2024-2025学年河南省商丘地区高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省商丘地区高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y=83x2A.y=−23 B.y=−43 C.2.已知某质点的位移y(单位：m)与时间x(单位：s)满足函数关系式y=x4+3x2，则当A.10 B.9 C.8 D.73.若点A(1,2)在圆x2+y2+2x−4y+a=0外，则实数A.a>1 B.1<a<5 C.a<5 D.2<a<64.在等比数列{an}中，若a1aA.14 B.22 C.15.已知点M，N在直线l：2x−y−2=0上运动，且|MN|=25，点P在圆C：(x+4)2+yA.85 B.45 C.6.如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合A={x|x=AB⋅APi,i=A.3

B.4

C.6

D.97.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12>S10A.20 B.21 C.22 D.238.椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成(如图).在平面直角坐标系xOy中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”C的方程为x2+y2−xy=9A.63 B.23 C.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l1：ax+y−1=0，l2：2x+(a−1)y−a−1=0，点P在l1上，点Q在l2A.|PQ|的最小值为5 B.原点到l2的距离的最大值为2

C.l1⊥l2的充要条件为a=10.已知数列{an}的前n项和为Sn，下列各条件能推出数列{A.anan+1=an+12 B.an+111.在正方体ABCD−A1B1C1A.若x+y=1，则点P的轨迹为线段AD1

B.若x=12，则点P的轨迹为连接棱AD的中点和棱A1D1中点的线段

C.若x=y，则三棱锥P−A1BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=x3−1x313.已知a=(−1,λ,−2)，b=(2,−2,μ)，若a//b，则14.已知F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于一条渐近线的直线交C四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=lnx+ax2+x(a∈R)，且f′(1)=4．

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的图象在点16.(本小题15分)

(1)求两焦点分别为F1(−2,0)，F2(2,0)，且过点A(52,−3217.(本小题15分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(4,t)(其中t>0)在抛物线C上，|AF|=5．

(1)求p和t的值；

(2)O为坐标原点，过点A的直线l与抛物线C交于另一点B，OA⊥OB，求直线l18.(本小题17分)

如图1，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AD=1，AB=2，将△ABD沿BD折起，使得平面A′BC⊥平面A′BD，如图2．

(1)证明：A′D⊥平面BCD；

(2)在线段A′C上是否存在点M，使得二面角M−BD−C的大小为45°？若存在，求出A′MA′C的值；若不存在，说明理由．19.(本小题17分)

在数列{an}中，记Δan=an+1−an，若{Δan}为等差数列，则称{an}为二阶等差数列．

(1)若an=2n2−n+3，判断{an}是否为二阶等差数列？并说明理由；

(2)已知二阶等差数列{an}参考答案1.C

2.A

3.B

4.C

5.D

6.A

7.B

8.A

9.BCD

10.BCD

11.BCD

12.6

13.5

14.1315.解：(1)由f(x)=lnx+ax2+x，得f′(x)=1x+2ax+1，

又f′(1)=4，所以1+2a+1=4，解得a=1．

(2)由a=1，得f(x)=lnx+x2+x，所以f(2)=ln2+6，即切点为(2,ln2+6)，

又切线的斜率为k=f′(2)=112，16.解：(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

两焦点分别为F1(−2,0)，F2(2,0)，椭圆过点A(52,−32)，

依题意c=2c2=a2−17.解：(1)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(4,t)(其中t>0)在抛物线C上，|AF|=5，

则4+p2=5，

则p=2，

则抛物线C的方程为：y2=4x，

则t2=4×4，

又t>0，

则t=4；

(2)由(1)可得：A(4,4)，

设B(n2,2n)，其中n≠0，

又OA⊥OB，

则OA⋅OB=0，

则4×n18.(1)证明：在△ABD中，因为∠A=60°，AD=1，AB=2，

由余弦定理得BD=AD2+AB2−2AD⋅ABcos60°=3，

所以BD2+AD2=AB2，所以AD⊥BD，所以∠ADB=90°，∠DBC=90°，

作DF⊥A′B于点F，

因为平面A′BC⊥平面A′BD，平面A′BC∩平面A′BD=A′B，

所以DF⊥平面A′BC，所以DF⊥BC，

又因为CB⊥BD，BD∩DF=D，所以CB⊥平面A′DB，

因为A′D⊂平面A′DB，所以CB⊥A′D，

又由A′D⊥BD，BD∩CB=B，所以A′D⊥平面BCD．

(2)解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,3,0),C(−1,3,0),A′(0,0,1)，

假设点M存在，设A′M=λA′C，λ∈[0,1]，

则A′M=λA′C=(−λ,3λ,−λ),DM=DA′+A′M=(−λ,3λ,1−λ),DB=(1−λ,0,λ)，19.解