高等数学 课件【ch09】二重积分

二重积分第九章高等数学高等职业教育数字课程改革创新系列教材01二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质在一元函数积分学中，定积分是某种确定形式的和式极限。若将这种和式极限的概念推广到定义在平面区域上的二元函数，则得到二重积分的概念。本章将介绍二重积分的概念、计算方法及应用。一、二重积分的概念引例曲顶柱体的体积：由于f（x，y）在区域D上连续，因此它在每个小区域上的变化很小，就可以用每个小区域上的平顶柱体的体积来近似替代小曲顶柱体的体积。二重积分的概念与性质且区域D分割得越细，近似值的精度就越高。于是就可以像求曲边梯形的面积一样，用“分割、取近似、求和、取极限”四个步骤来求曲顶柱体的体积。二重积分的概念与性质引例曲顶柱体的体积，如图9-1所示。二重积分的概念与性质取近似，（见图9-2）。二重积分的概念与性质二重积分的定义：上面这个例子可看作二元函数在平面区域上的一个和式的极限。在物理、力学、几何及工程技术中，有很多量的计算都可以归结为上述特定和式的极限，抛开其具体意义，可以抽象出二重积分的定义。二重积分的概念与性质二、二重积分的性质性质1

，k为常数。性质202二重积分的计算一、在直角坐标系中二重积分的计算与定积分的定义类似，根据定义计算二重积分显然很困难，需要找到一种实际可行的计算方法。本节先介绍在直角坐标系中计算二重积分，再介绍在极坐标系中计算二重积分。二重积分的计算二重积分的计算设积分区域D可以用不等式组表示为，如图9-3所示。二重积分的计算截面面积A（x）又如何确定呢？由图9-4可见。二重积分的计算设积分区域D可以用不等式组表示为，如图9-5所示。二重积分的计算如图9-6所示，转化为二次积分

。二重积分的计算如图9-7所示，转化为二次积分

。二重积分的计算如图9-8所示的区域D，就要用一条平行于y轴的虚线把区域D分割成三个子域D1、D2、D3。转化为二次定积分时，两个积分限都必须“下限”小于“上限”。先积分的变量写在后面，其上下限一般是后积分变量的函数；后积分的变量写在前面，其上下限一定是常数。对于每个区域D中二重积分的计算，在直角坐标系中都可以转化为先对y后对x的二次定积分，也可以转化为先对x后对y的二次定积分。二重积分的计算二重积分的计算由例1可以看出，对于此题中的区域D用上述两种方法计算二重积分都比较简单，最终的计算结果也是一样的。在直角坐标系中将二重积分转化为二次定积分，当区域D为矩形区域时，二次定积分的上下限都是常数。二重积分的计算二、极坐标系中二重积分的计算前面介绍了二重积分在直角坐标系中的计算方法，但是对于某些被积函数和积分区域（如与圆有关的区域）用极坐标计算会比较简便。如何把被积函数f（x，y）转化为极坐标形式；如何把面积dφ元素转化为极坐标形式。二重积分的计算在区域D内作平行于x轴的直线，该平行于x轴的直线与区域D的边界有两个交点，因此二重积分可以转化为先对x后对y的二次定积分，如图9-9（b）所示。二重积分的计算【例2】画出积分区域D的图形，如图9-10

所示，这是一个矩形区域。二重积分的计算【例3】画出积分区域D的图形，如图9-11所示。二重积分的计算【例4】画出积分区域D的图形，求出交点坐标为（1，-1）和（4,2），如图9-12所示。二重积分的计算【例5】画出积分区域D的图形，如图9-13所示。二重积分的计算【例6】画出积分区域D的图形，如图9-14所示。二重积分的计算如图9-15所示，则由直角坐标系与极坐标系的关系。二重积分的计算这些子域除靠边界曲线的一些子域外，绝大多数都是扇形域（见图9-16）。二重积分的计算原点在积分区域D内，且边界方程为r=r（θ），如图9-17所示。二重积分的计算原点不在积分区域D内（包括原点在区域D的边界线上的情形），则从原点作两条射线θ=α和θ=β（α≤β）夹紧区域D（见图9-18）。二重积分的计算【例7】画出积分区域D的图形，如图9-19所示。二重积分的计算【例8】画出积分