云南省峨山彝族自治县高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点教学实录 新人教A版必修1

云南省峨山彝族自治县高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点教学实录新人教A版必修1学校授课教师课时授课班级授课地点教具设计意图本节课旨在通过实例解析，让学生理解函数与方程的关联，掌握方程的根与函数零点的概念，并能熟练运用这些概念解决实际问题。教学内容与新人教A版必修1课本紧密相连，结合云南峨山彝族自治县高中学生的实际情况，设计了一系列具有实用性和挑战性的习题，旨在提高学生的数学应用能力和思维能力。核心素养目标1.发展数学抽象思维，理解函数与方程的关系。

2.培养逻辑推理能力，学会从方程求解到函数零点的转化。

3.增强数学建模意识，将实际问题转化为数学模型。

4.提升数学应用能力，运用函数知识解决实际问题。重点难点及解决办法重点：理解方程的根与函数零点的关系，并能准确求出函数的零点。

难点：将实际问题转化为函数模型，并求出方程的根。

解决办法：

1.通过实例分析，引导学生理解方程根与函数零点的关系，强化概念理解。

2.通过小组讨论，让学生尝试将实际问题抽象为数学模型，培养建模能力。

3.利用多媒体教学，展示函数图像与方程根的对应关系，帮助学生直观理解。

4.设计阶梯式练习，逐步提高学生求解方程根的能力，突破难点。教学资源1.软硬件资源：多媒体教学设备（电脑、投影仪）、电子白板、计算器。

2.课程平台：学校数学教学平台，提供电子教材和教学资源下载。

3.信息化资源：数学教育软件、在线教学视频、数学题库。

4.教学手段：实物教具（如函数图像绘制工具）、课堂练习册。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：通过提问学生：“你们在生活中遇到过需要解决数学问题的情境吗？”来引发学生的思考，激发他们对函数与方程应用的兴趣。

-回顾旧知：简要回顾一元二次方程的解法，以及函数图像的基本概念。

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：详细讲解方程的根与函数零点的定义，以及它们之间的关系。

-举例说明：通过几个简单的例子，如x^2-4=0，展示如何找到函数的零点。

-互动探究：分组讨论，让学生尝试将实际问题转化为函数模型，并找出函数的零点。

3.新课呈现（续）（约15分钟）

-讲解新知：介绍如何利用函数图像来直观地理解方程的根与函数零点。

-举例说明：展示几个函数图像，让学生识别函数的零点，并解释原因。

-互动探究：通过小组合作，让学生尝试绘制函数图像，并找出零点。

4.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：分发练习册，让学生独立完成练习题，包括求解方程的根和找出函数的零点。

-教师指导：巡视课堂，观察学生的解题过程，对有困难的学生提供个别指导。

5.巩固练习（续）（约15分钟）

-学生活动：进行小组讨论，解决练习册中的难题，并互相检查答案。

-教师指导：参与小组讨论，引导学生正确理解和应用知识。

6.总结与反思（约5分钟）

-教师总结：回顾本节课的重点内容，强调方程的根与函数零点的关系。

-学生反思：让学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。

7.作业布置（约2分钟）

-布置作业：要求学生完成课后练习题，并预习下一节课的内容。

教学过程中，教师应注重以下几点：

-使用多种教学手段，如实物教具、多媒体演示等，以增强学生的理解。

-鼓励学生提问，及时解答学生的疑惑。

-通过小组合作和讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

-关注学生的学习进度，对学习有困难的学生给予额外的关注和帮助。学生学习效果学生在学习本章“函数与方程”的“3.1方程的根与函数的零点”之后，预期达到以下学习效果：

1.知识与技能

-学生能够准确地理解方程的根与函数零点的概念。

-学生能够识别一元一次方程和一元二次方程的根，并能将其与函数的零点对应起来。

-学生能够绘制基本的函数图像，并从图像中找出函数的零点。

2.思维能力

-学生能够通过数学建模将实际问题转化为数学问题。

-学生能够运用逻辑推理和分析，从方程中解出根，并将其解释为函数的零点。

-学生能够在复杂情境中分析问题，并设计解决方案。

3.应用能力

-学生能够将函数零点的概念应用到解决实际问题中，如经济学、物理学中的问题。

-学生能够在现实世界的例子中识别和应用函数图像。

-学生能够在实际操作中检验自己的数学模型是否准确。

4.评价与反思

-学生能够对自己的学习过程进行自我评价，识别自己的强项和弱点。

-学生能够通过反思自己的学习经验，调整学习策略以提高效率。

-学生能够理解数学知识在实际生活中的价值，激发继续学习的兴趣。

5.情感态度

-学生在学习过程中增强了对数学的兴趣和自信心。

-学生通过解决数学问题，培养了解决问题的积极态度。

-学生学会了欣赏数学的美，体会到数学在解释世界中的作用。

具体表现如下：

-学生在完成课后习题和项目时，能够熟练地找到函数的零点，并能解释为什么这些点是该函数的零点。

-学生能够运用所学的知识解决简单的实际问题，如确定商品价格的最佳点以最大化利润。

-学生在小组讨论和合作中展现出良好的沟通能力和团队精神。

-学生在自我评价和反思中认识到，通过不断地练习和应用，可以逐步提高自己的数学能力。

-学生在学习过程中展现出对数学的好奇心和探索精神，愿意挑战更复杂的数学问题。课堂1.课堂提问

-通过提问，教师可以即时了解学生对知识的掌握程度。

-提问内容应与课本内容紧密相关，涵盖重点和难点。

-提问时应注意问题的难度层次，从简单到复杂，逐步提高学生的思考深度。

2.观察学生参与度

-观察学生在课堂上的参与程度，包括注意力集中、互动积极等方面。

-注意学生的非语言行为，如表情、肢体语言，以评估学生的兴趣和投入度。

3.小组讨论与协作

-通过小组讨论，教师可以观察学生之间的交流与合作情况。

-评估学生在讨论中的贡献，包括提出问题、解决问题和总结归纳的能力。

4.实时反馈

-在讲解新知时，教师应提供即时反馈，帮助学生纠正错误理解。

-通过板书、投影等方式，直观展示解题过程，让学生跟随教师思路。

5.课堂练习

-设计与课本内容相关的课堂练习，让学生在课堂上即时应用所学知识。

-通过练习，教师可以评估学生对知识点的掌握情况。

6.课堂测试

-定期进行课堂小测验，以评估学生对知识的整体掌握情况。

-测试题目应覆盖本节课的重点和难点，难度适中。

7.个性化指导

-对于学习有困难的学生，教师应提供个别指导，帮助他们克服学习障碍。

-通过一对一的辅导，教师可以了解学生的具体问题，并提供针对性的帮助。

8.教学反思

-教师应在课后反思课堂效果，思考如何改进教学方法。

-通过教学反思，教师可以不断提高自己的教学水平和学生的学习效果。

具体评价方法如下：

-提问：设计开放式和封闭式问题，鼓励学生积极回答，并及时给予正面反馈。

-观察：记录学生在课堂上的行为表现，如注意力集中、参与程度等。

-小组讨论：评估学生在小组中的角色和贡献，以及他们如何与他人合作。

-实时反馈：在讲解过程中，通过板书、图形等方式，直观展示解题步骤，让学生跟随。

-课堂练习：设计练习题，让学生在课堂上即时应用所学知识，并及时纠正错误。

-课堂测试：定期进行小测验，以评估学生对知识的整体掌握情况。

-个性化指导：针对学习有困难的学生，提供个别辅导，帮助他们克服学习障碍。

-教学反思：课后反思教学效果，思考如何改进教学方法，提高教学效果。教学反思与总结这节课下来，我觉得收获颇丰，但也发现了一些可以改进的地方。

首先，我觉得在导入环节，我通过生活中的实例引入了本节课的主题，这让学生们对函数与方程的应用有了更直观的认识。我看到学生们在听到这些实例时，眼睛都亮了起来，这说明我选择的教学素材是贴近他们生活的，能够激发他们的学习兴趣。

在讲解新知的过程中，我尽量用简单易懂的语言来解释方程的根与函数的零点之间的关系。我发现，当我在黑板上一步步展示解题过程时，学生们能够更好地理解。但是，我也注意到有些学生对于一元二次方程的解法还不够熟练，这说明我在今后的教学中需要加强对基础知识的巩固。

在互动探究环节，我让学生们分组讨论，尝试将实际问题转化为数学模型。这个环节我觉得做得不错，学生们在讨论中不仅加深了对知识的理解，还学会了如何与他人合作。不过，我也发现有些学生不太敢开口，这可能是因为他们对自己的数学能力不够自信。所以，我打算在今后的教学中，更多地鼓励学生表达自己的想法，哪怕是不太准确的想法。

在巩固练习环节，我布置了一些课后作业，让学生们通过练习来巩固所学知识。我发现，有些学生在完成作业时遇到了困难，这让我意识到，我需要更多地关注学生的个体差异，提供个性化的辅导。

针对这些问题，我提出以下改进措施和建议：

-加强基础知识的教学，确保每个学生都能掌握一元二次方程的解法等基本技能。

-在课堂上多设计一些互动环节，鼓励学生积极参与，提高他们的自信心。

-对于学习有困难的学生，提供个别辅导，帮助他们克服学习障碍。

-在课后，通过批改作业和个别交流，及时了解学生的学习情况，给予针对性的指导。典型例题讲解例题1：求解方程\(x^2-5x+6=0\)的根，并说明这些根与函数\(f(x)=x^2-5x+6\)的零点的关系。

解答：首先，我们使用求根公式来解这个一元二次方程：

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

代入\(a=1\),\(b=-5\),\(c=6\)，得到：

\[x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}\]

\[x=\frac{5\pm1}{2}\]

所以，方程的根是\(x=3\)和\(x=2\)。这些根也是函数\(f(x)=x^2-5x+6\)的零点，因为当\(x=3\)或\(x=2\)时，\(f(x)=0\)。

例题2：求解方程\(2x^2-4x-6=0\)的根，并说明这些根与函数\(g(x)=2x^2-4x-6\)的零点的关系。

解答：同样使用求根公式：

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

代入\(a=2\),\(b=-4\),\(c=-6\)，得到：

\[x=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}{4}\]

\[x=\frac{4\pm\sqrt{64}}{4}\]

\[x=\frac{4\pm8}{4}\]

所以，方程的根是\(x=3\)和\(x=-1\)。这些根也是函数\(g(x)=2x^2-4x-6\)的零点。

例题3：求解方程\(x^2-2x-3=0\)的根，并说明这些根与函数\(h(x)=x^2-2x-3\)的零点的关系。

解答：使用求根公式：

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

代入\(a=1\),\(b=-2\),\(c=-3\)，得到：

\[x=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}\]

\[x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}\]

\[x=\frac{2\pm4}{2}\]

所以，方程的根是\(x=3\)和\(x=-1\)。这些根也是函数\(h(x)=x^2-2x-3\)的零点。

例题4：求解方程\(x^2+4x+4=0\)的根，并说明这些根与函数\(k(x)=x^2+4x+4\)的零点的关系。

解答：使用求根公式：

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

代入\(a=1\),\(b=4\),\(c=4\)，得到：

\[x=\frac{-4\pm\sqrt{16-16}}{2}\]

\[x=\frac{-4\pm0}{2}\]

所以，方程的根是\(x=-2\)。这个根也是函数\(k(x)=x^2+4x+4\)的零点。

例题5：求解方程\(3x^2-6x+3