高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价二十五　幂函数含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价二十五幂函数含答案二十五幂函数(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,14),则f(2)等于 (A.12 B.2 C.22 D【解析】选A.设幂函数为y=xα,因为幂函数的图象经过点(4,14所以14=4α,所以α=-1,所以y=x-1所以f(2)=2-1=122.(5分)(2024·泉州高一检测)如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象.已知n分别取±2,±12四个值,与曲线C1,C2,C3,C4相应的n依次为 (A.2,12,-12,-2 B.2,1C.-12,-2,2,12 D.-2,-12【解析】选A.根据幂函数y=xn的性质及在第一象限内的图象,当n>0时,n越大,递增速度越快,故曲线C1的n=2,曲线C2的n=12当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线C3的n=-12,曲线C4的n故相应n依次为2,12,-12【补偿训练】若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是 ()A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>b D.a>b>d>c【解析】选B.在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数由小到大,所以a>b>c>d.3.(5分)已知a=243,b=323,c=251A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【解析】选A.a=243=423,b=323,因为y=x23在第一象限内单调递增,5>4>3,所以c>a【补偿训练】下列两个数的大小正确的是 ()A.(18)

78<(19)

78 B.(2C.0.20.6>0.30.6 D.9-78>(【解析】选B.因为函数y=x78在(0,+∞)上单调递增,且18>19,所以(18)

因为函数y=x-且23>π6,所以(23)

-2由幂函数单调性知0.20.6<0.30.6,C错误;9-78=(19)

78<(19)

67<(894.(5分)下列结论正确的是 ()A.幂函数的图象不能在第二象限内B.当n=0时,幂函数y=xn的图象是一条直线C.当n>0时,幂函数y=xn是增函数D.当n<0时,幂函数y=xn在第一象限内的函数值随x的增大而减小【解析】选D.幂函数的图象可以在第二象限,如y=x2,故A错误;当n=0时,y=xn中x≠0,故其图象是去掉点(0,1)的一条直线,故B错误;y=x2在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C错误;幂函数y=xn,当n<0时,在第一象限内函数值随x的增大而减小,故D正确.5.(5分)(多选)下列函数中是幂函数的是 ()A.y=(12)x B.y=xC.y=4x2 D.y=x【解析】选BD.A中自变量是指数,不符合幂函数的定义,C中系数不是1,B,D是幂函数.6.(5分)(多选)已知幂函数f(x)=x4-m(m∈N*)为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,则m可以为 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选AC.因为f(x)=x4-m在(0,+∞)上单调递增,所以4-m>0,所以m<4,又因为m∈N*,所以m=1,2,3.又因为f(x)=x4-m是奇函数,所以4-m是奇数,所以m=1或3.7.(5分)已知y=(2a+b)xa+b+(a-2b)是幂函数,则a=,b=.

【解析】由题意得2a+答案:258.(5分)2.334和2.434【解析】设幂函数f(x)=x34,则f(因为2.4>2.3,所以2.434>2.答案:2.434>2【补偿训练】已知2.4α>2.5α,则α的取值范围是.

【解题指南】2.4α>2.5α的意义是幂函数y=xα是减函数.【解析】因为0<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,所以y=xα在(0,+∞)上单调递减,故α<0.答案:(-∞,0)9.(5分)已知幂函数f(x)=x12,若f(10-2a)<f(a+1),则a的取值范围是【解析】因为f(x)=x12(x≥0),易知f(x)在[0,+∞)上为增函数,又f(10-2a)<f(所以a解得a≥-1,答案:(3,5]10.(10分)(2024·邯郸高一检测)已知幂函数f(x)=(3a2+2a-7)xa(a∈R)在(0,+∞)上单调递增.(1)求f(x)的解析式;【解析】(1)由幂函数的概念可知3a2+2a-7=1,解得a=-2或43又因为幂函数在(0,+∞)上单调递增,故a=43,即f(x)=x(2)判断f(x)的奇偶性,并证明.【解析】(2)f(x)为偶函数,证明:f(x)=x43定义域为R,f(-x)=(-x)43=x43=f(x【综合应用练】11.(5分)已知f(x)=x12,若0<a<b<1,则下列各式中正确的是 (A.f(a)<f(b)<f(1a)<f(1B.f(1a)<f(1b)<f(b)<f(C.f(a)<f(b)<f(1b)<f(1D.f(1a)<f(a)<f(1b)<f(【解析】选C.因为函数f(x)=x12在(0,+∞)上是增函数,又0<a<b<1<1b<1a,故f(a)<f(b)<f(1b)<12.(5分)在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-1a的图象可能是 (【解析】选C.选项A中,幂函数的指数a<0,则函数y=ax-1a选项B中,幂函数的指数a>1,则函数y=ax-1a选项D中,幂函数的指数a<0,则-1a>0,函数y=ax-1a与y13.(5分)已知幂函数f(x)=(a-1)xn的图象过点(2,8),且f(b-2)<f(1-2b),则b的取值范围为.

【解析】因为幂函数f(x)=(a-1)xn的图象过点(2,8),所以a-1=1所以f(x)=x3,由于函数f(x)=x3在R上为增函数,所以f(b-2)<f(1-2b)⇔b-2<1-2b,解得b<1.故b的取值范围是(-∞,1).答案:(-∞,1)14.(10分)点(3,3)与点(-2,-12)分别在幂函数f(x),g(x)的图象上,问当x分别为何值时,有f(x)>g(x);f(x)=g(x);f(x)<g(x【解析】设f(x)=xα,g(x)=xβ.因为(3)α=3,(-2)β=-12所以α=2,β=-1,所以f(x)=x2,g(x)=x-1.分别作出它们的图象,如图所示.由图象知,当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)>g(x);当x=1时,f(x)=g(x);当x∈(0,1)时,f(x)<g(x).15.(10分)已知幂函数y=f(x)经过点(2,18)(1)试求函数解析式;【解析】(1)由题意,得f(2)=2α=18即α=-3,故函数解析式为f(x)=x-3.(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间.【解析】(2)因为f(x)=x-3=1x3,所以要使函数有意义,则x≠0,即定义域为(-∞,0)∪因为f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),所以该幂函数为奇函数.根据幂函数的性质可知f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减,因为函数f(x)是奇函数,所以在(-∞,0)上单调递减,故其单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞).【创新拓展练】16.(5分)函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,bA.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.无法判断【解析】选A.令m2-m-1=1得m=-1或m=2.由于对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.当m=-1时,f(x)=x-3,不符合题意.当m=2时,f(x)=x3,符合题意.所以f(a)+f(b)=a3+b3.因为a+b>0,ab<0,所以f(a)+f(b)=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>0.17.(5分)如图,正方形OABC的边长为a(a>1),函数y=3x2的图象交AB于点Q,函数y=x-12的图象交BC于点P,则当|AQ|+|CP|最小时,a【解析】依题意得Q(a3,a),P(a,1则|AQ|+|CP|=a3+1a=a3+1a,记a=t(t>1),f(t)=|则f(t)=t3+1t≥213,当且仅当t即t2=3时取等号,此时a=3.答案:3二十一函数的单调性(二)(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)若y=(2k-1)x+b是R上的减函数,则有 ()A.k>12 B.k>-C.k<12 D.k<-【解析】选C.由2k-1<0,得k<122.(5分)若函数f(x)在区间[-1,2]上单调递减,则下列关系一定正确的是 ()A.f(0)>f(3) B.f(-1)>f(1)C.f(0)<f(2) D.f(-1)<f(2)【解析】选B.因为函数f(x)在区间[-1,2]上单调递减,所以f(-1)>f(1).3.(5分)若函数f(x)=ax与g(x)=-x2+2ax在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是 (A.(0,1) B.(0,1]C.(-1,0) D.(-1,0)∪(0,1]【解析】选B.因为f(x)=ax在区间[1,2]上是减函数,所以a>0因为函数g(x)=-x2+2ax的图象开口向下,对称轴为直线x=a,且函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,所以a≤1.故满足题意的a的取值范围是(0,1].4.(5分)函数f(x)=2x-ax+1在区间(bA.a>-2,b≥-1 B.a>-2,b>-1C.a<-2,b≥-1 D.a<-2,b>-1【解析】选A.f(x)=2x-a因为f(x)在(b,+∞)上单调递增,所以a+2>0,所以a>-2,所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增,所以b≥-1.5.(5分)(多选)已知定义域为R的函数f(x)在(4,+∞)上单调递减,且函数y=f(x)的对称轴为x=4,则 ()A.f(3)>f(2) B.f(2)>f(5)C.f(3)>f(5) D.f(3)>f(6)【解析】选AD.因为f(x)关于x=4对称且在(4,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,4)上单调递增,且f(5)=f(3),f(6)=f(2),所以f(3)>f(2)=f(6).6.(5分)(多选)已知函数f(x)=4x2-kx-8在(-∞,5]上具有单调性,则实数k的值可以是()A.24 B.32 C.40 D.48【解析】选CD.因为函数f(x)=4x2-kx-8的图象的对称轴方程为x=k8,且函数f(x)=4x2-kx-8在(-∞,5]上具有单调性,所以根据二次函数的性质可知k8≥5,解得k≥40,则k7.(5分)已知f(x)是定义在R上的增函数,且f(x2-2)<f(-x),则x的取值范围是(-2,1).

【解析】由题意得,x2-2<-x,即x2+x-2<0,解得-2<x<1.8.(5分)若函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时是增函数,当x∈(-∞,-2)时是减函数,则f(1)=13.

【解析】由题知x=-2是函数f(x)图象的对称轴,所以m4=-2,m=-8,则f(1)=139.(5分)已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则实数a的取值范围为(0,23)【解析】由题意知-解得0<a<23,即所求a的取值范围是(0,2310.(10分)(1)若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.因此函数的单调递增区间为(-∞,-a-1],由f(x)在(-∞,3]上单调递增知3≤-a-1,解得a≤-4,即实数a的取值范围为(-∞,-4].(2)若函数y=f(x)在R上单调递增,且f(m2+1)<f(-m+1),求实数m的取值范围.【解析】(2)因为函数y=f(x)在R上单调递增,且f(m2+1)<f(-m+1),所以m2+1<-m+1,解得-1<m<0.所以实数m的取值范围为(-1,0).【综合应用练】11.(5分)已知函数f(x)在R上单调递增,对任意实数a,b,若a+b>0,则有 ()A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b)D.f(a)-f(b)<f(-a)-f(-b)【解析】选A.因为a+b>0,所以a>-b,b>-a,所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),所以f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).12.(5分)已知函数f(x)=-x2+1,x<1,x2A.[6,8] B.[6,7]C.(5,8] D.(5,7]【解析】选D.函数f(x)=-x2+1,x<1因为函数f(x)在(0,a-5)上单调递减,所以由图象可知0<a-5≤2,解得5<a≤7,故实数a的取值范围是(5,7].【补偿训练】已知函数f(x)=x2+4x,x≥0,4x-x2,x<0A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-∞,-2) D.(-2,+∞)【解析】选A.画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增,故f(4-a)>f(a)⇔4-a>a,解得a<2.13.(5分)(2023·潍坊高一检测)已知函数f(x)=(a+1)x-1,【解析】当x≥1时,f(x)=(a+1)x-1,由f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,得a+1>0,即a>-1,①当x<1时,f(x)=12ax2-ax-1=12a(x-1)2-1-1由f(x)是增函数,得a<0,②又由分段函数递增知(a+1)×1-1≥12a×12-a即3a+2≥0,解得a≥-23,由①②③得,-23≤a<0.因此实数a的取值范围为-214.(10分)若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f(xy)=f(x)-f(y).若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(13)【解析】因为f(6)=1,所以f(x+3)-f(13)<2=f(6)+f所以f(3x+9)-f(6)<f(6),即f(x+32)<f因为f(x)是(0,+∞)上的增函数,所以x解得-3<x<9.即不等式的解集为(-3,9).15.(10分)已知f(x)=xx-a(x≠(1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)上单调递增;【解析】(1)由题意知f(x)=xx∀x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1x=2(因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增.(2)若a>0,且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围.【解析】(2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1x=a(因为a>0,x2-x1>0,又f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1,所以实数a的取值范围为(0,1].【创新拓展练】16.(5分)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(