第08讲二项式定理（春季讲义）（人教A版2019选择性）

第08讲二项式定理【人教A版2019】模块一模块一二项式定理1．二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有

.(*)

公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2,,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：.2．二项展开式的规律

(1)二项展开式一共有(n+1)项.

(2)(n+1)项按a的降幂b的升幂排列.

(3)每一项中a和b的幂指数之和为n.3．二项展开式中的通项问题的求解方法：求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可.【题型1求二项展开式】【例1.1】（2324高二下·北京通州·期中）二项式x+23的展开式为（

A．x3+6xC．x3+12x【解题思路】由二项式定理求解.【解答过程】二项式x+23==x故选：B.【例1.2】（2324高二下·江苏南京·期中）化简x+14−4x+1A．x4 B．x−14 C．x+14 【解题思路】逆用二项展开式定理即可得答案.【解答过程】x+1==故选：A.【变式1.1】（2024·湖南·模拟预测）下列不属于x−23的展开式的项的是（

A．x3 B．6x2 C．12x【解题思路】按照二项式定理直接展开判断即可.【解答过程】由二项式定理可知，(x−2)3=x故选：B.【变式1.2】（2324高二下·辽宁朝阳·期中）化简16−32x+24x2−8A．x4 B．2−x4 C．2+x4【解题思路】逆用二项式定理化简.【解答过程】16−32x+24=C故选：B.【题型2求展开式的特定项或特定项的系数】【例2.1】（2324高二下·广东茂名·期中）x−12x10A．210 B．252 C．−638 【解题思路】利用展开式的通项可得答案.【解答过程】x−12x10且r∈0,1,2,⋯,10令10−2r=0，解得r=5，所以展开式的常数项为C10故选：C.【例2.2】（2324高二下·山西吕梁·期末）若x+mxx−1xA．2 B．3 C．2 D．3【解题思路】由x+mxx−【解答过程】x+mx−1x5令5−2r=−1，解得r=3，则xx−1x令5−2r=1，解得r=2，则mxx−1因为x+mxx−1x故选：D.【变式2.1】（2324高二下·内蒙古赤峰·期中）2x−1x5的展开式中xA．−80 B．−40 C．40 D．80【解题思路】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.【解答过程】对于2x−1x5令5−2r=1解得r=2，则所求系数为−12故选：D.【变式2.2】（2324高二下·河北保定·期末）9x+8x5的展开式中含xA．C52×C．C51×【解题思路】应用二项式展开式通项公式计算求解即可.【解答过程】9x+8x5令5−32r=2所以展开式中x2的项为T故选：D.模块二模块二二项式系数的性质1．二项式系数的性质(1)杨辉三角——二项式系数表

当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数：从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结果，由此我们可以发现以下性质：

①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的二项式系数相等.

②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.

③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.

④第一行的两个数之和为，第二行的三个数之和为，，第六行的各数之和为，，第n行的(n+1)个数之和为.(2)二项式系数的性质对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即)增减性当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值最大值当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大各二项式

系数的和2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略(1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.(2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.3．二项式系数的最值问题的求法：

二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.【题型3用赋值法求系数和问题】【例3.1】（2324高二下·新疆·期末）已知(2x+3)8=a0+A．215 B．216 C．217【解题思路】对展开式两边同时求导，再令x=1【解答过程】对(2x+3)8得16(2x+3)令x=12，得故选：D.【例3.2】（2324高二下·山东泰安·期中）已知对任意实数x，(2x−1)8=aA．aB．aC．aD．a【解题思路】对于题中的二项展开式，只需分别取x=−1，x=0，x=−2和x=−12代入化简计算即可判断ABC，将二项式展开式两边求导，然后取【解答过程】因(2x−1)8对于A项，当x=−1时，代入（*）可得a0=38，当x=0时，代入（*）可得对于B项，当x=−2时，代入（*）可得a0又a0+a对于C项，当x=−12时，代入（*）可得对于D项，对（*）两边求导可得16(2x−1)当x=0时，a1故选：C.【变式3.1】（2324高二下·河北石家庄·期末）已知fx=2x−3(1)求a2(2)求a1(3)求a1【解题思路】(1)根据二项式系数和为512先确定n值，再计算a2(2)利用赋值法求特定项系数及特定项项系数和可得．(3)先求导数后代值，即可得答案.【解答过程】（1）由二项式系数和为512知，2n故2x−39所以a2（2）在2x−39令x=1，可得a0令x=2，可得a0所以a=a（3）在2x−39两边求导可得182x−3令x=2,可得a1所以a1【变式3.2】（2324高二下·浙江台州·期中）已知2x−110=a(1)求a3(2)求a1(3)求a0【解题思路】（1）写出展开式的通项，利用通项计算可得；（2）利用赋值法计算可得；（3）由通项可知当k为奇数时，项的系数为负数，所以a0+a【解答过程】（1）二项式2x−110展开式的通项为：Tk+1=C10所以T8=C（2）令x=0，得a0令x=1，得a0所以a1（3）因为展开式的通项为Tk+1=C10k所以当k为奇数时，项的系数为负数.所以a0令x=−1∴a0【题型4多项式积的展开式问题】【例4.1】（2324高二下·山东菏泽·期中）x−yx+y4的展开式中x2A．−1 B．−2 C．−3 D．4【解题思路】根据第一个括号内取项情况分两类，利用通项求相应项系数再合并即可得.【解答过程】x+y4二项展开式的通项为T要得到x2第一类：当(x−y)中取x项时，则需x+y4展开式中的x由4−k=1得，k=3，即T4=C43第二类：当(x−y)中取−y项时，则需x+y4展开式中的x由4−k=2得，k=2，即T3=C42综上可知，展开式中x2y3故选：B.【例4.2】（2324高二下·广东梅州·期中）1+2x51−A．−42 B．−41 C．42 D．43【解题思路】首先将二项式展开得1−1【解答过程】1+2x51−其中1−1x72x51−所以1+2x51−故选：B.【变式4.1】（2324高二下·云南大理·期末）1+x1−2x5的展开式中x2A．−40 B．−10 C．40 D．30【解题思路】根据二项式展开式求解即可.【解答过程】因为1+x1−2x所以展开式中x2的项为C所以x2故选：D.【变式4.2】（2024高三下·全国·专题练习）若x3+4xa+1x6的展开式中A．3−12 B．±314 C．【解题思路】根据二项式定理通项公式求出xa+1【解答过程】因为xa+1x6令6−3r2=3，得r=2；令6−所以x3+4xa+1x故选：C.【题型5三项展开式的系数问题】【例5.1】（2324高二下·重庆巴南·期中）x2−1A．544 B．559 C．495 D．79【解题思路】若要展开式中出现常数项，需考虑六个括号x2【解答过程】展开式中的常数项分三种情况：第一种，六个括号x2−1x+2第二种，六个括号中一个括号提供x2，两个括号提供−1x，三个括号提供2第三种，六个括号中两个括号提供x2，四个括号提供−1x所以展开式的常数项为64+480+15=559，故选：B.【例5.2】（2024·山东·二模）1+x−1y8展开式中xA．−840 B．−420 C．420 D．840【解题思路】将问题转化为排列组合问题，使用组合方法求解.【解答过程】现有8个1+x−1y相乘，从每个1+x−1y中的三项1,x,−1y各取一项相乘时，若结果为x2所以，总的选取方法数目就是C8每个这样选取后相乘的结果都是14·x2·−1故选：C.【变式5.1】（2324高二下·山东枣庄·阶段练习）求x2+x−2y5的展开式中xA．40 B．−40 C．120 D．−120【解题思路】根据题意，多项式x2+x−2y5【解答过程】因为多项式x2+x−2y5根据组合数的定义和计算公式，可得x5y2所以x5y2故选：C.【变式5.2】（2324高三上·河北保定·期末）2x2−3x+a5的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含A．−600 B．−840 C．−1080 D．−2040【解题思路】利用赋值法令x=1由各项系数之和为1可求得a=2，由通项可得展开式中含x7项的系数是−2040【解答过程】因为2x令x=1，得(−1+a)5=1，解得所以2x2−3x+25的展开式中含所以该展开式中含x7项的系数是−2040故选：D.【题型6求展开式中系数的最大（小）项】【例6.1】（2024·河南安阳·二模）2x+y8的展开式中各项系数的最大值为（

A．112 B．448 C．896 D．1792【解题思路】根据二项式的通项公式，结合展开式系数最大的性质进行求解即可.【解答过程】该二项式的通项公式为Tr+1由C8r⋅因为C82⋅故选：D.【例6.2】（2324高二下·江苏常州·期中）在3x−2y20的展开式中，系数绝对值最大项是（

A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项【解题思路】根据二项式的通项公式进行求解即可.【解答过程】二项式3x−2y20的通项公式为：T设第r+1项的系数绝对值最大，所以有C20因为r∈N∗，所以故选：B.【变式6.1】（2324高二下·江苏徐州·期中）已知2x+1(1)求展开式中含有x的项：(2)求展开式中系数最大项．【解题思路】（1）根据题意结合二项式系数可求得n=7，结合二项式的展开式的通项公式计算即可得解；（2）根据展开式的通项公式列出不等式求解即可得.【解答过程】（1）由题意可得Cn1:又n∈N∗，可解得对2x+1x6则T5即展开式中含有x的项为280x；（2）令27−r⋅C即2r+1≥7−r8−r≥2r，解得53≤r≤则T3=2【变式6.2】（2324高二下·福建福州·期中）在x−(1)求展开式中所有项的系数和；(2)求二项式系数最大的项；(3)系数的绝对值最大的项是第几项?【解题思路】（1）借助赋值法令x=1即可得；（2）结合二项式系数的性质与二项式的展开式的通项公式计算即可得；（3）解不等式组2r【解答过程】（1）令x=1，可得展开式中所有项的系数和为−18（2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，(xTr+1故T5（3）由(xTr+1设第r+1项系数的绝对值最大，显然0<r<8，则2r整理得8!r!(8−r)!≥2⋅8!解得5≤r≤6，而r∈N，则r=5或r=6所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.【题型7证明整除问题或求余数】【例7.1】（2324高二下·江苏徐州·期中）已知a,b,m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm)．如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21(mod6)，若a=C240A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【解题思路】利用二项式定理对a化简，得到其除以10的余数，再结合给定条件逐个选项分析即可.【解答过程】因为a=C所以a=(1+2)而(10−1)12故a除以10余数为1，而a≡b(mod10)，所以对于A，2024除以10余数为4，故A错误，对于B，2023除以10余数为3，故B错误，对于C，2022除以10余数为2，故C错误，对于D，2021除以10余数为1，故D正确.故选：D.【例7.2】（2324高二下·四川广元·阶段练习）已知今天是周四，那么3141天后是（

A．周一 B．周三 C．周五 D．周日【解题思路】变形得3141【解答过程】由题意得3141由二项式定理得=C=C因为28可以整除7，则3141除7后余数为6，则3故选：B.【变式7.1】（2324高二下·山东聊城·期中）已知1+xn3−1(1)求n；(2)证明：43n【解题思路】（1）根据题意，利用二项展开式，得出展开式的常数项为3−n，即可求解；（2）由439【解答过程】（1）解：由1+xn则多项式1+xn3−1x的展开式的常数项为（2）解：由43=42C所以43n【变式7.2】（2324高二下·安徽·期中）若x+22023=a(1)求T的大小（用指数式表示）；(2)求2T除以4所得的余数．【解题思路】（1）分别令x=1、x=−1，求出a0+a1（2）由（1）知2T=32023−1【解答过程】（1）因为x+22023令x=1，得a0令x=−1，得a①减②的差除以2，得T=a（2）由（1）知2T=3因为32023=(4−1)所以32023因为C2023所以32023−1被4除的余数为2，即2T除以4的余数为【题型8二项式定理与数列求和】【例8.1】（2024·江西·模拟预测）设2x2−17xA．21 B．64 C．78 D．156【解题思路】首先写出展开式的通项，再根据等差数列前n项和公式计算可得；【解答过程】解：2x2−17x所以m0故选：A.【例8.2】（2425高二·全国·课后作业）已知2−xnn≥2,n∈N，展开式中x的系数为fn，则A．2019110 B．2019505 C．10091010【解题思路】由题知fn=【解答过程】∵2−xnn≥2,n∈N，展开式中x∴则2=2+2C32=2+4×1故选：B．【变式8.1】（2324高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知(1+x)2(1)求a1(2)①证明：1C2nk=2n+12n+21C2n+1k+②利用①的结论求1a【解题思路】（1）赋值x=0和x=1，即可求解系数的和；（2）①利用组合数的阶乘公式，即可证明；②首先由①可得1C2nk【解答过程】（1）∵令x=0，得a0令x=1，得a0∴（2）①证明：∵a∴1C==2n+2∴1C②解：∵由①得：1Cak∴1=2n+1=2n+1=2n+1=−n【变式8.2】（2324高二下·江苏·期末）记fn(x)=(x+1)(1)化简：i=1n(2)证明：fn+1(x)+2fn+2(x)+⋯+k【解题思路】（1）先利用二项式定理求得ai（2）先得到题设条件中含xn【解答过程】（1）因为fn(x+1)n的二项展开式为T所以ai所以i=1n(i+1)a则1+i=1又1+i=1所以21+故i=1n（2）因为fn+1(x)+2fn+2(x)+⋯+k而kC所以含xnC=(n+1)=(n+1)=(n+1)C【题型9杨辉三角问题】【例9.1】（2425高二上·全国·随堂练习）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（

）A．14 B．15 C．16 D．17【解题思路】利用二项式定理求解即可.【解答过程】由杨辉三角知：第1行：C10，第2行：C20，C2第3行：C30，C31，第4行：C40，C41，C4由此可得第n行，第r1≤r≤n+1个数为C所以第15行第15个数是C15故选：B.【例9.2】（2324高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（

）A．CB．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等C．记第n行的第i个数为ai，则i=1D．第20行中第8个数与第9个数之比为8:13【解题思路】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错.【解答过程】由图知，第n行的第i个数为ai，则a对于A，由Cnm−1+C=C43对于B，第2023行有2024项，从左往右第1013个数与第1014个数分别为C20231012,对于C，第n行的第i个数为ai，则i=1∴i=1n+1对于D，第20行中，第8个数与第9个数的比为C20故选：D.【变式9.1】（2425高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式(1)求图2中第11行的各数之和；(2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和；(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）利用二项式系数的性质求和即可；（2）利用Cn（3）设在第n行存在三个相邻的数之比为3:8:14，从而得到方程组，求出答案.【解答过程】（1）第11行的各数之和为C11（2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为C=C（3）存在，理由如下：设在第n行存在三个相邻的数Cnk−1,Cnk,CnCn故Cnk−1C即8k=3n−3k+314k+14=8n−8k，解得k=3所以这三个数为C10【变式9.2】（2024·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式(1)求图2中第10行的各数之和；(2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和；(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）根据二项式系数的性质求和即可；（2）根据组合数的性质化简求值即可；（3）假设存在，根据条件建立方程组求解，即可得解.【解答过程】（1）第10行的各数之和为：C10（2）杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为：C=16×15×14（3）存在，理由如下：设在第n行存在连续三项Cnk−1,Cnk,有Cnk−1Cn4=3即3n+3=11k22k−8n+14=0，解得k=3,n=10所以C10故这三个数依次是45,120,210.一、单选题1．（2324高二下·天津西青·期末）(x−1)10的展开式的第7项的系数为（

A．C107 B．C106 C．【解题思路】由二项式的通项公式求解．【解答过程】x−110的展开式的第7项为：T则第7项的系数为：C10故选：B.2．（2324高二下·新疆克孜勒苏·期中）若(x+3x2A．9 B．10 C．11 D．12【解题思路】根据给定条件，利用二项式系数的性质求解即得.【解答过程】由(x所以n=12.故选：D.3．（2324高二下·河北秦皇岛·阶段练习）985+211被10除所得的余数为（A．1 B．2 C．0 D．9【解题思路】显然211被10除所得的余数为1，故只需由二项式定理求得985【解答过程】9=C因为C85所以985因为211被10除所得的余数为1，所以985故选：C.4．（2324高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知(x−1)n的二项展开式中二项式系数和为32，若(x−1)n=a0A．80 B．192 C．−192 D．−80【解题思路】由二项式系数和2n=32，解出n，再以x+1为整体，利用二项式定理求解系数【解答过程】由题意知2n=32，解得又(x−1)=a则a1故选：A.5．（2024·湖南衡阳·一模）(x2−1xA．30 B．−30 C．60 D．−60【解题思路】写出通项(x2−1x+y)6【解答过程】(xxy项对应i=1，C6xy项对应r=3系数为−60，故(x2−1x故选：D.6．（2324高二下·全国·单元测试）已知二项式ax+13xn(a>0)的展开式奇数项的二项式系数和为256，展开式中xA．1 B．14 C．2 D．【解题思路】根据条件，利用二项式的性质得n=9，再利用二项展开式的通项公式Tk+1【解答过程】由展开式奇数项的二项式系数和2n−1=256，可得则展开式的通项为Tk+1令92−5r6=2，则r=3∵a>0，∴a=1.故选：A.7．（2324高二下·天津滨海新·期中）已知f(x)=(2−x)8=A．aB．f(−1)除以5所得的余数是1C．aD．a【解题思路】利用赋值法即可判断ACD，根据二项式展开式的通项即可求解B.【解答过程】∵f(x)=(2−x)∴令x=1，可得f1=a0+a1+a2由于|a0|+|故|a0|+|a1由题意，f(−1)=3显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，f(−1)除以5所得的余数是1，故B正确．因为f1=a所以a0所以a2+a4故选：B．8．（2425高二下·山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（

）A．在第10行中第5个数最大B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等C．CD．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数【解题思路】根据杨辉三角的规律以及组合数的性质逐一进行判断即得.【解答过程】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是C104，又对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为C20231010和因1010+1011≠2023，故C2023对于C，因C=C则C3对于D，因C66+故选：D.二、多选题9．（2324高二下·河北石家庄·阶段练习）在x−12xA．所有系数的绝对值之和为129 B．xC．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项【解题思路】利用x−12x9展开式系数绝对值之和与x+12x9展开式系数和相等判断A，根据二项展开式的通项公式可得Tr+1【解答过程】对于A：在x−12x故令x=1，可知x+12x对于B：因为x−Tr+1=C9r令9−3r2=3，解得r=1，可得即x3项的系数为−对于C：由通项公式可得：第r+1项的系数为ar当r为偶数时，ar>0；当r为奇数时，取r为偶数，令ar≥a整理得3r2+29r−64≥0所以系数最大项为第3项，故C正确；对于D：令9−3r2∈Z，则故选：BCD.10．（2324高二下·贵州安顺·期中）关于x2A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0C．常数项为−20 D．系数最大的项为第3项【解题思路】原二项式可以化为x−1【解答过程】x2+1令x=1得所有项的系数和为0，故B正确；常数项C6由Tr+1=C6rx6−r故选：ABC.11．（2324高二下·江苏徐州·期中）已知1−2x2021=aA．展开式中所有项的系数和为−1B．展开式中二项系数最大项为第1010项C．aD．|【解题思路】赋值x=1，可判断A，由通项公式可判断B，分别令x=0，x=12可判断C，令【解答过程】当x=1时，1−2x2021=−1，展开式中所有项的系数和为展开式中第r+1项二项式系数C2021C2021r≥C2021展开式中第1011和1012项二项式系数最大，B错.1−2x2021令x=0，则a0=1，令x=1∴a1展开式中通项公式Tr+1可知x奇次幂系数为负，偶次幂系数为正，所以|a由1−2x2021令x=−1可得：a0−a所以|a故选：AC.三、填空题12．（2324高二下·福建福州·阶段练习）若2x−m(x−1)5的展开式中x3的系数为40，则实数m=【解题思路】将2x−m(x−1)5化为2x(x−1)【解答过程】因2x−m(x−1)故其展开式中x3的系数为2C5故答案为：−6.13．（2425高三上·上海·开学考试）设x∈R，若(3+x)5=a0+a【解题思路】运用二项式定理知识，结合赋值法可解.【解答过程】令x=−2，得到1=a令x=−1，得到a0则1=32−a所以a1故答案为：31.14．（2324高二下·山东菏泽·期中）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第32行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2．【解题思路】根据“第nn∈N∗行中从左至右第11个数与第12个数的比为1:2”可以列出关于n【解答过程】第n行从左到右第11个数为Cn10,第12个数为依题意得Cn10Cn11解得n=32.故答案为：32.四、解答题15．（2425高二上·福建龙岩