北京市房山区2024-2025学年高三上学期期末考试 数学 含解析

房山区2024-2025学年度第一学期学业水平调研（二）高三数学本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合，则（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据补集定义计算即可.【详解】因为，集合，则.故选：D.2.已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i【答案】D【解析】【分析】两边同乘-i，化简即可得出答案．【详解】i•z＝2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D.【点睛】的共轭复数为3.已知，，，且，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】通过举反例即可判断ABD，对于C根据不等式的性质即可判断.【详解】对于A：令，，所以，故A错误；对于B：令，故B错误；对于C：因为，所以，所以，故C正确；对于D：当时，显然不成立，令，故D错误故选：C.4.在的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】的展开式通项为，由可得，故展开式中的系数为.故选：B5.下列函数的图象中，不是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的图像求解，选项A：利用的对称性和函数的图像变换得到，选项B：利用对号函数的对称性求解即可，选项C：利用绝对值函数的图像求解即可，选项D：利用三次函数的对称性求解即可.【详解】选项A：是由函数向左平移个单位得到，因为是中心对称图形，所以也是中心对称图形，选项B：故对号函数关于原点中心对称，选项C：易知是偶函数，且在单调递减，在单调递增，不是中心对称图形，选项D：三次函数关于中心对称，因为.故选：C.6.在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知，点在圆上，求出圆心到直线的距离，结合圆的几何性质可得出到直线的距离的最大值.【详解】设点Px,y，则，所以，点在圆上，该圆的圆心为原点，半径为，原点到直线的距离为，因此，到直线的距离的最大值为.故选：D.7.已知非零平面向量，则“”是“存在非零实数，使”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】“”说明共线同向，能推得“存在非零实数，使”的，所以充分性具备，但反过来，“存在非零实数，使”可能共线同向，也可能共线反向，所以必要性不具备.故选A8.已知正三棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角是，则三棱锥的体积等于（）A. B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根据正三棱锥定义和侧面与底面所成二面角的定义求出三棱锥的高，代入体积公式即可.【详解】如下图所示：由正三棱锥的定义，底面为正三角形，且边长为，作正三棱锥的高，垂足为的中心，连接并延长，交于点；由正三棱锥的几何的性质可知：，，就是侧面与底面所成二面角的平面角，，可得是等腰直角三角形，.根据正三角形的性质，，即正三棱锥的高为.三棱锥的体积为：.故选：B9.已知实数，满足，，给出下列三个结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是（）A.① B.② C.①③ D.②③【答案】D【解析】【分析】根据函数图象及反函数的概念确定的关系，即可得到；结合函数图象分析的范围即可得到；利用把不等式等价转化，通过构造函数求导即可证明不等式成立.【详解】如图，设函数与的图象交于点，函数与的图象交于点，则点的横坐标为，即，点的横坐标为，即.∵函数与互为反函数，与互为反函数，∴点与点关于直线对称，∴，②正确.∵，，∴，∴，①错误.由得，∴等价于，令，则，不等式等价于，设，则，∴在上为增函数，∴，即，∴，③正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把转化为函数图象交点的横坐标，利用反函数的概念得到的等量关系，逐个判断即可确定选项.10.已知由正整数组成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶数的个数.若.则的最小值为（）A.5 B.7 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】先排除有5个偶数不可能，再找一个有7个偶数的实例后可得正确的选项.【详解】45个正奇数的和不小于，因为中有50个不同的正整数，故中不可能有不超过5个不同的偶数.取，则中共有元素个数为，这个数的和为，故的最小值为7.故选：B.【点睛】思路点睛：对于组合最值问题，我们一般先找到一个范围，再验证临界值存在即可.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为_____.【答案】【解析】【分析】根据对数的真数大于零、分母不为零可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】对于函数，有，解得且，因此，函数的定义域为.故答案为：.12.在中，，，，则_____；若为边上一点，且，则_____.【答案】①.②.【解析】【分析】空1使用余弦定理求解即可，空2使用正弦定理求解即可.【详解】在中，由余弦定理得又B∈0,π则在中，由正弦定理得：所以故答案为：，.13.已知双曲线（）的渐近线方程为，则，的一组值依次为_____.【答案】1；（答案不唯一，满足即可）【解析】【分析】根据渐近线可得，即可得结果.【详解】因为双曲线（）的渐近线方程为，则，即，例如.故答案为：1；（答案不唯一，满足即可）.14.《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布_____尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为_____.【答案】①.##②.【解析】【分析】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，由题意求出数列的首项后可得第5天织布的尺数；再令，求出，即可得出答案.【详解】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，前5项的和为5，设首项为，前项和为，则由题意得，∴，∴，即该女子第5天所织布的尺数为．令，解得：，所以.所以若要织布50尺，该女子所需的天数至少为.故答案为：；．15.已知函数，，给出下列四个结论：①当时，方程有且只有一个实数根；②当时，对任意，或；③当时，对任意，；④存在，对任意，.其中正确结论的序号是_____.【答案】①②③【解析】【分析】画出二次函数图象和指数函数图象，根据的不同取值范围，分析二次函数图象的分布，即可求解.【详解】对于①，当时，，由与图象可知，方程有且只有一个实数根，①正确；对于②，当时，gx<0，当x∈0,+∞时，gx>0.当时函数为开口向下的二次函数，令函数的两个零点分别为，，所以当x∈0,+∞时，对于③，当时，为开口向上的二次函数，，，所以对任意，，gx<0，所以，③正确.对于④，当时，当时，，此时；当时，，当时，；当时，，即，所以不存在，对任意x∈R，，④错误.故答案为：①②③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数，，且的最小值为.（1）求的值；（2）设，求函数在区间上的最大值及相应自变量的值.【答案】（1）（2）当时，函数取最大值【解析】【分析】（1）根据题意可得出函数的最小正周期，即可求得的值；（2）由可求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的最大值及其对应的值.【小问1详解】因为函数，，且的最小值为.所以，函数的最小正周期为，则.【小问2详解】由（1）知，，则，当时，，故当时，即当时，函数取最大值，即.17.近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4S店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量（单位：辆）进行调查.统计结果如下：1店2店3店4店5店6店7店8店新能源汽车销售量108162320182211燃油汽车销售量1411131921252326（1）若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率；（2）若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，求的分布列和数学期望；（3）新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为和.试比较和的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有2家，利用古典概型概率公式求解即可.（2）的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出随机变量对应的概率即可得到分布列，然后利用数学期望公式求解即可；（3）根据表格中数据，计算样本数据的平均数，再利用方差公式求出样本方差，然后直接判断即可.【小问1详解】由题可知：8家门店中新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的有2家，分别是：门店3，门店4，所以若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率【小问2详解】12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数为3，分别是：门店4，门店5，门店7，从样本门店中随机抽取3个，12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，的所有可能取值为：0，1，2，3所以，，所以的分布列为0123P求的分布列和数学期望；【小问3详解】新能源汽车销售量的样本平均数新能源汽车销售量样本方差燃油汽车销售量的样本平均数燃油汽车销售量的样本方差所以18.已知三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.（ⅰ）求证：平面；（ⅱ）求与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）条件选择见解析；（i）证明见解析；（ii）.【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线的性质推导出，结合线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）选条件①：（i）推导出，可得出，可得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（ii）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值；选条件②：（i）由菱形的几何性质得出，结合已知条件以及线面垂直的判定定理可证得平面，进而可得出，再由正方形的几何性质得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（ii）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接交于点，连接，在三棱柱中，四边形为平行四边形，因为，则为的中点，又因为为的中点，则，因为平面，平面，故平面.【小问2详解】若选①：.（i）因为四边形为正方形，则，在和中，，所以，，所以，，所以，，，因为，、平面，因此，平面；（ii）因为四边形为菱形，则，且平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，则、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，因为，所以，，因此，与平面所成角的正弦值为；若选②：.（i）因为四边形为菱形，则，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，因为四边形为正方形，则，因为，、平面，所以，平面；（ii）因为四边形为菱形，则，且平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，因为，，则、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，因为，所以，，因此，与平面所成角的正弦值为.19.已知椭圆过点，离心率为，一条直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线为，为直线与直线的交点.（1）求椭圆的方程；（2）若，直线是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由.【答案】（1）（2）是，定点坐标为【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的等式组，求出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；（2）对直线的位置进行分类讨论，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，根据线段的中点横坐标为可得出参数的关系，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.【小问1详解】因为椭圆E:x2a2+则，解得，因此，椭圆的方程为.【小问2详解】设点Ax1,y1当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，联立可得，则，可得，当时，由韦达定理可得，整理可得，可得，此时，，则，所以，直线的方程为，即，此时，直线恒过定点12,0当直线轴时，则线段的方程为，此时点、关于轴对称，则直线为轴，此时，直线过点12,0；当直线轴时，此时点、关于轴对称，则，不合乎题意.综上所述，直线恒过定点12,0【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.20已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围；（3）求证：存在实数，使方程有正实根.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）把代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）证明恒成立，再按分类，结合不等式的性质及导数探讨单调性得解.（3）由方程有正实根分离参数并构造函数，利用导数探讨函数能取到正数即可推理得证.【小问1详解】当时，函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】对任意，不等式，当时，令，求导得，函数在上递增，，因此，当时，，，即恒成立，则；当时，，由，得，当时，，函数在上单调递减，，不符合题意，所以实数的取值范围是.【小问3详解】由，，得，令，求导得，令，求导得，函数在上单调递减，而，则存在，使得，当时，，即，函数在上单调递增，，取正数，则直线与函数在上的图象有交点，此交点横坐标在区间，所以存在实数，使方程有正实根.【点睛】关键点点睛：借助恒成立的不等式，再借助不等式的性质及导数分类求解是关键.21.已知和都是无穷数列.若存在正数，对任意的，均有，则称数列与具有关系.（1）分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系，直接写出结论；①，，；②，，.（2）设，，，试判断数列与是否具有关系.如果是，求出的最小值，如果不是，说明理由