中职高考数学一轮复习讲练测5.3 三角函数的图像和性质（讲）（解析版）

5.3三角函数的图像和性质【考点梳理】1．“五点法”作图(1)在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是，，，，．(2)在确定余弦函数y＝cosx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，0))，(2π，1)．2．周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域图象值域R对称性对称轴：x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)无对称轴；对称中心:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)最小正周期2π2ππ单调性单调增区间:eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)；单调减区间:eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)单调增区间:[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间:[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数考点一三角函数的周期、奇偶性【例题】（1）函数的最小正周期为，则的值为（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】A【解析】由，∴，故选：A.（2）下列函数最小正周期为的是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】对于A，的最小正周期，故A错误；对于B：的最小正周期，故B正确；对于C：的最小正周期，故C错误；对于D：的最小正周期，故D错误；故选：B.（3）设函数，则是（

）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数【答案】B【解析】由，可得，，所以函数为偶函数，即是最小正周期为的偶函数.故选：B.（4）以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求；对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求；对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求；对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求，故选：B.（5）函数的周期为.【答案】【解析】，所以的周期为：，故答案为：.【变式】（1）函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，函数，根据正弦型函数的周期的计算公式，可得函数的最小正周期为，故选：C.（2）函数是（

）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的非奇非偶函数D．最小正周期为的偶函数【答案】A【解析】，故f(x)是最小正周期为2π的奇函数，故选：A.（3）设为实数，函数的最小正周期为，则的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，则，故选:.（4）函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，最小正周期为，故选：B.（5）函数的最小正周期是.【答案】【解析】，故最小正周期，故答案为：.考点二三角函数的单调性、最值【例题】（1）下列区间中，函数单调递增的区间是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】，令，解得，故选：D.（2）以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求；对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求；对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求；对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求，故选：B.（3）已知函数，则的（

）A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为【答案】B【解析】因为，所以最小正周期为,最小值为，故选：B.（4）函数在区间上的最大值为（

）A．0B．－C． D．2【答案】D【解析】∵，∴，∴，即函数有最大值2，故选：D.（5）函数的最小值是.【答案】1【解析】当，时，即，时，取得最小值为，此时取得最小值为1，故答案为：1.【变式】（1）函数，x∈R在（

）A．上是增函数B．上是减函数C．上是减函数D．上是减函数【答案】B【解析】，所以在上递增，在上递减.B正确，ACD选项错误，故选：B.（2）函数的一个递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于函数，令，求得，可得函数的减区间为，，当时，可得该函数的一个减区间为，故选：B.（3）函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数，由，，得，，所以函数的单调递减区间为，故选：A.（4）已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值和最小值分别是（

）A．2和－2B．2和0C．2和－1 D．和【答案】C【解析】由题知，得，即函数，又∵，∴,即，，故函数的最大值为2，最小值为－1，故选：.（5）已知，则的最大值为.【答案】【解析】，其中，，故答案为：.考点三三角函数图像的对称性【例题】（1）函数的图象的一个对称轴方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于函数，令，解得，故函数的对称轴方程为，令，可知函数的一条对称轴为，故选：C.（2）函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的最小正周期是，因此相邻两条对称轴之间的距离是，故选：C．（3）若点是函数图象的一个对称中心，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意可得，，所以，，当时，，故选：C.（4）函数的图象（

）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，，易知A、B错误；由余弦函数的对称轴为，令，得，，当时，，易知C错误，D正确，故选：D.（5）函数（）的对称轴方程为.【答案】【解析】函数（）的对称轴方程为:，故答案为：.【变式】（1）函数的图象（

）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称【答案】B【解析】可得是由向上平移1个单位得到，根据余弦函数的性质可得的图象关于轴对称，故选：B.（2）已知函数，则下列是函数图象的对称中心的坐标的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，故图象的对称中心为，故选：A.（3）下列直线中，函数的对称轴是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令且，则对称轴方程为且，显然时对称轴为，不存在有对称轴为、、，故选：B.（4）函数图象的对称中心是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，解得，则图象的对称中心为．故选：D.（5）如果函数的图像关于点对称，那么的最小值为.【答案】【解析】由题意，，则，解得，∴当时，的最小值为，故答案为：.【方法总结】1．三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解．列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数)等．2．三角函数值域的求法求三角函数的值域常见的有以下几种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域．3．判断三角函数的奇偶性判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性．4．求三角函数的周期(1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求．(2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y＝Asin(ωx＋φ)，或y＝Atan