数学计算机《第1-5章》课件-第2章

第2章导数与微分

2.1导数的概念2.2求导法则

2.3高阶导数

2.4微分与简单应用本章小结

第2章导数与微分内容提要:现实生活中诸如物体的变速运动的速度、交流电流强度、线密度、化学反应速度以及生物繁殖率等,所有这些在数量关系上都可归纳为函数的变化率,即导数问题.而微分则与导数密切相关.本章将重点阐明导数与微分的概念及其计算.学习要求:知道导数与微分的概念、几何意义及函数可导性与连续性之间的关系,能用导数描述一些简单物理量;熟悉导数和微分的运算法则以及基本公式;复述高阶导数的概念,能求简单初等函数、隐函数的一阶和二阶导数.

2.1导数的概念

实际问题中的物体运动往往是非匀速的,因此,上述公式只是表示物体走完某一段路程的平均速度,而不能反映出任一时刻物体运动的快慢.要想精确地刻画出物体在运动中

任一时刻的速度,就必须研究所谓的瞬时速度.

设一物体作变速直线运动,则物体在运动的过程中,其相应路程s

与时间t

之间存在函数关系:s=s

(t).现在我们来考察该物体在

t0

时刻的瞬时速度.

图2－1

其中，φ

是割线MN的倾角，当Δx

很小时，点N

就沿

着曲线向点M

靠拢，而割线MN

即绕着点M

转动。当Δx→0时，点N

就无限趋近于点M

，而割线MN

就无限趋近于它的极限位置直线MT

，直线MT

就是曲线在点M处的切线。因而切线倾角α

是割线倾角φ

的极限,故切线的斜率tanα是割线斜率的极限，亦即

2.1.2导数的概念

1.导数的定义

定义

设函数y=f(x)在x

0点的某邻域内有定义，且当自变量在x

0点有一增量Δx时，函数y=f(x)相应地有增量Δy=f(x

0

+Δx)-f(x

0

)，如果极限

下面的两种形式与导数的定义形式等价:

如果x

0=0,有等价形式

如果y=f(x)在点x

0及其右侧邻域内有定义，当

存在时,则称该极限为f(x)在点x

0

处的右导数,并记为f‘+(x

0)或f’(x

0+0)，即

同理定义左导数

联系到函数f(x)在点x

0处极限存在的充要条件,同理可得f(x)在点x

0处可导的充分必要条件是它在该点处的左导数和右导数均存在,并且相等,即

函数的左导数与右导数常常用于判定分段函数在其分段点处的导数是否存在.

通常说y=f(x)在[a,b]上可导,是指函数f(x)在(a,b)内可导,且在左端点a处右导数存在,在右端点b处左导数存在.

3.导数的几何与物理意义

如果函数y=f(x)在x=x

0

处的导数f‘(x

0)存在，则在几何上表明曲线y=f(x)在点(x

0，

f

(x

0))处存在切线，且切线斜率为k

=f’(x

0)。由解析几何知识可知，曲线y=f(x)在点(x

0，

f

(x

0))处的切线方程为：

y-f

(x

0)=f'(x

0)(x-x

0)

如果f‘(x

0)≠0,则此时曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的法线方程为

如果f‘(x

0)=0，则y=f(x

0)即为曲线y=f(x)在点(x

0，

f

(x

0))处的水平切线。

设物体作直线运动，其路程s与时间

t的关系为s=s(

t

)，且s(t)在t=t0

处的导数s’

(t0)存在，那么s'(t0

)即表示物体在时刻t0

的瞬时速度v(t0)

4.可导与连续之间的关系

如果函数y=f(x

)在x=x

0

点处可导,那么函数y=f(x)在该点处必连续。

事实上，若函数y=f(x)在x=x

0点处可导，即

存在，这时，

故数y=f(x)在点x=x

0处连续.

然而,函数y=f(x)在x=x

0点连续而它在该点处不一定可导.

例4

求函数y=sinx的导数.

解

(1)求增量:因为f

(x

)=sinx,f(x+Δx)=sin(x+Δx),所以

Δy=f

(x+Δx)-f(x)=sin(x+Δx)-sinx

应用三角学中的和差化积公式有

(2)计算比值:

(3)取极限:

(3)取极限:

习题2－1

2.2求导法则

按照导数的定义可以求一些简单函数的导数,对于一般函数的求导,如果按照定义去做将会很繁琐.本节首先给出导数的求导法则,然后介绍复合函数、隐函数、反函数等的求导方法,最后介绍三个求导技巧.

2.2.1导数的四则运算法则

设函数u=u

(x

),v=v(x)在点x

处可导,则

(u±v)‘=u’±v‘

(uv

)’=u‘v

+uv’

特别地

(cu)‘=cu’(c

为常数)

特别地

用类似的方法可求得

2.2.2复合函数的求导法则

如果函数y=f(u),u=φ(x)复合成y=f[φ(x

)],当u=φ(x)在点x

0

可导,且y=f(u)在u

0

=φ(x

0

)点也可导时,则复合函数y=f

[φ(x)]在x=x

0

点也可导,且有

上述方法称为复合函数的求导链式法则,此法则可以用于多层复合的情形.

2.2.3反函数的求导法则

设函数y=f(x)为x=φ(y)的反函数,若φ(y)在y

的某邻域内连续单调,且φ'(y)≠0,则f(x)在x=φ(y)处也可导,且有

即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

例

8

设y=

ax

(a

>0,a≠1),求y‘。

解由y=

ax可得

x=loga

y,因为两者互为反函数,于是

特别地,当a=e

时,y=ex

的导数为

为便于记忆和方便使用,我们将基本初等函数的导数的基本公式整理如下,其中尚未证明的公式读者可自行推导.

2.2.4隐函数求导法

由方程F

(x

,y)=0所确定的函数y

=y(x)叫做隐函数.隐函数的求导方法是:

(1)将方程F(x,y)=0的两端每一项对x

求导,求导时将y看做x

的复合函数;

(2)利用复合函数的求导法则求导后,解出y'即可.

例9

设y

=y

(x

)是由y3

-3y

+2ax=0所确定的函数,求y‘。

解将所给式子两端对x

求导,可得

3y2y'-3y'+2a=0

整理可得

2.2.5由参数方程所确定的函数的求导法

在实际应用中，函数y

与自变量x

的关系常常通过某一参变量t表示出来，即

称为函数的参数方程.

由于y

是参数t

的函数,x

是t

的函数,所以,易求得y

对x

的导数为

2.2.6对数求导法

对于幂指函数y=u

(x)v

(x)，或y

为若干个函数连乘、除、乘方、开方所构成的函数，通常可以先对两边取自然对数改变其函数类型，再求导，这样可以达到事半功倍的效果。

习题2－2

1.求下列函数的导数:

2.3高阶导数

类似地,函数的二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,……,一般地,(n

-1)阶导数的导数叫做n

阶导数,分别记作

或

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。对于求n

阶导数的情况，需要注意从中找出规律，以便得到n阶导数的表达式。

2.3.2二阶导数的物理意义

设物体作变速直线运动，其运动方程为s=s

(t)，瞬时速度为v=s‘(t

)。此时，若速度v

仍是时间t

的函数，我们可以求速度v对时间t

的变化率：

v’

(t)=(s‘

(t))’=s″(

t)

在力学中把它叫做物体在给定时刻的加速度,用a表示.也就是说,物体的加速度

a是路程s对时间t

的二阶导数,即

例3

设物体的运动方程为s=2sin(2t+3)，求物体运动的加速度。

解因为s=2sin(2t+3)，所以瞬时速度v=s‘

=4cos(2t+3)；则加速度为a=s″=-8sin(2t+3)

习题2－3

2.4微分与简单应用

函数的导数描绘了函数变化的快慢程度。在工程技术和经济活动中，有时还需了解当自变量取得一个微小的增量Δx

时，函数取得的相应增量的大小，这就是函数微分的问题。

当Δx

很小时,(Δx

)2

可以忽略不计,2x

0

·Δx

为Δs

的主要部分.即2x

0

·Δx

可以近似地代替Δs;我们把2x

0

·Δx

就叫做正方形面积的微分.图2－2

1.微分的定义

设函数y=f

(x

)在x

0

的某个邻域内有定义,当自变量在x

0处取得增量Δx

时,如果函数的增量Δy=f

(x

0

+Δx)-f

(x

0

)可以表示为

Δy=AΔx+ο(Δx

)

其中A

是与x

0有关而与Δx

无关的常数,ο(Δx)是比Δ

x高阶的无穷小量,则称函数y

=f(x)在点x

0处可微,A

Δx叫做函数y=f(x)在点x

0的微分,记作dy,即

dy=AΔx

因此,上例中正方形面积的微分dS=2x

0

Δx.由微分定义可知,A=2x

0

,即A

=(x2)'|x=x

0

.可以证明,一般地,A=f'(x

0

)

例1函数y=2x

2

,当自变量x从2

改变到2.01时,求函数的增量与函数的微分.

解

x

0=2,Δx=0.1,则函数的增量为

Δy=2×2.012

-2×22

=2(2.01+2)(2.01-2)

=2×4.01×0.01

=0.0802

函数的微分为

dy=y‘|x=2

Δx=4x|x=2

·(2.01-2)

=4×2×0.01

=0.08

例2

求函数y=xn(n

∈R)的微分.

解dy=y‘dx=(

xn)’dx=nxn

-1dx

3.微分的几何意义

函数y=f(x)在点x

0处的微分dy=f‘(x

0

)Δx,在几何上表示曲线y=f(x)在点(x

0

,f

(x

0

))当自变量x

有增量Δx

时切线的纵坐标的增量,如图2－3所示.图2－3

2.4.2微分法则与微分基本公式

由微分公式可以知道,计算函数的微分,只要求出函数的导数,在乘以自变量的微分即可.因此,根据导数的运算法则与求导基本公式即可得到微分法则与微分基本公式.

1.微分的基本公式

2.微分的运算法则

3.复合函数的微分法则

设函数y=f

(u

)与u=g(x)皆为可微函数,则y=f[g(x)]可微,且

dy=y‘x

dx=f’(u)g‘(x)dx

由于g’(x)dx=du,故上式可写为

dy=f'(u)du

由此可见,无论

u是自变量还是中间变量,微分形式dy=f'(u)du都保持不变,这一性质称之为微分形式不变性.

例5设ylnx=x

lny

确定函数y=y(x),求dy.

解

将所给方程两端关于x

求导,得

例6设y=2sinx,求dy.

解法1

运用微分计算公式,先求导函数

y‘=2sinx

ln2(sinx)’=2sinx

·ln2·cosx

dy=y‘d

x=ln2·2sinx

cosx

dx

解法2

运用微分形式不变性

dy=d(2sinx

)=2sinx

ln2d(sinx)=2sinx

ln2cosx

dx

2.4.3微分在近似计算中的应用

从微分的定义可知,如果函数y=f

(x

)在点x

0

处的导数

f‘(x0)≠0,函数的微分dy与增量Δy

相差一个高阶无穷小量ο(Δx),当Δx很小时,可以忽略ο(Δx),而把dy作为Δy

的近似值,即

而

所以

即

习题2－41.设函数y=x2

-1,当自变量从1改变到1.02时,求函数的增量与函数的微分.2.求下列函数的微分:3.计算下列各数的近似值:

本章小结一、导数的概念

1.导数的定义设函数y=f(x

)在点x

0及其附近有定义,给自变量x

在点x

0处取变量Δx,相应地,函数y有改变量Δy=f

(x

0

+Δx)-f

(x

0

),如果极限

关于导数的定义,在学习中应注意以下几点:

(1)函数y=f(x)在点x

0处的导数有以下两种等价形式,即

(2)导数定义属于构造性的定义,定义本身不仅规定了概念的内涵,同时也给出了计算导数的方法.

(3)函数y=f(x)在点x

0

处的左导数和右导数:

(4)可导数与连续的关系:

函数y=f(x)在点x

0处可导是函数在点x

0处连续的充分条件,而连续是可导的必要条件,即可导必连续,但连续不一定可导.

(5)从数学角度看导数是函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限;从物理角度看导数表示函数在点x

0处的瞬间变化率;从几何角度看导数f'(x

0

)表示曲线y=f(x)在(x

0

,f

(x

0

))处的切线斜率.y=f(x)在点(x

0

,f(x

0

))处的切线和法线方程如下:

切线方程为

法线方程为

2.导函数

如果函数y=f(x)在某一区间内每一点都有导数,那么对于此区间内x

的每一个确定的值,都对应着一个确定的导数f‘(x),f’(x)就叫做函数y=f(x)的导函数(简称导数),即

因此,函数y=f(x)在点x

0的导数f'(x

0

)就是导函数f'(x

)在x=x

0的值.

二、导数的运算

1.导数的四则运算法则

设函数u=u(x

)和v=v(x)的导数均存在,则

2.导数基本公式

(略)

3.复合函数的求导法

若y=f(u

)及u=φ(x)均可导,则

应用法则时,可引进适当的中间变量,弄清复合关系.求导遵循“由外往里”,“逐层求导”原则;所谓“由外往里”指的是从式子的最后一次运算程序开始往里复合;“逐层求导”指的是每次只对一个中间变量进行求导.

4.隐函数的求导法

(1)将确定隐函数的方程的两端同时对自变量x

求导,凡遇到含有因变量y

的项时,把y

当作x

的复合函数看待,按复合函数求导.

(2)从得到的含导数y‘x的等式中解出y’x

,就是所要求的隐函数的导数.

5.对数求导法

对于幂指函数y=u

(x)v

(x)[u

(x)>0]以及由多个因子通过乘、除、乘方和开方等运算构成的复杂函数的求导,可先对等式两边取对数,然后再求导,这可使对积商的导数运算转化为和差的导数运算,从而使求导过程大为简化.

6.由参数方程确定的函数的求导法

三、微分的概念

1.函数微分的概念

设函数y=f(x)在x

0的某个邻域内有定义，在x

0处