高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第十章　10.2　事件的相互独立性(2)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第十章10.2事件的相互独立性(2)含答案10.2事件的相互独立性(2)【学习目标】【素养达成】1.掌握事件相互独立的定义.数学抽象2.会求相互独立事件的概率.数学运算类型一相互独立事件与互斥、对立事件的综合应用(数学运算)【典例1】(教材P251例2改编)甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:(1)2人都射中目标的概率;(2)2人中恰有1人射中目标的概率;(3)2人至少有1人射中目标的概率;(4)2人至多有1人射中目标的概率.【解析】设A=“甲射击1次,击中目标”,B=“乙射击1次,击中目标”,则A与B,A与B,A与B,A与B为相互独立事件.(1)2人都射中目标的概率为P(AB)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72;(2)“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲射中、乙未射中(事件AB发生),另一种是甲未射中、乙射中(事件AB发生).根据题意,事件AB与AB互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率为P(AB)+P(AB)=P(A)·P(B)+P(A)·P(B)=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26;(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况,其概率为p=P(AB)+[P(AB)+P(AB)]=0.72+0.26=0.98;(4)方法一:“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况,故所求概率为p=P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.02+0.08+0.18=0.28.方法二:2人中至多有1人射中的对立事件是2人都射中.故所求概率P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-0.8×0.9=1-0.72=0.28.【总结升华】求较复杂事件的概率的一般步骤(1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示.(2)厘清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立,或者是相互独立的),列出关系式.(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.【即学即练】甲、乙、丙三名学生一起参加某次招聘考试,考试分笔试和面试两部分,两次考试过程相互独立,根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析,甲、乙、丙三名学生能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.6,0.6,0.75.(1)求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率;(2)求经过两次考试后,至少有一人被录取的概率.【解析】(1)分别记甲、乙、丙笔试合格为事件A1,A2,A3,则A1,A2,A3为相互独立事件,事件E表示“恰有一人通过笔试”,则P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0即恰有一人通过笔试的概率是0.38.(2)分别记甲、乙、丙两次考试均合格为事件A,B,C,则P(A)=0.6×0.6=0.36,P(B)=0.5×0.6=0.3,P(C)=0.4×0.75=0.3.记事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被录取”,则F表示“甲、乙、丙三人均没有被录取”,F=ABC,于是P(F)=1-P(F)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.64×0.7×0.7=0.6864.故经过两次考试后,至少有一人被录取的概率是0.6864.类型二统计与独立事件的综合应用(数学运算)【典例2】(2024·武汉高一检测)2024年4月24日是第九个“中国航天日”,今年的“中国航天日”以“极目楚天,共襄星汉”为主题,主场活动在湖北省举行.某校举办“极目楚天,共襄星汉”知识能力测评,共有1000名学生参加,随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成4组:60,70,70,80,(1)根据直方图,估计这次知识能力测评的平均数;(2)用分层随机抽样的方法从60,70,(3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲、乙进行现场知识抢答赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得1分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的人获得冠军.已知甲在三个项目中获胜的概率分别为12,25,p,各项目的比赛结果相互独立,甲至少得1分的概率是47【解析】(1)由频率分布直方图,根据平均数的计算公式,估计这次知识能力测评的平均数:x=(65×0.01+75×0.015+85×0.045+95×0.03)×10=84.5(分).(2)由频率分布直方图,可得60,70的频率为0.1,90,所以用分层随机抽样的方法从60,70,可得从60,70抽取1人,记为a,从从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享,有a,1,a,2,a,3,1,2,1,3,2,3,其中第二个交流分享的学生成绩在区间[60,70)的有1,a,2,所以概率为P=312=1(3)甲最终获胜的可能性大.理由如下:由题意,甲至少得1分的概率是4750可得1-1-121-25(1-p)=4750,其中0≤p≤1,解得p=45,则甲得2分或3分的概率为:P=12×25×1-45+12×1-25×45+1-12×25×45+12×25所以乙得2分或3分的概率为25因为35>25【总结升华】统计与相互独立事件的综合问题处理方法(1)用恰当的字母表示题中的事件.(2)根据题设条件,分析事件间的关系.(3)利用公式求出事件的概率.【即学即练】某学校为了解高一新生的体质健康状况,对学生的体质进行了测试.现从男、女生中各随机抽取20人,把他们的测试数据按照《国家学生体质健康标准》整理成表.规定:总分大于等于60分,体质健康等级为合格.等级总分男生人数男生平均分女生人数女生平均分优秀[90,100]591.3291良好[80,89.9]483.9484.1合格[60,79.9]8701170.2不合格60以下349.6349.1总计—20—20—(1)从样本中随机选取一名学生,求这名学生体质健康等级是合格的概率;(2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人,求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率.【解析】(1)样本中体质健康等级是合格的学生人数为5+2+4+4+8+11=34人,样本总数为20+20=40人,所以这名学生体质健康等级是合格的概率为3440=17(2)设事件A为“从男生样本中随机选出一人,其体质健康等级是优秀”,事件B为“从女生样本中随机选出一人,其体质健康等级是优秀”,则P(A)=520=14,P(B)=220因为A,B为相互独立事件,所以所求概率为P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)[1-P(B)]+[1-P(A)]P(B)=14×1-110+1-14×110=310【补偿训练】(2024·广州高一检测)“中式八球”是受群众欢迎的台球运动项目之一.在一场“中式八球”邀请赛中,甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠军,本次邀请赛采取“双败淘汰制”.具体赛制如下:首先,4人通过抽签两两对阵,胜者进入“胜区”,败者进入“败区”;接下来,“胜区”的2人对阵,胜者进入最后的决赛,“败区”的2人对阵,败者直接淘汰出局,获得第四名;紧接着,“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵,胜者晋级最后的决赛,败者获得第三名;最后,剩下的2人进行冠亚军决赛,胜者获得冠军,败者获得亚军.现假定甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p0<p<1(1)经抽签,第一轮由甲对阵乙,丙对阵丁.若p=0.6.①求甲连胜三场获得冠军的概率;②求甲在“双败淘汰制”下获得冠军的概率;(2)除“双败淘汰制”外,“中式八球”也经常采用传统的“单败淘汰制”:抽签决定两两对阵,胜者晋级,败者淘汰,直至决出最后的冠军.问当p满足什么条件时,“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠?【解析】(1)记甲在第i场比赛获胜的事件为Ai,i=1,2,3,4,则PAi=0.6,PAi=0.不同对阵结果相互独立,①甲连胜三场获得冠军的概率为:PA1A2A3=0.6②甲在“双败淘汰制”下获得冠军的情况有:胜胜胜、胜败胜胜、败胜胜胜,故概率为:P=PA1A2A3+A1A2A3A4(2)“双败淘汰制”下甲夺冠的概率为:P1=PA1A2A3+A1“单败淘汰制”下甲夺冠的概率为:P2=p2.令P1>P2得p3+2p31-p>p2,解得0.5<p所以当0.5<p<1时,“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠.10.3频率与概率【学习目标】【素养达成】1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.数学抽象2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.数学建模3.了解随机模拟的含义,会利用随机模拟估计概率.数学运算、数据分析一、频率的稳定性一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).【教材深化】1.频率随着试验次数的变化而变化,而概率是一个常数,是客观存在的,与试验次数无关.2.在实际应用中,只要试验的次数足够多,所得的频率就可以近似地看作随机事件的概率.3.概率是频率的稳定值.二、随机数1.随机数的概念:要产生1~n(n∈N*)之间的随机整数,把n个质地和大小相同的小球分别标上1,2,3,…,n,放入一个容器中,充分搅拌后取出一个球,这个球上的数就称为随机数.2.产生随机数的方法(1)利用计算器或计算机软件产生随机数.(2)构建模拟试验产生随机数.3.随机模拟方法(蒙特卡洛方法)利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的频率来估计概率,这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.【教材挖掘】(P254探究)问题:重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验,设事件A=“一个正面朝上,一个反面朝上”,统计A出现的次数并计算频率,再与概率比较,你发现了什么规律?提示:(1)试验次数n相同,频率fn(A)可能不同,这说明随机事件发生的频率具有随机性.(2)从整体来看,频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时,波动幅度较大;当试验次数较多时,波动幅度较小,但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小,只是波动幅度小的可能性更大.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)随机事件的频率和概率不可能相等.(×)提示:二者可能相等.(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化.(×)提示:频率会发生变化,是变量,而概率是不变的,是客观存在的.(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小,而频率则不能.(×)提示:频率和概率都能反映随机事件发生的可能性的大小.类型一频率与概率的关系(数学抽象)【典例1】下列说法一定正确的是()A.一名篮球运动员,号称“百发百中”,若罚球三次,不会出现三投都不中的情况B.一枚质地均匀的骰子掷一次得到2的概率是16C.由生物学知道生男生女的概率均为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,则一定为一男一女D.随机事件发生的概率与试验次数无关【解析】选D.A错误,概率小不代表一定不发生;B错误,概率不等同于频率;C错误,概率是预测,不必然出现;D正确,随机事件发生的概率是频率的稳定值,与试验次数无关.【备选例题】有以下说法:①昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的;②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖;③做10次抛硬币的试验,结果3次正面朝上,因此正面朝上的概率为310④某厂产品的次品率为2%,但该厂的50件产品中可能有2件次品.其中错误说法的序号是________.

答案:①②③【解析】①中降水概率为95%,仍有不降水的可能,故①错误;②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时,有1%的机会中奖,但不一定买100张彩票一定有1张会中奖,故②错误;③中正面朝上的频率为310,概率仍为12,故③错误;④中次品率为2%,但50件产品中可能没有次品,也可能有1件或2件或3件……次品,故④【总结升华】理解概率与频率应关注的三个方面(1)概率是随机事件发生的可能性大小的度量,是随机事件A的本质属性,随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值.(2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.(3)正确理解概率的意义,要清楚与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.【即学即练】已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%,则下列说法正确的是()A.如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物,那么有90人会被治愈B.如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈C.使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%D.以上说法都不对【解析】选C.治愈某种疾病的概率为90%,说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%,但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病,只能说治愈的可能性较大.类型二用频率估计概率(数学建模、逻辑推理)【典例2】为了研究某种油菜籽的发芽率,科研人员在相同条件下做了10批试验,油菜籽的发芽试验相关数据如表:批次12345678910每批粒数2510701307001500200030005000发芽的粒数249601166371370178627094490(1)如何计算每批试验中油菜籽发芽的频率?(2)由各批油菜籽发芽的频率,可以得到频率具有怎样的特征?(3)如何确定该油菜籽发芽的概率?【解析】(1)利用频率=发芽的粒数每批粒数,可求出每批油菜籽发芽的频率(2)批次1的频率为22=1,批次2的频率为45=0.8,批次3的频率为910=0.0.857,批次5的频率为116130≈0.892,批次6的频率为637700=0.91,批次7的频率为13701500≈0.913,批次8的频率为17862000(3)由(2)可知,当试验次数越来越多时,频率在0.9附近波动,由此估计该油菜籽发芽的概率为0.9.【总结升华】用频率估计概率(1)在实际问题中,常用事件发生的频率作为概率的估计值.(2)在用频率估计概率时,要注意试验次数n不能太小,只有当n很大时,频率才会呈现出规律性,即在某个常数附近波动,且这个常数就是概率.【即学即练】对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如表所示:抽取台数501002003005001000优等品数4092192285478954(1)根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率;(2)该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少?【解析】(1)抽到优等品的频率分别为0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.(2)由表中数据可估计优等品的概率约为0.95.类型三游戏的公平性(数学运算、逻辑推理)【典例3】某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平?为什么?【解析】该方案是公平的,理由如下,各种情况如表所示,项目45671567826789378910由表可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数字之和为偶数的有6种,为奇数的也有6种,所以(1)班代表获胜的概率P1=612=12,(2)班代表获胜的概率P2=612=12,即P1=【总结升华】游戏规则公平的判断标准(1)在各类游戏中,如果每人获胜的概率相等,那么游戏就是公平的,也就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等.(2)例如:体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等,这样才是公平的;每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的,这样才是公平的;抽签决定某项事务时,任何一支签被抽到的概率也是相等的,这样才是公平的等等.【补偿训练】在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4,5,甲先从箱子中摸出一个小球,记下球上数字后,再将该小球放回箱子中摇匀,然后乙从该箱子中摸出一个小球.(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大,谁就获胜(若数字相同则为平局),求甲获胜的概率;(2)若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6,则甲获胜,否则乙获胜,这样规定公平吗?【解析】用(x,y)(x表示甲摸到的数字,y表示乙摸到的数字)表示甲