高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册5.5.2　简单的三角恒等变换(二)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换(二)含答案5.5.2简单的三角恒等变换(二)【学习目标】1.能利用三角恒等变换解决几何中的问题.2.能利用三角恒等变换解决生活中的实际问题.【素养达成】数学抽象、直观想象数学抽象、数学运算类型一三角恒等变换在几何中的应用(数学抽象)【典例1】(教材P227例10改编)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接矩形桌面,若扇形的半径长为1m,求割出的矩形桌面的最大面积(如图).【解析】如图,连接OC,设∠COB=θ,则0°<θ<45°,OC=1.因为AB=OB-OA=cosθ-AD=cosθ-sinθ,所以S矩形ABCD=AB·BC=(cosθ-sinθ)·sinθ=-sin2θ+sinθcosθ=-12(1-cos2θ)+12sin2θ=12(sin2θ+cos2θ)-12=22当2θ-45°=0°,即θ=22.5°时,(S矩形ABCD)max=2-12m2,所以割出的矩形桌面的最大面积为2【补偿训练】如图是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos2θ的值为 ()A.-725 B.725 C.-1225 【解析】选B.由题意可知小正方形的边长为1,大正方形的边长为5,直角三角形的面积为6.设直角三角形的直角边分别为a,b且a<b,则b=a+1,所以直角三角形的面积为S=12ab联立方程组可得a=3,b=4,所以sinθ=35,cos2θ=1-2sin2θ=7【总结升华】关于恒等变换在几何中的应用三角函数与平面几何有着密切联系,几何中的角度、长度、面积等问题,常借助三角变换来解决,体现了数学中的化归思想.【即学即练】如图所示,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,当α等于多少时,才能使△OAB的周长最长?【解析】设△OAB的周长为l,则AB=Rsinα,OB=Rcosα,所以l=OA+AB+OB=R+Rsinα+Rcosα=R(sinα+cosα)+R=2Rsin(α+π4)+因为0<α<π2,所以π4<α+π4所以当α+π4=π即α=π4时,l最大,最大值为2R+R=(2+1)R故当α=π4时,△OAB的周长最长类型二恒等变换在实际问题中的应用(数学抽象)【典例2】如图,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另两点B,C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20m.(1)如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大,最大值是多少?【解析】(1)连接OB(图略),设∠AOB=θ,则AB=OBsinθ=20sinθ,OA=OBcosθ=20cosθ,且θ∈(0,π2)因为A,D关于点O对称,所以AD=2OA=40cosθ.设矩形ABCD的面积为S,则S=AD·AB=40cosθ·20sinθ=400sin2θ.因为θ∈(0,π2所以当sin2θ=1,即θ=π4时,Smax=400m2.此时AO=DO=102m故当A,D距离圆心O为102m时,矩形ABCD的面积最大,其最大面积是400m2.(2)沿着AB,BC,CD修一条步行小路从A到D,如何选择A,D位置,使步行小路的距离最远?【解析】(2)由(1)知AB=20sinθ,AD=40cosθ,所以AB+BC+CD=40sinθ+40cosθ=402sin(θ+π4又θ∈(0,π2所以θ+π4∈(π4,3π4),当θ+π4=π2,即θ=π4时,(AB+BC+CD)max=402,此时AO=DO=102,即当A,D【总结升华】关于恒等变换在实际问题中的应用(1)理解题意,作出实际问题涉及的图形,或将条件转化为图形中的条件;(2)合理引入辅助角α,确定各量之间的关系,将实际问题表示成关于角α的三角函数问题,最后利用恒等变换结合函数知识解题.【即学即练】如图,OA,OB是两条互相垂直的笔直公路,半径OA=2km的扇形AOB是某地的一处名胜古迹区域.当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力,欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A,B重合),并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB,MN,切点分别是B,P.当新建的两条公路总长最小时,投资费用最低.设∠POA=θ,公路MB,MN的总长为f(θ).求f(θ)关于θ的函数关系式,并写出函数的定义域.【解析】连接OM(图略),在Rt△OPN中,OP=2,∠POA=θ,故NP=2tanθ.根据平面几何知识可知,MB=MP,∠BOM=12∠BOP=12(π2-θ)=π在Rt△BOM中,OB=2,∠BOM=π4-θ故BM=2tan(π4-θ所以f(θ)=NP+2BM=2tanθ+4tan(π4-θ2显然θ∈(0,π2),所以函数f(θ)的定义域为(0,π2教材深一度辅助角公式:一般地,对于y=asinx±bcosx,可以进行合并转化为y=a2+b2sin(x±φ),tanφ操作步骤如下:第一步:提常数,提出a2得到a2+b2(aa2+第二步:定角度,确定一个角φ满足cosφ=aa2+b2得到a2+b2(cosφsinx±sin第三步:化简、逆用公式得asinx±bcosx=a2+b2sin(x±φ),其中tan【典例3】(1)y=32sinx+12cosx的最小正周期为 (A.2π B.π C.π2 D.【解析】选A.y=32sinx+12cosx=sinxcosπ6+cosxsinπ6=sin(x(2)已知sin(π6+α)=14,则cosα+3sinα的值为1【解析】cosα+3sinα=2(sinα·32+cosα·12)=2(sinαcosπ6+cosαsinπ6)=2sin(α+π6【典例4】已知函数f(x)=cos2x+3sinxcosx,(1)若α是第二象限角,且sinα=63,求f(α【解析】(1)因为α是第二象限角,且sinα=63所以cosα=-1-sin2α所以f(α)=13-3×63×33(2)当x∈[0,π2]时,求函数f(x)的值域【解析】(2)f(x)=cos2x+3sinxcosx=1+cos2x32sin2x=sin(2x+π6)+由x∈[0,π2],可知2x+π6∈[π6,所以-12≤sin(2x+π6)≤1,所以f(x)∈[0,3【总结升华】辅助角公式y=a2+b2sin(研究三角函数的性质,如单调性和最值,通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换,转化为简单的三角函数,再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式,将y=asinx±bcosx转化为y=a2+b2sin(x±φ)或y=a2+【即学即练】1.y=sinx-cosx的最小值为 ()A.-1 B.0 C.-2 D.-2【解析】选D.y=sinx-cosx=2(sinx·22-cosx·22)=2(sinxcosπ4-cosx=2sin(x-π4),所以最小值为-22.2(sin15°+cos15°)的值为3.

【解析】2(sin15°+cos15°)=2·2(sin15°·22+cos15°·22)=2(sin15°cos45°+cos15°sin45°)=2sin(15°+45°)=2sin60°=2×32【补偿训练】已知函数f(x)=sinx(2cosx-sinx)+cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;【解析】(1)因为f(x)=sinx(2cosx-sinx)+cos2x=sin2x-sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=2sin(2x+π4),所以函数f(x)的最小正周期是π(2)若π4<α<π2,且f(α)=-5213【解析】(2)f(α)=-5213,即2sin(2α+π4则sin(2α+π4)=-5因为π4<α<π2,所以3π4<2α+π所以cos(2α+π4)=-12所以sin2α=sin[(2α+π4)-π=22sin(2α+π4)-22cos(2α=22×(-513)-22×(-125.5.2简单的三角恒等变换(一)【学习目标】1.能运用二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.2.能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值及证明.【素养达成】数学抽象、逻辑推理数学抽象、数学运算1.半角公式正弦sinα2=±余弦cosα2=±正切tanα2=±2.半角的有理公式tanα2=sinα1+cosα=1教材挖掘(P225思考)问题1α与α2提示:倍角关系.问题2用cosα如何表示sin2α2,cos2α2,tan2提示:cosα=1-2sin2α2=2cos2α1-【教材深化】(1)半角公式中的正弦、余弦公式实际上是由二倍角的余弦公式变形得到的.(2)半角公式给出了求α2的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只需知道cosα的值及相应的α的条件,便可求出sinα2,cosα2(3)对“半角”的理解应是广义的,不能仅限于α2是α的一半,其他如α是2α的一半,α4是α2的一半,3α(4)半角公式中的±不能去掉,若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留±两个符号;若给出α的具体范围时,则先求α2的所在范围,然后根据α2【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)cosα2=1+cosα2提示:cosα2=±1+cos(2)存在α∈R,使得cosα2=12cosα.提示:如cosα2=1-(3)若α是第一象限角,则tanα2=1-cos提示:若α是第一象限角,则α2是第一、三象限角,tanα2类型一利用半角公式求值(数学抽象)【典例1】(教材提升·P225例7)已知sinα=-45,π<α<3π2,求sinα2,cosα2【解析】因为π<α<3π2,sinα=-4所以cosα=-35,且π2<α2所以sinα2=1-coscosα2=-1+cosα2tanα2=sinα【总结升华】利用半角公式求值的思路(1)观察角:已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍;(2)明范围:依据已知角的范围,确定相应半角的范围;(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2α(4)下结论:结合(2)求值.【即学即练】1.求下列式子的值:(1)sin75°;(2)tan75°.【解析】(1)sin75°=1-cos150°2=1+cos30°2=【解析】(2)方法一:tan75°=1-cos150°1+cos方法二:tan75°=1-cos150°方法三:tan75°=sin150°1+cos2.已知|cosθ|=35,且5π2<θ<3π,求sinθ【解析】因为|cosθ|=35,5π2<所以cosθ=-35,5π4<θ2所以sinθ2=-1+35【补偿训练】已知sinα=-45,则tanα2=-12【解析】因为sinα=-45,所以cosα=±3若cosα=35,则tanα2=1-若cosα=-35,则tanα2=1+类型二三角函数式的化简问题(数学抽象)【典例2】化简(1-sinα-cosα)【解析】原式=(2si=2sin=sinα2(si因为-π<α<0,所以-π2<α2<0,所以sin所以原式=-sinα【总结升华】化简问题中的“三变”(1)变角:寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式;(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切;(3)变式:分析式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.提醒:涉及开方运算时一定要注意角的范围.【即学即练】已知π<α<3π2,化简:1+sinα1+cos【解析】原式=sinsin因为π<α<3π2,所以π2<α2所以cosα2<0,sinα2>0原式=sinsinα2sinα2-cos【补偿训练】化简:cos(3π2-α【解析】因为tanα2=sin所以(1+cosα)tanα2=sin又因为cos(3π2-α)=-sinα且1-cosα=2sin2α2所以原式=-sinα=-22因为0<α<π,所以0<α2<π所以sinα2>0所以原式=-22cosα2类型三三角恒等式的证明问题(逻辑推理)【典例3】求证:1+sinθ-cosθ1+sin【证明】方法一:左边=2sin2cos2θ2+2sinθ2cosθ22sin方法二:左边=(=2(1+sinθ)2+2cos2【总结升华】三角恒等式证明的五种常用方法执因索果法证明的形式一般化繁为简左右归一法证明左右两边都等于同一个式子拼凑法针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同比较法设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”分析法从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立【即学即练】证明:2sinxcosx【证明】左边=2sin=2sinxcosx4sin右边=1+2cos2x所以左边=右边,即等式成立.【补偿训练】求证:1+sinα1-【证明】左边=1+sinα1=tan2=1+tanα教材深一度1.积化和差公式(1)sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β(2)cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-β(3)cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β(4)sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]2.和差化积公式(1)sinθ+sinφ=2sinθ+φ2(2)sinθ-sinφ=2cosθ+φ2(3)cosθ+cosφ=2cosθ+φ2(4)cosθ-cosφ=-2sinθ+φ2积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式.或者把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等式看作关于x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x,它们都体现了化归思想.【典例4】(1)求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.【解析】方法一:sin220°+cos250°+sin20°cos50°=12(1-cos40°)+12(1+cos10