距水平地面102根的水平线于点。，如图,

设ADxm,

VZ£)CA=45°,

.\DC=AD=x,

：.tan63°=^；=~-2,

DCx

.\DC=AD^51m,

：.AB=BD-AZ)=102-51^51(m),

故答案为：51.

15.（3分）菱形ABC。的边长为4,/区4。=60°,对角线AC、交于点O,点P为线段A。上的一个

动点，连接PB,将线段PB绕点B顺时针旋转60°至QB,连接OQ,则线段。。长的最小值为1

最大值为2.

【解答】解：在上取点E,使BE=OB,连接PE,

D

由旋转得，BQ=BP,ZPBQ=60°,

：.Z0BQ+ZDBP=6Q°.

・・•四边形ABC。为菱形，

1

：.BDLAC,AB=AD=4,OB=^BD.

VZBAD=60°,

・・・△A3。为等边三角形，

：.BD=AB=AD=4,NABD=60°,

：.0B=2,NEBP+/DBP=60°,

：.ZOBQ=ZEBP.

在△OBQ和△EBP中，

BQ=BP

乙OBQ=乙EBP,

OB=EB

・••△OBQ咨AEBP(SAS),

・•・OQ=EP.

•：BE=OB=2,

：.AE=AB-BE=2,

・・・点石为A3的中点.

当尸石，。1时，尸石取得最小值，当点尸与点A或点。重合时，尸E取得最大值,

・・・PE的最大值为2,

即线段OQ长的最大值为2.

VPE±OA,BD1AC,

J.PE//BD,

1

：.PE=^OB=1,

・•・OQ=1,

即线段。。长的最小值为1.

故答案为：1;2.

三、解答题(共75分)

16.(10分)(1)解方程：2x75=0；

(2)计算：2菖+(一扔-g+4si7i60。.

【解答】解：(1)X2-2X-15=0,

(x-5)(x+3)=0,

x-5=0或％=3=0,

・・Xi--5，X2=-3；

(2)原式=i+1_2V3+4x

4z

17.(9分)一起感悟读书之美，推广全民阅读，建设“书香中国”，不负韶华梦，读书正当时！我校对A.《三

国演义》、艮《红楼梦》、C.《西游记》、D.《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活

动.

1

(1)小胡从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为一.

—4-

(2)我校计划从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，求《红楼梦》被选中的概率.(请用画树

状图或列表等方法说明理由)

【解答】解：(1)4部名著A.《三国演义》、B.《红楼梦》、C.《西游记》、D.《水浒传》中，随机选

择1部，

选中《红楼梦》的概率为工，

4

1

故答案为：

4

(2)从4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍的情况列表如下：

ABCD

A-(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)-(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)-(C,D)

D(£),A)(D,B)(.D,C)-

共有12种等可能结果，其中8《红楼梦》被选中的结果有6种,

《红楼梦》被选中的概率为g=

122

18.(9分)如图，一次函数”=区+6(GWO)的图象与反比例函数月=1⑺40)的图象相交于A(1，3),

B(n,-1)两点，分别连接AO和80.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)根据图象，直接写出时，尤的取值范围；

(3)求△A3。的面积.

【解答】解：(1):反比例函数把=£(小40)的图象经过&(1，3),B(%-1)两点，

.■.771=1X3=-n,

••加=:3,-3,

反比例函数的表达式为：”=*点2(-3,-1),

将A(1,3),B(-3,-1)代入yi=fcv+b,

瞰匕3,

V—3fc+b=-1

解时=2

；・一次函数的表达式为：yi=x+2；

(2)观察一次函数和反比例函数的图象得：当山>”时，％的取值范围是：-3<%<0或%>1；

(3)对于yi=x+2,令y=0,贝!J%+2=0,解得兀=-2,

・・・C点坐标为(-2,0),

11

S^AOB=2><2x3+2X2xl=4.

19.(9分)如图，在△ABC中，ZCAB=90°,A。是BC边上的中线.

(1)尺规作图：在直线AC右侧作射线AE〃BC,在射线AE上截取AF=CD连接CF.(保留作图痕

迹，不写作法)

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AOCB为正方形，并说明理由.

【解答】解：(1)如图，在AC的右侧作/CAE=/AC8,再以点A为圆心，C。的长为半径画弧，交

射线AE于点尸，连接CF,

则射线AE、线段AE即为所求.

(2)当△ABC是等腰直角三角形时，四边形AOC尸为正方形.

理由：VAE//BC,AF^CD,

：.四边形ADCF为平行四边形.

：NC4B=90°,是8C边上的中线，

1

：.AD=^BC=CD,

・・・四边形AOC/为菱形.

・・•AABC是等腰直角三角形,

：.ZB=ZACB=45°,

.•.ZCAZ)=45°,

AZADC=90°,

・•・四边形AOCT为正方形.

20.(9分)如图，已知AB是。。的直径，直线。。是。。的切线，切点为C,AE±DCf垂足为连接

AC.

(1)求证；AC平分N8AE；

(2)若AC=10,tanZACE=求。。的半径.

【解答】(1)证明：如图，连接OC,

・・,直线。。是。。的切线，

・・・OCLCD,

VAE±Z)C,

J.AE//OC,

：.ZOCA=ZEAC,

9

：OA=OCf

：.ZOCA=ZOAC,

：.ZOAC=ZEAC,

・・・AC平分N3AE；

(2)解：如图，连接5C,

TAB是OO的直径，

ZACB=90°,

.'.ZCBA+ZCAB=90°,

VZEAC+ZACE=90°,

：.ZCBA=ZACE,

2

'：tanZACE=

22

tan/CBA=5,即—=一,

3BC3

：AC=10,

：.BC^15,

由勾股定理得：AB=VXC2+SC2=V102+152=5V13,

21.(9分)“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种，某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”200

亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到288亩.

(1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率；

(2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/像时，每天能售出200像；销售单价每降低1元，

每天可多售出40必.为了减少库存，该基地决定降价促销.已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10

元/依，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利2160元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定为

多少元？

【解答】解：(1)设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为尤，由题意得：

200(1+x)2=288,

解得：Xi=0.2=20%,X2—-2.2(舍去)，

所以该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%,

答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%；

(2)设销售单价应定为y元，由题意得：

(y-10)[200+40(20-y)]=2160,

解得：ji=16,.2=19,

•••使消费者尽可能获得实惠，

所以销售单价应定为16元.

答：销售单价应定为16元.

22.(10分)羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建

立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y(单位：加)与水平距离x(单

位：m)近似满足函数关系y=a(x-h)2+k(aWO).某次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y

的几组数据如下：

水平距离02468

xlm

2

竖直高度21450142T

3927930X

y/m

(1)根据上述数据，求y与龙之间的函数关系式；

(2)已知羽毛球场的球网高度为1.55烧，当发球点距离球网5根时，羽毛球能否越过球网？请说明理由.

502

【解答】解：(1)由表格得：抛物线的顶点为(4