高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册专题突破课三　利用基本不等式求最值含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册专题突破课三利用基本不等式求最值含答案专题突破课三利用基本不等式求最值——寸辖制轮寻专题,纲举目张谋突破利用基本不等式求最值问题是本章的难点,也是高考的命题热点.解题方法多种多样,灵活多变.常见以下四种方法:(1)“1”的整体代换;(2)借助基本不等式构造不等关系;(3)化归消元;(4)构造定值.现以同一道题目分别讲解这四种方法.典例呈现(一题多解)已知正数a,b满足1a+1b=3,求a+b想算思“1”的代换把13a+13b作为一个整体和a+b是如何构造出基本不等式的应用原型的?构造不等关系条件变形为a+b=3ab,消ab化归消元消去一个变量,转化为关于同一变量的代数式构造定值通过条件式构造新定值【尝试解答】方法一:“1”的代换【解析】由1a+1b=3得13所以a+b=(a+b)(13a+13b)=23+a3b+b当且仅当a3b=b3a,即a=b所以a+b的最小值为43【总结升华】常值代换法的关注点(1)题目原型:条件式可化为ax+by=1(或cx+dy=1)的形式,求cx+dy(或ax+by)的最小值;(2)求解原理:(ax+by)(=ac+bd+bcyx+adxy≥【即学即练】已知x,y是正实数,且x+y=4,求1x+3y【解析】因为x,y是正实数,x+y=4,所以1x+3y=(1x+3y)·x+y4=14(4+当且仅当yx=3xy,即x=2×(3-1),y=2×(3-3)时等号成立.故1x+方法二:借助基本不等式构造不等关系【解析】由1a+1b=3得a+b由ab≤a+得ab≤(a所以a+b=3ab≤34(a+b)2则4(a+b)≤3(a+b)2,所以a+b≥43当且仅当a=b,1a+1所以a+b的最小值为43【总结升华】基本不等式的实质是描述a+b与ab的关系,解题时根据需要消去其一,便可构造新不等式.【即学即练】设a>0,b>0,若ab=a+b+3,求ab的最小值.【解析】因为a>0,b>0,则ab>0,所以ab=a+b+3≥2ab+3,即ab≥2ab+3,则ab-2ab-3≥0,所以(ab+1)(ab-3)≥0,解得ab≥3,即ab≥9,当且仅当a=b=3时取等号,所以ab的最小值为9.方法三:化归消元:二元转化为一元【解析】由1a+1b=3得a+b=3ab,所以b=由于a>0,b>0,可得a>13,则3a-1>0所以a+b=a+a3a-1=a=13(3a+13a-1+1)=1≥13(2(3a当且仅当3a-1=13a-1,即a所以a+b的最小值为43【总结升华】利用条件式消去一个变量,转化为关于另一个变量的代数式,借助基本不等式求解,如果等号不成立,可运用函数的单调性解题.【即学即练】若x2+2xy=4,且x,y∈[0,+∞),则x+y的最小值为_______.

答案:2【解析】由题意得y=4-x22x=2x-x2,所以x+y=x+2x-x2=x2+2x≥2x2方法四:构造定值【解析】因为a>0,b>0,且1a+1b所以3a>1,且3b>1.由1a+1b=3,得a+b=3所以(3a-1)(3b-1)=1(定值),所以(3a-1)+(3b-1)≥2(3a所以3a+3b≥4,则a+b≥43,当且仅当3a-1=3b-1=1,即a=b=2所以a+b的最小值为43【总结升华】构造定值的关键在于对条件式的熟练变形,既要产生定值,又要能求最值.【即学即练】若正数a,b满足a>1,b>1,且a+b=3,则1a-1+4A.4 B.6 C.9 D.16【解析】选C.由a+b=3,可得a-1+b-1=1,a-1>0,b-1>0,所以1a-1+4b-1=(1a-1+4b-1)(a-1+b-1)=5+b-1a-1+专题突破课四求函数解析式的方法——寸辖制轮寻专题,纲举目张谋突破解析法是函数最主要的表示法,求函数的解析式是函数知识的命题热点.结合所给条件,灵活选择求解方法是解题关键.常见以下三种方法:(1)待定系数法;(2)换元法;(3)方程组法.方法一待定系数法【例1】已知函数f(x)是二次函数,且满足f(2x+1)+f(2x-1)=16x2-4x+6,则f(x)=2x2-x+1.

【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由已知二次函数f(x)满足f(2x+1)+f(2x-1)=16x2-4x+6,即a(2x+1)2+b(2x+1)+c+a(2x-1)2+b(2x-1)+c=16x2-4x+6,可得8a=164则f(x)=2x2-x+1.【总结升华】关于待定系数法求解析式如果已知函数的类型,则先设出函数的解析式,再确定系数即可.除了一次函数、反比例函数外,注意一元二次函数的以下几种形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c;(2)顶点式:y=a(x-h)2+k;(3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2).其中a≠0,顶点为(h,k),根为x1,x2.【即学即练】已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)=2x+83或-2x-8【解析】设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.又因为f(f(x))=4x+8,所以a2x+ab+b=4x+8,即a2=4ab+b所以f(x)=2x+83或f(x)=-2x-8方法二换元法(配凑法)【例2】已知f(x+1)=x+2x,求f(x).【解析】方法一(换元法):令t=x+1,则x=(t-1)2,t≥1,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).方法二(配凑法):f(x+1)=x+2x=(x+1)2-1.因为x+1≥1,所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).【总结升华】已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式的方法(1)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边所有的“g(x)”即可.(2)换元法:对于形如f(g(x))的解析式求f(x),设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.【即学即练】已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x).【解析】方法一(配凑法):因为f(x+1)=x2-3x+2=(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6,所以f(x)=x2-5x+6.方法二(换元法):令t=x+1,则x=t-1,所以f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,即f(x)=x2-5x+6.方法三方程组法(或消去法)【例3】已知f(x)+2f(1x)=x(x≠0),求f(x)【解析】因为f(x)+2f(1x)=x,用1x代替x得f(1x)+2f(x)=1由①②消去f(1x)得f(x)=23x-x所以函数f(x)的解析式为f(x)=23x-x3(【总结升华】解方程组法求解析式已知关于f(x)与f(1x)或f(-x)的解析式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成