高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第六章　阶段提升课含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第六章阶段提升课含答案阶段提升课题型一平面向量的线性运算1.问题类型:平面向量的线性运算和根据线性运算求参数问题.2.解题关键:掌握平面向量线性运算法则、运算律,平面向量共线定理与平面向量基本定理;3.核心素养:提升学生的逻辑推理与数学运算能力.【典例1】如图所示,在△ABC中,设=a,=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P,则=()A.12a+12b B.13aC.27a+47b D.47a【解析】选C.因为AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P,所以=+=+12=+12(+12)=+12+1412-=+12(-)+18-14=14+12+18,所以78=14+12,所以=27+47=27a+47b【总结升华】平面向量的线性运算(1)进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算求解.(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外,有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.【即学即练】在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G.若=λ+μ(λ,μ∈R),求λμ的值.【解析】延长DA,CE相交于M点,因为AE=12DC,AE∥DC所以A是MD的中点,所以CF=14DM因为CF∥DM,所以△CGF∽△MGD,所以GF=14DG所以=+=12+15=12+15(-)=12+15-15×12=25+15,又=λ+μ,所以μ=25,λ=15,故λμ=1题型二平面向量的数量积运算1.问题类型:平面向量的数量积、向量的模、向量的夹角、投影向量等;2.解题关键:掌握数量积的两种运算方法;3.核心素养:提升学生的逻辑推理与数学运算能力.【典例2】(1)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·=()A.5 B.3 C.25 D.5【解析】选B.方法一:以为基底向量,可知||=||=2,·=0,则=+=12+,=+=-12+,所以·=12+·-12+=-14+=-1+4=3;方法二:如图,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,则E(1,0),C(2,2),D(0,2),可得=(1,2),=(-1,2),所以·=-1+4=3;方法三:由题意可得ED=EC=5,CD=2,在△CDE中,由余弦定理可得cos∠DEC=DE2+CE2-DC22DE·CE=5+5-42×5×5=(2)已知向量a和b,则|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为60°,求:①a·b的值;②|2a+b|的值;③2a+b与b的夹角θ的余弦值.【解析】①因为|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为60°,所以a·b=2×2×12②因为(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=16+8+4=28,所以|2a+b|=27;③因为(2a+b)·b=2a·b+b2=4+4=8,所以cosθ=(2a+b)【总结升华】平面向量的数量积运算1.方法①定义法:a·b=|a||b|cosθ;②坐标法:a·b=x1x2+y1y2(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)).2.应用①求模:|a|=a2=x②求夹角:cosθ=a·b|【即学即练】(2024·丽水高一检测)已知向量a,b满足|a|=2,b=(1,2),且|a+b|=|2a-b|,则向量a在向量b上的投影向量的坐标是______________.

答案:(25,4【解析】|a+b|=|2a-b|两边平方得,a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,即a·b=12a2=12|a|2=2,故向量a在向量b上的投影向量的坐标为(a·b)b|【补偿训练】(2024·牡丹江高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠BAD=60°,E,F分别为AB,BC上的点,且AE=2EB,CF=2FB.(1)求·的值;(2)求cos∠BEF.【解析】(1)·=·23-=23×16-4×2×cos60°=203.(2)=13,=13+13,||=43,||=1316+4+8=2·=13·13+13=169+49=209,cos∠BEF==20943×题型三余弦定理、正弦定理1.问题类型:解三角形、判断三角形的形状、求三角形的面积、实际应用;2.解题关键:掌握正、余弦定理的内容及变形,能将实际问题转化为解三角形模型;3.核心素养:提升学生的逻辑推理、数学建模与数学运算能力.角度1利用正、余弦定理解三角形【典例3】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinA+acosB=2a.(1)求B;(2)若b=2,________,求△ABC的周长.

在①C-B=2A,②△ABC的面积为2-1【解析】(1)由正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=2sinA,在三角形中,sinA≠0,所以sinB+cosB=2,所以sinB+cosB=2sin(B+π4)=2即sin(B+π4)=1由B+π4∈(π4,5π4),得B+π所以B=π4(2)选择条件①:因为C-B=2A,A+B+C=π,所以C=7π12,A=π6,所以sinC=sin(A+B)=6+24,sinA=1又因为b=2,正弦定理bsinB=asinA=csinC,解得a=所以△ABC的周长为2+3+3.选择条件②:因为△ABC的面积为S=12acsinB=2-12,得由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB,即4=a2+c2-2ac,所以4=(a+c)2-2ac-2ac,所以a+c=6,所以△ABC的周长为6+2.【总结升华】利用正、余弦定理解三角形1.利用正弦定理、余弦定理化角为边或化边为角,如sinA=a2R,cosA=2.通过恒等变换得到三角形内角之间的关系,结合题意进行求解;3.对于面积和周长相关的范围与最值问题,可以从函数或基本不等式两个角度认识.【即学即练】1.(2024·焦作高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcos(A+B)=(c-2a)cosB,则B=()A.π6 B.π3 C.π2 【解析】选B.由题意可得bcos(A+B)=bcos(π-C)=-bcosC=(c-2a)cosB,所以2acosB=ccosB+bcosC,由正弦定理可得2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC,即2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,因为A为三角形内角,sinA≠0,所以可得2cosB=1,即cosB=12又B∈(0,π),所以B=π32.(2024·合肥高一检测)在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(c+b)sinC=(a-b)(sinA+sinB),a=23,则△ABC面积的最大值为()A.3 B.23 C.2 D.4【解析】选A.因为(c+b)sinC=(a-b)(sinA+sinB),由正弦定理可得(c+b)c=(a-b)(a+b),即a2-b2=c2+bc,即c2+b2-a2=-bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=-又因为b2+c2-a2=-bc,a=23,即b2+c2=12-bc≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=c=2时取得等号,所以S△ABC=12bcsinA≤3即△ABC面积的最大值为3,当且仅当b=c=2时取得.【补偿训练】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=π3,a=4,且该三角形有两解,则b的范围是(A.(23,+∞) B.(23,4)C.(0,4) D.(33,4)【解析】选B.由正弦定理得asinA=所以b=asinBsinA=因为该三角形有两解,故π3=B<A<2π3,A≠故sinA∈(32,1),即b=23sinA∈角度2正、余弦定理的实际应用【典例4】一颗人造地球卫星在地球上空1600km处沿着圆形的轨道运行,每2h沿轨道绕地球旋转一圈.假设卫星于中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空,地球半径约为6400km.(1)求人造卫星与卫星跟踪站在12:03时相隔的距离是多少.(2)如果此时跟踪站天线指向人造卫星,那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少?(参考数据:cos9°≈0.988,sin9°≈0.156)【解析】(1)如图所示,设人造卫星在12:03时位于C点,其中∠AOC=β,则β=360°×3120在△ACO中,OA=6400km,OC=6400+1600=8000(km),由余弦定理得AC2=64002+80002-2×6400×8000cos9°≈3.79×106,解得AC≈1.95×103,因此,在12:03时,人造卫星与卫星跟踪站相距约1950km.(2)如图所示,设此时天线瞄准的方向与水平线的夹角为γ,则∠CAO=γ+90°,由正弦定理得sin9°1故sin(γ+90°)=80001950sin9°≈0.因此天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值约为0.64.【总结升华】正、余弦定理的实际应用(1)关键:作出示意图,将实际问题转化为数学问题;(2)方法:将已知元素与未知元素放在同一个三角形中,利用正余弦定理求解;(3)注意:明确题中的专业术语,如视角、仰角、俯角、方向角、方位角等.【即学即练】如图,某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°方向且与该港口相距20nmile的A处,并以30nmile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以vnmile/h的航行速度匀速行驶,经过th与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30nmile/h,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.【解析】(1)如图,由题意及余弦定理得:OC2=AC2+OA2-2×AC×OA×cos∠OAC,即:v2t2=400+900t2-1200tcos60°=900t2-600t+400=900(t-13)2+300,当t=13此时小艇的航行方向为正北方向,航行速度为303nmile/h.(2)要用时最短,则速度最高,即为:30nmile/h,则由(1)可得:OC2=AC2+OA2-2×AC×OA×cos∠OAC,即:(30t)2=400+900t2-1200tcos60°,解得:t=23,此时∠BOC=30°,在△OAB中,OA=OB=AB航行方向为北偏东30°,航行速度为30nmile/h,小艇能以最短时间与轮船相遇.【真题1】(2023·新高考Ⅰ卷)(一题多解)已知向量a=1,1,b=1,-1,若a+A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-1【解析】选D.因为a=1,1,b=所以a+λb=1+λ,1-λ,a+由a+λb⊥a+λb·即1+λ1+μ整理得:λμ=-1.【溯源】(教材P60复习参考题6T8)已知向量a=1,0,b=1,1a+λb与a垂直?【解析】因为(a+λb)⊥a,所以(a+λb)·a=0,即(1+λ,λ)·(1,0)=0,即1+λ=0,解得λ=-1.[点评]真题与教材习题都是已知向量的坐标及垂直关系,求相关参数的值,本质均在考查用坐标表示向量垂直的充要条件.【真题2】(2023·新高考Ⅱ卷)(一题多解)已知向量a,b满足a-b=3,a+b=2a答案:3【解析】方法一:因为a+b=即a+b2则a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,整理得a2-2a·b=0,又因为a-b=3,即则a2-2a·b+b2=b2=3,所以b=3.方法二:设c=a-b,则c=3,a+b=c+2b,2a-b=2c+b由题意可得:c+2b2=2c+b2,则c2+4c·b+4b2=4c2+4整理得:c2=b2,即b=c=3【溯源】(教材P23习题6.2T11(2))已知a=2,b=5,且a·b=-3,求a+b,【解析】a+b=(=a2+2×(-3)a-b=(=a2-2×(-3[点评]教材例题是已知两个向量的数量积及模,求两个向量加、减运算后所得向量的模;真题是已知由两个向量经过加、减、数乘运算后所得向量的模及关系,求其中一个向量的模;本质均在考查向量模的平方等于向量的平方及向量数量积的综合应用.【真题3】(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sinA-C(1)求sinA;(2)设AB=5,求AB边上的高.【解析】(1)因为A+B=3C,所以π-C=3C,即C=π4又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C),所以2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,所以sinAcosC=3cosAsinC,所以sinA=3cosA,即tanA=3,所以0<A<π2所以sinA=310=3(2)由(1)知,cosA=110=10由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=22(31010由正弦定理,csinC=可得b=5×255所以12AB·h=12AB·AC·sin所以h=b·sinA=210×31010【溯源】(教材P54习题6.4T22)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acosC+3asinC-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,则△ABC的面积为3,求b,c.【详解】(1)由正弦定理,可得sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC.即sinAcosC+3sinAsinC=sin(A+C)+sinC,所以sinAcosC+3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC.整理得3sinA-cosA=1,即sin(A-π6)=1A-π6=π6,A=(2)由A=π3,S=12bcsinA=3,故bc由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即4=b2+c2-bc.故b=c=2.[点评]真题与教材习题均以解三角形为载体,教材习题的解决涉及正弦定理、两角和正弦公式、辅助角公式、面积公式、余弦定理,真题的解决涉及两角和差正弦公式、同角三角函数关系、诱导公式、面积公式,本质均在考查正、余弦定理与三角恒等变换在解三角形中的应用.6.1平面向量的概念【学习目标】1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的概念.2.理解平面向量的几何意义与几何表示.3.理解相等向量的含义及共线向量的概念.【素养达成】数学抽象直观想象数学抽象、逻辑推理一、向量的概念及表示1.向量的概念既有大小又有方向的量.2.向量的几何表示(1)有向线段:以A为起点,B为终点的有向线段记作,其大小称为向量的长度(或称模),记作||;(2)字母:可以用字母a,b,c,…表示.3.特殊向量零向量的长度为0,单位向量的长度为1个单位长度.【教材挖掘】(P1)物理学中常称向量为矢量,数量为标量,你还能举出物理学中的一些向量和数量吗?提示:速度、位移、力、加速度等都是既有大小又有方向的量,所以它们是向量.质量、路程、密度、功、时间等都是只有大小,没有方向的量,所以不是向量.二、相等向量与共线向量1.相等向量长度相等且方向相同的向量,记作a=b.2.共线向量(1)平行向量①方向相同或相反的非零向量,记作a∥b;②规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.(2)共线向量任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.【版本交融】(苏教P6)若两个向量的长度相等、方向相反,则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量.若其中一个向量为a,则它的相反向量记作-a.零向量的相反向量仍是零向量.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)海拔、温度、角度都是向量.(×)提示:海拔、温度、角度都是数量,只有大小没有方向,不是向量.(2)若用有向线段表示的向量与不相等,则点M与N不重合.(√)提示:若用有向线段表示的向量与不相等,则终点一定不相同,即点M与N不重合.(3)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量.(√)提示:方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是方向相反的向量,因而是共线向量.(4)若a与b都是单位向量,则a=b.(×)提示:若a与b都是单位向量,而单位向量方向不一定相同,故不能得到a=b.类型一向量的表示及应用(直观想象)【典例1】(教材提升·习题T1)在如图的方格纸中(规定小方格的边长为1),画出下列向量.(1)画出||=3,点A在点O的正西方向的向量;(2)画出||=32,点B在点O的北偏西45°方向的向量;(3)求出||的值.【解析】(1)因为||=3,点A在点O的正西方向,故如图所示:(2)因为||=32,点B在点O的北偏西45°方向,故如图所示:(3)||==3.【总结升华】用有向线段表示向量的步骤(1)确定向量的起点;(2)确定向量的方向;(3)根据向量的长度确定向量的终点.【即学即练】如图,某人从A点出发,向西走了200m后到达B点,然后改变方向,沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点,发现D点在B点的正北方.(1)作出,,(图中1个单位长度表示100m);(2)求的模.【解析】(1)根据题意可知,B点在坐标系中的坐标为(-2,0),又因为D点在B点的正北方,所以CD⊥BD,又||=2003,所以||=2002,即D,C两点在坐标系中的坐标为(-2,22),(-4,22),即可作出,,如图所示:(2)如图,作出向量,由题意可知,CD∥AB且CD=AB=200m,所以四边形ABCD是平行四边形,则||=||=2003,所以的模为2003.类型二相等向量与共线向量(直观想象)角度1相等向量与共线向量的确定【典例2】(教材提升·例2)O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在如图所示的向量中:(1)分别找出与,相等的向量;(2)找出与共线的向量;(3)找出与的模相等的向量;(4)向量与是否相等?【解析】因为O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,所以OA=AE=OD=DE=OC=CF=BF=BO,AB=CD=BC=AD.(1)由题中图形可得:=,=;(2)由题中图形可得,与共线的向量有:,,;(3)与的模相等的向量有:,,,,,,;(4)向量与不相等,因为它们的方向不相同.角度2相等向量与共线向量的应用【典例3】(2024·郑州高一检测)已知四边形ABCD,下列说法正确的是()A.若=,则四边形ABCD为平行四边形B.若||=||,则四边形ABCD为矩形C.若∥,且||=||,则四边形ABCD为矩形D.若||=||,且∥,则四边形ABCD为梯形【解析】选A.A选项,若=,则||=||且∥,则四边形ABCD为平行四边形,故正确;B选项,如图,||=||=2,但是四边形ABCD不是矩形,故错误;C选项,若∥,且||=||,则四边形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形,故错误;D选项,若||=||,且∥,则四边形ABCD可以是平行四边形,也可以是梯形,故错误.【总结升华】相等向量与共线向量(1)相等向量与共线向量的确定:要注意利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质等平面几何知识寻找线线之间的相等与平行关系;(2)相等向量与共线向量的应用:可以判断线段与线段相等或平行,但判断直线平行时,除说明向量共线外,还需要说明向量所在的线段无公共点.【即学即练】在如图所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的边长为1),分别写出下列向量.(1)共线向量;(2)相反向量;(3)相同的向量;(4)模相等的向量.【解析】(1)a与d是共线向量,b与e是共线向量;(2)a与d是相反向量;(3)题图中无方向相同的向量,所以向量a,b,c,d,e中无相同的向量;(4)由题图可知|a|=|c|=|d|=5,|b|=2,|e|=22,所以模相等的向量为a,c,d.【补偿训练】如图,O是正六边形ABCDEF的中心.(1)图中所示的向量中与的模相等的向量有几