高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册1.3　第2课时　补集含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册1.3第2课时补集含答案第2课时补集【学习目标】1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集.3.会用Venn图、数轴进行集合的运算.【素养达成】数学抽象数学抽象、数学运算直观想象、数学运算一、全集一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,此集合称为全集,通常记作U.教材挖掘(P12)全集一定是实数集R吗?提示:不一定.全集因研究问题的不同而变化.二、补集版本交融(苏教P14思考)A∪(∁UA)是什么集合?提示:A∪(∁UA)=U.【教材深化】(1)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因此,它们是相互依存、不可分割的两个概念.(2)∁UA包含三层意思:①A⊆U;②∁UA是一个集合,且(∁UA)⊆U;③∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合.(3)若x∈U,则x∈A或x∈(∁UA),二者必居其一.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若在全集U中研究问题,则集合U没有补集.(×)提示:全集U的补集是空集,即∁UU=⌀.(2)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素.(√)提示:A∩(∁UA)=⌀.(3)在全集U中存在元素x,有x∉A,且x∉(∁UA).(×)提示:若x∈U,则x∉A与x∉(∁UA)二者必居其一,不能同时成立.(4)若3∉A,则3∈(∁UA).(×)提示:若3∈U,则必有3∈(∁UA),若3∉U,则3∉(∁UA).类型一补集的运算(数学运算)【典例1】(类题·节节高)(1)已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={-1,1},则∁UA=_________;

【解析】(1)由题意,得∁UA={-2,0,2}.(2)已知全集U=R,集合A={x|-1≤x<1},则∁UA=_________;

【解析】(2)把集合U和A表示在数轴上,如图所示.由图知∁UA={x|x<-1或x≥1}.(3)已知全集U={x|-4≤x≤1},集合A={x|-1≤x<1},则∁UA=_________.

【解析】(3)把集合U和A表示在数轴上,如图所示.由图知∁UA={x|-4≤x<-1或x=1}.答案:(1){-2,0,2}(2){x|x<-1或x≥1}(3){x|-4≤x<-1或x=1}【总结升华】求补集的原则和方法(1)一个基本原则.求给定集合A的补集,从全集U中去掉属于集合A的元素后,由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集.(2)两种求解方法.①若所给集合中的元素连续且无限,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,注意端点值的取舍.②若所给的集合是用列举法表示,则用Venn图求解.【即学即练】1.已知全集为U,集合A={0,1,2},∁UA={-1,3,4},集合B={-1,1,4},则∁UB=_________.

答案:{0,2,3}【解析】因为A={0,1,2},∁UA={-1,3,4},所以U={-1,0,1,2,3,4}.又因为B={-1,1,4},所以∁UB={0,2,3}.2.若全集U={x|-3≤x≤3,x∈R},A={x|-3≤x≤0或1<x≤2},则∁UA=_________.

答案:{x|0<x≤1或2<x≤3,x∈R}【解析】如图,由补集定义可知∁UA表示图中阴影部分,故∁UA={x|0<x≤1或2<x≤3,x∈R}.类型二并集、交集、补集的混合运算(数学运算)【典例2】(1)已知全集U={1,2,3,4},且∁U(A∪B)={4},B={1,2},A∩(∁UB)等于()A.{3} B.{4} C.{3,4} D.⌀【解析】选A.因为全集U={1,2,3,4},且∁U(A∪B)={4},所以A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以∁UB={3,4},A={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},所以A∩(∁UB)={3}.(2)已知全集U=R,集合A={x|x<-1或x>4},B={x|-2≤x≤3},那么阴影部分表示的集合为()A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4}C.{x|-2≤x≤-1} D.{x|-1≤x≤3}【解析】选D.由题意得,阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B={x|-1≤x≤4}∩{x|-2≤x≤3}={x|-1≤x≤3}.【总结升华】解决集合交、并、补运算的技巧(1)解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分,再计算其他部分.(2)当集合是用列举法表示时,如数集,可以通过列举集合的元素得到所求的集合;当集合是用描述法表示时,如不等式形式表示的集合,则可借助数轴求解.【即学即练】1.已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则∁U(A∪B)等于()A.{-2,3} B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3} D.{-2,-1,0,2,3}【解析】选A.因为A={-1,0,1},B={1,2},所以A∪B={-1,0,1,2}.又因为U={-2,-1,0,1,2,3},所以∁U(A∪B)={-2,3}.2.已知全集U=R,集合A={x|x≤5},B={x|x>0},则集合∁U(A∩B)等于()A.{x|x≤0} B.{x|x>5}C.⌀ D.{x|x≤0或x>5}【解析】选D.由已知A∩B={x|0<x≤5},故∁U(A∩B)={x|x≤0或x>5}.类型三由补集运算求参数问题(逻辑推理)角度1离散数集中的参数问题【典例3】设全集U={2,3,a2+2a-3},A=16+a6,2.若∁UA={5},则实数答案:2【解析】因为∁UA={5},且全集U={2,3,a2+2a-3},所以a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2,当a=-4时,16+a6=16-当a=2时,16+a6=16+26=3,此时A={3,2},满足∁U综上可得,a=2.【总结升华】元素离散的集合的参数问题的求解步骤(1)确定全集;(2)根据所研究的子集中的元素是全集中的元素列出方程,求参数值;(3)检验所研究的集合中元素是否满足互异性,检验所研究的集合是否为全集的子集.【即学即练】已知全集U={-1,1,3},集合A={a+2,a2+2},且∁UA={-1},则a的值是()A.-1 B.1 C.3 D.±1【解析】选A.因为∁UA={-1},且全集U={-1,1,3},所以a+2=1a2所以a=-1.角度2连续数集中的参数问题【典例4】(易错·对对碰)(1)已知全集U=R,集合A={x|x<3或x≥7},B={x|x<a}.若(∁UA)∩B≠⌀,则实数a的取值范围为_________.

【解析】(1)因为A={x|x<3或x≥7},所以∁UA={x|3≤x<7}.又(∁UA)∩B≠⌀,所以a>3.(2)已知全集U=R,集合A={x|x<3或x≥7},B={x|x<a}.若(∁UB)∪A=R,则实数a的取值范围为_________.

【解析】(2)因为B={x|x<a},所以∁UB={x|x≥a}.又(∁UB)∪A=R,所以a≤3.答案:(1){a|a>3}(2){a|a≤3}【总结升华】连续数集参数问题的解题策略根据集合运算结果画数轴直观展示各集合之间的关系,通过分析数轴上有关点的位置关系列方程(或不等式)求参数的值(或范围).【即学即练】已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1},且A⊆(∁UB),求实数a的取值范围.【解析】若B=⌀,则a+1>2a-1,则a<2,此时∁UB=R,即A⊆(∁UB);若B≠⌀,则a+1≤2a-1,即a≥2,此时∁UB={x|x<a+1或x>2a-1},由于A⊆(∁UB),如图,则a+1>5,即a>4.故实数a的取值范围为{a|a<2,或a>4}.教材深一度集合中的德摩根定律(源于教材P13练习T3)【常用结论】∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).【典例5】已知全集U中有m个元素,(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素,若A∩B≠⌀,则A∩B的元素个数为()A.m B.nC.m+n D.m-n【解析】选D.由于(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)中有n个元素,全集U中有m个元素,所以A∩B的元素个数为m-n.1.4充分条件与必要条件第1课时充分条件与必要条件【学习目标】1.理解充分条件、必要条件的概念,能进行充分条件、必要条件的判断.2.了解充分条件与判定定理,必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.【素养达成】数学抽象、逻辑推理数学抽象逻辑推理充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件教材挖掘(P18思考)若p是q的充分条件,这样的条件p是唯一的吗?请举例说明.提示:不唯一.如“对角线相等的平行四边形”“有一个角是直角的平行四边形”“有三个角是直角的四边形”都是“四边形是矩形”的充分条件.版本交融(人BP32想一想)有人说,充分条件就是“有之即可,无之也行”的条件,必要条件就是“有之未必即可,无之则必不行”的条件,你觉得有道理吗?提示:有道理.若p⇒q,则p是q的充分条件,即要使q成立,有p成立就足够了,就是“有之即可,无之也行”;若p⇒q,q是p的必要条件,即q是p成立的必不可少的条件,缺其不可,就是“有之未必即可,无之则必不行”.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若“p⇒q”,则p的充分条件是q.(×)提示:若“p⇒q”,则p是q的充分条件.(2)若q是p的必要条件,则q是唯一的.(×)提示:给定条件p,由p可以推出的结论q不是唯一的.(3)“若q,则p”是真命题,则p是q的必要条件.(√)(4)“若p,则q”为假命题,则p不是q的充分条件,但q可以是p的必要条件.(×)提示:“若p,则q”为假命题,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.类型一充分条件的判断(逻辑推理)【典例1】(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是()A.p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0B.在△ABC中,p:∠B>∠C,q:AC>ABC.p:m>-14,q:方程x2-x-mD.p:x>2,q:x>1【解析】选BD.选项A,因为(x-2)(x-3)=0,所以x=2或x=3,不能推出x-2=0,所以p不是q的充分条件.选项B,在△ABC中,由大角对大边知,∠B>∠C⇒AC>AB,所以p是q的充分条件.选项C,因为m>-14,所以Δ=12+4m>0,方程x2-x-m=0有实根,所以p不是q的充分条件选项D,设集合A={x|x>2},B={x|x>1},所以A⊆B,所以p是q的充分条件.【总结升华】充分条件的两种判断方法(1)定义法(2)集合关系法已知条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”,若A⊆B,则甲是乙的充分条件.【即学即练】下列命题中,p是否是q的充分条件?(1)p:a2+b2=0,q:a+b=0;【解析】(1)因为a2+b2=0,所以a=b=0,所以a+b=0,所以p是q的充分条件.(2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形;【解析】(2)因为等腰梯形的对角线相等,所以四边形的对角线相等四边形是矩形.所以p不是q的充分条件.(3)p:x=1,q:x2-4x+3=0;【解析】(3)当x=1时,x2-4x+3=0,所以x=1⇒x2-4x+3=0,所以p是q的充分条件.(4)p:x,y∈R,|x|=|y|,q:x=y.【解析】(4)若x=1,y=-1,则|x|=|y|,但x≠y,所以pq,所以p不是q的充分条件.类型二必要条件的判断(逻辑推理)【典例2】下列命题中,q是否是p的必要条件?(1)p:一个四边形的对角线互相垂直,q:这个四边形是菱形;【解析】(1)如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,但它不是菱形,pq,所以q不是p的必要条件.(2)p:a>b,q:ac>bc;【解析】(2)因为当c≤0时不成立,即pq,所以q不是p的必要条件.(3)p:a<b,q:ab<1【解析】(3)由于a<b,当b<0时,ab>1;当b>0时,a因此pq,所以q不是p的必要条件.【总结升华】必要条件的两种判断方法(1)定义法(2)集合关系法已知条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”,若A⊇B,则甲是乙的必要条件.【即学即练】下列“若p,则q”形式的命题中,q不是p的必要条件的有(填序号).

(1)若两个三角形面积相等,则两个三角形全等;(2)若x为有理数,则1x(3)若x=y,则x2=y2.【解析】(1)因为命题“若两个三角形面积相等,则两个三角形全等”是假命题,所以q不是p的必要条件;(2)当x=0时,x是有理数,但1x无意义,所以1x不是有理数,所以q不是(3)因为x=y,等号左右两边平方后,等式依然成立,所以p⇒q,所以q是p的必要条件.答案:(1)(2)【补偿训练】设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N”是“x∈(M∩N)”的()A.充分条件B.必要条件C.既不是充分条件也不是必要条件D.无法判断【解析】选B.x∈M或x∈N,即x∈(M∪N),因为(M∩N)⊆(M∪N),