《数形结合思想在中学数学教学中的渗透及应用研究》8700字（论文）

PAGE3数形结合思想在中学数学教学中的渗透及应用研究摘要数形结合思想方法，顾名思义，就是将数和形结合起来的一种思想方法，这种思想方法可以将很复杂的数学问题形象化及简单化，能让学生更加容易接受和理解，以此来解决复杂的数学问题.在中学数学的教学中，向学生渗透数形结合思想非常的重要，它不仅可以让我们要研宄的数学问题变得简单，还能让中学生学习数学的兴趣变得更加浓厚.本文中首先简单的介绍数形结合思想的提出，然后通过数形结合的目标性、反复性、反复渗透、学生参与和系统性等原则和概念理论教学中渗透、在案例讲解介绍、在习题解决中巩固、在实际问题解决中运用、在反思总结中内化等方法的途径渗透数形结合的思想.之后讲述了数形结合思想在教学中的等价性、双向性、简洁性和实践性等应用原则和应用实例，数形结合的应用从以下三个方面来展开：以数解形，以形化数，数形结合.以数解形有利用代数法、面积法、三角法、向量法解决几何问题，以形解数有利用图形解决不等式、函数类、概率类等问题，数形结合有数形结合思想方法在一次函数、反比例函数、二次函数中的应用，最后做出了总结.关键词：数形结合；思想；中学数学；教学；渗透目录TOC\o"1-2"\h\u24944摘要 I17221目录 III13279一、引言 111525二、数形结合思想概念的提出 116486三、数形结合思想的渗透 210937（一）中学数学教学中数形结合思想的渗透原则 223438（二）教学中渗透数形结合思想方法的途径 28722四、数形结合思想在中学数学教学中应用原则 42608（一）等价性原则 42759（二）双向性原则 423134（三）简洁性原则 417141（四）实践性原则 424781五、数形结合思想在数学教学中的应用 510077（一）以数化形 516017（二）以形解数 85815（三）数形结合 1222961六、结语 15113参考文献 16一、引言众所周知，中学数学分为代数和几何两大部分.所谓的代数和几何主要是针对数和图形进行分析和研究的过程，代数和几何之间是不仅相对独立的，而且他们之间的联系是密切的.我们常常会面临复杂的代数的复杂问题，如果我们直接进行计算的话计算量会非常的大而且不好计算，如果我们把所要解决的为题转化成直观的图形来看待问题的话我们能够很直观的从图形中找到我们的答案.还有我们平时遇到一些图形等因为多种因素，比如没有考虑到辅助线等问题而无法得到相应的答案，但是如果我们换一个思路，换一种方法比如坐标轴等工具的协助，往往能够很容易就能得到答案.这一种图形和数的相互转换又相互协助的思想方法在数学上叫做数形结合思想.数形结合思想是能够良好的联系数和形的桥梁，对于我们能快手而准确的解决数学问题起着非常重要的作用.数形结合教育思想教学方法的重要教学应用价值及其教学解题指导功能，已被广大高校数学学科教育研究工作者所广泛认识，其数学理论基础研究与教学实践也逐渐变得深入.然而，数形结合思想在我们的学校教育的实际教育教学工作中没有能够很好的落实到位，而它没有落实到位的主要表现在教师在教学过程中没有能够明确数形结合思想的教学目标，也没有能够在教学过程中做到合理的安排并带领学生一步步的了解其含义和应用，没有做到由浅入深，有简单到复杂的过程.在教学课堂中盲目性，随意性较大，甚至有的教师在教学过程中把简单的数形结合思想看成一种解题的手段，只是在教学过程中一带而过.二、数形结合思想概念的提出恩格斯有句名言：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学.”REF_Ref26053\r\h[2]数形结合这种思想方法研究分析并揭示问题所包含的数学意义和几何直观，这样就能够将数学符号语言和图形结合起来，从而能够实现形象思维和抽象思维的统一.著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”REF_Ref26157\r\h[3]这首小词能够揭示“数形结合”这种数学思想方法的本质和其价值.数形结合的思想方法从字面的意思来看就是把我们所学的代数和几何结合起来的思想方法。运用这种方法的过程中，通过“以数助形”的这种数学思想方法可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，使抽象思维为变为形象思维.REF_Ref9332\r\h[2]通过“以数辅形"的这种教学思想方，有利于充分发展培养学生的多种直觉数学思维，形象思维和抽象思维，有利于引导学生正确把握应用数学研究问题的理论本质，加深对应用数学的整体认识，实现应用数学的理论灵活性与数学规律性的有机性相结合的整体思想教学方法.在我国中学数学基础教育中可使教师灵活运用转换数字和数学图形，能够十分注重运用数形原理结合数学思想的转化渗透，可以有效帮助引导学生简单、快速的理解和解决复杂的问题.同时还认为可以有效帮助广大学生不断扩展自己的理论学习运维思路，为学生研究和创新探索现代数学知识体系开发了一条有效的教学方法.三、数形结合思想的渗透（一）中学数学教学中数形结合思想的渗透原则1.目标性原则数学课程标准中要求应当在教学数学的基础知识时把数学的思想方法纳入到其教学中，教师在进行课堂教学和教学设计时应该注意数学思想方法的教学目标在课堂教学中的渗透。数学教师注意并掌握中学数学课程中出现的数学思想方法，能够有效地分解和细化在中学中某些重要的数学思想方法并能够把数学思想方法恰到好处的运用和分配到教学环节当中，能够在“三维”立体目标中体现出来。所以在渗透数形结合的思想方法时严格遵循目标性的原则。2.反复渗透原则数学中的所运用的数学方法是具有高度的概括性的，需要教师精心的设计并在教学过程中逐步的引导学生领会其内涵。因此教师在中学数学教学过程中需要采用反复渗透的原则。首先，作为教师要深入了解并善于挖掘其课堂教育教学的内容，明白教学过程需要的教学方法并能够设计好教学过程和步骤，为逐步渗透数形结合思想做准备。其次，教师要在课堂中有意识的运用设计好的数学方法，让学生在课堂中尽可能的多积累数学思想方法。为了达到这一要求教师需要在教学过程中反复渗透数学方法。3.学生参与原则在教学过程中学生是学习的主体，教师是学生学习的指引者和引导者。在中学的数学过程中不应该以教师讲为主，教师在教学过程中要引导学生参与到教学过程来，教师应该给多一点空间和时间供学生思考。教师应该善于制造良好的氛围，使更多的学生主动地参与到教学活动中，能够独立、积极地思考。从而养成积极思考，爱动手的好习惯（二）教学中渗透数形结合思想方法的途径1.概念理论教学中渗透数形结合思想方法教师在讲授数学概念知识的过程中应该要注意知识的运用的的全过程.教师在数学教学的课堂中应当注意到每一位学生的学习，使学生养成在课堂上及时学习的好习惯，并且能够明白自己所学习的只是是怎么来的、应该在实际问题中怎么运用.概念知识的学习是学生获得数学知识最直接的体现，学生只有自己亲身经历并参与到学习的全部过程，才能够真正理解概念的含义。利用数学思想方法系统进行数学概念化的教学，可以更好地帮助突破教学难点，使中学生顺利地正确理解数学概念.利用直观的图形给学生介绍概念从而帮助学生能够更好地理解其含义，促进了中学生对一个概念整体认知的有结构性的发展.因此在概念理论的教学过程中渗透数形结合的思想是学生学习好数形结合的数学思想方法的好时机.2.在案例讲解中介绍数形结合思想方法教师在讲解典型的数学案例时一定首先要注意能够特别善于用典型的教学例子和题对引导学生自己进行案例解题和教学示范，要特别注意如何引导他们从中出发去深入思考，如何引导学生正确的思考。特别是面对几何和代数的问题时要发散思维，从多个方面入手，题目中看到关于代数的问题有意识的想到它的图形，如果在题目中遇到几何问题要往代数方面思考。要有意识的考虑到利用数形结合的数学思想方法。这种思考的过程不仅锻炼的师生的逻辑思维，也培养了教师和学生对于空间的想像力，激发了他们的创造性意识.3.在习题解决中巩固数形结合思想方法教师要在解决数学习题的过程中注重解题思路的数学思想方法分析，增强解题过程的数学思想方法指导，提倡解题以后的数学思想方法的反思。通过在习题的解决中亲身感受和运用数形结合的思想方法的技巧手段和方法，使学生加深对数形结合思想的理解和认识并且能够真正的学会这种数学思想方法，能够独立的解决问题.为学生能够在实际操作中利用数形结合的思想方法提供了很大的帮助.学生在利用数形结合的思想方法解决分析实际问题的同时也能够感受数形结合的思想方法带来的便利.能够让学生在解题时把复杂的抽象问题化成简单的具体的问题，对于学生能够打开视野、突破思考定势具有很好的意义。.4.在实际问题解决中运用数形结合思想方法数学来源于生活，利用数学也能解决生活中的很多问题。数学与我们的实际生活具有紧密的联系。这些活动都是学生很乐意参与的一些与生活紧密联系的活动。数形结合的思想方法早在几千年前就已经开始在实际生活中应用，利用数形结合的思想方法我们的有些无法解决的问题就可以迎刃而解了。随着数学科学的发展，数形结合的思想方法在实际生活中的应用越来越广泛了.5.在反思总结中内化数形结合思想方法反思，它是数学课堂上不可或缺的一个重要组成部分.波利亚曾经说，虽然我们在解决一个问题的时候并不能完全做到十分完美.但是，如果我们认真地去探索和钻研，我们便会得以有所改善，提高对其解答的认识和理解.教师的自我反思行为能够直接的激发学生的反思，所以教师不仅仅是在遇到问题时想到运用数形结合的思想方法，更应该去挖掘教科书中所包含的几种数学的思想方法，并提前做好分析、整理、总结的工作以备课堂中运用自如。同时，教师更应该特别注意启发和引导学生进行思考反思的工作，养成一个积极反思、自我总结的好习惯。四、数形结合思想在中学数学教学中应用原则（一）等价性原则在中学数学教学中利用数形结合的思想方法解决同一个问题时会用到数和形两种方法，在这两种方法相互转换过程中就需要用到等价性原则。在实际操作中如果不能做到等价，把代数问题转换成几何问题或把几何问题转换成几何问题结果就会出现偏差.（二）双向性原则在中学的数形结合的数学思想方法是，我们要注意这两种转换的优缺点和对应的转换规则。面对不同的题目采取不同的方法，有些题目只能用代数来解决、有些题目只能用几何来解决、而有些题目需要用到两者结合才能解决。所以我们在解决问题时充分发挥两种方法的各自的优势，体现出数形结合的数学思想方法的优势。.（三）简洁性原则教师在讲授数形结合的思想方法时要尽量保证做到准确、简洁，向学生倡导利用简单的方法解决问题。在解决问题时要做到构图简单、简洁，代数计算时尽量避免复杂繁琐的计算方法降低解题难度。在解题中如果不注意这两点在会浪费我们大量的时间和精力，甚至会出现解答错误或解不出来等状况（四）实践性原则数形结合的实践性原则就是指学生把这种数学思想运用到实际的解题过程中来。能够灵活的运用老师在课堂上所讲的方法及学生自己总结得来的思想方法。除此之外，学生需要不断的进行实际的练习.五、数形结合思想在数学教学中的应用（一）以数化形1.利用代数法解决几何问题例题1：如图1，，则S∆AGC=_________图1例题1解析：延长AG，CG分别交AB，BC于点D，E，连接DE，所作图如下图2所示.在Rt∆ABC中，因为∠BAC=90º，AB=3，AC=2，所以因为G是∆ABC的重心，所以AG=2EG，CG=2DG又因为D，E分别是AB，BC的重点，所以DE∥AC，且设S∆DGE=m，则S∆ADG=S∆EGC=2m，S∆AGC=4m，所以S∆ADE=S∆BDE=3m，则S∆ABC=12m因为12m=3，所以，所以S∆AGC=1图2例题1解析这个例题是关于求解三角形的面积问题，解决问题的过程，需要用到两个相同高度的三角形的面积之比等于两个底部的线段的长度.虽然题目中给出的已知条件很少，但是我们可以通过题干寻找到题目的隐藏条件，即重心的性质，只要抓住这个重要的性质就可以顺利地利用代数的方法进行解题，使得原本的几何问题简单化.这道例题如果直接求解∆AGC的面积比较困难，解题步骤比较繁琐，这时需要应用数形结合思想进行解题，尝试选择用代数的方法去解决问题，这样就可以简化书写解题的过程.2.利用面积法解决几何问题例题2：Rt∆ABC中，∠ACB=90º，a，b为两直角边，斜边AB上的高为h，求证：图3例题2解析：在Rt∆ABC中，∠ACB=90º，CD⊥AB，所以从而得到ab=AB·h，则a²b²=AB²·h²=(a²+b²)·h²等式的两边同时除以a²+b²，得：面积法的一大优点是能够具体化和可视化抽象问题.用面积法解决数学问题既可以发展图形感，同时可以深入理解各种问题的共同点.此外面积法还可以起到训练学生数形结合意识的作用.这个例题要证明边长与高之间的数量关系式，单纯地从图形上来判断，很难知道他们之间的关系.运用面积法可以轻松地通过面积表达式找出数量关系，从而顺利地求解出结果.这道例题要求证明线段之积相等，而且题目所给的条件很少，因此解题时要有发散性的思维.运用面积法进行证明，只需要两步就可以证明出来，大大提高了解题效率.应用面积法解决几何问题不仅可以锻炼学生的数形结合的意识，而且能够丰富学生的数学解题方法.3.利用三角法解决几何问题例题3：在∆ABC中，AB=8，∠C=60º，∠A＞∠B，则BC长的取值范围是_________.图4例题3解析：因为∠C=60º，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+∠B=120°.因为∠A＞∠B，所以∠A＞120°-∠A，所以∠A＞60°.因为∠C=60°，所以∠A＞∠C，所以BC＞AB.因为AB=8，所以BC＞8.过点B作BD⊥AC于点D.因为∠C=60°，.因为BD⊥AC，所以BD≤AB，即，所以，所以图5例题3解析这道例题需要求边长BC的范围，但是题目中只给出了一条边AC的长度，直接求解BC的长度比较困难，再联系题目中给出的角度关系，考虑运用三角函数中的正弦或余弦来解题.题中已经给出了∠C的度数以及∠A与∠B的大小关系，结合三角形中隐藏的三个角之间的关系：三角形的内角和为180°即可知道∠A与∠C的大小关系.再利用“大角对大边”，可以求出BC的范围.题中的数据较少，不足以解决问题，这时需要改变思维方式，借助辅助线寻找更多的数量关系，应用锐角的正弦函数求出BC的长度关系式，然后利用三角形中的边角关系即可求出BC的范围.在解题中应用数形结合思想，可以拓宽数学思维方式，使得解题思路清晰，将复杂的几何问题变得简单，学生就可以轻松地求解出结果.4.利用向量法解决几何问题例4，如图，四棱锥S-ABCD的底面是一个直角梯形，其中AD∥BC，∠ABC=90°，SA⟂面ABCD，SA=1，AB=BC=2，AD=1，求侧面SCD和面SAB所成的二面角的大小分析：由于不容易直接在图形上作出二面角，利用几何法求得二面角难度比较大，所以这道题目用向量法来求解更为简单和简洁解：由于∠ABC=90°，可以把点A作为空间直角坐标系的原点来建立坐标系，如下图因此得到点的坐标S(0，0，1)A(0，0，0)B(0，2，0)C(2，2，0)D(1，0，0)则SA=(0，0，-1）SB=(0，2，-1)SC=(2，2，-1）SD=(1，0，-1)平面SAB的法向量n1设平面SCD的法向量为n2=(x，y，z)，则n2n2⟂SDn2=(2，-1，2）n1cosθn1∙n2n1图6（二）以形解数1.利用图形解决不等式问题例题5：解不等式组并写出它的所有负整数解解析：解不等式，得；解不等式，得所以原不等式组的解集是，图7不等式组解集这道例题不仅要求解不等式组的解集，而且要求写出所有的负整数解.如果不利用数轴解决问题，那么很容易将负整数有所遗漏，造成解题结果不完整.这时利用数形结合思想，借助数轴解题，通过数轴来表示不等式组的解集会显得简单且清楚，可以清晰直接地看出所有的负整数解，不仅可以提高了解题的速度，而且可以提高了解题的正确率.不等式组的解集可以用口诀来帮助记忆，但是这个口诀里出现“大”和“小”的次数较多，学生在记忆的时候容易出现偏差，而且只是单纯地背诵口诀，没有真正理解其意义.数轴是建立在实数和函数之间各个点一一相互对应的关系，是数与形之间交流沟通桥梁，使得这种抽象化的数量关系具有了一种直观而又形象的几何意义.应用数形结合思想求解不等式组的题，不仅可以加深对不等式解集概念的理解，还可以直观地看出解集.2.利用图形解决函数类问题例题6:已知一次函数(k为常数，k≠0)和（1）求x的取值范围；（2）请结合图像，直接写出k的取值范围.解析:（1）根据题意，得，解得（2）-4≤k≤1且k≠0如图7所示，直线恒过点D（0，2），与直线x=1交于点C（1，k+2）直线经过点A（3，0），B（1，-2）过点D作DF∥AB，则直线DF的函数表达式为所以直线DF交直线x=1于点F（1，3）.由图可知，当点C在线段BF上时，所以-2≤k+2≤3，即-4≤k≤1.又因为k≠0，所以-4≤k≤1且k≠0.图8一次函数的图像这道例题是有关一次函数的题，在解决函数类问题中，首先要想到绘制图像，借助平面直角坐标系画出函数的图形进行研究分析.函数类的题目一般综合性比较强，常常作为试卷中的压轴题，难度较大，主要是针对学生综合解题能力的考察.在分析和解决这个问题中，利用函数的数形结合思想，可以建立函数关系式与平面图形之间的对应，更有利于分析题中所给出的条件.题目中给出了两个一次函数的表达式，在解题过程中，将两个函数的图像在一个坐标轴中画出来，借助图形研究函数y1与y2的大小关系.在研究和解决函数这一类问题时应用了数形结合的思想，通过所画的函数图像的直观性，可以快速地求解出结果，从而能够提高学生的解题能力.3.利用图形解决概率类问题例题7：某个公司共有800名销售人员，该公司经理为了了解公司销售人员春季季度商品销售情况，随机抽取部分销售人员的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表对数据进行分析.表1频数分布表组别销售数量/件频数频率A20≤x＜4030.06B40≤x＜6070.14C60≤x＜8013aD80≤x＜100m0.46E100≤x＜12040.08合计b1图9频数分布直方图请根据以上信息，解决下列问题：（1）（2）（3），试估计该季度被评为“优秀员工”的人数.解析：（1）a=10.26b=50抽样调查抽取的人数为，即b=50，所以（2）D组的频数为m=0.46×50=23，补全频数分布直方图如下图所示（3）估计该季度被评为“优秀员工”的人数为（0.46+0.08）×800=432图10频数分布直方图解析《数学课程标准》明确提出将“统计与概率”的知识加入我国义务教育的数学课堂中.REF_Ref31170\r\h[11]这道例题中给出了各等级学生人数分布扇形统计图，在解题时要善于从图中提取有效信息，再借助相关的数学公式进行解题.在概率类问题中，经常会给出表格或是图形，要善于从题目所给的条件中提取有效信息，利用数形结合思想，可以建立起数与形之间联系的纽带，快速理清条件，从而顺利地解出结果.这道例题给出的表格和图形中都有未知的部分，在解题时，要从所给的已知信息中找出数量之间的关系，再利用相关的数学关系式求解出未知的数值.数形结合思想可以帮助寻找到数与形之间的联系，理清题中的数量关系，提高解题的速度.（三）数形结合以初中数学为例，下面列出数形结合思想在初中数学教学中几种基本函数中的应用.用几个表格列出，更加有助于直观的判断和观察图像与函数的关系.1.数形结合方法在一次函数中的应用表1一次函数(k≠0)“数”“形”kb数值的变化趋势函数的图像经过的象限图形的变化趋势k>0b>0y随x的增大而增大一、二、三从左往右呈上升趋势b<0一、三、四k<0b>0y随x的增大而减小一、二、四从左往右呈下降趋势b<0二、三、四2.数形结合方法在反比例函数中的应用表2反比例函数(k≠0)“数”“形”k数值的变化趋势（在每一象限内）函数的图像经过的象限图形的变化趋势k>0y随x的增大而减小一、三从左往右呈上升趋势k<0y随x的增大而增大二、四从左往右呈下降趋势3.数形结合方法在二次函数中的应用表3二次函数(a≠0)“数”“形”ax数值的变化趋势函数的图像开口方向图形的变化趋势a>0x>0y随x的增大而减小向上从左往右呈下降趋势x<0y随x的增大而增大从左往右呈上升趋势a<0x>0y随x的增大而增大向下从左往右呈上升趋势x<0y随x的增大而减小从左往右呈下降趋势初中数学中的函数主要有三种，分别是一次函数、反比例函数、二次函数.螺旋式课程最早是由布鲁纳先生