2023年中考数学试题分项汇编：等腰三角形与直角三角形（共26道）（解析版）

专题16等腰三角形与直角三角形（共26道）

一、单选题

1.（2023•江苏徐州•统考中考真题）如图，在_ABC中，/8=90。,44=30。,以7=2,。为A3的中点.若点E

在边AC上，且竺=空，则AE的长为（）

A.1B.2C.1或是D.1或2

2

【答案】D

【分析】根据题意易得AB=2百,AC=4,然后根据题意可进行求解.

【详解】解：；4=90"=30。,8。=2,

AB=CBC=2®AC=2BC=4,

•.•点。为AB的中点，

AD=LAB=6

2

..ADDE

"AB~BC'

DE=1,

①当点片为461的中点时，如图，

②当点E为AC的四等分点时，如图所示:

•*.AE^l,

综上所述：AE=1或2；

故选D.

【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及

三角形中位线是解题的关键.

2.(2023・甘肃兰州•统考中考真题)如图，在矩形ABC。中，点E为&1延长线上一点，P为CE的中点，以

B为圆心，8尸长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG=()

A.2B.2.5C.3D.3.5

【答案】C

【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得=B尸=5,在RtAABG中，利用勾股定理即可求解.

【详解】解：•••矩形ABCD中，

ZABC=ABAC=90°,

•.•尸为CE的中点，CE=10,

BG=BF=-CE=5,

2

在RtAABG中，AG=ylBG2-AB2=752-42=3-

故选：C.

【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长

等于斜边的一半”是解题的关键.

3.（2023・北京・统考中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A,C之间，点。，E在直线AC

同侧，AB<BC,NA=NC=90。，AEAB必BCD,连接DE,设=BC=b,DE=c,给出下面三

个结论：®a+b<c；®a+b>\la2+b2；③何a+6)>c；

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】如图，过。作于尸，则四边形ACD「是矩形，贝ijDP=AC=a+b,由DE<DE,可得

a+b<c,进而可判断①的正误；由4△BCD,可得BE=BD,CD=AB=a,AE=BC=b,

=贝UNEBD=90。，△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得，BE=VIF+AF=yjc^+b2>

由可得a+b>后寿,进而可判断②的正误；由勾股定理得。炉+口炉，即

c2=2（a2+b2）,则C=7IXJ/+62（氏a+b）,进而可判断③的正误.

【详解】解：如图，过。作。尸_LAE于尸，则四边形ACDF是矩形，

DF=AC=a+b,

丁DF<DE,

/.a+b<c,①正确，故符合要求;

AEABdBCD,

BE=BD，CD=AB=a,AE=BC=b,XABE=/CDB，

/CBD+NCDB=90。,

：.ZCBD+ZABE=90°fNEBD=90。,

・•・△以汨是等腰直角三角形，

由勾股定理得，BE=y/AB2+AE2=y/a2+b2

;AB+AE>BE,

:•a+Z?>J"+12,②正确，故符合要求；

由勾股定理得上2=瓦）2+5£2,即片=2（片+〃），

:・C=0X，Q2+62</（〃+〃）,③正确，故符合要求；

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性

质，三角形的三边关系等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

4.（2023・江苏无锡・统考中考真题）如图.ABC中，ZACB=9Q0,AB=4,AC=x,ZBAC=a,。为A3中点，

若点。为直线BC下方一点，且△BCD与ABC相似，则下列结论：①若c=45。，BC与OD相交于E,则

点E不一定是△ABD的重心；②若a=60。，则AD的最大值为；③若a=60。，ABC^CBD,则OD的

长为2石；④若八ABCsABCD,则当x=2时，AC+CD取得最大值.其中正确的为（）

A.①④B.②③C.①②④D.①③④

【答案】A

【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出△ABD的重心，即可求解；当e=60。，5c时，4。取

得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得AD的长，即可求解；③如图5,若。=60。，

△ABCs.BD,根据相似三角形的性质求得CD=后，GE=DF釜,CF=g进而求得OD,即可求

解；④如图6,根据相似三角形的性质得出CD=JBC2,在Rt^ABC中，BC2=16-X2,根据二次函数的

4

性质，即可求AC+CD取得最大值时，x=2.

【详解】①有3种情况，如图1,8C和都是中线，点E是重心;

如图2,四边形ABOC是平行四边形，尸是4。中点，点E是重心;

如图3,点尸不是A。中点，所以点E不是重心；

①正确

D

②当a=60。，如图4时AD最大，AB=4,

:.AC=BE=2,BC=AE=2』,BD=6BC=6,

DE=8,

AD=2M丰2币,

，②错误；

图4图5图6

③如图5,若。=60。，Z\ABC^Z\CBD,

二ZBCD=60°,NCDB=90。,AB=4,AC=2,BC=26,OE=BCE=\,

:.CD=6,GE=DF=与,CF=^>

：.EF=DG,OG=—,

22

.•.③错误；

④如图6,Z\ABC^Z\BCD,

.CDBC

,•疏一下’

1,

即8=—氏:2,

4

在RtZiABC中，BC2=16-x2,

：.。=!（16-尤2）=—!尤2+4,

4、>4

1,1,

AC+C£）=尤——X2+4=——（X-2）2+5,

44

当x=2时，AC+CD最大为5,

...④正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画

出图形是解题的关键.

5.（2023•浙江•统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD//BC,ZC^45°,以A3为腰作等腰直角三角

形54E,顶点E恰好落在边上，若AD=1,则CE的长是（）

A.J2B.变C.2D.1

2

【答案】A

【分析】先根据等腰三角形的性质可得BE=VLW，ZABE=ZAEB=45。,ZBAE=90°,再判断出点

四点共圆，在以BE为直径的圆上，连接8。，根据圆周角定理可得/瓦组=90。，

ZADB=ZAEB=45°,然后根据相似三角形的判定可得ABDEBC,根据相似三角形的性质即可得.

【详解】解：一是以A3为腰的等腰直角三角形，

:.BE=gB，ZABE=ZAEB=45。,ZBAE^90°,

AD//BC,ZC=45°,

.'.ZAZ)E=180o-ZC=135o,

/.ZADE+ZABE=180°,

.•.点AB瓦。四点共圆，在以砥为直径的圆上,

如图，连接

由圆周角定理得：NBDE=90。，NADB=NAEB=45。,

,\ZADB=ZC=ZCBD=45°f

...ZABD-bZDBE=45°=/EBC+/DBE,

:.ZABD=ZEBC,

ZADB=ZC

在△的£＞和jEBC中,

ZABD=ZEBC

ABDEBC,

CE

ADAB

:.CE=-JiAD=g\=yli，

故选：A.

【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点,

正确判断出点AB,召,。四点共圆，在以班为直径的圆上是解题关键.

6.（2023・四川眉山・统考中考真题）如图,在正方形ABCD中，点E是8上一点，延长CB至点P,使BF=DE,

连结AE,AREF,E尸交A3于点K,过点A作AGL跖，垂足为点H,交C尸于点G,连结HD,HC.下

列四个结论：®AH=HC；@HD=CD-,®ZFAB=ZDHE；@AK-HD=s[lHE2.其中正确结论的个数

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据正方形ABCD的性质可由SAS定理证人钻尸2"DE,即可判定AAE尸是等腰直角三角形，

进而可得==由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得由此即可判断①正

22

APAK

确；ZADH+ZEAD=ZDHE+ZAEH,可判断③正确，进而证明_AFKHDE,可得

HDHE

结合AF=CAH=CHE,即可得出结论④正确，由—AED随着。石长度变化而变化，不固定，可判断②

HD=CD不一定成立.

【详解】解：・・•正方形ABCD,

AAB=AD,ZADC=ZABC=ABAD=Z.BCD=90°,

ZABF=ZADC=90°,

BF=DE,

Z^ABF^AADE(SAS),

:・ZBAF=ZDAE,AF=AE,

：.NFAE=NBAF+NBAE=NDAE+NBAE=/BAD=90。,

・・.△AEF是等腰直角三角形,ZAEF=ZAFE=45°,

VAH±EF,

・•.HE=HF=AH=-EF,

2

•；ZDCB=90。,

CH=HE=-EF,

2

：.CH=AH,故①正确；

又,：AD=CD,HD=HD,

：.工AHDmCHD(SSS),

：.ZADH=ZCDH=-ZADC=45°,

2

•：ZADH+ZEAD=ZDHE+ZAEH,即：45°+ZEAD=ZDHE+450,

・•・ZEAD=ZDHE,

AZFAB=ZDHE=ZEAD,故③正确，

又•・•ZAFE=ZADH=45°,

A.AFK.HDE,

.AFAK

••一«

HDHE

又AF=6AH=y/2HE，

•*-AKHD=42HE2.故④正确，

1800-45°

■:若HD=CD,则NDHC=NDCH=——-——=67.5°,

又：CH=HE,

：.NHCE=NHEC=67.5°,

而点石是。上一动点，,AED随着DE长度变化而变化，不固定，

ZHEC=1800-ZAED-45°=135°-ZAED,

则故/HEC=67.5。不一定成立，故②错误；

综上，正确的有①③④共3个，

故选：C.

【点睛】本题考查三角形综合，涉及了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角

形"三线合一"的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三

角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键.

二、填空题

7.（2023・湖南•统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm的正方形

纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影

部分的面积为dm3.

【答案】2

【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得0E的长，即可求解.

【详解】解:如图所示，

依题意，。。=也AO=2后，OE=^OD=y/2

，图中阴影部分的面积为OE2=(V2)2=2

故答案为：2.

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键.

8.(2。23・天津・统考中考真题)如图’在边长为3的正方形至8的外侧，作等腰三角形3’出=即=：

匕_a

，

cGD

(1)VADE的面积为_______；

(2)若尸为BE的中点，连接AF并延长，与8相交于点G,则AG的长为.

【答案】3屈

【分析】(1)过点E作团，AD,根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH的长，再利用勾股定理，求

出E"的长，即可得到VADE的面积；

(2)延长E"交AG于点K,利用正方形和平行线的性质，证明A昉AKEF(ASA),得到EK的长，进而得

到K77的长，再证明△AHKS41DG,得到空=经，进而求出G。的长，最后利用勾股定理，即可求出AG

(JL)AU

的长.

【详解】解：⑴过点E作及/_LAD,

BA

F,

CGD

正方形ABCD的边长为3,

AD=3,

是等腰三角形，EA=ED=~,EH上AD,

2

13

:.AH=DH=-AD=-

22f

在中，EH7AE2-AH?=］圆-(野=2,

:.SADE=^ADEH=^X3X2=3,

故答案为：3；

(2)延长£7/交AG于点K,

，正方形ABCD的边长为3,

:.ZBAD=ZADC=90°,AB=3f

.\ABJ.AD,CDLAD,

EK工AD,

:.AB//EK//CD,

:.ZABF=ZKEFf

厂为跖的中点，

:.BF=EF,

在△钻尸和jK印中，

ZABF=ZKEF

<BF=EF,

ZAFB=/KFE

.\ABF^KEF(ASA),

.•.EK=AB=3,

由(1)可知，AH^-AD,EH=2,

2

:.KH=1,

KH//CD,

:.AAHK^AADG,

KHAH

GD-AZ)

\GD=2,

在RtVADG中，AG=JA》+GD?=13?+2?=屈,

故答案为：V13.

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和

性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键.

9.（2023・河南•统考中考真题）矩形ABCD中，M为对角线3。的中点，点N在边AD上，且AN=AB=1.当

以点。，M,N为顶点的三角形是直角三角形时，4。的长为.

【答案】2或a+1

【分析】分两种情况：当/MVD=90°时和当/MWD=90°时，分别进行讨论求解即可.

【详解】解：当NMZVD=90。时,

:四边形ABCD矩形，

AZA=90°,则欣V〃AB,

由平行线分线段成比例可得：黑笔,

NDMD

又•・・〃为对角线的中点，

：•BM=MD,

.AN_BM

"2VD-MD-'

即：ND=AN=\,

AD=AN+ND=2,

当NMWD=90。时，

为对角线3。的中点，NNMD=90。

，MN为5。的垂直平分线，

BN=ND,

:四边形ABCD矩形，AN=AB=1

二44=90°,则琥=，152+.="

BN=ND=>f2

AD=AN+ND=yf2+l，

综上，AD的长为2或a+1，

故答案为：2或0+1.

【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨

论是解决问题的关键.

10.（2023・湖北•统考中考真题）如图，△BACZVJEB和△AEF都是等腰直角三角形，

NBAC=NDEB=ZAEF=90。，点、E在ABC内，BE>AE,连接DR交AE于点G,£>E交AB于点7/,连接

CF.给出下面四个结论：®ZDBA=ZEBC；②NBHE=/EGF；®AB=DF；®AD=CF.其中所有

正确结论的序号是.

D

/MK

E

F

B

【答案】①③④

【分析】由题意易得AB=AC,NA^C=45O=NDBE,AE=EF,DE=BE,Z.DEB=AAEF=ABAC=90°,

则可证A但之FED（SAS）,然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解.

【详解】解：和△皿都是等腰直角三角形，

:.AB=AC,ZABC=45。=NDBE,AE=EF,DE=BE,ADEB=AAEF=ABAC=90°,

,/ZDBA=ZDBE-NABE,ZEBC=ZABC-ZABE,ZAEB=ZAED+ZDEB,ZFED=ZAEF+ZAED,

ZDBA=ZEBC,ZAEB=ZFED,故①正确；

.•…AEB名FED（SAS）,

:.AB=DF=AC,ZABE=NFDE,ZBAE=NDFE,故③正确；

,/ZABE+ZBHE=90°,ZEFD+ZEGF=90°,NBAE+ZEAC=90°,BE>AE,

：.ZBHE^ZEGF,ZEGF=ZEAC；故②错误；

DF//AC,

"?DF=AC,

.•.四边形ADFC是平行四边形，

AAD=CF,故④正确；

故答案为①③④.

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟

练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键.

11.（2023・山东・统考中考真题）如图，ABC是边长为6的等边三角形，点DE在边8C上，若NZME=30。，

tanZEAC=1,贝！.

【答案】3-百

【分析】过点A作于根据等边三角形的性质可得的。=60。，再由可得

ZBAD+ZDAH-30°,再根据NBAD+/E4c=30。，可得NDAH=NEAC,从而可得

iDHDH]

tanZDAH=tanZEAC=-,利用锐角三角函数求得AH=AB©1160。=3百，再由7万二耳河=]，求得

DH=C，即可求得结果.

【详解】解：过点A作于"，

•・LABC是等边三角形，

AB=AC=BC=6,Z^4C=60。，

•；AHLBC,

：./BAH=-ABAC=30°,

2

JZBAD+ZZMH=30°,

9：ZDAE=30°,

：.ZBAD-^-ZEAC=30°9

：.ZDAH=ZEAC,

tanZDAH=tan/EAC=—,

3

BH=-AB=3

2f

AH=AB•sin60°=6x=3^,

2

.DHDH_1

*'AH-3V3-3，

DH=6，

BD=BH-DH=3-6,

故答案为：3-6.

【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明N"H=NE4C是

解题的关键.

12.（2023・山东日照・统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点尸在对角线5。上，过点P

作MN，AD,交边AD,BC于点M,N,过点M作核，AD交5。于点E,连接EN,BM,DN.下列结

96

论：①EM=EN；②四边形地ND的面积不变；③当™=1:2时'®BM+MN+ND^

最小值是20.其中所有正确结论的序号是.

BNC

【答案】②③④

【分析】根据等腰三角形的三线合一可知MP=PN,可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出%>=10,

MN==,,利用细边形皿血二:血^血判断②；根据相似可以得到心也=（迹］,判断③；利用将军饮

22S加VBD）

马问题求出最小值判断④.

【详解】解：：£M=£W,MN±BD,

：.MP=PN,

在点P移动过程中，不一定MP=PN,

相矛盾，

故①不正确；

AMD

则为矩形,

BD=7AS2+AD2=A/62+82=10

VMELAD,MN1.BD,

ZMED+/MDE=ZMEP+ZEMN=90°,

ZMDE=NEMN,

:,jMPNsQAB,

.MPPNMN

**AD-AB-BD?

nn6PNMN

8610

915

角军得：PN=~,MN=—,

22

%边形"BNO=SBMN+SDMN=^-MNXBP+^MNXDP=10=日

乙乙乙乙乙乙

故②正确;

■:MEAB,

DMEs&DAB,

,MEMD2

-AB~AD~3"

：.ME=4,

VZMDE=AEMN,ZMPE=ZA=90°,

：・-MPEs^DAB,

.SMPE=（ME^4

•飞加[BDJ25,

.44196

二・SMPE=^s0AB=；^Xjx6x8=^,

故③正确，

BM+MN+ND=BM+ND+—,

2

即当MB+A©最小时，3A/+MN+ND的最小值，作3、Z）关于AD、3C的对称点4、2,

97

把图1中的CR向上平移到图2位置，使得CD=],连接BQ,即BR为MB+ND的最小值,则AC=BDX=^,

82]=12,

这时BR=dBD；+BB：=/]+12?=空,

即3M+MV+ND的最小值是20,

故④正确;

故答案为：②③④

【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题

的关键.

13.（2023・四川遂宁•统考中考真题）如图，以..ABC的边A3、AC为腰分别向外作等腰直角,ABE、ACD,

连结ED、BD、EC,过点A的直线/分别交线段£＞尸、8c于点V、N,以下说法：①当AS=AC=3C时，

ZAED=30°；②EC=BD；③若AB=3,AC=4,BC=6,则OE=2指；④当直线时，点M为线

段DE的中点.正确的有.（填序号）

【答案】①②④

【分析】①当AB=AC=3C时，.ABC是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即可得

出NA即=NAOE=，180。-120。）=30。，进而判断①；证明一BAZ）均E4C,根据全等三角形的性质判断②；

作直线工于点N,过点。作DGLMN于点G,过点E作E"于点H,证明，AC7V丝.DAG,

ABN乌一EHMgaOGM（AAS）,即可得M是即的中点，故④正确，证明RtMEH/MDG（HL）,

可得MG=MH,在RtaABN中，AN2=AB2-BN2,在RtZvUVC中，AN2=AC2-CN2,得出a=--,

在RtMGD中，勾股定理即可求解.

【详解】解：①当AB=AC=3C时，ABC是等边三角形，

ABAC=60°

：.ZEAD=360°-90°-90°-60°=120°

・・•等腰直角一ABE、.48,

JBA=BE,BA=AD

AE=AD

：.ZAED=ZADE=1(180°-120°)=30°；故①正确；

②：等腰直角..ABE、.ACD,

/.AB^AE,AD^AC,ZBAE=ZDAC=90°

：.ZBAD=ZEAC

：.；BAD^EAC

：.EC=BD-故②正确；

④如图所示，作直线MN13C于点N,过点。作。G,MN于点G,过点E作EH工MN于点H,

VZBAE=90°,MNJ.BC

：.ZABN+/BAN=90°,

又NEW+/&W=90°,

ZEAM=ZABN

又：EA=AB,

：..EAH&ABN(AAS)

同理得，ACN&DAG,

：.GD=AN,AG=CN,EH=AN,AH=BN,

ZEMH=ZDMG,ZEHM=NDGM=90°,,

，-EHMaDGM(AAS),

:.EM=DM,即M是ED的中点，故④正确,

MG=MH,

设BN=a,则CN=BC-BN=6—a

在RtzXABN中，AN2=AB2-BN2

在Rt△⑷VC中，AN'=AC1-CN-

/•AB2-BN1AC--CN2

：.32-a2=42-(6-a)2

29

解得:Cl——

12

AG=CN=6-丝差

1212

297

GH=AG-AH=AN-BN=6-2a=6-2x—=-

126

7

MG^-x-=

2612

V14

在Rt_MG£>中,

F

ED=2MD=V14，故③错误

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质,

等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.

14.(2023・四川眉山・统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xQv中，点8的坐标为(-8,6),过点8分别

作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A,直线丫=-2*-6与交于点D与y轴交于点E.动点/在

线段8C上，动点N在直线y=-2x-6上，若一4WN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐

标为________

【答案】M(-8,6)或加18,1]

【分析】如图，由-AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得N在以AM为直径的圆H上，

MN=AN,可得N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M8重合时，符合题意，可得知(-8,6),当N在40

的上方时，如图，过N作轴于J,延长MB交即于K,则/NZA=NMKN=90。，JK=AB=8,证

明4MzV7T丝，.7W,设N(x,_2x_6),可得MK=NJ=-x,KN=AJ^-2x-6-6^-2x-12,而AV=AB=8,

则-2尤-12-尤=8,再解方程可得答案.

【详解】解：如图，是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，

；•N在以AAf为直径的圆H上，MN=AN,

当V,8重合时,

V5(-8,6),则H(T,3),

：.MH=AH=NH=4,符合题意，

M(-8,6),

当N在AM的上方时，如图，过N作轴于延长MB交却于K,则NNZA=NMKN=90。,

JK=AB=8,

：.ZNAJ+AANJ=9Q0,

VAN=MN,ZANM=90°,

：.ZMNK-^ZANJ=90°f

：.ZMNK=ZNAJ,

:•一MNKg_NAJ,设N(%—2x—6),

：.MK=NJ=-x,KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12,

而刈=AB=8,

*••—2x—12—九=8,

2022

解得：1=—三，贝【J—2%—6=年，

22202

CM=CK-MK=------=-,

333

•••小小

综上：”（一8,6）或〃（一8彳］.

故答案为：河（_86）或

【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定

与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键.

15.（2023•江苏苏州・统考中考真题）如图，ABAC=90°,AB=AC=3^.过点C作CDL3C,延长CB到E,

使；连接若则

3E=Cr>,ED=2AE,BE=.（结果保留根号）

【答案】V7+1/1+V7

【分析】如图，过E作EQ，。。于。，设3E=x,AE=y,可得CD=3x,DE=2y,证明8C=JLw=6,

CE-"E为等腰直角三角形，QIQ巧3争6+33近+冬，心今，由勾股

（2才=（6+x）2+（3x）2

定理可得：2[6晨血再解方程组可得答案.

y=----x+3v2d------

22

IV/V

【详解】解：如图，过E作EQLC。于。,

设BE=x,AE=y,

VBE=-CD,ED=2AE,

3

CD=3x,DE=2y,

ABAC=90°,AB=AC=3&,

BC=42AB=6,CE=6+x,△CQE为等腰直角三角形,

：.QE=CQ=#CE=#（6+x）=30+?x,

AQ=^-x,

（2y）~=（6+x）~+（3x）2

由勾股定理可得：2（应丫（厂友丫，

[y*=I—2XJ+I3/2+J2xJ

整理得：x2—2x-6=0,

解得：x=l土币,

经检验x=l-近不符合题意；

BE=尤=1+-$/7；

故答案为：1+J7.

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助

线构建直角三角形是解本题的关键.

16.（2023・山西•统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，NBCD=90°,对角线AC/。相交于点。.若

AB=AC=5,BC=6,ZADB=2NCBD,则AD的长为.

【分析】过点A作4"，BC于点H,延长AD,BC交于点E,根据等腰三角形性质得出BH=HC=^BC=3,

根据勾股定理求出AH=JAC，产=4,证明NCBr»=NCED,得出DB=DE,根据等腰三角形性质得出

CE=BC=6,证明CD〃A”,得出名=g,求出CD=?,根据勾股定理求出

AHHE3

DE=7CE2+CD2=Je2+f-Y=,根据CD〃AH,得出空=5与,即可6,求出结果即可.

3AOCH—^-=-

【详解】解：过点A作A”,3c于点X,延长AD,BC交于点、E,如图所示:

A

BHCE

则NAHC=NA/ffi=90。，

,.・AB=AC=5,BC=6,

：.BH=HC=-BC=3

2f

：・AH=1AC2-CH2=4,

•；ZADB=NCBD+NCED,ZADB=2ZCBD,

：./CBD=/CED,

：•DB=DE,

/BCD=90°,

：.DC±BE,

：.CE=BC=6,

:.EH=CE+CH=9,

VDC.LBE,AHLBC,

：.CD//AH,

：,jECD'EHA,

.CDCE

^~AH~HE9

目门CD6

即——=-,

49

Q

解得：CD=~,

•••DE=y/CE2+CD2=,

'：CD//AH,

.DECE

••茄一丽’

2屈

即3_6,

AD~3

解得：AD=X.

3

故答案为：叵.

3

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，

相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理

及相似三角形的判定与性质.

17.（2023・湖北十堰•统考中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形

ABC（NA=90。）硬纸片剪切成如图所示的四块（其中。，E,P分别为AB,AC,BC的中点，G,〃分别

为3尸的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四

边形中周长的最小值为，最大值为.

【答案】88+2垃

【分析】根据题意，可固定四边形GFCE,平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值,

最大值.

图1

如图1,BC=4,AC=4?*2五,CI=BD=CE=^AC=72

DI=BC=4

.,•四边形3CTO周长=4+4+2应=8+2忘;

如图2,AF=AI=IC=FC=2

四边形AFC7周长为2x4=8；

故答案为：最小值为8,最大值8+20.

【点睛】本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键.

三、解答题

18.（2023•北京.统考中考真题）在，ABC中、ZB=ZC=a（0°<a<45°）,4W_LBC于点。是线段MC

上的动点（不与点C重合），将线段DM绕点。顺时针旋转2a得到线段DE.

（1）如图1,当点E在线段AC上时，求证：。是MC的中点；

（2）如图2,若在线段8M上存在点/（不与点8,M重合）满足。尸=DC,连接AE,EF,直接写出上4£万

的大小，并证明.

【答案】（1）见解析

（2）ZAEF=90°,证明见解析

【分析】（1）由旋转的性质得=ZMDE=2a,利用三角形外角的性质求出/£>EC=tz=NC,可

得DE=DC,等量代换得到DM=OC即可；

（2）延长EE到"使巫=田，连接CH,AH,可得DE是的中位线，然后求出，3=设

DM=DE=m,CD=n,求出班'=2〃?=CH,证明ABFACH（SAS）,得到”=A〃，再根据等腰三

角形三线合一证明AE，即可.

【详解】（1）证明：由旋转的性质得：DM=DE,ZMDE=2a,

•・•ZC=cr,

JZDEC=ZMDE-ZC=a,

:./C=/DEC,

：.DE=DC,

：・DM=DC,即。是MC的中点；

(2)ZAEF=90°；

证明：如图2,延长FE到H使FE=EH,连接C",AH,

,:DF=DC,

・・・OE是VAm的中位线，

ADE//CH,CH=2DE,

由旋转的性质得：DM=DE,ZMDE=2a,

：.ZFCH=2a,

•:/B=/C=a,

・•・ZACH=a,ABC是等腰三角形,

:.NB=NACH,AB=AC,

设DM=DE=m,CD=n,则CH=2m,CM=m+n,

DF=CD=n,

FM=DF-DM=n-m,

AMYBC,

BM—CM=m+n,

BF=BM—FM=m+n—{n—m)=2m,

JCH=BF,

AB=AC

在AAB歹和-AC”中，＜NB=NACH,

BF=CH

：.ABF=ACH(SAS),

JAF=AH,

,:FE=EH,

AAE^FH,即户=90。.

图2

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及

全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键.

19.（2023•黑龙江・统考中考真题）如图①，ABC和VADE是等边三角形，连接OC,点分别是。E,DC

和3c的中点，连接FG,FH.易证：FH=6FG.

若，和VADE都是等腰直角三角形，且ZB4C=ND4E=90。，如图②：若一ABC和VADE都是等腰三角

形，且N朋C=NR4E=12O。，如图③：其他条件不变，判断加和FG之间的数量关系，写出你的猜想,

并利用图②或图③进行证明.

图②

【答案】图②中尸8=0FG，图③中FH=FG,

【分析】图②：如图②所示，连接BDHG,CE,先由三角形中位线定理得到fG〃CE,FG=；CE,

GH//BD,GH=-BD,再证明得到CE=3DZACE=ZABD,则尸G=〃G,进一步证

2

明ZFGH=90。，即可证明是等腰直角三角形，则FH=&/G;

图③：仿照图②证明是等边三角形，则FH=/G.

【详解】解：图②中切=应2，图③中切=bG,

图②证明如下:

如图②所示，连接BDHG,CE,

:点孔G分别是DE,DC的中点,

FG是..CDE的中位线，

/.FG//CE,FG=-CE,

2

同理可得GH〃班＞,GH=-BD,

2

•・•.ABC和VAD后都是等腰直角三角形，且NR4C=NZME=90。,

：.AB=AGZBAD=ZCAE,AD=AE,

：.AABD^AACE(SAS),

:・CE=BD,NACE=NABD,

：.FG=HG,

,:BD〃GH,FG//CE,

：.ZFGH=AFGD+ZHGD

=NDCE+ZGHC+ZGCH

=NDBC+NDCB+NACD+NACE

=ZDBC+ZABD+NACB

=ZACB+ZABC

=90°,

・•.△HGb是等腰直角三角形，

FH=yf2FG;

图③证明如下：

如图③所示，连接BDHG,CE,

•・,点/，G分别是DE的中点，

・・・/G是一8£的中位线，

AFG//CE,FG=-CE,

2

同理可得GH〃BD,GH=-BD

2f

•・•ABC和VADE都是等腰三角形，且NB4C=NZME=120。,

AAB=AGZBAD=ZCAE,AD^AE,

.・.AABD^AACE(SAS),

ACE=BD,NACE=NABD,

FG=HG,

,:BD〃GH,FG//CE,

:.ZFGH=/FGD+ZHGD

=NDCE+ZGHC+ZGCH

=NDBC+NDCB+ZACD+NACE

=ZDBC+/ABD+ZACB

=ZACB+ZABC

=180°-ZBAC

=60°,

・・・△以；咒是等边三角形，

:.FH=FG.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股

定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

20.（2023•黑龙江齐齐哈尔•统考中考真题）综合与实践

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知

识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

A

F

备用图

(1)发现问题：如图1,在.ABC和△&£/中，AB^AC,AE=AF,ABACZEAF=30°,连接BE,CF,

延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系：,ZBDC=°；

(2)类比探究：如图2,在，ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,ABAC=ZEAF=120°,连接BE,CF,

延长BE,FC交于点。.请猜想座与CF的数量关系及N3DC的度数，并说明理由；

(3)拓展延伸：如图3,ABC和△AEF均为等腰直角三角形，/B4C=/E4F=90。，连接M,CF,且点8,

E,P在一条直线上，过点A作AMLM,垂足为点则2尸，CF,4〃之间的数量关系：；

(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2,若平面内存在点P满足ZBPD=90。，PD=1,贝IS△皿＞=

【答案】(1)BE=CF,30

(2)BE=CF,ZBDC=60°,证明见解析

(3)BF=CF+2AM

《3或u

44

【分析】(1)根据已知得出=田，即可证明,BAE空。LF,得出BE=CF,ZABE=ZACF,进

而根据三角形的外角的性质即可求解；

(2)同(1)的方法即可得证；

(3)同(1)的方法证明△A4EZZXC4/(SAS),根据等腰直角三角形的性质得出AM=^后尸=EM=M/，

即可得出结论；

(4)根据题意画出图形，连接以3D为直径,8。的中点为圆心作圆，以。点为圆心，1为半径作圆，

两圆交于点尸遥，延长3P至使得PM=OP=1,证明.皿1sBDM,得出尸4=巫8加，勾股定理

2

求得PB,进而求得BM,根据相似三角形的性质即可得出PA=*