中职高考数学一轮复习讲练测5.4 正弦型函数及图像变换（讲）（解析版）

5.4正弦型函数及图像变换【考点梳理】1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示.x－eq\f(φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3,2)π－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.图象变换(ω＞0)路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的eq\f(1,ω)倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的eq\f(1,ω)倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sinωx的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))个单位长度，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的物理意义简谐运动的图象所对应的函数解析式y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0.在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝eq\f(2π,ω)，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相．考点一正弦型函数解析式及参数的求法【例题】（1）用五点法作函数f(x)＝sin的图象时，所取的“五点”是（

）A．，，，，B．，，，，C．，，，，D．，，，，【答案】A【解析】令2x－＝0可得x＝，又函数的最小正周期为，则，所以五点的坐标依次是，，，，，故选：A.（2）如图所示的是函数图象的一部分，则其函数解析式是（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】由函数的图象的顶点坐标可得，由求得，再由五点法作图可得，可得，故函数解析式是，故选：A.（3）函数的周期是，振幅是，初相是.【答案】

【解析】周期为，振幅，令则初相，故答案为:；；.（4）已知函数的最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数的最小正周期为，所以，所以，所以，故排除B、D选项；又因为直线是其图象的一条对称轴，，，所以符合条件的解析式为，故选A.（5）已知函数的部分图象如图所示，则（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】由函数的部分图象知，，，解得，∴；又，可得，，解得，，∵，∴可得，∴，∴，故选：D.【变式】（1）用“五点法”作函数在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是（）A．B．C． D．【答案】A【解析】令，得.∴该点坐标为，故选A.（2）下列函数中，图象的一部分如图所示的是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】设函数的最小正周期为T，由图像可知：，解得：，所以，解得：.对照四个选项，满足的只有D，验证选项D符合题意，故选：D.（3）函数的振幅是___________，是___________，初相是___________.【答案】3；2；.【解析】根据可得振幅为3，，初相是，故答案为：3；2；.（4）已知函数的部分图象如图所示，则___________．【答案】【解析】由图可知，因为，所以，解得，因为函数的图象过点，所以，又，所以，故答案为：.（5）已知函数最小正周期为，其图象的一条对称轴是，则此函数的解析式可以是A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数的最小正周期是，故先排除选项D；又对于选项B：，对于选项C：，故B、C均被排除，应选A，故选：A.考点二正弦型函数的图像变换【例题】（1）已知函数，则函数的图象可以由的图象（

）A．向左平移得到 B．向右平移得到C．向左平移得到 D．向右平移得到【答案】A【解析】由题意，由的图象向左平移得到函数，故选：A.（2）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（

）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【答案】A【解析】由题意，把函数的图象向左平行移动个单位长度得到故选：A.（3）将函数的图像向右平移个单位得到的图像，则（

）A． B． C．0 D．【答案】B【解析】由题得，所以，故选：B.（4）为了得到函数的图像，需对函数的图像所作的变换可以为（

）A．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位B．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位C．先将图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位D．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位【答案】B【解析】对于A，先将的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，所得图像的解析式为，故A错误；对于B，先将的图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位，所得图像的解析式为，故B正确；对于C，先将的图像上所有的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位,所得图像的解析式为，故C错误；对于D，先将的图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，所得图像的解析式为，故D错误；故选：B.（5）已知函数的图象上每个点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为.【答案】【解析】把函数的图象上每个点向左平移个单位长度，得到函数的图象，，则，故答案为．【变式】（1）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数表达式为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到，故选：C.（2）将的图象向右平移个单位，则所得图象的函数解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】将的图象向右平移个单位，得，故选：C．（3）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（

）A．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】要得到函数，需把函数的向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，故选：C.（4）函数的图象如图所示，现将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由图可知，过点，解得，将的图像向右平移个单位得到，故选：D.（5）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是__________．【答案】【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数的图象；再将的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是的图象，故答案为：．【方法总结】1．五点法作函数图象及函数图象变换问题(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．“五点法”作图的优点是用简单的计算、列表、描点替代图形变换，不易出错，且图形简洁．(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，而“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，但要注意：先伸缩后平移时要把x前面的系数提取出来．2．根据y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象求解析式的步骤：(1)首先确定振幅和周期，从而得到A与ω.(Ⅰ)A为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半．(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的eq\f(1,4)个周期．(2)求φ的值时最好选用最值点求．峰点：ωx＋φ＝eq