第一章集合核心题型讲解

高考数学第一章集合核心题型讲解探究核心题型第二部分例1

(1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为A.0

B.1

C.2

D.3√如图，函数y＝x与y＝x2的图象有两个交点，故集合A∩B有两个元素.题型一集合的含义与表示(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为A.1 B.1或0C.0 D.－1或0√∵－1∈A，若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，A＝{1，－2，－1}，故a＝0.解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.思维升华跟踪训练1

(1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是A.0∉M

B.{0}∈MC.{1}⊆M

D.1⊆M√√√对于A，因为M＝{x|x－2<0，x∈N}，所以0∈M，所以A错误；对于B，因为{0}是集合，且0∈M，所以{0}⊆M，所以B错误；对于C，因为1∈M，所以{1}⊆M，所以C正确；对于D，因为1是元素，1∈M，所以D错误.(2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为A.2

B.3

C.4

D.5√因为A＝{0,1,2}，a∈A，b∈A，所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4，故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0,1,2,4}，即集合B中含有4个元素.例2

(1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是A.A＝B

B.A∩B＝∅C.A

B

D.B⊆A√题型二集合间的基本关系由题设，可得A＝{x|x>2}，又B＝{x|x≥－3}，所以A是B的真子集，故A，B，D错误，C正确.(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有____个；当B⊆A时，实数m的取值范围是______________________.15(－∞，－2)∪[－1,0]A＝{x|－2≤x≤1}，若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1}，故集合A的真子集有24－1＝15(个).由B⊆A，得①若B＝∅，则2m＋1<m－1，即m<－2，解得－1≤m≤0，综上，实数m的取值范围是(－∞，－2)∪[－1,0].(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.跟踪训练2

(1)(多选)已知非空集合M满足：①M⊆{－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是A.{－1,1} B.{－1,1,2,4}C.{1} D.{1，－2,2}√由题意可知3∉M且4∉M，而－2或2与4同时出现，所以－2∉M且2∉M，所以满足条件的非空集合M有{－1,1}，{1}.√(2)函数f(x)＝

的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B⊆A，则实数a的取值范围是_______________________.(－∞，－3]∪[5，＋∞)由x2－2x－3≥0，得x≥3或x≤－1，即A＝{x|x≥3或x≤－1}.∵B⊆A，显然B≠∅，∴4－a≤－1或－a≥3，解得a≥5或a≤－3，故实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[5，＋∞).命题点1集合的运算例3

(1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T等于A.∅

B.S C.T D.Z题型三集合的基本运算√方法一在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T.方法二

S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T.(2)设全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝

}，则图中阴影部分表示的集合为A.{x|x≤－2} B.{x|x>－2}C.{x|x≥4}

D.{x|x≤4}√观察Venn图，可知阴影部分的元素由属于B而不属于A的元素构成，所以阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B.∵A＝{x|－2≤x<4}，U＝R，∴∁UA＝{x|x<－2或x≥4}，又B＝{x|y＝

}⇒B＝{x|x≥－2}，∴(∁UA)∩B＝{x|x≥4}.命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4

(2023·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实数a的取值范围为A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－∞，1]由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1<x<1}，∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}，所以由(∁RA)∪B＝R，得a≥1.√对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.跟踪训练3

(1)(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)等于A.{1,3} B.{0,3}C.{－2,1} D.{－2,0}√由题意得集合B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{－2,0}.故选D.(2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是A.[1,4) B.(1,4)C.[4，＋∞) D.(4，＋∞)√由题意可得A＝{x|1<x<4}.因为A∪B＝{x|x>1}，所以1≤a<4.例5

(1)(多选)当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当b≠0时，

∈F”时，称F为一个数域，以下说法正确的是A.0是任何数域的元素B.若数域F有非零元素，则2023∈FC.集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域D.有理数集为数域题型四集合的新定义问题√√√对于A，若a∈F，则a－a＝0∈F，故A正确；(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n.①若n＝3，则这样的集合A共有________个；2若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1,3}，这样的集合A共有2个；②若n为偶数，则这样的集合A共有________个.13因为集合M的子集共有24＝16(个)，其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1,3}，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个.解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.跟踪训练4设集合U＝{2,3,4}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势